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复习数列习题集


复习数列习题
一.选择题(60 分) 1.在等差数列 ?an ? 中,有 3? a3 ? a5 ? ? 2 ? a7 ? a10 ? a13 ? ? 24 ,则此数列的前 13 项之和为( A.52 B.26 C.13 D.156 ( ) )

2.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? ?6, S18 ? S15 ? 18,

则S18 ? A.36 B.18 C.72 D.9

3.已知等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 , 若 a 4 ? a 6 ? 24 , a 2 ? a 8 ? 10 , 则该数列的前 n 项和 Sn 的最大值为 A. 50 B. 45 C. 40 D. 35

4.已知等比数列{an},a2>a3=1,则使不等式(a1A.4 B.5 C.6

1 1 1 )+(a2)+?+(an)≥0 成立的最大自然数 n 是 a1 a2 an
t x D.7

5.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 a2 ? a7 ? a8 ? a11 ? 48, a3 : a11 ? 1 : 2 ,则 A.

lim
n ??

nan 等于 S 2n

1 4

B.

1 2

C.1

D.2

6.等差数列 an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24 , a18 ? a19 ? a20 ? 78 ,则此数列前 20 项和等于 A.160 B.180 C.200 7.在等差数列{an}中,a1+a2+?+a50=200,a51+a52+?+a100=2700,则 a1 等于 A.-1221 B.-21.5 C.-20.5
2

?

D.220 D.-20 )

8.在正项等比数列{an}中,a1、a99 是方程 x -10x + 16 = 0 的两个根,则 a40·a50·a60 的值为( A.32 B.64 C.±64 D.256 9.等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,已知 S4=1,S8=3,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值为 A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 10.等差数列 ?a n ? 的前 n 项和记为 Sn,若 a2+a4+a15=p(常数) ,则数列 ?S n ? 中也是常数的项是( (A)S7 (B)S8
*



(C)S13

(D)S15

11.已知数列{log3(an+1)}(n∈N )为等差数列,且 a1=2,a2=8,则 lim(
x ??

1 1 1 1 ? ? ? ?+ )? a2 ? a1 a3 ? a2 a4 ? a3 an?1 ? an

A.

12、已知 ?an ?是等比数列,对任意 n ? N * 都有 an ? 0 ,如果 a3 (a3 ? a5 ) ? a4 (a4 ? a6 ) ? 25 ,则 a3 ? a5 ? A.5 B.10 C.15 D.20 二.填空题(16 分)
13.若四个正数 a,b,c,d 成等差数列,x 是 a 和 d 的等差中项,y 是 b 和 c 的等比中项,则 x 和 y 的大小关 系是 .

1 4

B.

3 4

C.

1 2

D.1

14.在等比数列{an}中,a3+a5=18,a9+a11=144,则 a5+a8=_____________. 15.把 49 个数排成如图 4 所示的数表,若表中每行的 7 个数自左至右依次都成等差数列,每

列的 7 个数自上而下依次也都成等差数列,且正中间的数 a 44 =1,则表中所有数的和为 ___________________. 16. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 m ?, 1m ? N,
2 且 am?1 ? am?1 ? am 则m= S2m?1 ? 38 , ? 0,



三.解答题(74 分) 17.函数 f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+……+anxn(n ? N*),且 y= f(x)的图象经过点(1,n2),数列{an}(n ? N*)为等差数列. (1)求数列{an}通项公式; (2)当 n 为奇数时,设 g(x)= 若存在,求出 M-m 的最小值;若不存在,说明理由.

1 2

[ f(x)- f(-x)],是否存在自然数 m 和 M,使不等式 m<g(

1 2

)<M 恒成立,

18. 设 A(x1,y1),B(x2,y2)是函数 f(x)= 坐标为

1 x 1 ? log 2 的图象上任意两点,且 OM ? (OA ? OB ) ,已知点 M 的横 2 1? x 2

1 . 2

(1) 求证:M 点的纵坐标为定值; (2) 若 Sn=f( ) ? f ( ) ? ? ? f (

1 n

2 n

n ?1 ), n ∈N*,且 n≥2,求 Sn; n

?2 n ?1 ? ?3 (3) 已知 an= ? 1 ? ? ? ( S n ? 1)(S n ?1 ? 1)

,其中 n∈N .

