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【解析】山西省太原五中2013-2014学年高二2月月考(数学理)


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山西省太原五中 2013—2014 学年度第二 学期月考(2 月) 高三数学(理) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知命题 P:?x ? R, x

? 2 ? lg x ,命题 q:?x ? R, x 2 ? 0 ,则( A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? ?q 是真命题 B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? ?q 是假命题 )

2.设集合 A=B= {( x, y) x ? R, y ? R},从 A 到 B 的映射 f : ( x, y) ? ( x ? y, x ? y) 在映射下,B 中的元素 为(4,2)对应的 A 中元素为 ( A. (4,2) 【答案】D 【解析】 试题分析: ∵从 A 到 B 的映射 f : ( x, y) ? ( x ? y, x ? y) ,∴ ? ∴B 中的元素为(4,2)对应的 A 中元素为(3,1). 考点:映射. B. (1,3) ) C. (6,2) D. (3,1)

?x ? y ? 4 ?x ? 3 ,∴ ? , ?x ? y ? 2 ?y ?1

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3.已知数列 5, 11, 17, 23, 29, A.19 B.20 C.21

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, 则 5 5 是它的第( )项.
D.22

4.复数 A. i

2i ( i 是虚数单位)的虚部是( 1? i
B. ? i C.1

) D. ? 1

5.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为( ) m . A.

3

7 3

B.

9 2

C.

7 2

D.

9 4

【答案】C 【解析】 试题分析:还原的几何体如图, 这是三个半 棱长为 1 的正方体组合成的图形,则 V =
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7 3 7 ?1 = . 2 2

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考点:三视图.

6.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( A. f ? x ? ? C. f ? x ? ?



x x

B. f ? x ? ? ln D. f ? x ? ?

?

x2 ? 1 ? x

?

e x ? e? x e x ? e? x

sin 2 x 1 ? cos 2 x

【答案】B 【解析】 试题分析:通过程序框图可知,输出的函数是奇函数且有零点, 对于 A 答案:f ( x) ?

| x| | ?x | | x| ?? ? ? f ( x) , , 函数定义域为 (??,0) (0, ??) 关于原点对称,f (? x) ? x ?x x

函数为奇函数,而 f ( x) ?

| x | ? 1, x ? 0 ,与 x 轴无交点,所以无零点,所以 A 错误; ?? x ??1, x ? 0

对于 B 答案: f ( x) ? ln( x 2 ? 1 ? x) ,定义域为 R,关于原点对称,
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7.若 ? x ? A. 180

? ?

2 ? ? 展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( x2 ?
B. 120 C. 90 D. 45

n



8.在△ ABC 中,若 AB ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB ,则△ABC 是( A.等边三角形 【答案】D 【解析】 试题分析:由已知得:∵ AB ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB ,∴
2

2

)

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形

(AB ? AC) ? BC(BA ? AC) ,∴ AB ? CB ? BC ,∴ AB ? AB ? AC ? BA ? BC ? AC ? BC ,∴ AB

2

2

AB ? BC ? BC ? 0 ,∴ BC( AB ? BC) ? 0 ,
∴ BC ? AC ? 0 ,即 BC ? AC ,则 ?ABC 是直角三角形.
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2

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考点:1.向量的运算;2.垂直的充要条件.

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9.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 个单位后,得到的图像解析式为( A. y ? sin 2 x C. y ? sin( 2 x ? )

?
2

) 的部分图像如图示, 则将 y ? f ( x) 的图像向右平移

? 6

B. y ? cos 2 x

2? ) 3

D. y ? sin( 2 x ?

?
6

)

10.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,正三角形 AF1F2 的一边 AF1 与双曲线左支交于 a 2 b2


C 的离心率的值是( 点 B ,且 AF 1 ? 4BF 1 ,则双曲线
A.

3 ?1 2

B.

13 ? 1 3

C.

13 ?1 3

D.

3 ?1 2

【答案】B 【解析】

| BF1 |? 试题分析:由已知可知:点 A 在 y 轴上,设 A(0, 3c) ,∵ AF 1 ? 4BF 1 ,∴ 2c ? 4| BF1 | ,即
0 在 ?BF 1F 2 中, ?BF 1F 2 ? 60 ,由余弦定理有 | BF2 |?

c , 2

13c ,由定义有: | BF2 | ? | BF 1 |? 2a , 2

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13 1 c 4 13 ? 1 . c ? c ? 2a ,∴ e ? ? ? 2 2 a 3 13 ? 1

考点:1.双曲线的标准方程;2.余弦定理.

11.已知函数 f ( x) ? ? 值范围是( A. (1,2014) 【答案】C 【解析】 )

?sin ? x (0 ? x ? 1) ? , 若 a、b、c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 a+b+c 的取 log x x ? 1 ? ? ? 2014 ?

