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2014~2015学年上期河南省淮阳中学富洲部高二11月8日数学试题含答案


2014~2015 学年上期河南省淮阳中学富洲部高二 11 月 8 日

A.直角三角形

B.钝角三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

数学试题
一、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目 要求的. 1、设集合 M={y|y=2x, x<0}, N={y|y= log 1 x , 0<x<1},则 x∈M 是 x∈N 的(
2

9.已知椭圆的中心在原点,离心率 e ? 圆方程为( A. ) B.

1 ,且它的一个焦点与抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点重合,则此椭 2



x2 y 2 ? ?1 4 3

x2 y 2 ? ?1 8 6

C.

x2 ? y2 ? 1 2

D.

x2 ? y2 ? 1 4

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 ( )
2

10 .设椭圆

2、若 a ? R, 下列不等式恒成立的是 A.

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的离心率e ? , 右焦点F (c,0), 方程ax2 ? bx ? c ? 0 的两个根分 2 2 a b
) B.圆 x 2 ? y 2 ? 2 上 D.以上三种情况都有可能

别为 x1 x2 , 则点P( x1 , x2 ) 在( A.圆 x 2 ? y 2 ? 2 内 C.圆 x 2 ? y 2 ? 2 外 11. 设点 M (m,0) 在椭圆

1 ?1 a ?1
2

B. a ? 1 ? a
2

C. a ? 9 ? 6a
2

D. lg(a ? 1) ? lg 2a

3. 已知等比数列 {an } 的各项均为正数,公比 q ? 1 ,设 P ? 小关系是 A.

a3 ? a9 , Q ? a5 ? a 7 ,则 P 与 Q 的大 2

P?Q

B. P ? Q

C.P = Q

D. P ? Q

x2 y2 ? ? 1 的长轴上, 点 P 是椭圆上任意一点. 当 MP 的模最小时, 点P 16 12
) D、 ?3,4? B、 ?1,4? C、 ?1,5?

x2 y2 x2 y2 ? ? 1?a ? 6? 与曲线 ? ? 1?5 ? b ? 9? 有( 4.曲线 10 ? a 6 ? a 5?b 9?b
A.相同的离心率 B.相同的准线 C.相同的焦点

恰好落在椭圆的右顶点,则实数 m 的取值范围( ) A、 ?0,4?

D.相同的焦距 π 5. 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c2=(a-b)2+6,C= ,则△ABC 的面 3 积是( ) A.3 9 B. 3 2 3 C. 3 2 D.3 3

x2 y 2 12.双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1 的左准线为 l ,左焦点和右焦点分别为 F 1 、 F2 ,抛物线 C2 的准线为 l , a b
O 是坐标原点, 焦点为 F2 , 线段 PF2 的中点为 M , 则 C1 与 C2 的一个交点为 P ,
A. ? 1 B. 1 C. ?

| OF1 | | OM | ? ?( | PF1 | | PF2 |



?x ? y ? 2 ? 0 ? 6. 如实数 x,y 满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,目标函数 z ? ax ? y 取得最小值的最优解有无穷多个, ?x ? y ? 6 ? 0 ?

1 2

D.

1 2

二、填空题:本题共 4 小题,共 20 分. 13.不等式

则a ?
A.-1 B.-3 C.1 D.3





x ( x ? 2) ? 0 的解集是 _______________________________ . x?3

2 7.过抛物线 y ? 4 x 焦点的直线交抛物线于 A , B 两点,若 AB ? 10,则 AB 的中点 P 到 y 轴的

14. 如图所示,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分 别为 67°,30°,此时气球的高度是 46 m,则河流的宽度 BC 约等于 ________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67° ≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80, 3≈1.73)

距离等于( ) A 、4 B、5 C、6 D、7 8、设 ?ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列, sin A 、 sin B 、 sin C 成等比数列,则这个三角形的 形状是( )

1 240241559.doc

15、下列命题:①命题“ ? x∈R,x +x+4≤0”的否定是“ ? x∈R, x +x+4≥0”;②“am <bm ”是“a<b”
2 2 2 2

20.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 5 ,求△ABC 面积的最大值.

的充分不必要条件;③命题“对边平行且相等的四边形是平行四边形”不是全称命题;④命题 p: ? x0∈[-1,1]满足 x 0+x0+1>a,使命题 p 为真命题的实数 a 的取值范围为 a<3. 其中正确的命
2

2c ? b cos B ? . a cos A

题有

(填序号).

16.已知 F1 , F2 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF2 与圆 a 2 b2

x2 ? y2 ? b2 相切于点 Q,且点 Q 为线段 PF2 的中点,则椭圆 C 的离心率为_____。
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 17. (本题满分 10 分)
2 已知命题 p :方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的负实根,命题 q :方程 4x 2 ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 无

实根;若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=(-1)n
-1

4n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1

18. (本题满分 12 分)

?ABC 的两个顶点 B、C 的坐标分别为 B(?3, 0), C (3, 0) ,顶点 A 到这两个定点的距离的平方和
为 24,求顶点 A 的轨迹方程。

22. (本题满分 12 分) 已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 C 的 a 2 b2
10 分别交于 M , N 3

右顶点为 B ,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线, AS , BS 与直线 l : x ? 两点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求线段 MN 的长度的最小值。

19. (本题满分 12 分) 如图所示,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= 7. (1)求 cos∠CAD 的值; 7 21 (2)若 cos∠BAD=- ,sin∠CBA= ,求 BC 的长. 14 6

2 240241559.doc

2014~2015 学年上期河南省淮阳中学富洲部高二 11 月 8 日 数学试题参考答案
一 选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 D 5 C 6 A 7 A 8 C 9 A 10 A 11 B 12 C

19.解:(1)在△ADC 中,由余弦定理,得 cos∠CAD=

AC2+AD2-CD2 , 2AC·AD

7+1-4 2 7 故由题设知,cos∠CAD= = .??????4 分 7 2 7 (2)设∠BAC=α,则 α=∠BAD-∠CAD. 2 7 7 因为 cos∠CAD= ,cos∠BAD=- , 7 14 所以 sin∠CAD= 1-cos2∠CAD= sin∠BAD= 1-cos2∠BAD= 21 2 7?2 1-? = , 7 ? 7 ?

