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高一新生分班考试数学试卷(含答案)


高一新生分班考试数学试卷(含答案)
(满分 150 分,考试时间 120 分钟) 题号 得分 一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1.化简 ? a a A. a
2







总分

?
B. ? a C. a D. a
2<

br />




x2 ? x ? 2 2.分式 的值为 0,则 x 的值为 | x | ?1





A. ? 1或2 B.2 C. ? 1 D. ? 2 3.如图,在四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 的中点。若 EF=2,BC=5,CD=3, 则 tan C 等于 ( ) A.

4 3
0

B.

3 5
0

C.

3 4
0

D.

4 5

0

4.如图,PA、PB 是⊙O 切线,A、B 为切点,AC 是直径,∠P= 40° ,则∠BAC=( A. 40 B. 80 C. 20
A

D. 10
A

D

P B

O C
B E

F

C

(3 题图)

(4 题图)

(6 题图)

5.在两个袋内,分别装着写有 1、2、3、4 四个数字的 4 张卡片,今从每个袋中各任取一 张卡片,则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是 ( ) A.

1 2

B.

5 16

C.

7 16

D.

3 4

6.如图,矩形纸片 ABCD 中,已知 AD =8,折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合,点 B 落 在点 F 处,折痕为 AE,且 EF=3,则 AB 的长为 ( ) A. 6 B .4 C .5 A D D. 3 7.如图,正方形 ABCD 的边长为 4,P 为正方形边上一动点,运动
数学试卷 第1页 (共 12 页)
B C P

路线是 A→D→C→B→A,设 P 点经过的路程为 x,以点 A、P、D 为顶点的三角形的面积是 y. 则 下 列 图 象 能 大 致 反 映 y 与 x 的 函 数 关 系 的 是 ( )
y 8 O 8 x O y 8 O y 8 O y

4 A

12 16

4

8 12 16 B

x

8 C

16

x

4 D

16

x

8.若直角坐标系内两点 P、Q 满足条件①P、Q 都在函数 y 的图象上②P、Q 关于原点对称, 则称点对(P,Q)是函数 y 的一个“友好点对” (点对(P,Q)与(Q,P)看作同一个“友

?2 x 2 ? 4 x ? 1,x ? 0 ? 好点对” ) 。已知函数 y ? ? 1 ,则函数 y 的“友好点对”有( , x ? 0 ? ? 2x
A.0 B.1 C. 2 D.3

)个

注意:请将选择题的答案填入表格中。
题号 答案 二、填空题(每题 5 分,共 50 分) 9. 已知 a、 b 是一元二次方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的两个实数根, 则代数式 ? a ? b ?? a ? b ? 2? ? ab 的值等于 10.有一个六个面分别标上数字 1、2、3、4、5、6 的正方体,甲、乙、丙三位同学从不 同的角度观察的结果如图所示.如果记 2 的对面的数字为 m,3 的对面的数字为 n,则方 程 m x ?1 ? n 的解 x 满足 k ? x ? k ? 1 , k 为整数,则 k ? E 6 2 甲 1 2 3 乙 10 题图 1 2 5 丙 3 B 11 题图 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 评卷人

A

D F C

11.如图,直角梯形纸片 ABCD 中,AD//BC,∠A=90?,∠C=30?.折叠纸片使 BC 经过 点 D,点 C 落在点 E 处,BF 是折痕,且 BF=CF=8,则 AB 的长为

数学试卷

第2页

(共 12 页)

12.记函数 y 在 x 处的值为 f ( x ) (如函数 y ? x2 也可记为 f ( x) ? x2 ,当 x ? 1 时的函数 值可记为 f (1) ? 1 ) 。已知 f ( x) ?

x ,若 a ? b ? c 且 a ? b ? c ? 0 , b ? 0 ,则 | x|

f (a) ? f (b) ? f (c) 的所有可能值为
13.有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为 2,且该塔形的表面积 (含最底层正方体的底面面积)超过 39,则该塔形中正方体的个数至少是 A1 C1
B1

M
A
B

C

13题图

14题图

15题图

16题图

14. 如图, 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 底面 AB ? 1, BC ? 2 , 三个侧面都是矩形,AA 1 ?3

