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北京市重点中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学(理)试题


2013——2014 学年度第二学期期中练习

高 二 数 学(理) 试 卷
姓名 班级 学号 成绩

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 在每小题的 4 个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1. i 是虚数单位, A . 1 ? 2?i

5?i ?( 2?i B. ?1 ? 2?i

) C. ?1 ? 2?i
2

D. 1 ? 2?i )

2. 由直线 x ? 1,?x ? 2,? y ? 0 与抛物线 y ? x 所围成的曲边梯形的面积为( A.

1 3

B.

5 3

C.

7 3

D.

11 3


3. ( x ? 2 y)8 的展开式中 x6 y 2 项的系数是( A. 56 B. ?56 C. 28

D. ?28 )

4. 若曲线 f ? x ? ? ax2 ? ln x 在点 M ?1, a ? 处的切线平行于 x 轴,则 a 的值为 ( A. ? 2
?

B. 2

C. ?

1 2

D.

1 2

5.

? ? (1 ? cos x)dx 等于 (
2 ? 2

) D. ? ? 2 )

A. ? 6. ? x 2 ?

B. 2
5

C. ? ? 2

? ?

2? ? 的展开式中的常数项为 ( x3 ?
B. ?80 C. 40

zxxk.c.o.m

A. 80

D. ?40

7. 6 位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序 共有 ( ) A. 240 种 B. 360 种 C. 480 种 D. 720 种

8. 下列命题中,假命题为( ) A. 存在四边相等的四边形不是正方形 B. 设 z1 , z2 ? C ,则 z1 ? z2 为实数的充要条件是 z1 , z2 互为共轭复数 C. 若 x, y ? R ,且 x ? y ? 2 ,则 x, y 中至少有一个大于 1 D. 对于任意 n ? N , Cn ? Cn ? Cn ?
0 1 2
?

n 都是偶数 ? Cn

9.用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( A. 324 B. 328 C. 360 D. 648 10. 函数 f ? x ? ?



4x ? x ? R? x ?1
2



) B.无最大值,但有最小值 ?2 D.既无最大值,又无最小值

A.既有最大值 2 ,又有最小值 ?2 C.有最大值 2 ,但无最小值

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.将答案填在题中横线上)
2 11. 如果复数 z ? m ? i ?1 ? m?i ? (其中 i 是虚数单位)是实数,则实数 m ? ___________.

?

?

12. 函数 f ? x ? ? x ln x ? x ? 0 ? 的单调递增区间是

.

13. 三名学生参加跳高、跳远、铅球项目的比赛. 若每人都选择其中两个项目,则恰有两人 选择的项目完全相同的概率是 . .

14. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列. 类比以上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , 成等比数列.
.s.5.u.c.o.m





T16 T12

15.观察下列等式

1?1

2?3? 4 ? 9
3? 4? 5? 6? 7 ? 2 5

4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 1 0? 4 9
照此规律,第 n 个等式应为
3

.

16. 已知函数 f ? x ? ? ? x ? 2ax, x ??0,1? ,若 f ? x ? 在 ?0,1? 上是增函数,则实数 a 的取值 范围为 .

三.解答题( 本大题共 4 小题,共 36 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17. 甲组有 6 人,乙组有 4 人,其中组长各 1 人. (Ⅰ)这 10 人站成一排照相,根据下列要求,各有多少种排法? ① 同组人员相邻; ② 乙组人员不相邻. (Ⅱ)现选派 5 人去参加比赛,根据下列要求,各有多少种选派方法? ① 甲组 3 人,乙组 2 人; ② 组长中至少有 1 人参加.

18.已知数列 an ?

8n

? 2n ?1? ? ? 2n ? 1?
2

2

??? n ? N ? ? ,其前 n 项和为 Sn . 经计算得:

8 24 S1 ? , ? ? S ? 2 ? , ?S?3 ? 9 25

48 80 ? , S4 ??? . ? 49 81

(Ⅰ)观察上述结果,猜想计算 Sn 的公式; (Ⅱ)用数学归纳法证明所提猜想. 19. 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? b (a, b ? R) . 3

(Ⅰ)若 x ? 1 为 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 的图象在点( 1, f (1) )处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 , 求 f ( x) 在 [?2,1] 上的最大值和最小值.

2 ?x 20. 已知函数 f ( x) ? ? x ? mx ? m ?e ( m ? R ).

?

?

(Ⅰ)求 f ? ? x ? ; (Ⅱ)求 f ? x ? 的单调区间.

