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2016届高三理科数学试题(36)


2016 届高三理科数学试题(36)
第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 设集合 A ? {x | 2 x ? 2 ? 1}, B ? {x |1 ? x ? 0} ,则 A ? B 等于 A A. {x | x ? 1} 2. 若复数 Z ? C A. (0,2) B. (0

,3i ) C. (0,3) D. (0, 2i ) B. {x | 1 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | 0 ? x ? 1}

a ? 3i (a ? R , i 是虚数单位)是纯虚数,则在复平面内 Z 对应点的坐标为 1 ? 2i

3. 下列命题正确的是 D A.已知 p :

1 1 ? 0, 则?p : ?0 x ?1 x ?1 ;

B.存在实数 x ? R ,使 sin x ? cos x ?

?
2

成立;

2 2 C.命题 p :对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p :对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;

D.若 p 或 q 为假命题,则 p , q 均为假命题 4. 把函数 y ? sin( x ?

?

6 ? 向右平移 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为 D 3 ? ? ? ? A. x ? B. x ? ? C. x ? D. x ? ? 8 4 4 2
5. 某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于 C A.10 4 B.15 3 C.20 D.30

) 图象上各点的横坐标缩短到原来的

1 倍(纵坐标不变) ,再将图象 2

5

6. 执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 C A.3 B. -6 C. 10 D. 12
1

7. V ABC 中,点 D 在 AB 上, CD 平方 ?ACB .若 CB ? a , CA ? b , a ? 1 , b ? 2 , 则 CD ? A

uur

r

uur

r

r

r

uuu r

B B

1r 2r a? b 3 3

2r 1r a? b 3 3

C

3r 4r a? b 5 5

D

4r 3r a? b 5 5


8. 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,若棱 AB 上存在点 P,使得 则 AD 的取值范围是( )C

A.

B.

C.

D.

9.若点(4,tanθ)在函数 y=log2x 的图像上,则 2cos2θ=

A

A.

2 5

B.

1 5

C.

1 2

D.

3 5

10. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,若 f(﹣1)>﹣2,f(﹣7) = A. ,则实数 a 的取值范围为 D B. (﹣2,1) C. D.

11.若曲线 y= A.﹣2

与曲线 y=alnx 在它们的公共点 P(s,t)处具有公共切线,则实数 a= C B. C. 1 D.2

12. 已知椭圆

(a>b>0)的半焦距为 c(c>0) ,左焦点为 F,右顶点为 A,抛物

线 D A.

与椭圆交于 B、C 两点,若四边形 ABFC 是菱形,则椭圆的离心率是

B.

C.

D.

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答,第(22)题~第(24)题为选考题,考试根据要求做答。
2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 在(1+x)6(1+y)4 的展开式中,xy2 项的系数是 14. 已知函数 f ( x) ? ?

. 36 0

? f ( x ? 2), x ? 0
?x ?3 ? 1, x ? 0

,则 f(2016)=

15. 在平面直角坐标系中,已知点 P(4,0) ,Q(0,4) ,M,N 分别是 x 轴和 y 轴上的动 点,若以 MN 为直径的圆 C 与直线 PQ 相切,当圆 C 的面积最小时,在四边形 MPQN 内任 取一点,则这点落在圆 C 内的概率是 . .

16. 在△ABC 中, 若 (sinA+sinB):(sinA+sinC):(sinB+sinC)=4:5:6 , 且该三角形的面积为

15 3 ,则△ABC 的最大边长等于 14

.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 (an?1 ? 1)(an ? 1) ? 3(an ? an?1 ) , a1 ? 2 ,令 bn ? (Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; (II)求数列 {bn ? 3n } 的前 n 项和 Sn . 解:(Ⅰ) (an?1 ? 1)(an ? 1) ? 3?(an ? 1) ? (an?1 ? 1)? ,

1 . an ? 1

?

1 a n?1 ? 1

?

1 2 1 1 1 ? ,即 bn ?1 ? bn ? ,? bn ? n ? .………6 分 3 3 3 an ? 1 3

(II)?bn ? 3n ? (n ? 2) ? 3n?1 ,

Sn ? 5 ? 30 ? 7 ? 3 ? 9 ? 32 ? ??? ?3n ? 2? ? 3n?1 ----(1) 3Sn ? 5 ? 31 ? 7 ? 32 ? 9 ? 33 ? ??? ?3n ? 2? ? 3n ----(2)
2 n ?1 ? ? 3n ? 2 ? ? 3n (1)—(2)得: ?2 Sn ? 5 ? 2 3 ? 3 ? ?? 3

?

