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上海市松江区2013届高三数学一模试卷(理


松江区 2012 学年度第一学期高三期末考试 数学(理科)试卷(一模)
(满分 150 分,完卷时间 120 分钟)
2013.1

一、填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知集合 A ? ? 0 , a ? , B ? ?1, a 2 ? ,若 A ? B ? ? 0 ,1, 4 ,1 6 ? ,则 a ? 2.若行列式
2
x ?1





4 2
x

? 0 ,则 x ?



. ▲ .

1

3.若函数 f ( x ) ? 2 ? 3 的图像与 g ( x ) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g ( 5 ) = 方法抽取一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的数量为 5.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? 2 ? n ,则 a 3 ?
n

4.某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的 ▲ . ▲ . . . ▲

? 6.己知 a ? (1, 2 s in ? )

? ? ) , b ?( c o s ? , 1 ,且 a ? b ,则 ta n ? ?

7.抛物线的焦点为椭圆 ▲

x

2

?

y

2

? 1 的右焦点,顶点在椭圆的中心,则抛物线方程为

5

4

8.已知 lg x ? lg y ? 1 ,则

2 x

?

5 y

的最小值为




2 2 2

9.在△ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,若 b ? c ? a ? b c ,且 b c ? 8 , 则△ABC 的面积等于 ▲ .
2 4 2n n? ?

7 5 10.若二项式 ( x ? a ) 展开式中 x 项的系数是 7,则 lim ( a ? a ? ? ? a

)=





11.给出四个函数:① f ( x ) ? x ?

1 x

,② g ( x ) ? 3 ? 3
x

?x

,③ u ( x ) ? x ,④ v ( x ) ? sin x ,
3

其中满足条件: 对任意实数 x 及任意正数 m , 都有 f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 及 f ( x ? m ) ? f ( x ) 的 函数为 ▲ . (写出所有满足条件的函数的序号) 12.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a ,再由乙猜想甲刚才想的数 字,把乙猜的数字记为 b ,且 a , b ? ?0 ,1, 2 , 3 , ? 9 ? ,若 a ? b ? 1 ,则称甲乙“心有灵犀” .现 找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为 ▲ .

13.已知 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且 y ? f ( x ) 的图像关于点 ( 6 , 0 ) 对称.若实数
x , y 满足不等式 f ( x ? 6 x ) ? f ( y ? 8 y ? 3 6 ) ? 0 ,则 x
2 2

2

? y 的取值范围是
2


y) .



14.定义变换 T 将平面内的点 P ( x , y )( x ? 0 , y ? 0 ) 变换到平面内的点 Q ( x , 若曲线 C 0 :
x 4 ? y 2

? 1( x ? 0 , y ? 0 ) 经变换 T 后得到曲线 C 1 ,曲线 C 1 经变换 T 后得到 曲线

第 1 页 共 1 页

C 2 ? ,依次类推,曲线 C n ? 1 经变换 T 后得到曲线 C n ,当 n ? N 时,记曲线 C n 与 x 、 y 轴
*

正半轴的交点为 A n ( a n , 0 ) 和 B n ( 0 , b n ) .某同学研究后认为曲线 C n 具有如下性质: ①对任意的 n ? N ,曲线 C n 都关于原点对称;
*

②对任意的 n ? N ,曲线 C n 恒过点 ( 0 , 2 ) ;
*

③对任意的 n ? N ,曲线 C n 均在矩形 O A n D n B n (含边界)的内部,其中 D n 的坐标为
*

D n ( a n , bn ) ;

④记矩形 O A n D n B n 的面积为 S n ,则 lim S n ? 1
n? ?

其中所有正确结论的序号是





二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在 答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.过点 (1, 0 ) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

16.对于原命题: “已知 a、 b、 c ? R ,若 a ? b ,则
ac
2

,以及它的逆命题、否命题、逆否命题, ? bc ”
2

在这 4 个命题中,真命题的个数为 A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.4 个

17.右图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值, 输出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与输出的 y 值相 等,则这样的 x 值有 A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

18.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2 ) ? f ( x ? 2 ), 且当
x ? [ ? 2 , 0 ] 时, f ( x ) ? (
1 2
f ( x ) ? lo g a ( x ? 2 ) ? 0 ( a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是

) ? 1 .若在区间 ( ? 2 , 6 ] 内关于 x 的方程
x

A. (1, 2 )

B. ( 2 , ? ? )

C. (1, 3 4 )

D. ( 3 4 , 2 )

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 已知 a ? ( 2 c o s x , 1) ,b ? (c o s x , 3 s in 2 x ) ,其中 x ? R .设函数 f ( x ) ? a ? b ,求 f ( x ) 的 最小正周期、最大值和最小值.
? ? ? ?

