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初高中数学衔接教材(学生)


一.数与式的运算
1.绝对值
绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对 值仍是零.即 ?a, a ? 0, ? | a |? ?0, a ? 0, ??a, a ? 0. ? 绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义: a ? b 表示在数轴上,数 a 和数 b 之间的

距离. 例 解方程: x ?1 ? x ? 3 =4.




(1)若 x ? 5 ,则 x=_________;若 x ? ? 4 ,则 x=_________. (2)如果 a ? b ? 5 ,且 a ? ?1 ,则 b=________;若 1 ? c ? 2 ,则 c=________.

1.填空:

2.选择题: 下列叙述正确的是 (A)若 a ? b ,则 a ? b (C)若 a ? b ,则 a ? b 3.化简:|x-5|-|2x-13|(x>5) . (B)若 a ? b ,则 a ? b (D)若 a ? b ,则 a ? ?b





2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ; 2 2 2 (2)完全平方公式 (a ? b) ? a ? 2 a b? . b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: 2 3 (1)立方和公式 (a ? b) (a ? ab ? 2 b) ? 3 a? ; b 2 2 3 3 (2)立方差公式 (a ? b) (a ? a b ? b) ? a? ; b 2 2 2 2 (3)三数和平方公式 (a ? b ? c ) ? a ?b ?c 2 ? ( a b? b c ?; )a c 3 3 2 2 3 (4)两数和立方公式 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a b ? ; b 3 3 2 2 3 (5)两数差立方公式 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a b ? .b 2 例 1 计算: ( x ? 1)( x ?1)( x ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) . 例2 已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a 2 ? b2 ? c 2 的值.




1 1 2 1 1 b ? ( b ? a) ( 9 4 2 3 2 (2) (4m ? ) ? 16m2 ? 4m ? (
(1) a 2 ? ) ;

1.填空:

); ).
( (D) )

(3 ) (a ? 2b ? c)2 ? a 2 ? 4b2 ? c 2 ? ( 2.选择题:

1 mx ? k 是一个完全平方式,则 k 等于 2 1 1 (A) m 2 (B) m 2 (C) m 2 4 3 2 2 (2)不论 a , b 为何实数, a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值
(1)若 x 2 ? (A)总是正数 (C)可以是零

1 2 m 16
( )

(B)总是负数 (D)可以是正数也可以是负数

3.根式
一般地,形如 a (a ? 0) 的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方 的 式 子 称为 无理 式 . 例 如 3a ? a2 ? b ? 2b , a2 ? b2 等 是 无 理式 , 而 2 x 2 ?
2 x ?1 , 2

x2 ? 2xy ? y2 , a2 等是有理式.
1.分母(子)有理化 2.二次根式 a2 的意义 a 2 ? a ? ? 例1
?a, a ? 0, ?? a, a ? 0.

将下列式子化为最简二次根式: (1) 12b ; (2) a 2b (a ? 0) ; (3) 4 x 6 y ( x ? 0) .

例2 . 例3

计算: 3 ? (3 ? 3) . 试比较下列各组数的大小: (2)
2 和 2 2- 6 . 6?4

(1) 12 ? 11 和 11 ? 10 ; 例4 例 5

化简: ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 . 化简: (1) 9 ? 4 5 ; (2) x 2 ?

1 ? 2(0 ? x ? 1) . x2

例 6

已知 x ?

3? 2 3? 2 ,求 3x2 ? 5xy ? 3 y 2 的值 . ,y? 3? 2 3? 2

2




(1)

1.填空:

1? 3 =__ 1? 3

___; ___;

(2)若 (5 ? x )( x ? 3)2 ? ( x ? 3) 5 ? x ,则 x 的取值范围是_ _ (3) 4 24 ? 6 54 ? 3 96 ? 2 150 ? __ (4)若 x ? ___;

5 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1 ,则 ? ? ______ 2 x ? 1 ? x ?1 x ?1 ? x ?1

__.

2.选择题:

x ? x?2 (A) x ? 2
等式

x 成立的条件是 x?2 (B) x ? 0

( (C) x ? 2 (D) 0 ? x ? 2



a2 ?1 ? 1 ? a2 3.若 b ? ,求 a ? b 的值. a ?1
4.比较大小:2- 3 5- 4(填“>”,或“<”) .