?

? Sn ?

3 ? 3n ? 3n 5 ? . 2 2

18.(本小题满分 12 分)某电子广告牌连续播出四个广告,假设每个广告所需的时间互相独 立,且都是整数分钟,经统计,以往播出 100 次所需的时间(t)的情况如下: 类别 广告次数 时间 (分钟/人) t 1 号广告 20 2 2 号广告 30 3 3 号广告 40 4 4 号广告 10 6

每次随机播出,若将频率视为概率.
3

(Ⅰ)求恰好在第 6 分钟后开始播出第 3 号广告的概率; (II)用 X 表示至第 4 分钟末已完整播出广告的次数,求 x 的分布列及数学期望. 解:(Ⅰ)由条件知 PA ?
3

2 3 4 1 , PB ? , PC ? , PD ? . 10 10 10 10
2

1 219 ?2? ? 3? 1 2 4 . P ? ? ? ? ? ? ? C2 ? ? 10 10 10 500 ? 10 ? ? 10 ?
(II) ? ? 0,1,2

?

0

1

2

1 10 1 79 20 119 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2? ? . 10 100 100 100

P

79 100

4 100

19.(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形,AD // BC ,AB ? BC 侧面 PAB ? 底面 ABCD , PA ? AD ? AB ? 2 , BC ? 4 , ?PAB ? 600 (I)若 PB 中点为.求证: AE//平面PCD ;
A P

(II)若,求直线 BD 与平面 PCD 所成角的正弦值. (I)证明:取 PC 的中点,连结 DF , EF
B

D

C

? EF //AD ,且 AD ? EF ,所以 ADFE 为平行四边形. ? AE //DF ,且 AE 不在平面 PCD 内, DF 在平面 PCD 内,
所以 AE //平面PCD (II)直线 BD 与平面 PCD 所成角 ? 的正弦值 sin ? ?

10 . 5

20.(本小题满分 12 分) 定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的. 如图,椭圆 C1 与椭圆 C2 是 相似的两个椭圆, 并且相交于上下两个顶点.椭圆 C1: 的长轴长是 4,椭圆 C2:

短轴长是 1,点 F1, F2 分别是椭圆 C1 的左焦点与右焦点, (Ⅰ)求椭圆 C1,C2 的方程;
4

(Ⅱ)过 F1 的直线交椭圆 C2 于点 M,N,求△F2MN 面积的最大值.

解: (Ⅰ)设椭圆 C1 的半焦距为 c,椭圆 C2 的半焦距为 c'.由已知 a=2,b=m, ∵椭圆 C1 与椭圆 C2 的离心率相等,即 ,





,即 ,即 bm=b2=an=1,∴b=m=1, ,椭圆 C2 的方程是 ;…………5 分 . ,



∴椭圆 C1 的方程是

(Ⅱ)显然直线的斜率不为 0,故可设直线的方程为: 联立: ,得 ,即

∴△=192m2﹣44(1+4m2)=16m2﹣44>0,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则 , ,∴ ,

△F2MN 的高即为点 F2 到直线

的距离



∴△F2MN 的面积

,……10 分





当且仅当

,即

时,等号成立



,即△F2MN 的面积的最大值为 .…………12 分

21. (本小题满分 12 分)
5

已知函数 f ? x ? ? a ln x ? x2 ?1 (Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ? x ? ? b ? x ?1? 在 ? , ?? ? 上恒成立, 其中 a , b 为实数, 求a的 取值范围. 解: (Ⅰ)求导 f
'

?

?

?1 ?e

? ?

? x? ?

a ? 2 x ,? f ' ?1? ? a ? 2 又 f ?1? ? 0 , 所以曲线 y ? f ? x ? 在 x

点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? ? a ? 2?? x ?1? 即 ? a ? 2? x ? y ? a ? 2 ? 0 …………4 分 (Ⅱ) 设 g ? x ? ? f ? x ? ? b ? x ?1? 即 g ? x ? ? 0 在 ? , ?? ? 上恒成立, 又 g ?1? ? 0 有 g ? x ? ? g ?1? 恒成立 即 x ? 1 处取得极小值,得 g ' ?1? ? a ? 2 ? b ? 0 …6 分

?