*

n?2
*

Tn 为数列{an}的前 n 项和,若 Tn<λ (Sn+1+1)对一切 n∈N 都成立,试求λ 的取值范围. 19. (本题满分 12 分) 对于函数 f ( x ) ,若存在 x 0 ? R ,使 f ( x 0 ) ? x 0 成立, 则称 x 0 为 f ( x ) 的“滞点” 。已知函数 f ( x ) =

x2 . 2x ? 2

(I)试问 f ( x ) 有无“滞点”?若有求之,否则说明理由; (II)已知数列 ? a n ?的各项均为负数,且满足 4S n ? f ( (III)已知 bn ? an ? 2 n ,求 ?b n ?的前项和 Tn 。 20.已知数列{a n} 的前 n 项和为 S n ,满足 S n =2a n -2n(n∈N ? ) (1)求数列{a n} 的通项公式 a n ; (2)若数列{b n }满足 b n =log 2 (a n +2),T n 为数列{

1 ) ? 1 ,求数列 ?a n ?的通项公式; an

1 bn }的前 n 项和,求证 T n ≥ ; 2 an ? 2

21. (本题满分 12 分) 2 n-1 * 已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同,且 a1+2a2+2 a3+?+2 an=8n 对任意的 n∈N 都成立,数列 {bn+1-bn}是等差数列. (1) 求数列{an}与{bn}的通项公式; * (2)问是否存在 k∈N ,使得 bk-ak∈(0,1)?请说明理由. 22. (文)已知数列 an ? 是等比数列,数列 bn ? 满足 bn ?

?

?

1 (lg a1 ? lg a2 ? ? ? ? ? lg an )(n ? N * ) ,记 n

Sn ? (b1 ? b2 ? ??? ? bn )(n ? N * ) .

(1)若数列 an ? 的首项 a1=1 000,公比 q=110,求数列 bn ? 的通项公式; (2)在(1)的条件下,求 Sn 的最大值; (3)是否存在实数 k,使得

?

?

1 1 1 n?k 对于任意的正整数 n 恒成 ? ? ??? ?? lg a1 lg a2 lg a2 lg a3 lg an?1 lg an lg a1 lg an

立?若存在,请求出实数 k 的值;若不存在,请说明理由.

答案
一.选择题 1 B 2 A 3 B 4 B 5 B 6 B 7 C 8 B 9 B 10 C 11 A 12 A

二.填空题 13.x≥y ;14. ±36 2 ;15. 49;16.10。
三.解答题 17.解: (1)据题意:f(1)=n2 令 n=1 令 n=2 令 n=3 a1=3–2=1 则 a0+a1=1,a1=1–a0 则 a0+a1+a2=22,a2=4–(a0+a1)=4–1=3 则 a0+a1+a2+a3=32,a3=9–(a0+a1+a2)=9–4=5 即 a0+a1+a2+a3+……+an= n2

? {an}为等差数列
a0=0
2

?
3

d= a3–a2=5–3=2 an=1+(n–1)· 2=2n–1

(2)由(1)f(x)= a1x+a2x +a3x +……+anxn n 为奇数时,f(–x)=–a1x1+a2x2+a3x3+……+an–1xn–1+anxn g(x)= g(

1 2

[ f(x)–f(–x)]= a1x1+a3x3+a5x5+……+an–2xn–2+anxn

1 1 1 1 1 ) +5· ( )3+……+(2n–5) ( )n--2+(2n-1) ( )n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 3+5· ( ) 5+9· ( ) 7+……+(2n–5) g ( ) =1· ( )n+(2n-1) ( )n+2 4 2 2 2 2 2 2
)=1· (

1 2

3 1 1 1 1 1 1 ( ) +4[ ( ) 3+ ( ) 5+……+ ( ) n]- (2n-1) ( )n+2 g ( ) =1· 4 2 2 2 2 2 2 1 19 13 1 n 2 1 n ( ) - n( ) ? g( )= – · 2 4 9 2 3 2 2 1 n 2 1 1? n 令 C = n( ) ? Cn?1 - C n = n ( )n· ? 0,n ? N*? Cn?1 ? C n , C n 随 n 增大而减小 n 3 2 3 2 2 1 1 1 19 13 1 n 2 1 n 19 1 随 n 增大而减小.? g ( ) 为 n 的增函数, 当 n=1 时, g( )= 而 – ( · )- n ( ) < ? ? 2 2 2 4 9 2 3 4 2 2 1 使 m< g ( ) <M 恒成立的自然数 m 的最大值为 0,M 最小值为 2,M–m 的最小值为 2 2 1 18. (1)证明:∵ OM ? (OA ? OB ), 2
相减得

