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2013北师大版高中数学(必修1)期末测试题(一)


必修 1 全册 综合测试题(一)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分, 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2011· 新课标文)已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P= M∩N,则 P 的子集共有( A.2 个 C.6 个 D.8 个 ) B.4 个

2.(2012· 银川高一检测)设函数 f(x)=logax(a>0,且 a≠1)在(0, +∞)上单调递增,则 f(a+1)与 f(2)的大小关系是( A.f(a+1)=f(2) C.f(a+1)<f(2) B.f(a+1)>f(2) D.不确定 1 有相同定义域的是( x ) )

3.下列函数中,与函数 y= A.f(x)=lnx C.f(x)=|x| 1 B.f(x)=x D.f(x)=ex

4.(2011· 北京文)已知全集 U=R,集合 P={x|x2≤1},那么?UP =( ) A.(-∞,-1) C.(-1,1) B.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) )

5.函数 y=lnx+2x-6 的零点,必定位于如下哪一个区间( A.(1,2) C.(3,4) B.(2,3) D.(4,5)

6.已知 f(x)是定义域在(0,+∞)上的单调增函数,若 f(x)>f(2-

x),则 x 的取值范围是( A.x>1 C.0<x<2 B.x<1 D.1<x<2

)

1 7.设 y1=40.9,y2=80.48,y3=(2)-1.5,则( A.y3>y1>y2 C.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2

)

8.(2012· 德阳高一检测)已知 log32=a,3b=5,则 log3 30由 a,b 表示为( ) 1 B.2(a+b)+1 1 D.2a+b+1

1 A.2(a+b+1) 1 C.3(a+b+1)

9.若 a>0 且 a≠1,f(x)是偶函数,则 g(x)=f(x)· loga(x+ x2+1) 是( ) A.奇函数 B.偶函数 D.奇偶性与 a 的具体值有关

C.非奇非偶函数

10.定义两种运算:a⊕b= a2-b2,a?b= ?a-b?2,则函数 f(x) = 2 ⊕x 的解析式为( ?x?2?-2 )

4-x2 A.f(x)= x ,x∈[-2,0)∪(0,2) x2-4 B.f(x)= x ,x∈(-∞,2]∪[2,+∞) x2-4 C.f(x)=- x ,x∈(-∞,2]∪[2,+∞) 4-x2 D.f(x)=- x ,x∈[-2,0)∪(0,2]

第Ⅱ 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案 填在题中横线上) 4 11. 幂函数 f(x)的图像过点(3, 27). 则 f(x)的解析式是________. 12.(2011· 安徽文)函数 y= 1 的定义域是________. 6-x-x2

13.设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为 ________. 14.已知 f(x6)=log2x,则 f(8)=________. a 15. 已知函数 f(x)=x2+x(x≠0, 常数 a∈R), 若函数 f(x)在 x∈[2, +∞)上为增函数,则 a 的取值范围为________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)设全集 U 为 R,A={x|x2+px+12=0}, B={x|x2-5x+q=0},若(?UA)∩B={2},A∩(?UB)={4},求 A∪B. 17.(本小题满分 12 分)(2012· 广州高一检测)(1)不用计算器计算: log3 27+lg25+lg4+7log7 +(-9.8)0 1 1 (2)如果 f(x-x)=(x+x)2,求 f(x+1). x3 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= x , 2 -1 (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)求证:f(x)>0. 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,并
2

且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=2x. 1 (1)求 f(log23)的值; (2)求 f(x)的解析式. 20. (本小题满分 13 分)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)和一 次函数 g(x)=-bx(b≠0),其中 a,b,c 满足 a>b>c,a+b+c=0(a, b,c∈R). (1)求证:两函数的图像交于不同的两点; (2)求证:方程 f(x)-g(x)=0 的两个实数根都小于 2. 21.(本小题满分 14 分)一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一 些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用 1 时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的4,已 2 知到今年为止,森林剩余面积为原来的 2 , (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)至今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年?

1[答案] B [解析] 本题考查了集合运算、子集等,含有 n 个元素的集合的 所有子集个数是 2n. ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴M∩N={1,3}, 所以 P 的子集个数为 22=4 个. 2[答案] B [解析] ∵f(x)=logax 在(0,+∞)上单调递增, ∴a>1,∴a+1>2,

∴f(a+1)>f(2),故选 B. 3[答案] A [解析] 函数 y= 4[答案] D [解析] 本题考主要考查集合的运算与解不等式问题. P={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1}, 所以?UP=(-∞,-1)∪(1,+∞). 5[答案] B [解析] 令 f(x)=lnx+2x-6,设 f(x0)=0, ∵f(1)=-4<0,f(3)=ln3>0, 又 f(2)=ln2-2<0,f(2)· f(3)<0, ∴x0∈(2,3). 6[答案] D x>0 ? ? 由已知得?2-x>0 ? ?x>2-x 1 的定义域为(0,+∞),故选 A. x

[解析]

?x>0 ??x<2 ?x>1



∴x∈(1,2),故选 D. 7[答案] D [解析] ∵y1=40.9=21.8, y2=80.48=(23)0.48=21.44,y3=21.5, 又∵函数 y=2x 是增函数,且 1.8>1.5>1.44. ∴y1>y3>y2. 8[答案] A [解析] 3b=5,b=log35,