?

?1 ?e

? ?

所以 b ? a ? 2 ,

a? ? 2 ? x ? 1? ? x ? ? 2? ? ' 从而 g ? x ? ? x

(ⅰ)当 即a ?

a 1 ?1 ? ? 时, g ? x ? 在 ? ,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增,所以 g ? x ? ? g ?1? 2 e ?e ?

2 …………8 分 e 1 a ?1 a? ?a ? ? ? 1时, g ? x ? 在 ? , ? 上单调递增,在 ? ,1? 单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调 e 2 ?e 2? ?2 ?

(ⅱ) 递增,

则只需 g ? ? ? ? (ⅲ)当

?1? ?e?

2 1 a 1 2 ? 2 ? ? 1 ? 0 , 解得 ? a ? e ? ? 2 …………10 分 e e e e e

a ?1 ? ? a? ? 1 时, , g ? x ? 在 ? ,1? 上单调递增,?1, ? 单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增, 2 ?e ? ? 2?

由g?

?a? ? ? g ?1? ? 0 知不符合题意, ?2?
1 ? 2 …………12 分 e

.综上, a 的取值范围是 a ? e ?

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 已知 AB 为⊙O 的直径, CE⊥AB 于点 H, 与⊙O 交于点 C、 D, 且 AB=10, CD=8, DE=4, EF 与⊙O 切于点 F,BF 与 HD 交于点 G. (Ⅰ)证明:EF=EG;
6

(Ⅱ)求 GH 的长.

(Ⅰ)证明:连接 AF、OE、OF,则 A,F,G,H 四点共圆 由 EF 是切线知 OF⊥EF,∠BAF=∠EFG ∵CE⊥AB 于点 H,AF⊥BF, ∴∠FGE=∠BAF ∴∠FGE=∠EFG, ∴EF=EG………………5 分 (Ⅱ)解:∵OE2=OH2+HE2=OF2+EF2, ∴EF2=OH2+HE2﹣OF2=48, ∴EF=EG=4 , ∴GH=EH﹣EG=8﹣4 ………………10 分 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中, 直线 l 的极坐标方程为 ? ?

?

? ? x ? 2 cos ? ( ? ? R ) ,曲线 C 的参数方程为 ? . 4 ? ? y ? sin ?
8 ,求点 M 轨 3

(Ⅰ)写出直线 l 及曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)过点 M 平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 A, B 两点,若 MA ? MB ? 迹的直角坐标方程.

解: (Ⅰ)直线 l : y ? x ,

曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 ……………………4 分 2

? ? x ? x0 ? ? (Ⅱ)设点 M ? x0 , y0 ? 及过点 M 的直线为 l1 : ? ?y ? y ? 0 ? ?
由直线 l1 与曲线 C 相交可得:

2t 2 2t 2

3t 2 ? 2tx0 ? 2 2ty0 ? x0 2 ? 2 y0 2 ? 2 ? 0 2

7

x 2 ? 2 y0 2 ? 2 8 8 MA ? MB ? ? 0 ? ,即: x02 ? 2 y02 ? 6 3 3 3 2

x2 ? 2 y 2 ? 6 表示一椭圆……………………8 分
取 y ? x ? m 代入

x2 ? y 2 ? 1得: 3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0 2

由? ? 0得? 3 ? m ? 3 故点 M 的轨迹是椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 6 夹在平行直线 y ? x ? 3 之间的两段椭圆弧……10 分 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5: 不等式选讲已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 3 , g ( x) ? x ?1 ? 2 . (Ⅰ)解不等式: g ( x) ? 5 ; (Ⅱ)若对任意的 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

解:(Ⅰ)由 x ? 1 ? 2 ? 5 得 ?5 ? x ?1 ? 2 ? 5

??7 ? x ?1 ? 3

得不等式的解为 ?2 ? x ? 4 ……………………5 分

(Ⅱ)因为任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 所以 { y | y ? f ( x)} ? { y | y ? g ( x)} , 又 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 3 ?| (2x ? a) ? (2x ? 3) |?| a ? 3| ,

g ( x) ?| x ? 1| ?2 ? 2 ,所以 | a ? 3 |? 2 ,解得 a ? ?1 或 a ? ?5 ,
所以实数 a 的取值范围为 a ? ?1 或 a ? ?5 .……………………10 分

8


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