13 1 n ( ) · 9 2 1 19 g( ) < ? 2 4


∴M 是 AB 的中点.设 M 点的坐标为(x,y),

1 1 (x1+x2)=x= ,得 x1+x2=1,则 x1=1-x2 或 x2=1-x1. 2 2 1 1 而 y= (y1+y2)= [f(x1)+f(x2)] 2 2
由 =

1 1 x 1 x2 ( +log2 1 ? ? log2 ) 2 2 1 ? x1 2 1 ? x2

=

1 x x2 (1+log2 1 ? log2 ) 2 1 ? x1 1 ? x2 1 x x (1+log2 1 · 2 ) 2 1 ? x1 1 ? x2

=

=

1 x· x 1 1 (1+log2 1 2 ) ? ( 1 ? 0) ? , 2 x1· x2 2 2 1 . 2

∴M 点的纵坐标为定值

(2)由(1)知 x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,

1 n n ?1 ), n 2 n n ?1 n?2 1 )? f( ) ??? f ( ) , Sn=f( n n n
Sn=f( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 两式相加得: 2Sn=[f( ) ? f (

1 n ?1 2 n?2 n ?1 1 ) )+[f( ) ? f ( ) )+?+[f( )? f( )) n n n n n n =1 ?? 1? ? ? 1 ? ? ? ?
n ?1

∴Sn=

n ?1 * (n≥2,n∈N ). 2

(2)当 n≥2 时,an=

1 4 1 1 ? ? 4( · ). ( Sn ? 1)(Sn ?1 ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n ?1 n ? 2

2 1 1 1 1 ? 4 [( ? ) ? ? ? ( ? )) 3 3 4 n ?1 n ?1 2 1 1 2n )? . = ? 4( ? 3 3 n?2 n?2 2n n?2 . 由 Tn<λ (Sn+1+1)得 <λ · n?2 2 4n 4n 4 ∴λ > ? 2 ? . 2 (n ? 2) n ? 4n ? 4 n ? 4 ? 4 n 4 ∵n+ ≥4,当且仅当 n=2 时等号成立, n 4 4 1 ∴ ? ? . 4 n? ?4 4?4 2 n 1 1 因此λ > ,即λ 的取值范围是( , +∞). 2 2
Tn=a1+a2+a3+?+an= (2 个空的填空题, 对 1 个给 3 分; 1 个空、 2 解的填空题, 对 1 个给 3 分.如有不同解法, 请阅卷老师酌情给分.) 19. 解: (I)? f ( x) ?

x2 令 f ( x) ? x, 2( x ? 1)

???2分

得x 2 ? 2 x ? 0, 解得 x ? 0, 或x ? 2
即 f(x)存在两个滞点 0 和 2 (II)由题得 4S n ? (

???4分

1 2 1 2 ) ? 2( ? 1) ,? 2S n ? an ? an ??? ① ???5分 an an

2 故 2S n?1 ? an?1 ? an ?1 ??? ② 2 2 由②-①得 2an?1 ? an?1 ? an ?1 ? an ? an ,? (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 1) ? 0

? an ? 0 ? an?1 ? an ? ?1,即 ?an ? 是等差数列,且 d ? ?1
当 n=1 时,由 2S1 ? a1 ? a1 ? 2a1得a1 ? ?1
2

???9分

? an ? ?n
(III)?Tn ? ?1? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n ??③

???11分

? 2Tn ? ?1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 ?? ④
由④-③得 Tn ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ? n ? 2n?1

?

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 ? 2 n?1 ? 2 ? n ? 2 n?1 1? 2

???14分

20. (1)当 n∈N ? 时,S n ? 2an ? 2n ,



则当 n≥2,n∈N ? 时,S n ?1 =2a n ?1 -2(n-1).② ①-②,得 a n =2a n -2a n ?1 -2 即 a n =2a n ?1 +2, ∴a n +2=2(a n ?1 +2) , ∴

an ? 2 =2 a n?1 ? 2

当 n=1 时,S 1 =2a 1 -2,则 a 1 =2, ∴| a n +2|是以 a 1 +2 为首项,以 2 为公比的等比数列。 ∴a n +2=4·2 ∴a n =2
n ?1 n ?1



