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90000-1-102014年上海市普通高中学业水平考试浦东新区数学模拟试卷答案


2014 年上海市普通高中学业水平考试

浦东新区数学模拟试卷
考生注意: 1.本试卷共 4 页,满分 120 分,考试时间 90 分钟。 2.本考试分设试卷和答题纸。试卷包括三大题,第一大题为填空题,第二大题为选择题, 第三大题为解答题。 3.答题前,务必在答题纸上填写姓名、报考号、考场号和座位号,并将核对后的条形码贴 在指定的位置上。 4.作答必须涂或写在答题纸上,在试卷上作答一律不得分。第二大题的作答必须涂在答题 纸上相应的区域,第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。 一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题.考生应在答题纸的相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分. 1. 若 i 为虚数单位,则 i ?1 ? i ? =______

4 ( x ? ?2) 的最小值是 x?2 3. 方程 3sin x ?1 ? 0 的解为_____
2. 函数 y ? x ? 4. 双曲线



x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是________ 100 36
1 1 n ?n , lim an ? ____ n ?? 1 n
2

5. 若 an ?

n2

6. 不等式 2 x ? 1 ? 2 的解是_________ 7. 已知 a ? (?1, 2), b ? ( ?2, ?2) ,则 a 与 b 的夹角为______ 8. 圆锥的母线长为 10cm ,高为 8cm ,则这个圆锥的体积是________
5

?

?

?

?

? 2 1? 4 9. 在二项式 ? x ? ? 的展开式中,含 x 的项的系数是 x? ?
11. 在 ?ABC 中, a ? 8, b ? 5 ,三角形的面积为 12,则 c =_____ 12.



10. 在 1 、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 这 9 个数中,任取 2 个数,则它们的乘积为偶数的概率是_____. 设 点 P 是 圆 M : x ? y ? 6 x ? 8 y ? 21 ? 0 上 的 任 意 一 点 , O 为 坐 标 原 点 , 则
2 2

???? ? ???? MO ? MP 的取值范围是_______

二、选择题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,每题有且只有一个正确答案.考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 3 分,否则一律得零分, 13. 已知角 ? 的终边经过点 P(?3, 4) ,则下列计算结论中正确的是( A. tan ? ? ?
4 3


3 5

B. sin ? ? ?

4 5

C. cos ? ? )

3 5

D. sin ? ?

14. 下列幂函数中过点 (0, 0) , (1,1) 的偶函数是(
1/8

1

1

A. y ? x 2

B. y ? x

4

C. y ? x

?2

D. y ? x 3 )

15. 满足条件 M ? {a} ? {a, b, c} 的集合 M 的个数是( A.1 B.2
2

C.3 B. ( ??,0)

D.4 ) C. (?8,??) D. (?8,0)

16. 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? b 在区间 (2,4) 内有唯一零点,则 b 的取值范围是 ( A. R

17. 把正弦函数 y ? sin x( x ? R) 图象上所有的点向左平移 图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 A. y ? sin ?

? 个长度单位,再把所得函数 6


1 倍,得到的函数是( 2

?? ?1 x? ? 6? ?2
? ?

B. y ? sin ?

?? ?1 x? ? 6? ?2
? ?

C. y ? sin ? 2 x ?

??
? 6?

D. y ? sin ? 2 x ?

??
? 3?
)

18. 已知 a ? ( ,sin ? ), b ? (cos ? , ) 且 a // b ,则锐角 ? 的大小为( A.

?

3 2

?

1 3

? ?

? 6

B.

? 3

C.

? 4

D.

5? 12
) D.

19. 若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列不等式中,恒成立的是( A. a ? b ? 2ab
2 2

B. a ? b ? 2 ab
2

C.

1 1 2 ? ? a b ab

b a ? ?2 a b
) D. b ? ?2, c ? 3 )

20. 若 1 ? 2 i 是关于 x 的实系数方程 x ? bx ? c ? 0 的一个复数根,则( A. b ? 2, c ? 3 21. 设函数 f ( x) ? sin A. B. b ? 2, c ? ?1 C. b ? ?2, c ? ?1

?
6

x ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2014) 的值等于(
3 2
C.

1 2

B.

1? 3 2

D. 2 ?

3

22.

正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E 、 F ,若 EF= ) B. EF//平面ABCD D. 异面直线 AE 、 BF 所成的角为定值
?