M 为线段 BB1 上的一动点,则当 AM ? MC1 最小时, BM =
15.如图,AB 是半圆 O 的直径,四边形 CDMN 和 DEFG 都是正方形,其中 C,D,E 在 AB 上,F,N 在半圆上。若 AB=10,则正方形 CDMN 的面积与正方形 DEFG 的面积之和 是 16.如图,CD 为直角Δ ABC 斜边 AB 上的高,BC 长度为 1,DE⊥AC。设Δ ADE,Δ CDB,Δ ABC 的周长分别是 p1 , p2 , p 。当

p1 ? p2 取最大值时,AB= p

17. 如图放置的等腰直角 ? ABC 薄片( ?ACB ? 900 , AC ? 2 )沿 x 轴滚动,点 A 的运动 轨迹曲线与 x 轴有交点,则在两个相邻交点间点 A 的轨迹曲线与 x 轴围成图形面积为 ___ 18. 如图是一个数表,第 1 行依次写着从小到大的正整数,然后把每行相邻的两个数的和 写在这两数正中间的下方,得到下一行,数表从上到下与从左到右均为无限项,则这个数 y 表中的第 11 行第 7 个数为 (用具体数字作答)
1 3 8 2 5 3 7 4 9 5 6 7… 11 13…

A

B

12 16 20 24… 20 28 36 44… 48 64 80… 数学试卷 第3页 (共 12 页)

o

C

x

17题图

注意:请将填空题的答案填在下面的横线上。 9. 11. 13. 16. _ 10. 12. _ 14. 17. _ _ _15. 18. _ _

得分

评卷人

_

三、解答题(共 60 分) 19. (本小题满分 12 分)如图,抛物线 y ? ?

5 2 17 x ? x ? 1 与 y 轴交于 A 点,过点 A 的 4 4

直线与抛物线交于另一点 B,过点 B 作 BC⊥x 轴,垂足为点 C(3,0). (1)求直线 AB 的函数关系式; (2)动点 P 在线段 OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向 C 移动,过点 P 作 PN⊥x 轴,交直线 AB 于点 M,交抛物线于点 N。设点 P 移动的时间为 t 秒,MN 的长度为 s 个单 位,求 s 与 t 的函数关系式,并写出 t 的取值范围; (3)设在(2)的条件下(不考虑点 P 与点 O,点 C 重合的情况) ,连接 CM,BN,当 t 为何值时, 四边形 BCMN 为平行四边形?问对于所求的 t 值, 平行四边形 BCMN 能否为菱 y 形?请说明理由. N B M A O P C x

数学试卷

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(共 12 页)

20. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ,若自变量 x 取值范围内存在 x0 ,使 f ( x0 ) ? x0 成
立,则称以 ( x0 , x0 ) 为坐标的点为函数 f ( x ) 图像上的不动点。 ( f ( x) 的定义见第 题 ) .....12 . . . (1)若函数 f ( x ) ?

3x ? a 有两个关于原点对称的不动点,求 a,b 应满足的条件; x?b

(2)在(1)的条件下,若 a=2,直线 l : y ? (1 ? a) x ? b ? 1 与 y 轴、x 轴分别相交于 A、 B 两点,在 y ?

b 的图象上取一点 P(P 点的横坐标大于 2),过 P 作 PQ⊥x 轴,垂足是 Q, x

若四边形 ABQP 的面积等于 2,求 P 点的坐标 (3)定义在实数集上的函数 f ( x) ,对任意的 x 有 f (? x) ? ? f ( x) 恒成立。下述命题“若 函数 f ( x) 的图像上存在有限个不动点,则不动点有奇数个”是否正确?若正确,给予证 明;若不正确,举反例说明。

y

A

P B

O

Q

x

数学试卷

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4 3 21. (本小题满分 12 分)已知圆 O 圆心为坐标原点,半径为 ,直线 l : y ? ( x ? 4) 3 3
交 x 轴负半轴于 A 点,交 y 轴正半轴于 B 点 (1)求 ?BAO

l (2)设圆 O 与 x 轴的两交点是 F1 , F2 ,若从 F 1 发出的光线经 上的点 M 反射后过点 F2 ,
求光线从 F1 射出经反射到 F2 经过的路程 (3)点 P 是 x 轴负半轴上一点,从点 P 发出的光线经 l 反射后与圆 O 相切.若光线从射 出经反射到相切经过的路程最短,求点 P 的坐标

y B M

y

l

B

l

A

F1

O

F2

x

A

P F1

O

F2

x

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(共 12 页)

22. (本小题满分 12 分)
在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有 2009 根.现将它们堆放在一起. (1)若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多 1 根),并使剩余的圆钢尽可 能地少,则剩余了多少根圆钢? (2)若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多 1 根),且不少于七层, (Ⅰ)共有几种不同的方案? (Ⅱ)已知每根圆钢的直径为 10cm ,为考虑安全隐患,堆放高度不得高于 4 m ,则选择哪 个方案,最能节省堆放场地?

