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极坐标与直角坐标的互换


y

确 定 点 的 位 置

直角坐标系
O

P(x,y) x

极坐标系

? ?
O

M

( ? ,? )

x

两种坐标系各有什么优点

先看下面一个例子:
已知点M直角坐标系下坐标为 ? (2,2),极坐标系下坐标为 (2 2 , 4 )

(1)将点M向右平移3个单位到 点N,则N点坐标为 (5,2)
到点P,则P点坐标为
(2 2, )

? (2)将点M绕极点逆时针旋转 4 ?
2

由此得到结论:

直角坐标系适用点的平移变动; 极坐标系适用点的旋转变动。

点的直角坐标

点的极坐标

极坐标与直角坐标的互化
三个前提条件: (1) 极点与直角坐标系的原点重合; (2) 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴 重合; (3) 两种坐标系的单位长度相同.

平面内任意一点P的直角坐标 与极坐标分别为 ( x, y ) 和 ( ? ,? )

y
?

P y

互化公式

?
O x

? x ? ? cos? ? ? y ? ? sin ?
?? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? y ?t an? ? x ?

x

注:将点的直角坐标化为极坐标时,取

? ? 0, 0 ? ? ? 2?

例1 把下列点的极坐标化为直角坐标:
2? (1) M (8, ) 3 7? (2) N (6, ) 4

解:由互化公式得
2? 2? (1) x ? 8 cos 3 ? ?4, y ? 8 sin 3 ? 4 3 ,

点M的直角坐标是 (?4,4 3)
7? 7? (2)x ? 6 cos 4 ? 3 2 , y ? 6 sin 4 ? ?3 2 ,

点N的直角坐标是 (3 2 ,?3 2 )

对于点的极坐标中 ? ? 0 上面的公式也适用。
例如:
2? M (8, ) 也可以表示为 M ( ?8, 5? ) 3 3

5? 5 ? 此时:x ? ?8 cos ? ?4, y ? ?8 sin ? 4 3, 3 3

同样得到点M的直角坐标是

(?4,4 3)

变式训练 在极坐标系中,求两点间距离:

5? (1) A(5, ), B (12, ); 4 4
5 12 O

?

A(5, ) 4
x

?

B (12,

5? ) 4

| AB |? 5 ? 12 ? 17

( 2) A( 2,
B (8,

?
6

), B (8,

?
2

)

?
2

)

方法一:转换成直角坐标
A(2, ) 6
x

8

?

由互化公式得

2

O

A( 3,1), B(0,8)

| AB |? ( 3 ? 0) 2 ? (1 ? 8) 2 ? 52 ? 2 13

方法二:利用三角形余弦定理
B (8,

?
2

)

连接AB,则
A(2, ) 6
x
2 2

8

?

?AOB ?
?
3

?
2

?

?
6

?

?
3

2

O

| AB |? 2 ? 8 ? 2 ? 2 ? 8 ? cos

? 52 ? 2 13

推广到一般情形:
A( ?1 ,?1 ), B( ?2 ,? 2 )(?1 ? 0, ?2 ? 0)

则A,B两点间距离为

| AB |? ? ? ? ? 2 ?1 ? 2 cos( ?1 ? ? 2 )
2 1 2 2

例2 把下列点的直角坐标化为极坐标:

(1) P( 6, 2 );
解:由互化公式得
? ? ( 6 )2 ? ( 2 )2 ? 2 2 ,
2 3 tan? ? ? 3 6

? ??
??
2,

又点P在第一象限,得 因此点P的极坐标是
(2

?
?

6
)

6

(2) Q(? 6,? 2 );

(3) R( 2,? 2 );

解:(2)由互化公式 得 ? ? (? 6 ) 2 ? (? 2 ) 2 ? 2 2 ,
? 2 3 tan? ? ? 3 ? 6

又点Q在第三象限,得 因此点Q的极坐标是
(2

7? ? ? 6
7? 2, ) 6

(3) 由互化公式得
? ? ( 2 ) 2 ? (? 2 ) 2 ? 2,
2 tan? ? ? ?1 ? 2

7? 又点R在第四象限,得 ? ? 4
因此点R的极坐标是
7? ( 2, ) 4

课堂练习 在极坐标系中,已知三点

判断 M,N,P三点是否在一条直线上.
解:由互化公式得M,N,P三点的直角坐标 系分别为

M (1,? 3), N (2,0), P(3, 3)
由此得 MN ? (1, 3) ? NP
所以M,N,P三点在一条直线上.

小结

极坐标与直角坐标的互化公式
? x ? ? cos? ? ? y ? ? sin ?

M ( x, y)

M ( ? ,? )

?? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? y t an ? ? ? x ?

0 ? ? ? 2? 且要依点所在象限决定


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