4.分式
1.分式的意义 形如

A A A 的式子,若 B 中含有字母,且 B ? 0 ,则称 为分式.当 M≠0 时,分式 具有下列性质: B B B A A? M ? . B B? M

A A? M ? ; B B?M

a m?n? p 2.繁分式:像 b , 这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. 2m c?d n? p 5x ? 4 A B 例1 若 ,求常数 A, B 的值. ? ? x( x ? 2) x x ? 2

例2

(1)试证:

1 1 1 ? ? (其中 n 是正整数) ; n(n ? 1) n n ? 1
? 1 ; 9 ? 10

(2)计算:

1 1 ? ? 1? 2 2 ? 3

(3)证明:对任意大于 1 的正整数 n, 有

1 1 ? ? 2 ? 3 3? 4

?

1 1 ? . n(n ? 1) 2

3

例3

设e ?

c ,且 e>1,2c2 -5ac+2a2 =0,求 e 的值. a

练 习
1.填空题:对任意的正整数 n, 2.选择题: 若

1 ? n(n ? 2)

1 1 ( ? ) n n?2
( )

2x ? y 2 x ? ,则 = x? y 3 y
(B)

(A)1

5 4

(C)

3.正数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 2 xy ,求

x? y 的值. x? y

4 5

(D)

6 5

4.计算

1 1 1 1 ? ? ? ... ? . 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?100

二 .因式分解
因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应 了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法 例1 分解因式: (1)x2 -3x +2; (3) x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ; (2)x2 +4x -12; (4) xy ? 1 ? x ? y .

练习
一、填空题: 1、把下列各式分解因式: (1) x ? 5 x ? 6 ? ______________。 2 (3) x ? 5 x ? 6 ? ______________。
2

(5) x 2 ? ?a ? 1?x ? a ? _________ 。 (7) 6 x ? 7 x ? 2 ? __________
2 2

(2) x ? 5 x ? 6 ? ______________。 2 (4) x ? 5 x ? 6 ? ______________。
2

(6) x ? 11x ? 18 ? ____________。
2



(8) 4m ? 12m ? 9 ? ___________。
2

(9) 5 ? 7 x ? 6 x ? _____________。 2、 x ? 4x ?
2
2

3、若 x ? ax ? b ? ?x ? 2??x ? 4? 则 a ? ,b ? 二、选择题: (每小题四个答案中只有一个是正确的)
2 2 2 2

? ? x ? 3?? x ?

(10)12x 2 ? xy ? 6 y 2 ? _________。

?


2

1、在多项式(1) x ? 7 x ? 6 (2) x ? 4 x ? 3 (3) x ? 6 x ? 8 (4) x ? 7 x ? 10 (5) x ? 15x ? 44 中,有相同因式的是( ) A、只有(1) (2 ) B、只有(3) (4) C、只有(3) (5 ) D、 (1)和(2) ; (3)和(4) ; (3)和(5) 2、分解因式 a ? 8ab ? 33b 得( ) A、 ?a ? 11??a ? 3? B、 ?a ? 11b??a ? 3b?
2 2

C、 ?a ? 11b??a ? 3b?

D、 ?a ? 11b??a ? 3b?

4

3、 ?a ? b? ? 8?a ? b? ? 20 分解因式得(
2



A、 ?a ? b ? 10??a ? b ? 2? C、 ?a ? b ? 2??a ? b ? 10? A、 a ? 10 , b ? 2

4、若多项式 x 2 ? 3x ? a 可分解为 ?x ? 5??x ? b? ,则 a 、 b 的值是( B、 a ? 10 , b ? ?2 C、 a ? ?10 , b ? ?2 5、若 x 2 ? mx ? 10 ? ?x ? a??x ? b? 其中 a 、 b 为整数,则 m 的值为( A、 3 或 9 B、 ? 3 C、 ? 9 D、 ? 3 或 ? 9

D、 ?a ? b ? 4??a ? b ? 5?

B、 ?a ? b ? 5??a ? b ? 4? ) D、 a ? ?10 , b ? 2 )

2.提取公因式法 例 2 分解因式: (1) a 2 ?b ? 5? ? a?5 ? b?