图( 1 )

图( 2)

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23. (本小题满分 12 分)
试求出所有正整数 a 使得关于 x 的二次方程 ax2 ? 2(2a ?1) x ? 4(a ? 3) ? 0 至少有一个整 数根.

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数学试卷答案
一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 C 5 D 6 A 7 B 8 C

三、填空题(每题 5 分,共 50 分) ? 1 10. 9. 0 11. 14. 1 15. 25 16.

6 2

12. 17.

1 或-1

13. 18.

6 12288

4? ? 2

三、解答题(共 60 分) 19.解: (1)易知 A(0,1),B(3,2.5),可得直线 AB 的解析式为 y= (2) s ? MN ? NP ? MP ? ?

1 x ? 1 ????? 3 分 2

5 2 17 1 t ? t ? 1 ? ( t ? 1) 4 4 2
??????6 分

5 15 ? ? t2 ? t 4 4

(0 ? t ? 3)

(3)若四边形 BCMN 为平行四边形,则有 MN=BC,此时,有

5 15 5 ? t 2 ? t ? ,解得 t1 ? 1 , t 2 ? 2 4 4 2
所以当 t=1 或 2 时,四边形 BCMN 为平行四边形. ① 当 t=1 时 , MP ? ??????8 分

3 5 , NP ? 4 , 故 MN ? NP ? MP ? , 又 在 Rt △ MPC 中 , 2 2 5 MC ? MP 2 ? PC 2 ? ,故 MN=MC,此时四边形 BCMN 为菱形 ????10 分 2 9 5 ② 当 t=2 时 , MP ? 2 , NP ? , 故 MN ? NP ? MP ? , 又 在 Rt △ MPC 中 , 2 2

MC ? MP2 ? PC 2 ? 5 ,故 MN≠MC,此时四边形 BCMN 不是菱形. ????12 分
20.解: (1)由题得
2

3x ? a ? x 有两个互为相反数的根 x0 , ? x0 ( x0 ? 0) x?b

即 x ? (b ? 3) x ? a ? 0( x ? ?b) 有两个互为相反数的根 x0 , ? x0 ??1 分
2 ? ? x0 ? (b ? 3) x0 ? a ? 0 根带入得 ? 2 ,两式相减得 2(b ? 3) x0 ? 0 ,? b ? 3 ? ? x0 ? (b ? 3)(? x 0 ) ? a ? 0

??3 分

方程变为 x ? a ? 0( x ? ?3)
2

? a ? 0且a ? 9
数学试卷 第9页 (共 12 页)

????4 分

(2)由(1)得 a ? 2, b ? 3 ,所以 l : y ? ? x ? 2 ,即 A(0,2) B(2,0) 设y?

??5 分

3 3 上任意一点 P(t , )( t ? 2) ,所以 Q(t ,0)(t ? 2) ??6 分 t x 1 3 1 5 又因为 S四边形AOQP - S ?AOB ? 2 ,所以 (2 ? )t ? ? 2 ? 2 ? 2 ? t ? ??8 分 2 t 2 2 5 6 ? P( , ) ????????9 分 2 5
(3)正确 ①在 f (? x) ? ? f ( x) 令 x ? 0 得 f (0) ? ? f (0) 所以 f (0) ? 0 所以 (0,0) 为函数的不动点 ②设 ( x0 , x0 ) 为函数 f ( x ) 图像上的不动点,则 f ( x0 ) ? x0 所以 f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) ? ? x0 , 所以 (? x0 ,? x0 ) 也为函数 f ( x ) 图像上的不动点 ????????12 分 ????????10 分

21.解: (1)由题|OA|=4,|OB|=

4 3 3 0 ,所以 tan?BAO ? ,所以 ?BAO ? 30 2 分 3 3
0

/ (2)如图(1)由对称性可知,点 F1 关于 l 的对称点 F 1 在过点 A ? ?4,0 ? 且倾斜角为 60 的
/ ' 0 / 直线 l 上在 ?AF2 F 1 AO ? 60 , AF1 ? AF1 ? AO ? F1O ? 1 中, ?F

'

8 16 , AF2 ? 3 3

/ 所以 ?AF2 F 1 射出经反射到 F2 经过的路 1 F2 ? 90 。所以光线从 F 1 为直角三角形, ?AF

'

0

程为 F1 M ? MF2 ? F1 M ? MF2 ? F1 F2 ?
' '

8 3 3
'

??????????