B. (1,2015)

C. (2,2015)

D.[2,2015]

试题分析:∵ f ( x) ? ?

?sin ? x (0 ? x ? 1) ? , ∴由图像可知: a ? b ? 1 , 1 ? c ? 2014 , log x x ? 1 ? ? ? 2014 ?

∴ 2 ? a ? b ? c ? 2015 .

考点:1.函数图象 2.函数的对称性.

3 ? ?( x ? 2) ? 2 x ? sin( x ? 2) ? 2, 12.设 x , y ? R ,且满足 ? 则x? y?( 3 ? ?( y ? 2) ? 2 y ? sin( y ? 2) ? 6,



A.1

B.2

C.3

D.4

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∴ ?1 ? t1 ? 1, 0 ? t2 ? 1 ,∴ 1 ? x ? 2 , 2 ? y ? 3 ,∴ 3 ? x ? y ? 5 ,∴ x ? y ? 4 . 考点:1.函数图象 2.三角函数的性质.

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知向量 a ? (1, ?2), b ? (2, ? ) ,且 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 ? 的取值范围是 .

14.已知数列 {an } 、 {bn } 都是等差数列, Sn 、 Tn 分别是它们的前 n 项和,且

Sn 7n ? 1 ,则 ? Tn n?3

a2 ? a5 ? a17 ? a22 的值为_______________. b8 ? b10 ? b12 ? b16

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点,则 CP+PA1 的最小值为___________

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0

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15.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角形。∠ACB=90 ,AC=6,BC=CC1= 2 ,P 是 BC1 上一动

3 2 16.已知 a ? 0 ,函数 f(x) ? x ? ax ? bx ? c 在区间 [?2, 2] 单调递减,则 4a ? b 的最大值为

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)已知等比数 列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a3 ? 18 ,等差数列 ?bn ? 中, b1 ? 2 ,且

a1 ? a 2 ? a 3 ? b 1? b 2? b 3? b 4? 20 .
⑴求数列 ?an ? 的通项公式 an ; ⑵求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

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世纪金榜 圆您梦想 3 2 1 【答案】 (1) an ? 2 ? 3n?1 ; (2) S n ? n ? n . 2 2
【解析】

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试题分析:本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式、等差数列的前 n 项和公式等数学知识,考查学 生熟练运用数学公式的能力和计算能力.第一问,利用等比数列的通项公式将 a3 展开,求出 q ,但是得到 2 个值,利用 a1 ? a2 ? a3 ? 20 验证,把不符合题意的情况舍掉,得到 q ? 3 ,写出等比数列 {an } 的通项公 式;

18.(本小题满分 12 分)某数学老师对本校 2013 届高三学生的高考数学成绩按 1:200 进行分层抽样抽取 了 20 名学生的成绩,并用茎叶图记录分数如图所示,但部分数据不小心丢失,同时得到如下所示的频率 分布表: 分数段(分) 频数 频率 a 0.25 [50,70) [70,90 ) [90,110) [110,130) b [130,150) 总计

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(1)求表中 a,b 的值及分数在[90,100)范围内的学生人数,并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率 (分数在[90,150)内为及格) : (2)从成绩在[100, 130)范围内的学生中随机选 4 人,设其中成绩在[100,11 0)内的人数为 X,求 X 的分 布列及数学期望. 【答案】 (1) a ? 0.1 , b ? 3 ,[90,100)范围内的学生人数为 4,及格率为 65% ; (2)分布列详见解析,

Ex ?

16 . 7

(2)由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有 7 人,分数在[100,110)范围内的有 4 人,则随机变量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 1,2,3,4. 相 应 的 概 率 为 : P(X=1)=
1 3 C4 C3 4 = 4 35 C7

; P(X=2)=

2 2 C4 C3 18 = 35 C74



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3 1 4 0 C4 C3 12 C4 C3 1 P(X=3)= = ;P(X=4)= = . 4 35 35 C7 C74

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随机变量 X 的分布列为 X P E(X)=1× 1 2 3 4

4 35
4 18 12 1 16 +2× +3× +4× = 35 35 35 35 7

18 35

12 35

1 35

考点:1.茎叶图;2.频率;3.随机变量的分布列和数学期望.

