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高一数学必修1 函数的单调性和奇偶性的综合应用


高一数学必修 1 函数的单调性和奇偶性的综合应用
对称有点对称和轴对称:

O 点对称:对称中心 O 轴对称:

数的图像关奇函于原点成点对称,偶函数的图像关于 y 轴成轴对称图形。 1、函数的单调性:应用:若 y ? f ( x ) 是增函数, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 应用:若 y ? f ( x ) 是减

函数, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 相关练习:若 y ? f ( x ) 是 R 上的减函数,则 f (1) 2、熟悉常见的函数的单调性: y ? kx ? b 、 y ? 相关练习:若 f ( x ) ? a x , g ( x ) ? ?
(0, ? ? ) 上是
2

x1 x1

x2 x2

f ( a ? 2 a? 2 )
2

k x

、 y ? ax ? bx ? c
2

b x

在 ( ? ? , 0 ) 上都是减函数,则 f ( x ) ? a x ? b x 在

函数(增、减)
?
f ( x ) 是偶函数
f ( x ) 是奇函数

3、函数的奇偶性: 定义域关于原点对称, f ( ? x ) ? f ( x )

定义域关于原点对称, f ( ? x ) ? ? f ( x ) ?

(当然,对于一般的函数,都没有恰好 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,所以大部分函数都不具有奇偶性) 相关练习: (1)已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ? 4 a ?
2

1 b

是定义在 [ a ? 1, 2 a ] 上的奇函数,且

f (1) ? 5 ,求 a 、 b

(2)若 f ( x ) ? ( K ? 2 ) x ? ( K ? 1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x ) 的递减区间是
2



(3)若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,则 f (0 ) ?



(4)函数 y ? f ( x ) 的奇偶性如下:画出函数在另一半区间的大致图像

奇函数
y y

偶函数
y

奇函数
y

奇函数

o

x

o

x

o

x

o

x

4、单调性和奇偶性的综合应用 【类型 1
(0, ? ? ) 上是

转换区间】

相关练习: (1)根据函数的图像说明,若偶函数 y ? f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) 上是减函数,则 f ( x ) 在 函数(增、减)
3 4

(2) 已知 f ( x ) 为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? (1 ? x ) x ,则当 x ? 0 时, ( x ) ? (3)R 上的偶函数在 (0, ? ? ) 上是减函数, f ( ?
)

f( a ? a 1) ?
2

(4)设 f ( x ) 为定义在 ( ? ? , ? ? ) 上的偶函数, f ( x ) 在 [0, ? ? ) 为增函数, f ( ? 2 ) 、f ( ? ? ) 、 ( 且 则
f (3) 的大小顺序是(

) B. f ( ? ? ) ? f ( ? 2 ) ? f (3) D. f ( ? ? ) ? f ( ? 2 ) ? f (3) )

A. f ( ? ? ) ? f (3) ? f ( ? 2 ) C. f ( ? ? ) ? f (3) ? f ( ? 2 )

(5)如果奇函数 f ( x ) 在区间 [3, 7 ] 上的最小值是 5,那么 f ( x ) 在区间 [ ? 7 , ? 3] 上( A. 最小值是 5 B. 最小值是-5 C. 最大值是-5 D. 最大值是 5

(6)如果偶函数 f ( x ) 在 [3, 7 ] 上是增函数,且最小值是-5那么 f ( x ) 在 [ ? 7 , ? 3] 上是( A. 增函数且最小值为-5 C. 减函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 D. 减函数且最大值为-5

)

(7) 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且在 ( ? ? , 0 ) 上 f ( x ) 是单调增函数,那么当
x1 ? 0 , x 2 ? 0 且 x1 ? x 2 ? 0 时,有(



A. f ( ? x1 ) ? f ( ? x 2 )

B. f ( ? x1 ) ? f ( ? x 2 ) C. f ( ? x1 ) ? f ( ? x 2 ) D. 不确定

(8)如果 f ( x ) 是奇函数,而且在开区间 ( ? ? , 0 ) 上是增函数,又 f ( 2 ) ? 0 ,那么 x ? f ( x ) ? 0 的解是( ) A. ? 2 ? x ? 0 或 0 ? x ? 2 C. x ? ? 2 或 0 ? x ? 2 B. ? 2 ? x ? 0 或 x ? 2 D. x ? ? 3 或 x ? 3

x ?0 x ? 0 (9) 已知函数 f ( x ) 为偶函数,x ? R , x ? 0 时, f ( x ) 单调递增, 当 对于 1 , 2 ,

有 A.

| x 1 |? | x 2 |

,则(

) B.
f ( ? x1 ) ? f ( ? x 2 )

f ( ? x1 ) ? f ( ? x 2 )

C.

f ( ? x1 ) ? f ( ? x 2 )

D.

| f ( ? x1 ) |? | f ( ? x 2 ) |

5、单调性和奇偶性的综合应用 【类型 2 利用单调性解不等式】 相关练习:(1)已知 y ? f ( x ) 是 ( ? 3, 3) 上的减函数,解不等式 f ( x ? 3) ? f ( 2 ? x ) (2)定义在 ( ? 1,1) 上的奇函数 f ( x ) 是减函数,且满足条件 f (1 ? a ) ? f (1 ? 2 a ) ? 0 ,求 a 的取 值范围。 (3) 函 数 y ? f ( x ) 是 [ ? 2, 2 ] 上 的 偶 函 数 , 当 x ? [0, 2 ] 时 , f ( x ) 是 减 函 数 , 解 不 等 式
f (1 ? x ) ? f ( x ) 。

(4)已知 f ( x ) 是定义在 ( ? 1,1) 的偶函数,且在 (0 ,1) 上为增函数,若 f ( a ? 2 ) ? f (3 ? a ) , a 求 的取值范围。 (5)已知函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数且是增函数,解不等式 f ( ? 4 x ? 5) ? 0 。 (6) f ( x ) 是 定 义 在 (0, ? ? ) 上 的 增 函 数 , 且 f ( ) ? f ( x ) ? f ( y ) 。 ① 求 f (1) 的 值 ; ② 若
y x

1 f (6 ) ? 1 ,解不等式 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 。 3

(7)R 上的增函数满足 f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) , f () 3 且 8 ?

?

, 解不等式 f ( 2 ) ? f ( x ? 2 ) ≥ 6 。

思考题: 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意实数 x 、 y 恒有 f ( x ) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ,且当 x ? 0 时,
f ( x ) ? 0 ,又 f (1) ? ?

2 3



(1) 求 f (0 ) ; (2)求证 f ( x ) 为奇函数; (3)求证 f ( x ) 为 R 上的减函数; (4)求 f ( x ) 在 [ ? 3, 6 ] 上 的最小值与最大值;(5)解关于 x 的不等式
1 2 f (2bx ) ? f ( x ) ? 1 2 f (b x ) ? f (b ) ,(b ? 2 ) 。

补充:函数 f ( x ) 对任意的 m 、 n ? R ,都有 f ( m ? n ) ? f ( m ) ? f ( n ) ? 1 ,且当 x ? 0 时,
f ( x ) ? 1 。(1)求证: f ( x ) 在 R 上是增函数;(2)若 f (3) ? 4 ,求解不等式 f ( a ? a ? 5) ? 2 。
2


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