2013——2014 学年度第二学期期中练习

高 二 数 学(理) 试 卷 答 案
姓名 班级 学号 成绩

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 在每小题的 4 个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1. i 是虚数单位, A . 1 ? 2?i 解:

5?i ?( B ) 2?i B. ?1 ? 2?i C. ?1 ? 2?i

D. 1 ? 2?i

5i 5i ( 2 ? i ) ? ? ?1 ? 2i ,故选择 B. 2?i 5
2

2. 由直线 x ? 1,?x ? 2,? y ? 0 与抛 物线 y ? x 所围成的曲边梯形的面积为( C ) A.

1 3

B.
2

5 3
2 1

解:

?

1

x 2 dx ?

1 3 x 3

7 11 D. 3 3 8 1 7 ? ? ? , 故选择 C. 3 3 3
C.

3. ( x ? 2 y)8 的展开式中 x6 y 2 项的系数是( A ) A. 56 B. ?56 C. 28 D. ?28

2 6 解: C8 x ? 2y

?

?

2

? 56 x6 y 2 , 故选择 A.

4. 若曲线 f ? x ? ? ax2 ? ln x 在点 M ?1, a ? 处的切线平行于 x 轴,则 a 的值为 ( D ) A. ? 2 B. 2 C. ?

1 2

D.

1 2

解: f ? ? x ? ? 2ax ?
?

1 1 , k ? f ? ?1? ? 2a ?1 ? 0 , a ? . 故选择 D. x 2

5.

? ? (1 ? cos x)dx 等于 ( D )
2 ? 2

A. ?

B. 2

C. ? ? 2

D. ? ? 2

?
解: 原式 ? ? x ? sin x ?

? ( ? sin ) ? [? ? sin(? )] ? ? ? 2 . 故选择 D. ? 2 2 2 2 ? 2
zxxk.c.o.m

2

?

?

?

?

6. ? x 2 ?

? ?

2? ? 的展开式中的常数项为 ( C ) x3 ?
B. ?80 C. 40
r

5

A. 80

D. ?40

r 解: Tr ?1 ? C5 ? x2

? ?

5? r

r ? 2? ? ? ? 3 ? ? C5r ? ? ?2? ? x10?5r ,令 10 ? 5r ? 0 , r ? 2 , ? x ?
2

2 故常数项为 T3 ? C5 ? ?2 ? ? 40 . 故选择 C.

7.

6 位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序
共有 ( C ) A. 240 种 B. 360 种 C. 480 种 D. 720 种

5 1 5 解法一:第一步排甲: A1 4 ;第二步排其他人 A5 :共有 A4 ? A5 ? 4 ?120 ? 480 种,

选 C.
2 解法二:第一步排首尾: A5 ;第二步排其他位置: A 4 4. 2 共有 A5 ? A4 4 ? 20 ? 24 ? 480 种,选 C. 5 解法三(间接法) : A6 6 ? 2A5 ? 720 ? 240 ? 480 .

8. 下列命题中,假命题为( B ) A. 存在四边相等的四边形不是正方形 B. 设 z1 , z2 ? C ,则 z1 ? z2 为实数的充要条件是 z1 , z2 互为共轭复数

C. 若 x, y ? R ,且 x ? y ? 2 ,则 x, y 中至少有一个大于 1
0 1 2 D. 对于任意 n ? N , Cn ? Cn ? Cn ?
[来源:学。科。网]

?

n 都是偶数 ? Cn

解:选 B. 9.用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( B ) A. 324 B. 328 C. 360 D. 648
2 1 1 1 解: A9 ? A4 A8 A8 ? 72 ? 256 ? 328 (个 ).故选择 B.

10. 函数 f ? x ? ?

4x ? x ? R? x ?1
2

( A ) B.无最大值,但有最小值 ?2 D.既无最大值,又无最小值

A .既有最大值 2 ,又有最小值 ?2 C.有最大值 2 解: f ? ? x ? ? ,但无最小值

4 ? x 2 ? 1? ? 4 x ? 2 x

?x

2

? 1?

2

?

?x

4 ? 4 x2
2

? 1?

2

,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?1 .

x
f ? ? x? f ? x?

? ??, ?1?
?

?1

? ?1,1?
?

1

?1, ???
?