2 , 2

则下列结论中错误的是( A. AC ? BE

C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值

23. 若数列 {an } 满足 a1 ? 19, an ?1 ? an ? 3(n ? N ) ,则数列 {an } 的前 n 项和数值最大时,

n 的值是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 24. 对于函数 f ( x) ,使 f ? x ? ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 m 叫做函

2/8

数f

?2 ? x , x ? 0 ? .则函数 f ?x ? ? ? 的上确界是( 1 ? x ? 的“上确界” 0 ?log 1 ( 2 ? x), x< ? 2



A.0

B.

1 2

C.1

D.2

三、解答题(本大题满分 48 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤, 25.(本题满分 7 分,第 1 问 4 分,第 2 问 3 分) 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 的 底 面 为 等 腰 直 角 三 角 形 , B1 F A1 C1

?BAC ? 90? , AB=AC=2 , AA1 ? 2 2 , E 、 F 分
别是 BC 、 AA1 的中点.求: (1)异面直线 EF 和 A1B 所成的角; (2)直三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积. 26.(本题满分 7 分,第 1 问 3 分,第 2 问 4 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? ? x) cos(? ? x) . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 在区间 ? ? 最大值和最小值时 x 的值. B A

C E

? ? ?? 上的最大值和最小值,并指出在此区间上, f ( x) 取得 , ? 6 2? ?

27.(本题满分 8 分,第 1 问 3 分,第 2 问 5 分)

1 . 2 | x| (1)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值;
已知函数 f ( x) ? 2 ?
x

(2)若 2 f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ? [ 1, 2 ] 恒成立,求实数 m 的取值范围。
t

28.(本题满分 13 分,第 1 问 4 分,第 2 问 9 分) 已知动圆过定点 P(1,0) ,且与定直线 l : x ? ?1 相切,点 C 在 l 上. (1)求动圆圆心的轨迹 M 的方程; (2)设过点 P,且斜率为 ? 3 的直线与曲线 M 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. 29.(本题满分 13 分,第 1 问 4 分,第 2 问 9 分) 已知数列 ?a n ?的前 n 项的和 S n ? 2n (1)求该数列的通项公式 an ; (2)求证:在数列 ?a n ?中存在唯一的一项 a m ,使 a n ?1 是 a n 与 a m 的等比中项.
3/8
2

?n ? N ?

2014 年上海市普通高中学业水平考试

浦东新区数学模拟试卷
考生注意: 1.本试卷共 4 页,满分 120 分,考试时间 90 分钟。 2.本考试分设试卷和答题纸。试卷包括三大题,第一大题为填空题,第二大题为选择题, 第三大题为解答题。 3.答题前,务必在答题纸上填写姓名、报考号、考场号和座位号,并将核对后的条形码贴 在指定的位置上。 4.作答必须涂或写在答题纸上,在试卷上作答一律不得分。第二大题的作答必须涂在答题 纸上相应的区域,第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。 一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题.考生应在答题纸的相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分. 1. 若 i 为虚数单位,则 i ?1 ? i ? =______ 1 ? i 2. 函数 y ? x ?

4 ( x ? ?2) 的最小值是 x?2

.2
k

3. 方程 3sin x ?1 ? 0 的解为_____ x ? k? ? (?1) arcsin , k ? Z .

1 3

4. 双曲线

x2 y 2 3 ? ? 1 的渐近线方程是________ y ? ? x 100 36 5
1 1 n ?n , lim an ? ____ ?1 n ?? 1 n
2

5. 若 an ?

n2

6. 不等式 2 x ? 1 ? 2 的解是_________ ? ?

? 3 1? , ? 2 2? ?

7. 已知 a ? (?1, 2), b ? ( ?2, ?2) ,则 a 与 b 的夹角为______ ? ? arccos

?

?

?

?

10 10
3

8. 圆锥的母线长为 10cm ,高为 8cm ,则这个圆锥的体积是________ 96? cm

? 2 1? 4 9. 在二项式 ? x ? ? 的展开式中,含 x 的项的系数是 x? ?

5

.10

10. 在 1 任取 2 个数, 则它们的乘积为偶数的概率是_____. 、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 这 9 个数中, 11. 在 ?ABC 中, a ? 8, b ? 5 ,三角形的面积为 12,则 c =_____ 5 or
4/8

13 18

153

12.