第 2 页 共 2 页

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 已知 z ? C ,且满足 z ? ( z ? z ) i ? 5 ? 2 i . (1)求 z ; (2)若 m ? R , w ? zi ? m ,求证: w ? 1 .
2

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网” 养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度 v (单位:千克/年)是养殖密度 x (单位:尾/立方米)的函数.当 x 不超过 4(尾/立方米)时, v 的值为 2 (千克/年) ;当
4 ? x ? 2 0 时, v 是 x 的一次函数;当 x 达到 2 0 (尾/立方米)时,因缺氧等原因, v 的值

为 0 (千克/年) 。 (1)当 0 ? x ? 2 0 时,求函数 v ( x ) 的表达式; (2)当养殖密度 x 为多大时,鱼的年生长量 (单位:千克/立方米) f ( x ) ? x ? v ( x ) 可以达 到最大,并求出最大值.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分 已知递增的等差数列 { a n } 的首项 a 1 ? 1 ,且 a 1 、 a 2 、 a 4 成等比数列. (1)求数列 { a n } 的通项公式 a n ; (2)设数列 { c n } 对任意 n ? N ,都有
*

c1 2

?

c2 2
2

?? ?

cn 2
n

? a n ? 1 成立,求 c 1 ? c 2 ? ? ? c 2 0 1 2 的

值. (3)若 b n ?
a n ?1 an
( n ? N ) ,求证:数列 { b n } 中的任意一项总可以表示成其他两项之积.
*

第 3 页 共 3 页

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 对于双曲线 C :
x a
2 2 2 2 2 2 2 2

?

y b

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ,定义 C 1 :

x a

?

y b

?1

为其伴随曲线,记

双曲线 C 的左、右顶点为 A 、 B . (1)当 a ? b 时,记双曲线 C 的半焦距为 c ,其伴随椭圆 C 1 的半焦距为 c 1 ,若 c ? 2 c 1 ,求 双曲线 C 的渐近线方程; (2) 若双曲线 C 的方程为 求动点 M 的轨迹方程; (3)过双曲线 C : x ? y ? 1 的左焦点 F ,且斜率为 k 的直线 l 与双曲线 C 交于 N 1 、 N 2 两
2 2

x

2

?

y

2

? 1 , P Q ? x 轴, 弦 记直线 P A 与直线 Q B 的交点为 M ,

4

2

点,求证:对任意的 k ? [ ? 2

?

1 4

?

1 4

,2

???? ????? ? ??? 2 ? ] ,在伴随曲线 C 1 上总存在点 S ,使得 F N 1 ? F N 2 ? F S .

第 4 页 共 4 页

松江区 2012 学年度第一学期高三期末考试 数学(理科)试卷参考答案
2013.1 1. 4 3. 1 5. 5 7. y ? 4 x
2

2. 2 4. 20 6.
1 2

8. 2 10. 12.
1 2

9. 2 3 11.③ 13. [1 6 , 3 6 ] 15.D 16. C 17.C

7 25

14. ③④ 18.D
3 s in 2 x ? ? 2 f ( x ) ? a ? b ? 2 cos x ?

19.解:由题意知

????????? 3 分

? 2?

cos 2 x ? 1 2

?

3 s in 2 x

? cos 2x ?

3 s in 2 x ? 1

? ? ? ? 2 s in ? 2 x ? ??1 6 ? ?

????????????? 6 分 ????????8 分

∴最小正周期 当 2x ? 当 2x ?
?
6 ? ?

T ?

2? 2

? ?
?
6 ? k? , ? k ? Z ?

?
2 3? 2

? 2 k ? ,即 x ? ? 2 k ? ,即 x ?

时, f ( x ) m a x ? 2 ? 1 ? 3 ????? ?10 分 时, f
2

?
6

2? 3

? k? , ? k ? Z ?
2

? x ? m in
2

? ? 2 ? 1 ? ? 1 ????12 分

20.解: (1)设 z ? a ? b i ( a , b ? R ) ,则 z 由 a ? b ? 2 ai ? 5 ? 2i
2 2

? a ? b , ( z ? z )i ? 2 a i

????2 分

?a ? b ? 5 得? ? 2a ? 2
2 2

???????????4 分
? a ?1 ???????????? 5 分 ? ?b ? ?2

解得 ?