1 1 log3 30=2log330=2log3(3×10) 1 =2(1+log310) 1 1 =2(1+log32+log35)=2(a+b+1). 9[答案] A [解析] g(-x)=f(-x)· loga(-x+ x2+1)=f(x)· loga =-f(x)· loga(x+ x2+1)=-g(x). 则 g(x)是奇函数. 10[答案] D [解析] ∵a⊕b= a2-b2,a?b= ?a-b?2, 2 ⊕x 22-x2 4-x2 ∴f(x)= = = . ?x?2?-2 ?x-2?2-2 |x-2|-2 ∵-2≤x≤2 且|x-2|-2≠0,即 x≠0, 4-x2 4-x2 ∴f(x)= =- x ,x∈[-2,0)∪(0,2]. 2-x-2 11[答案] f(x)=x
3 4

1 x +1+x
2

4 [解析] 设 f(x)=xα,将(3, 27)代入,
4 3 4 得 3α= 27=3 ,则 α=4.∴f(x)=x . 3 4 3

12[答案] {x|-3<x<2} [解析] 该题考查函数的定义域,考查一元二次不等式的解法, 注意填定义域(集合). 由 6-x-x2>0,

得 x2+x-6<0, 即{x|-3<x<2}. 13[答案] -1 [解析] ∵f(-x)=f(x)对任意 x 均成立,∴(-x)· (e-x+aex)=x(ex +ae-x)对任意 x 恒成立, ∴x(-aex-e-x)=x(ex+ae-x),∴a=-1. 1 14[答案] 2 1 [解析] ∵f(x6)=log2x=6log2x6, 1 ∴f(x)=6log2x, 1 1 1 ∴f(8)=6log28=6log223=2. 15[答案] (-∞,16] [解析] 任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2, a a 2 则 f(x1)-f(x2)=x1 +x -x2 2- x
1 2

?x1-x2? = x x [x1x2(x1+x2)-a], 1 2 要使函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,需使 f(x1)-f(x2)<0 恒 成立. ∵x1-x2<0,x1x2>4>0,∴a<x1x2(x1+x2)恒成立. 又∵x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16,∴a≤16, 即 a 的取值范围是(-∞,16]. 16[解析] ∵(?UA)∩B={2},A∩(?UB)={4}, ∴2∈B,2?A,4∈A,4?B,根据元素与集合的关系,

2 ? ? ?4 +4p+12=0 ?p=-7, ? 可得 2 ,解得? ?2 -10+q=0 ? ? ?q=6.

∴A={x|x2-7x+12=0}={3,4},B={x|x2-5x+6=0}={2,3}, 经检验符合题意. ∴A∪B={2,3,4}. 17[解析] (1)原式=log33 +lg(25×4)+2+1 3 13 =2+2+3= 2 . 1 1 (2)∵f(x-x)=(x+x)2 1 1 =x2+x2+2=(x2+x2-2)+4 1 =(x-x )2+4 ∴f(x)=x2+4 ∴f(x+1)=(x+1)2+4 =x2+2x+5. 18[解析] (1)由 2x-1≠0,即 2x≠1,得 x≠0, 所以函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (2)因为 f(1)=1,f(-1)=2,所以 f(-1)≠f(1),且 f(-1)≠-f(1), 所以 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)由于函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 因为当 x>0 时,2x>1,2x-1>0,x3>0,所以 f(x)>0; 当 x<0 时,0<2x<1,2x-1<0,x3<0,所以 f(x)>0. 综上知 f(x)>0.本题得证. 19[解析] (1)因为 f(x)为奇函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=2x,
3 2

1 所以 f(log23)=f(-log23)=-f(log23) =-2log2 =-3. (2)设任意的 x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞), 因为当 x∈(0,+∞)时,f(x)=2x,所以 f(-x)=2-x, 又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(-x)=-f(x), 所以 f(x)=-f(-x)=-2-x,即当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-2-x; 又因为 f(0)=-f(0),所以 f(0)=0, 2 ,x>0 ? ? 综上可知,f(x)=?0,x=0 ? ?-2 x,x<0


3

x

.

20[解析] (1)若 f(x)-g(x)=0,则 ax2+2bx+c=0, ∵Δ=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac c 3 =4[(a-2)2+4c2]>0, 故两函数的图像交于不同的两点. (2)设 h(x)=f(x)-g(x)=ax2+2bx+c,令 h(x)=0 可得 ax2+2bx+ c=0.由(1)可知,Δ>0. ∵a>b>c,a+b+c=0(a,b,c∈R),∴a>0,c<0, ∴h(2)=4a+4b+c=4(-b-c)+4b+c=-3c>0, 2b -b a+c c -2a= a = a =1+a<2,

?a>0 ? 即有?h?2?>0 2b ? ?-2a<2

Δ>0

,结合二次函数的图像可知,

方程 f(x)-g(x)=0 的两个实数根都小于 2.

21[解析] (1)设每年砍伐的百分比为 x(0<x<1). 1 1 则 a(1-x)10=2a,即(1-x)10=2, 1 解得 x=1-(2)
1 10

.

2 (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 2 , 2 则 a(1-x)m= 2 a, 1 10 1 m 1 即(2) =(2) ,10=2, 解得 m=5,故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年开始,以后砍了 n 年, 2 则 n 年后剩余面积为 2 a(1-x)n, 2 1 2 令 2 a(1-x)n≥4a,即(1-x)n≥ 4 , 1 (2) n
10

m

1 2

1 n 3 ≥(2) ,10≤2,解得 n≤15.

3 2

故今后最多还能砍伐 15 年.


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