设 点 P 是 圆 M : x ? y ? 6 x ? 8 y ? 21 ? 0 上 的 任 意 一 点 , O 为 坐 标 原 点 , 则
2 2

???? ? ???? MO ? MP 的取值范围是_______ ? ?10,10?
二、选择题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,每题有且只有一个正确答案.考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 3 分,否则一律得零分, 13. 已知角 ? 的终边经过点 P(?3, 4) ,则下列计算结论中正确的是( A ) A. tan ? ? ?
4 3

B. sin ? ? ?

4 5

C. cos ? ?

3 5
1

D. sin ? ?

3 5

14. 下列幂函数中过点 (0, 0) , (1,1) 的偶函数是( B )
1
4

A. y ? x 2 B. y ? x C. y ? x D. y ? x 3 15. 满足条件 M ? {a} ? {a, b, c} 的集合 M 的个数是( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 16. 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? b 在区间 (2,4) 内有唯一零点,则 b 的取值范围是 ( D
2

?2



A. R

B. ( ??,0)

C. (?8,??)

D. (?8,0)

17. 把正弦函数 y ? sin x( x ? R) 图象上所有的点向左平移 图象上所有的点的横坐标缩短到原来的

? 个长度单位,再把所得函数 6

1 倍,得到的函数是( C ) 2 ?? ?? ?1 ?1 A. y ? sin ? x ? ? B. y ? sin ? x ? ? 6? 6? ?2 ?2 ?? ?? ? ? C. y ? sin ? 2 x ? ? D. y ? sin ? 2 x ? ? 6? 3? ? ? ? ? ? ? 3 1 18. 已知 a ? ( ,sin ? ), b ? (cos ? , ) 且 a // b ,则锐角 ? 的大小为( C ) 2 3 ? ? ? 5? A. B. C. D. 6 3 4 12
19. 若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列不等式中,恒成立的是( D ) A. a ? b ? 2ab
2 2

B. a ? b ? 2 ab

C.

1 1 2 ? ? a b ab

D.

b a ? ?2 a b

20. 若 1 ? 2 i 是关于 x 的实系数方程 x ? bx ? c ? 0 的一个复数根,则( D )
2

A. b ? 2, c ? 3 21. 设函数 f ( x) ? sin A. 22.

B. b ? 2, c ? ?1

C. b ? ?2, c ? ?1

D. b ? ?2, c ? 3 )

?
6

x ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2014) 的值等于( A
3 2
C.

1 2

B.

1? 3 2

D. 2 ?

3

正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E 、 F ,若 EF=
5/8

2 , 2

则下列结论中错误的是( D ) A. AC ? BE B. EF//平面ABCD C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值 D. 异面直线 AE 、 BF 所成的角为定值 23. 若数列 {an } 满足 a1 ? 19, an ?1 ? an ? 3(n ? N ) ,则数列 {an } 的前 n 项和数值最大时,
?

n 的值是( B )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 24. 对于函数 f ( x) ,使 f ? x ? ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 m 叫做函
?2 ? x , x ? 0 ? .则函数 f ?x ? ? ? 的上确界是( 1 ? x ? 的“上确界” 0 ?log 1 ( 2 ? x), x< ? 2

数f

C



A.0

B.

1 2

C.1

D.2

三、解答题(本大题满分 48 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤, A1 25.(本题满分 7 分,第 1 问 4 分,第 2 问 3 分) C1 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 的 底 面 为 等 腰 直 角 三 角 形 , B1 F ?BAC ? 90? , AB=AC=2 , AA ? 2 2 , E 、 F 分
1

别是 BC 、 AA1 的中点.求: (1)异面直线 EF 和 A1B 所成的角; (2)直三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积. 解: (1)取 AB 的中点 D,连 DE、DF,则 DF ∥ A 1 B , ∴∠DFE 即为所求。 由题意易知, DF ? ??????????2 分 B

A E

C

3 , DE ? 1 , AE ? 2
0

由 DE⊥AB、DE⊥A A1 得 DE⊥平面 ABB1A1 ∴△DEF 为直角三角形,∠EDA=90 ∴tan∠DFE= tan?DFE ?
0

DE 1 3 ? ? DF 3 3
0

∴ ?DFE ? 30 ,即异面直线 EF 和 A1B 所成的角为 30 。????????4 分 (2)直三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V ?