0
极小值 ?2

0
极大值 2

又当 x ?? 时, f ? x ? ? 0 ,故选 A. 二.填空题(本大题共 6 小题, 每小题 4 分,共 24 分.将答案填在题中横线上)
2 11. 如果复数 z ? m ? i ?1 ? m?i ? (其中 i 是虚数单位)是实数,则实数 m ? ___________. 2 2 3 3 解: z ? m ? i ?1 ? m?i ? ? m ? m ? m ? 1 ?i ,由 z 是实数,令 m ? 1 ? 0 ,

?

?

?

?

?

? ?

?

得 m ? ?1 . 12. 函数 f ? x ? ? x ln x ? x ? 0 ? 的单调递增区间是 解: f ? ? x ? ? ln x ? x ? .

1 1 ? ln x ? 1 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? , x e

故单调递增区间是 ? , ?? ? . 13. 三名学生参加跳高、跳远、铅球项目的比赛. 若每人都选择其中两个项目,则恰有两人选择的项目完全 相同的概率是 . .
2 2 2

?1 ?e

? ?

解:三名学生每人选择三项中的两项有 C3 ? C3 ? C3 ? 3? 3? 3 ? 27 种选法, 其中恰有两人选择的项目完全相同的有 C3 ? C3 ? C2 ? 3? 3? 2 ? 18 种选法.
2 1 1

18 2 ? . 27 3 14.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列.
故所求概率为 类比以上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , 成等比数列. 解:对于等比数列,通过类比,有等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn , 则 T4 , , ,

T16 T12

T8 T12 T16 成等比数列. , , T4 T8 T12

15.观察下列等式

1?1

2?3? 4 ? 9 3? 4? 5? 6? 7 ? 2 5

4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 1 0? 4 9
照此规律,第 n 个等式应为 解: n ? ? n ? 1? ? ? n ? 2 ? ? .

? ? 3n ? 2 ? ? ? 2n ? 1? .
2

16. 已知函数 f ? x ? ? ? x ? 2ax, x ??0,1? ,若 f ? x ? 在 ?0,1? 上是增函数,则实数 a 的取值
3

范围为
2

.

解: f ? ? x ? ? ?3x ? 2a , f ? x ? 在 ?0,1? 上是增函数 ? ?x ??0,1? , f ? ? x ? ? 0 恒成立, 即a ?

3 2 3 ?3 ? x 恒成立 ? 在 x ??0,1? 上, a ? ? x 2 ? ? . 2 ? 2 ?max 2

三.解答题(本大题共 4 小题,共 36 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17. 甲组有 6 人,乙组有 4 人,其中组长各 1 人. (Ⅰ)这 10 人站成一排照相,根据下列要求,各有多少种排法? ① 同组人员相邻; ② 乙组人员不相邻. (Ⅱ)现选派 5 人去参加比赛,根据下列要求,各有多少种选派方法? ① 甲组 3 人,乙组 2 人; ② 组长中至少有 1 人参加. 解: (Ⅰ) ① ② (Ⅱ)
6 4 2 A6 ? A4 ? A2 ? 720 ? 24 ? 2 ? 34560 ; 6 4 A6 ? A7 ? 720 ? 840 ? 604800 .

[来源:Z.xx.k.Com]

…………… 2 分 …………… 4 分



3 2 C6 ? C4 ? 20 ? 6 ? 120 ;

…………… 6 分 …………… 8 分 …………… 8 分

1 2 3 ② 法一(直接法) : C2 ? C84 ? C2 ? C8 ? 140 ? 56 ? 196 ; 5 5 法二(间接法) : C10 ? C8 ? 252 ? 56 ? 196 .

18.已知数列 an ?

8n

? 2n ?1? ? ? 2n ? 1?
2

2

??? n ? N ? ? ,其前 n 项和为 Sn . 经计算得:

8 24 S1 ? , ? ? S ? 2 ? , ?S?3 ? 9 25

48 80 ? , S4 ??? .? 49 81

[来源:Z_xx_k.Com]

(Ⅰ)观察上述结果,猜想计算 Sn 的公式; (Ⅱ)用数学归纳法证明所提猜想.

? 2n ? 1? ? 1?? n ? N ? . 解: (Ⅰ)猜想: Sn ? ? ? 2 ? 2n ? 1?
2

….…….. 2 分

(Ⅱ)证明: (1)当 n ? 1 时,左 ? S1 ?

8 32 ? 1 8 ? ,猜想成立.….…….. 3 分 ,右 ? 9 32 9
2

(2)

? 2k ? 1? ? 1?? k ? N ? . 假设当 n ? k 时猜想成立,即 Sk ? ? ? 2 ? 2k ? 1?
8 ? k ? 1? ? 2k ? 1? ? 1 ? Sk ?1 ? Sk ? ak ?1 ? 2 2 2 ? 2k ? 1? ? 2k ? 1? ? ? 2k ? 3?
2

….…….. 4 分

那么

….…….. 5 分

?

