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7.2.2单位圆与三角函数线


单位圆与正弦余弦线

复习提问: 任意角?的三角函数值的定义: y 正弦 sin ? ? r x 余弦 cos? ? r y 正切 tan ? ? x

一.单位圆
我们把半径为1的圆叫单位圆。 y y ? sin ? ? ? P(x,y) 1 r 1
? x y

? y ? sin ?

同理,x= cos?
∴P(cos?,sin? )

2 2 例1已知 sin ? ? , cos ? ? ? , 2 2 求角的终边与单位圆的交点P的坐标

P(x,y)
y x ?

2 解∵x = cos?? ? 2 2 y = sin? ? 2 2 2 ? P(? , ) 2 2

1 3 例2、已知角?的终边与单位圆的交点P( , ) 2 2 求 cos ? ,sin ?
1 3 P( , ) 2 2

? x

y

1 解∵x ? 2

3 y? 2

1 ∴cos? ? 2 3 sin? ? 2

例3:设600角的终边与单位圆相交于点 P,求点P的坐标
解:设点P的坐标为(x,y)
1 则 x=cos600= 2
0 sin60 = y=

所以点P的坐标为(

1 3 , 2 2 )

3 2

练习: 1.设300角的终边与单位圆相交于点P,求点P 的坐标 2.设450角的终边与单位圆相交于点P,求点P 的坐标

二、三角函数线
y P(cos a ,sin

在以原点为圆心的单位圆中,角?的终边与单 位圆的交点P。 过P作PM垂直于x轴,垂足为M。
a)

1

a
O M

sin a 2.正弦线 MP
x

cos a

1.余弦线 OM

2? 例4、作出 的余弦线、正弦线 3
y

P
M O

2? 3
x

1余弦线 OM 2正弦线 MP

练习、作出- 的余弦线、正弦线 6

?

2、思考:如何用正弦线在直角坐标系中作出点
π π C( ,sin ) ? 3 3 1
P
π 3

Y

.
π 3

π π C( ,sin ) 3 3
2? 3

O1

M

O

X

-1

[引入]能否借助上面作点C的方法,在直角坐标系 中作出正弦函数y=sinx(x? R)的图象呢?

一、正弦函数 y ? sin x ( x ?[0, 2? ]) 的图象
2? 3

5? 6

? 2

? 3 ? 6
11? 6

y
1
● ●


● ● ●

?
7? 6 4? 3 5? 3

7? 4? 3? 5? 11? 6 6 3 2 3

2?


2?

0 ?
6

? 3

? 2

2? 3

5? 6

?



● ● ● ●



x

3? 2

-1

作法: (1) 等分 (2) 作正弦线

(3) 平移 (4) 连线

正弦曲线
? 6?
? 4?
-

y
1-

? 2?

o-1

2?
-

4?
-

6?
-

x

-

周期

…,

-

T ? 2?

因为终边相同的角的三角函数值相同, 所以y=sinx的图象在

??4? , ?2? ?,??2? ,0?,?0, 2? ? , ?2? , 4? ?, …,
与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同

-

正弦曲线
? 6?
? 4?

y
1
-

? 2?

-1

o-

2?

4?

6?

x

周期
-

T ? 2? ? +2 4 k? k ?? 2?
最小正周期
-

T ? 2?

-

-

-

小结: 2.P(x,y)是角α 的终边与单位圆交点 则r=1 则P点的坐标(cosα ,sinα )

1.单位圆: 我们把半径为1的圆叫单位圆。


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