二 填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. {x | ?3 ? x ? 0或x ? 2} 14.60; 15. ②④ 16.

1-?-

?

2 7? 3 21 = .??????8 分 14 14 ?

5 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

17.解:由命题

p 可以得到:

?? ? m 2 ? 4 ? 0 ? ?m ? 0
2

∴ m ? 2 ?????????2 分

(m - 2) - 16 ? 0 由命题 可以得到: ? ?


q

∴ ?2 ? m ? 6 ?????????4 分

p 或 q 为真, p 且 q 为假



p, q 有且仅有一个为真?????????5 分

于是 sin α =sin (∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD 3 21 2 7 ? 21 7 = × - - ?× 14 7 ? 14 ? 7 3 = . 2 BC AC 在△ABC 中,由正弦定理,得 = . sin α sin∠CBA 3 7× 2 AC·sin α 故 BC= = =3. ??????12 分 sin∠CBA 21 6 20.解:解: (1)∵

?m ? 2 ?m?6 ? m ? ?2, orm ? 6 p q 当 为真, 为假时, ? ?????????7 分 ?m ? 2 ? ?2 ? m ? 2 ? ? 2 ? m ? 6 p q ? 当 为假, 为真时, ?????????9 分
所以, m 的取值范围为 {m | m ? 6 或 ?2 ? m ? 2} .?????????10 分 18.解:设点 A 的坐标为(x,y)????1 分 由题意: | PA | ? | PB | ? 24
2 2
2 2 2 2 2 2 即: ( ( x ? 3) ? y ) ? ( ( x ? 3) ? y ) ? 24

2c ? b cos B ? ,所以(2c﹣b)cosA=acosB a cos A

由正弦定理,得(2sinC﹣sinB)cosA=sinAcosB. 整理得 2sinCcosA﹣sinBcosA=sinAcosB. ∴2sinCcosA=sin(A+B)=sinC. 在△ABC 中,sinC≠0. ∴ , .

(2)由余弦定理 cos A ? ??????????4 分
2 2

b2 ? c2 ? a2 1 ? , 2bc 2



??????????7 分 ??????????10 分
2 2

∴b +c ﹣20=bc≥2bc﹣20 ∴bc≤20,当且仅当 b=c 时取“=” . ∴三角形的面积 ∴三角形面积的最大值为 . .

化简得: x ? y ? 3
2 2

当点 A 在 x 轴上时不能形成三角形,故点 P 的轨迹方程为 x ? y ? 3( y ? 0) ?12 分 注:最后没有 y ? 0 扣 2 分。

3 240241559.doc

2×1 21.解: (1)因为 S1=a1,S2=2a1+ ×2=2a1+2, 2 4×3 S4=4a1+ ×2=4a1+12, 2 由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得 a1=1, 所以 an=2n-1. (2)由题意可知, bn=(-1)n =(-1)n =(-1)
-1

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0?????6 分 2 ? ? y ?1 ?4
设 S ( x1 , y1 ), 则 (?2), x1 ?

4k 16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 x ? 得 ,从而 y1 ? ??????7 分 1 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k

4n anan+1

即 S(

-1

4n (2n-1)(2n+1)

2 ? 8k 2 4k , ), 又 B(2, 0) 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

n-1

? 1 + 1 ?. ?2n-1 2n+1?

当 n 为偶数时, 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 1 + + 1+ ?-? + ?+?+? Tn=? - ? 3? ?3 5? ?2n-3 2n-1? ?2n-1 2n+1? 1 =1- 2n+1 = 2n . 2n+1

1 10 ? ? y ? ? ( x ? 2) ? x ? ? 10 1 ? ? 4k 3 ? N ( , ? ) ??????????9 分 由? 得? 3 3k ? x ? 10 ?y ? ? 1 ? ? 3 3k ? ?
故 | MN |?

16k 1 ? 3 3k

又 k ? 0,? | MN |? 当且仅当

当 n 为奇数时, 1? ?1 1? ? 1 + 1 ? ? 1 + 1 ? Tn=? ?1+3?-?3+5?+?- 2n-3 2n-1 + 2n-1 2n+1

16k 1 16k 1 8 ? ?2 ? ? ??????????10 分 3 3k 3 3k 3

?

? ?

?

1 =1+ 2n+1 = 2n+2 . 2n+1
n-1

16k 1 1 ? ,即 k ? 时等号成立 ??????????11 分 3 3k 4 1 8 ? k ? 时,线段 MN 的长度取最小值 ??????????12 分 4 3

2n+2 ? ?2n+1,n为奇数,? 2n+1+(-1) 所以 T =? ?或T = 2n+1 ? 2n ?2n+1,n为偶数. ?
n n

? ? ?

22.解(I)由已知得,椭圆 C 的左顶点为 A(?2, 0), 上顶点为 D(0,1),? a ? 2, b ? 1

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1??????????3 分 4

(Ⅱ)直线 AS 的斜率 k 显然存在,且 k ? 0 ,故可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 从而 M (

10 16k , ) ????????????????????4 分 3 3
4 240241559.doc


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