(2) x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x

课堂练习:
一、填空题: 1、多项式 6 x 2 y ? 2 xy 2 ? 4 xyz 中各项的公因式是_______________。 2、 m?x ? y ? ? n? y ? x? ? ?x ? y ? ? __________________。
2 2 2

3、 m?x ? y? ? n? y ? x? ? ?x ? y? ? ____________________。

4、 m?x ? y ? z ? ? n? y ? z ? x? ? ?x ? y ? z ? ? _____________________。 5、 m?x ? y ? z ? ? x ? y ? z ? ?x ? y ? z ? ? ______________________。
2 6 3 2 5

6、 ? 13ab x ? 39a b x 分解因式得_____________________。 2 7.计算 99 ? 99 = 二、判断题: (正确的打上“√” ,错误的打上“×” ) 2 2 1、 2a b ? 4ab ? 2ab?a ? b? ( ) 2、 am ? bm ? m ? m?a ? b? ( 3、 ? 3x ? 6 x ?15x ? ?3x x ? 2 x ? 5 (
3 2 2

?

?

) )



4、 x ? x
n

n?1

?x

n?1

?x ?1? (

3:公式法
分解因式: (1) ? a 4 ? 16 2 2 (2) ?3x ? 2 y? ? ?x ? y? 课堂练习 2 2 2 2 3 3 一、 a ? 2ab ? b , a ? b , a ? b 的公因式是______________ 例3
二、判断题: (正确的打上“√” ,错误的打上“×” )

4 ?2 ? ?2 ??2 ? 2 1、 x 2 ? 0.01 ? ? x ? ? ?0.1? ? ? x ? 0.1? ? x ? 0.1? ( 9 ?3 ? ?3 ??3 ? 2 2 2 2 2、 9a ? 8b ? ?3a? ? ?4b? ? ?3a ? 4b??3a ? 4b? ( ) 2 3、 25a ?16b ? ?5a ? 4b??5a ? 4b? ( ) 2 2 2 2 4、 ? x ? y ? ? x ? y ? ??x ? y ??x ? y ? ( )
5、 a ? ?b ? c? ? ?a ? b ? c??a ? b ? c? ( 五、把下列各式分解
2 2

2



?

?

) 2、 3 x ?
2
4

1、 ? 9?m ? n? ? ?m ? n?
2

2

1 3
2

3、 4 ? x ? 4 x ? 2
2

?

?

2

4、 x ? 2 x ? 1
5

4.分组分解法 例4 (1) x 2 ? xy ? 3 y ? 3x (2) 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 .

课堂练习:用分组分解法分解多项式 (1) x 2 ? y 2 ? a 2 ? b2 ? 2ax ? 2by (2) a 2 ? 4ab ? 4b 2 ? 6a ? 12b ? 9 5.关于 x 的二次三项式 ax2 +bx+c(a≠0)的因式分解. 若关于 x 的方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根是 x1 、x2 , 则二次三项式 ax2 ? bx ? c(a ? 0) 就可分解为 a( x ? x1 )( x ? x2 ) . 例 5 把下列关于 x 的二次多项式分解因式: (1) x 2 ? 2 x ? 1 ; (2) x2 ? 4 xy ? 4 y 2 .




( (C) x ? 3 y (2)8a3 -b3 ; (4) 4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x) . (D) x ? 5 y ) (A) 2 x ? 5 y (B) x ? 3 y

1.选择题: 多项式 2 x2 ? xy ?15 y 2 的一个因式为 2.分解因式: (1)x2 +6x+8;
2

(3)x -2x-1;

习题 2 1.分解因式: (1) a ? 1; 4 2 (2) 4 x ? 13x ? 9 ;
3

(3) b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc ; 2.在实数范围内因式分解: 2 (1) x ? 5 x ? 3 ;
2 2

(2) x ? 2 2 x ? 3 ; 2 2 (3) 3x ? 4 xy ? y ;
2

(4) ( x ? 2x) ? 7( x ? 2x) ? 12 .
2 2 2

3. ?ABC 三边 a , b , c 满足 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ,试判定 ?ABC 的形状.
2 2 2

4.分解因式:x2 +x-(a2 -a).

6


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