?a ?1 ?b ? 2



∴ z ? 1 ? 2 i 或 z ? 1 ? 2 i ???????????? 7 分 (2)当 z ? 1 ? 2 i 时,
w ? z i ? m ? (1 ? 2 i ) i ? m ? ? 2 ? i ? m ? ( m ? 2 ) ? 1 ? 1 ???????? 1 0 分
2

当 z ? 1 ? 2 i 时,
w ? z i ? m ? (1 ? 2 i ) i ? m ? 2 ? i ? m ? ( m ? 2 ) ? 1 ? 1 ?????????13 分
2

∴ w ?1 21.解: (1)由题意:当 0 ? x ? 4 时, v ? x ? ? 2 ; 第 5 页 共 5 页

???????????14 分 ??????????2 分

当 4 ? x ? 2 0 时,设 v ? x ? ? ax ? b ,显然 v ? x ? ? ax ? b 在 [ 4 , 2 0 ] 是减函数,
1 ? a ? ? ? ?20a ? b ? 0 ? 8 由已知得 ? ,解得 ? ?4a ? b ? 2 ?b ? 5 ? ? 2
? 2, ? 故函数 v ? x ? = ? 1 5 ?? x ? , 2 ? 8 0 ? x ? 4, x ? N
*

??????????4 分

??????????6 分
4 ? x ? 20, x ? N
*

?2 x, 0 ? x ? 4, x ? N ? (2)依题意并由(1)可得 f ? x ? ? ? 1 2 5 * x, 4 ? x ? 20, x ? N . ?? x ? 2 ? 8
*

???8 分

当 0 ? x ? 4 时, f ? x ? 为增函数,故 f m ax ? x ? ? f ( 4 ) ? 4 ? 2 ? 8 ; 当 4 ? x ? 2 0 时, f ? x ? ? ?
f m a x ? x ? ? f (1 0 ) ? 1 2 .5 .
1 8 x ?
2

????10 分
2

5 2

x ? ?

1 8

(x ? 20 x) ? ?
2

1 8

(x ? 10) ?

100 8

2



??????????12 分

所以,当 0 ? x ? 2 0 时, f ? x ? 的最大值为 1 2 .5 . 当养殖密度为 10 尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值约为 1 2 .5 千克/立方米. ??????????14 分 22.解: (1)∵ ? a n ? 是递增的等差数列,设公差为 d
? a 1 、 a 2 、 a 4 成等比数列,∴ a 2 = a 1 ? a 4
2

( d ? 0 ) ????????1 分

????????2 分
d ?1



( 1? d ) ?
2

? 1

?1 d 3 (

) 及d ? 0 得

???????????3 分 ???????????4 分

∴ an ? n (n ? N *) (2)∵ a n ? 1 ? n ? 1 , 当 n ? 1 时,
c1 2

c1 2

?

c2 2
2

?? ?

cn 2
n

? n ?1

对 n ? N 都成立
*

? 2 得 c1 ? 4

???????????5 分
cn 2
n

当 n ? 2 时,由 ①-②得
cn 2
n

c1 2

?

c2 2
2

?? ?
n

? n ? 1 ①,及

c1 2

?

c2 2
2

?? ?

c n ?1 2
n ?1

? n②

? 1 ,得 c n ? 2

????7 分

∴ cn ? ?

? 4 ?2
n

( n ? 1) (n ? 2)
2 (1 ? 2
2 2011

?????8 分

∴ c1 ? c 2 ? ? ? c 2 0 1 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3

2012

? 4?

)

1? 2

? 2

2013

????10 分 ???11 分

* * (3)对于给定的 n ? N ,若存在 k , t ? n , k , t ? N ,使得 b n ? b k ? b t

∵ bn ?

n ?1 n

,只需

n ?1 n

?

k ?1 t ?1 ? , k t

???????12 分

第 6 页 共 6 页

即1 ?

1 n

? (1 ?

1 k

) ? (1 ?

1 t

) ,即

1 n

?

1 k

?

1 t

?