19.(本小题满分 12 分) 如图 1,等腰梯形 ABCD 中, AD // BC, AB ? AD, ?ABC ? 60?, E 是 BC 的 中点,如图 2,将 ?ABE 沿 AE 折起,使面 BAE ? 面 AECD ,连接 BC, BD , P 是棱 BC 上的动点. (1)求证: AE ? BD (2)若 AB ? 2, 当

BP 为何值时,二面角 P ? ED ? C 的大小为 45 ? BC

【答案】 (1)证明过程详见解析; (2)

BP 3 ? . BC 5

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由题 ?ABE , ?ADE , ?CDE 均为正三角形,∴ BO ? AE , OD ? AE ,∵ BO 面 BOD ,∴ AE ? BD . (2) ∵平面 ABE ? 平面 AECD , BO ? AE ,平面 ABE

DO ? O ,∴ AE ? 平

平面 AECD ? AE ,∴ BO ? 平面 AECD ,

? BO ? DO,? OD ? AE ,所以如图建立空间直角坐标系 O ? xyz

AB=2,则 BO ? DO ?

3 , B(0,0, 3 ), D(0,

3 ,0) E(1,0,0),

C(2,

3 ,0)

BC ? (2, 3 , ? 3 ), ED ? (?1, 3,0) , EB ? (?1,0, 3)
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BP ? m , OP ? OB ? BP ? OB ? mBC ? (0,0, 3) ? m(2, 3,? 3) ? (2m, 3m, 3 ? 3m) BC

EP ? (2m ? 1, 3m, 3 ? 3m) 设平面 PDE 的法向量为 n ? (x, y, z) ,

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 4 ,且点 ?1 , 上. (1)求椭圆 C 的方程;

? ? ?

3? ? 在椭圆 C 2 ? ?

(2)设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点,过 P 作方向向量 d ? (2 , 1) 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,求 证: | PA | ? | PB | 为定值.
2 2

?

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(2)设 P(m , 0) ( ? 2 ? m ? 2 ) ,由已知,直线 l 的方程是 y ?

x?m , 2

1 ? y ? ( x ? m) , ? ? 2 由? 2 ? 2 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 (*) ?x ? y2 ? 1 , ? ?4
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 、 x2 是方程(*)的两个根,

m2 ? 4 所以有, x2 ? x2 ? m , x1 x 2 ? , 2
所以, | PA | ? | PB | ? ( x1 ? m) ? y1 ? ( x2 ? m) ? y2
2 2 2 2 2 2

1 1 5 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x 2 ? m) 2 ? ( x 2 ? m) 2 ? [( x1 ? m) 2 ? ( x 2 ? m) 2 ] 4 4 4 5 5 2 ? [ x12 ? x 2 ? 2m( x1 ? x 2 ) ? 2m 2 ] ? [( x1 ? x 2 ) 2 ? 2m( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? 2m 2 ] 4 4

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5 ? [m 2 ? 2m 2 ? (m 2 ? 4) ? 2m 2 ] ? 5 (定值) . 4
所以, | PA | ? | PB | 为定值.
2 2

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考点:1.椭圆的标准方程;2.直线与椭圆的位置关系;3.韦达定理;4.两点间距离公式.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ln x . (I)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (II)若 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? 6 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (III)过点 A(?e?2 ,0) 作函数 y ? f ( x) 图像的切线,求切线方程

试题解析: (Ⅰ)

f '( x) ? ln x ? 1 ? f '( x) ? 0 得 ln x ? ?1

?0 ? x ?

1 1 ? 函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ) ; e e

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请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E、D,连结 EC、CD. (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 tan∠CED=

1 ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

【答案】 (1)证明过程详见解析; (2) OA ? 5 . 【解析】 试题分析:本题主要以圆为几何背景,考查三角形中边和角的关系、相似三角形问题等数学知识,考查学

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23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 3 x ? 2? t ? ? 2 在直角坐标系中, 参数方程为 ? 的直线 l , 被以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴, (t为参数) ?y ? 1 t ? 2 ?
极坐标方程为 ? ? 2 cos? 的曲线 C 所截,求截得的弦长.

24. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? a | (a ? 4) (1)若 f ( x ) 的最小值为 3,求 a 的值;
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(2)求不等式 f ( x) ? 3 ? x 的解集. 【答案】 (1) a ? 1 ; (2)R. 【解析】

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⑵不等式 f ( x) ? 3 ? x 即不等式 x ? 4 ? x ? a ? 3 ? x (a ? 4) , ①当 x ? a 时,原不等式可化为 4 ? x ? a ? x ? 3 ? x, 即 x ? a ? 1. 所以,当 x ? a 时,原不等式成立. ②当 a ? x ? 4 时,原不等式可化为 4 ? x ? x ? a ? 3 ? x. 即 x ? a ? 1. 所以,当 a ? x ? 4 时,原不等式成立. ③当 x ? 4 时,原不等式可化为 x ? 4 ? x ? a ? 3 ? x. 即x?

a?7 a?7 , 由于 a ? 4 时 4 ? . 3 3

所以,当 x ? 4 时,原不等式成立. 综合①②③可知: 不等式 f ( x) ? 3 ? x 的解集为 R. 考点:1.不等式的性质;2.绝对值不等式的解法.

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