-2
n ?1

(Ⅱ)b n =log 2 ( a n +2)= log 2 2

=n+1,

n ?1 bn = n ?1 , an ? 2 2
则 Tn =

n ?1 2 3 + 3 +?+ n ?1 ,③ 2 2 2 2 1 2 n n ?1 T n = 3 +?+ n ?1 + n ? 2 ④ 2 2 2 2

③-④,得

1 1 1 2 1 n ?1 T n = 2 + 3 + 4 +?+ n ?1 - n ? 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 [1 ? 2n ] n ? 1 = + - n?2 1 4 2 1? 2 1 1 1 n ?1 = + - n ?1 - n ? 2 4 2 2 2 3 n?3 = - n?2 , 4 2 3 n?3 ∴T n = - n ?1 . 2 2 n ? 3 n ? 2 2n ? 4 ? n ? 3 n ? 1 ? ? n ?1 >0, 当 n≥2 时,T n -T n ?1 =- n ?1 ? 2 2n 2n ?1 2

∴{T n }为递增数列, ∴T n ≥T 1 =
2

1 . 2
n-1 *

21. (1)已知 a1+2a2+2 a3+?+2 an=8n(n∈N ) ① 2 n-2 * N≥2 时,a1+2a2+2 a3+?+2 an-1=8(n-1)(n∈N ) ② n-1 4-n ①-②得,2 an=8,求得 an=2 , 4-1 在①中令 n=1,可得得 a1=8=2 , 4-n * 所以 an=2 (n∈N ) 由题意 b1=8,b2=4,b3=2,所求 b2-b1=-4,b3-b2=-2, ∴数列{bn+1-bn}的公差为-2-(-4)=2, ∴bn+1-bn=-4+(n-1)×2=2n-6, 2 * bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+?+(bn-bn-1)=(-4)+(-2)+?+(2n-8)=n -7n+14(n∈N ). 2 4-k (2)bk-ak=k -7k+14-2 , 当 k≥4 时,f(k)=(k- ) ?
2
2

7 2

7 ? 2 4? k 单调递增, 且f (4) ? 1, 4
4-k

所以 k≥4 时,f(k)=k -7k+14-2 ≥1, 又 f(1)=f(2)=f(3)=0, * 所以,不存在 k∈N ,使得 bk-ak∈(0,1).

?3? ? ? a ? 1? g ? n ? ? ? ?4? (III) bn ? n 4
1 2 3

n ?1

?( 4 n-1) 4

?3? ? (n-1)? ? ? ?4?
n ?1

n ?1

??????????????? (10分)

?3? ?3? ?3? ?3? ? Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ?????? ? (n-1)? ? ? ?4? ?4? ?4? ?4? 3 Tn ? 4
2 3 4

?3? ?3? ?3? ?3? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ?????? ? (n-1)? ? ? ?4? ?4? ?4? ?4?
1 2 3 n ?1

n

1 ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? 相减,得 Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? -(n-1)? ? ? 4 ?4? ?4? ?4? ?4? ? 4? n ?1 3? ?3? ? 1 ? ? ? ? ? n n ?1 n 4? ?4? ? ?3? ?3? ?3? ? ? ? ? (n-1)? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? ? (n-1)? ? ? (13分) 3 4 4 ? ? ? ? ?4? 1? 4 ?3? Tn ? 12 ? ( 4 n ? 3) ? ? ??????????????????????????????????????????????????(14分) ?4?
22.(1)an=a1qn-1=1 000×(110)n-1=104-n. bn=1n(lg a1+lg a2+?+lg an)=1n·lg(a1·a2?an)=1nlg10[3+2+1+?(4-n) ] =1nlg10n(7-n)2=1n·n(7-n)2·lg10=7-n2.故数列{bn}的通项公式为 bn=7-n2(n∈N*). (2)Sn=b1+b2+…+bn=n(3+7-n2)2=n(13-n)4= -14n2+134n,利用二次函数的性质,并结合 n∈N*,知当 n=6 或 n=7 时,(Sn)max=212. (3)∵1lgan-1lgan=lgan-lgan-1lgan-1lgan· 1lgan-lgan-1=(1lgan-1-1lgan)· 1lganan-1=1lgq(1lgan-1-1lgan),∴条件等式左边 =1lgq [(1lga1-1lga2)+ (1lga2-1lga3) +?+ (1lgan-1-1lgan) ] =1lgq(1lga1-1lgan)=1lgq· lgan-lga1lga1lgan=1lgq· lg (a1qn-1) -lga1lga1lgan=1lgq·lga1+(n-1)lgq-lga1lga1lgan=n-1lga1lgan, ∴由条件知 n-1lga1lgan=n+klga1lgan 恒成立,
n

n

∴k=-1. 【解析】由{an}的通项公式,利用对数运算求出{bn}的通项公式;第二问利用数列求和公式求出 Sn,再利用二次 函数求出其最值;第三问由条件逆推判断关系式成立,并求出 k 的值。


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