1 kt

即 kt ? nt ? nk ? n , t ?

n ( k ? 1) k ? n

取 k ? n ? 1 ,则 t ? n ( n ? 2 )
n ?1 n

???????14 分
? n ? 2n ? 1
2

∴对数列 { b n } 中的任意一项 b n ? 使得 b n ? b n ? 1 ? b n
2

,都存在 b n ? 1 ?

n? 2 n ?1

和 bn

2

?2n

n ? 2n
2

?2n

?????????16 分
a ? b , c1 ?
2 2

23.解: (1)∵ c ?

a ?b
2

2

?????????1 分
[来源:Z。xx。k.Com]

2 2 2 2 由 c ? 2 c 1 ,得 a 2 ? b 2 ? 2 a 2 ? b 2 ,即 a ? b ? 4 ( a ? b )

可得
Z#X#X#K]

b a

2 2

?

3 5
15 5 x

?????????3 分 ?????????4 分

[来源:学#科#网

∴ C 的渐近线方程为 y ? ?

(2)设 P ( x 0 , y 0 ) , Q ( x 0 , ? y 0 ) ,又 A ( ? 2 , 0 ) 、 B ( 2 , 0 ) , ∴直线 P A 的方程为 y ? 直线 Q B 的方程为 y ?
4 ? x ? ? 0 ? x 由①②得 ? ?y ? 2y 0 ? x ?
y0 x0 ? 2 ? y0 x0 ? 2 ( x ? 2 ) ????①

( x ? 2 ) ????②

????????6 分

????????????8 分

∵ P ( x 0 , y 0 ) 在双曲线
4
2 2

x

2

?

y

2

? 1上

4 x
2

2 y
2

4y
2

2

∴ x ? x
4

?1



?

?1

????????????10 分

2

4

2
2),

(3)证明:点 F 的坐标为 F ( ? 2 , 0 ) ,直线 l 的方程为 y ? k ( x ?
? y ? k(x ? ? ? ? x ? y
2 2

设 N 1 、 N 2 的坐标分别为 N 1 ( x 1 , y 1 ) 、 N 2 ( x 2 , y 2 ) ???????????11 分 则由 ?
2) ?1
2 2 得x ? k (x ?

2)

2

?1,

2 2 2 2 即 (1 ? k ) x ? 2 2 k x ? ( 2 k ? 1) ? 0 ,

当 k ? ? 1 时, ∵ ? ? 8 k ? 4 (1 ? k ) ( 2 k ? 1) ? 8 k ? 8 k ? 4 k ? 4 ? 4 k ? 4 ? 0
4 2 2 4 4 2 2

∴ x1 ? x 2 ?

2

2k
2

2

1? k ???? ????? ? F N 1 ? F N 2 ? ( x1 ?

, x1 ? x 2 ? ?
2 , y1 ) ? ( x 2 ? 2 ) ? k ( x1 ?

2k

2

?1
2

1? k

?????????13 分
2 )( x 2 ?
2

2 , y 2 ) ? ( x1 ? 2 )k ( x2 ?

2 ) ? y1 y 2 2 ( x1 ? x 2 ) ? 2 ]

? ( x1 ?

2 )( x 2 ?

2 ) ? (1 ? k )[ x1 x 2 ?

第 7 页 共 7 页

? (1 ? k ) ( ?
2

2k

2

?1
2

1? k
? 1 4

?

2 ?

2

2k
2

2

1? k

? 2) ?

1? k 1? k

2 2

由 k ? [?2 ∴
1? k 1? k
2 2

?

1 4

,2

] 知 k ? [0,
2

2 2

],

? [1, 3 ? 2

2 ] ???????? ?????16 分

2 2 2 2 ∵双曲线 C : x ? y ? 1 的伴随曲线是圆 C 1 : x ? y ? 1 ,圆 C 1 上任意一点 S 到 F 的距离

S F ? [ 2 ? 1,1 ? 2 ] , ??? 2 ? ∴ S F ? [3 ? 2 2 , 3 ? 2 2 ]

?????????????17 分
2 ? , 3 2 2 2 ]



[1, ? 3

2

2 ] ?
? 1 4

?3 [
? 1 4

∴ 对任意的 k ? [ ? 2

] ,在伴随曲线 C 1 上总存在点 S , ???? ????? ? ??? 2 ? 使得 F N 1 ? F N 2 ? F S ????????????18 分 ,2

第 8 页 共 8 页


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