6分
0

(2)如图(2)由对称性可知,点 P 关于 l 的对称点 P 在过点 A ? ?4,0? 且倾斜角为 60 的 直线 l 上
/

PM ? MQ ? P ' M ? MQ ? P 'Q ,所以路程最短即为 l / 上点 P / 到切点 Q 的切线长最短。
连接 OQ, OP ,在 Rt?OQP 中,只要 OP 最短,
'
'

'

数学试卷

第 10 页

(共 12 页)

由几何知识可知,P 应为过原点 O 且与 l 垂直的直线与 l 的交点, 这一点又与点 P 关于 l 对称,∴ AP ? AP ? AO cos60 ? 2 ,故点 P 的坐标为 ? ?2,0 ?
' 0

/

/

/

?????

12 分

y

y B

F1'
M

l

P'

B

l

M

Q
O

A

F1

O

F2

x

A

P F1

F2

x

图( 1 )
22.解:(1) 设纵断面层数为 n ,则 1 ? 2 ? 3 ? ......? n ? 2009

图(2)

n( n ? 1) ? 2009 , n 2 ? n ? 4018? 0 ,经带入 n ? 62 满足不等式, n ? 63 不满足 2 当 n ? 62 时,剩余的圆钢最少 ………………………2 分 62 (62 ? 1) ? 56 ; 此时剩余的圆钢为 2009 ? ………………………4 分 2
即 (2) 当纵断面为等腰梯形时,设共堆放 n 层,第一层圆钢根数为 x ,则由题意得:

x ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? .....? ( x ? n ? 1) ? 2009,化简得 nx ?
即 n(2 x ? n ? 1) ? 2 ? 2009 ? 2 ? 7 ? 7 ? 41,

1 n(n ? 1) ? 2009 , 2
……………………6 分

因 n ? 1 与 n 的奇偶性不同,所以 2 x ? n ? 1 与 n 的奇偶性也不同,且 n ? 2 x ? n ? 1 ,从而 由 上 述 等 式 得 : ?

?n ? 7 ?n ? 14 ?n ? 41 或 ? 或 ? 或 ?2 x ? n ? 1 ? 574 ?2 x ? n ? 1 ? 287 ?2 x ? n ? 1 ? 98
-----------------------------8 分

?n ? 49 ,所以共有 4 种方案可供选择。 ? ?2 x ? n ? 1 ? 82

(3) 因层数越多,最下层堆放得越少,占用面积也越少,所以由(2)可知: 若 n ? 41 , 则 x ? 29 , 说明最上层有 29 根圆钢, 最下层有 69 根圆钢, 两腰之长为 400 cm, 上下底之长为 280 cm 和 680cm,从而梯形之高为 200 3 cm,

数学试卷

第 11 页

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而 200 3 ? 10 ? 400,所以符合条件;

………………10 分

若 n ? 49 , 则 x ? 17 , 说明最上层有 17 根圆钢, 最下层有 65 根圆钢, 两腰之长为 480 cm, 上下底之长为 160 cm 和 640cm,从而梯形之高为 240 3 cm, 显然大于 4m,不合条件,舍去; 综上所述,选择堆放 41 层这个方案,最能节省堆放场地 23.解:原方程可化为 ( x ? 2) 2 a ? 2 x ? 12,易知 x ? ?2 ,此时 a ? ………………12 分

2 x ? 12 ( x ? 2) 2

??2 分

因为 a 是正整数,即

2 x ? 12 ? 1 为正整数。又 ( x ? 2) 2 ? 0 ,则 ( x ? 2) 2 ? 2x ? 12 ( x ? 2) 2

2 即 x ? 2 x ? 8 ? 0 ,解得 ? 4 ? x ? 2 。

因为 x ? ?2 且 x 是整数,故 x 只能取-4,-3,-1,0,1,2, 依次带入 a 的表达式得 ?

……………………??6 分

? x ? ?4 ?a ? 1

? x ? ?3 ? ?a ? 6

? x ? ?1 ? ?a ? 10

?x ? 0 ? ?a ? 3

?x ? 1 ? 14 ? a? ? 9 ?

?x ? 2 ? ?a ? 1
……………………??12 分

从而满足题意的正整数 a 的值有 4 个,分别为 1, 3 ,6,10

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