1 AB ? AC ? AA1 2 1 ? ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 4 2 ??????7 分 2

26.(本题满分 7 分,第 1 问 3 分,第 2 问 4 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? ? x) cos(? ? x) . (1)求 f ( x) 的最小正周期;
6/8

(2)求 f ( x) 在区间 ? ? 最大值和最小值时 x 的值.

? ? ?? 上的最大值和最小值,并指出在此区间上, f ( x) 取得 , ? 6 2? ?

解答: f ( x) ? sin(? ? x) cos(? ? x) ? ? sin 2 x ????????????2 分 所以(1) T ? ? (2)当 x ? 当x?? ????????????3 分 ????????????5 分

?

4

时, f ( x)min ? ?1 ;

?
6

时, f ( x ) max ?

3 2

????????????7 分

27.(本题满分 8 分,第 1 问 3 分,第 2 问 5 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ?
x

1 . 2 | x|

(1)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值; (2)若 2 f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ? [ 1, 2 ] 恒成立,求实数 m 的取值范围。
t

解: (1)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 由条件可知 2 x ?

1 . ????1 分 2x

1 ? 2 ,即 2 2 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 0 , x 2 x 解得 2 ? 1 ? 2 . ?????????????????????2 分 ? 2 x ? 0 ,? x ? log 2 1 ? 2 . ??????????????3 分

?

?

1 ? 1 ? ? ? (2)当 t ?[ 1, 2 ] 时, 2 t ? 2 2t ? 2t ? ? m? 2 t ? t ? ? 0 , 2 ? 2 ? ? ? 2t 4t 即 m 2 ?1 ? ? 2 ?1 .

?

? ?

?

? 2 2 t ? 1 ? 0 , ∴ m ? ? 2 2 t ? 1 . ?????????????5 分

? t ?[ 1, 2 ], ? ? 1 ? 2 ?[ ? 17, ? 5 ] , 故 m 的取值范围是 [ ? 5, ? ? ) . ????????????????8 分
2t

?

?

?

?

28.(本题满分 13 分,第 1 问 4 分,第 2 问 9 分) 已知动圆过定点 P(1,0) ,且与定直线 l : x ? ?1 相切,点 C 在 l 上. (1)求动圆圆心的轨迹 M 的方程; (2)设过点 P,且斜率为 ? 3 的直线与曲线 M 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. 解: (1)由曲线 M 是以点 P 为焦点,直线 l 为准线的抛物线, 知曲线 M 的方程为 y 2 ? 4 x .????????????????4 分

7/8

(2)由题意得,直线 AB 的方程为
y ? ? 3( x ? 1), ????????6 分

? ? y ? ? 3( x ? 1), 由 ? 2 ? ? y ? 4 x,
得 3x 2 ? 10 x ? 3 ? 0,

1 解出x1 ? , x2 ? 3. 3
于是, A 点和 B 点的坐标分别为

1 2 3 ??10 分 A( , ) , B(3, ?2 3) ) 3 3 ∴ | AB |? x1 ? x2 ? 2 ? 16 . ????13 分 3 29.(本题满分 13 分,第 1 问 4 分,第 2 问 9 分)
已知数列 ?a n ?的前 n 项的和 S n ? 2n (1)求该数列的通项公式 an ; (2)求证:在数列 ?a n ?中存在唯一的一项 a m ,使 a n ?1 是 a n 与 a m 的等比中项. 解: (1)由 S n ? 2n 得:当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 4n ? 2
2 2

?n ? N ?

又 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ? 4 ?1 ? 2 , ∴ an ? 4n ? 2 . ????????????????4 分

(2) an ?1 ? 4n ? 2 , am ? 4m ? 2
2 由 a n?1 ? an ? am ,得 (4n ? 2) ? (4n ? 2)(4m ? 2) ,
2

????6 分

解得 m ? n ? 2 ?
?

2 2n ? 1

????????????????8 分

由于 m ? N ,且 m ? 2 , ∴只有 2n ?1 ? 1 ,即 n ? 1 , ???????????????11 分 从而得出唯一的 m 的值, m ? 5 即 a2 是 a1 与 a5 的等比中项. ??????????????13 分

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