[(2k ? 1)2 ? 1](2k ? 3)2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) ? (2k ? 1)2 (2k ? 3)2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2
….…….. 7 分

(2k ? 1)2 (2k ? 3)2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ?1 . ? ? (2k ? 1)2 (2k ? 3)2 (2k ? 3) 2
即当 n ? k ? 1 时猜想也成立. 根据(1)和(2)可知,猜想对 ?n ? N 都成立.
?

….…….. 8 分

19. 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? b (a, b ? R) . 3

(Ⅰ)若 x ? 1 为 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 的图象在点( 1, f (1) )处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 , 求 f ( x) 在 [?2,1] 上的最大值和最小值.

[来源:Z。xx。k.Com]

解: (Ⅰ) f ' ( x) ? x 2 ? 2ax ? (a 2 ? 1)
2 ∵ x ? 1 为 f ( x) 的极值点,∴ f ' (1) ? 0 ,即 a ? 2a ? 0 ,

………… 1 分

∴ a ? 0或2 . 经检验均符合题意.

……… 2 分 ……… 3 分

(Ⅱ)∵( 1, f (1) )是切点,∴ 1 ? f (1) ? 3 ? 0 , ∴ f (1) ? 2 ,即 a ? a ? b ?
2

8 ? 0. 3

…………… 4 分

∵切线方程 x ? y ? 3 ? 0 的斜率为 ?1 , ∴ f ' (1) ? ?1 ,即 a ? 2a ? 1 ? 0 ,
2

…………… 5 分 …………… 6 分

∴ a ? 1,b ? ∴ f ( x) ?

8 . 3

1 3 8 x ? x 2 ? , ∴ f ' ( x) ? x 2 ? 2 x . 3 3
…………… 7 分

由 f ' ( x) ? 0 及 x ?[?2,1] 得 x ? 0 .

x
f ? ? x? f ? x?

?2

? ?2,0?
?

0

? 0,1?
?

1

0
极大值

?4

8 3

2

…………… 9 分 故 f ( x ) 在 [?2,1] 上的最大值为 f (0) ?

8 和最小值为 f ? ?2? ? ?4 . ……… 10 分 3

2 ?x 20. 已知函数 f ( x) ? ? x ? mx ? m ?e ( m ? R ).

?

?

(Ⅰ)求 f ? ? x ? ; (Ⅱ)求 f ? x ? 的单调区间.
?x 2 ?x 解:(Ⅰ) f ?( x) ? ? ?2 x ? m ? e ? ? x ? mx ? m e ? ?1?

?

?

? [ x2 ? (m ? 2) x]?e? x

……… 2 分

(Ⅱ)函数 f ? x ? 的定义域为 R 由e
?x

……… 3 分

? 0 ,得 f ? ? x ? 与 x2 ? ? m ? 2? x 同号. 令 f ?( x) ? 0 ,
……… 4 分

得 x2 ? ? m ? 2? x ? 0 , x1 ? 0 , x2 ? 2 ? m . (1)当 m ? 2 时,

x
f ? ? x? f ? x?

? ??,0?
?

0

?0,2 ? m?
?

2?m

? 2 ? m, ???
?

0

0

f ? x ? 的增区间为 ? ??,0? 和 ? 2 ? m, ??? ; f ? x ? 的减区间为 ? 0,2 ? m? . …… 6 分
(2) 当 m ? 2 时,

f ?( x) ? 0 恒成立, f ? x ? 的增区间为 ? ??, ??? ,无减区间.
(3)当 m ? 2 时,

…… 8 分

x
f ? ? x? f ? x?

? ??, 2 ? m?
源:学科网]

[来

2?m

? 2 ? m,0?
?

0 0

?0, ???
?

?

0

f ? x ? 的增区间为 ? ??, 2 ? m? 和 ? 0, ??? ; f ? x ? 的减区间为 ? 2 ? m,0? . …… 10 分
故 f ? x ? 的单调区间为:

m
m?2
m?2 m?2

f ? x ? 的增区间

f ? x ? 的减区间

? ??,0? 和 ? 2 ? m, ???
? ??, ???

?0,2 ? m?


? ??, 2 ? m? 和 ?0, ???

? 2 ? m,0?
………… 10 分


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