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二项式与归纳法证明常考问题(2)


二项式与归纳法证明常考问题(2)
四.函数相关的归纳证明问题
1.设函数 f ( x) ? (1 ? x)e ?1 .
x

(1)证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; (2)设 a1 ? 1, an e
a n ?1

? e n ? 1 ,证明对任意的正整数 n ,总有 an?1

? an .
a

证明 (1)f ?( x) ? ?e ? (1 ? x)e ? ? xe , 当 x ? 0 时,f ?( x) ? 0 , 所以函数 f ( x ) 在 (0, ??)
x x x

上单调递减,因此 f ( x) ? f (0) ? 0 . (2)首先用数学归纳法证明 an ? 0 . ①当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 0 , an ? 0 成立. ②假设 n ? k 时, ak ? 0 .那么当 n ? k ? 1 时, e 当 x ? 0 时,由熟悉的不等式 e ? 1 ? x 得
x
a n?1

2分

?

e n ?1 an
a

4分

ex ?1 ? 1. (可以用导数证明) x

所以 e

a

n ?1

? 1, an ?1 ? 0 .

由①②可知对任意的正整数 n ,总有 an ? 0 . 由(1)知 (1 ? an )ean ?1 ? 0 ,所以 ean ?1 ? anean . 由 an e
a n ?1

? e n ? 1 知 an e
a

a

n ?1

? an e an ,所以 an?1 ? an .

10 分

2. (1)设函数 f ( x) ? x log2 x ? (1 ? x) log2 (1 ? x)(0 ? x ? 1) ,求 f ( x) 的最小值; (2)设正数 p1 , p2 , p3 ,?, p2n 满足 p1 ? p2 ? p3 ? ? ? p2n ? 1 , 求证: p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? p3 log2 p3 ? ? ? p2n log2 p2n ? ?n. 解: (Ⅰ)对函数 f ( x) 求导数: f ?( x) ? ( x log2 x)? ? [(1 ? x) log2 (1 ? x)]?

1 ? log2 x ? log2 (1 ? x). 于是 f ?( ) ? 0. 2 1 1 当 x ? 时, f ?( x) ? log 2 x ? log 2 (1 ? x) ? 0, f ( x) 在区间 (0, ) 是减函数, 2 2 1 1 当 x ? 时, f ?( x) ? log 2 x ? log 2 (1 ? x) ? 0, f ( x) 在区间 ( ,1) 是增函数. 2 2 1 1 所以 f ( x)在x ? 时取得最小值, f ( ) ? ?1 , 2 2 ? log 2 x ? log 2 (1 ? x) ?
(Ⅱ)证法一:用数学归纳法证明. (i)当 n=1 时,由(Ⅰ)知命题成立. (ii) 假定当 n ? k 时命题成立, 即若正数 p1 , p2 ,?, p2k 满足p1 ? p2 ? ? ? p2k ? 1 ,

1 1 ? . ln 2 ln 2

则 p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? ? ? p2k log2 p2k ? ?k. 当 n ? k ? 1 时,若正数 p1 , p2 ,?, p2k ?1 满足p1 ? p2 ? ? ? p2k ?1 ? 1, 令 x ? p1 ? p 2 ? ? ? p 2k , q1 ?

pk p1 p , q 2 ? 2 , ?, q 2 k ? 2 . x x x

则 q1 , q2 ,?, q2k 为正数,且 q1 ? q2 ? ? ? q2k ? 1. 由归纳假定知 q1 log2 q1 ? p2 log2 q2 ?

? q2k log2 q2k ? ?k.

p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? ? ? p2k log2 p2k ? x(q1 log2 q1 ? q2 log2 q2 ? ? ? q2k log2 q2k

? log2 x) ? x(?k ) ? x log2 x, ? (1 ? x)(?k ) ? (1 ? x) log2 (1 ? x).
综合①、②两式 p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? ? ? p2k ?1 log2 p2k ?1



同理, 由 p2k ?1 ? p2k ?2 ? ? ? p2k ?1 ? 1 ? x 可得 p2k ?1 log2 p2k ?1 ? ? ? p2k ?1 log2 p2k ?1 ②

? [ x ? (1 ? x)](?k ) ? x log2 x ? (1 ? x) log2 (1 ? x) ? ?(k ? 1).
即当 n ? k ? 1 时命题也成立. 根据(i) 、 (ii)可知对一切正整数 n 命题成立. 证法二:令函数 g ( x) ? x log2 x ? (c ? x) log2 (c ? x)(常数c ? 0, x ? (0, c)),那么

x x x x g ( x) ? c[ log 2 ? (1 ? ) log 2 (1 ? ) ? log 2 c], c c c c x 1 c 利用(Ⅰ)知,当 ? (即x ? )时, 函数 g ( x)取得最小值 . c 2 2
对任意 x1 ? 0, x2 ? 0, 都有

x1 log2 x1 ? x 2 log2 x 2 ? 2 ?

x1 ? x2 x ? x2 log2 1 2 2

? ( x1 ? x2 )[log2 ( x1 ? x2 ) ? 1] . ①
下面用数学归纳法证明结论. (i)当 n=1 时,由(I)知命题成立. (ii)设当 n=k 时命题成立,即若正数 p1 , p2 ,?, p2k 满足p1 ? p2 ? ? ? p2k ? 1, 有

p1 log2 p1 ? p 2 log2 p 2 ? ? ? p 2k log2 p 2k ? ?k . 当n ? k ? 1时, p1 , p 2 ,?, p 2k ?1 满足p1 ? p 2 ? ? ? p 2k ?1 ? 1. 令H ? p1 log2 p1 ? p 2 log2 p 2 ? ? ? p 2k ?1 ?1 log2 p 2k ?1 ?1 ? p 2k ?1 log2 p 2k ?1
由①得到

H ? ( p1 ? p 2 )[log2 ( p1 ? p 2 ) ? 1] ? ? ? ( p 2k ?1 ?1 ? p 2k ?1 )[log2 ( p 2k ?1 ?1 ? p 2k ?1 ) ? 1], 因为( p1 ? p 2 ) ? ? ? ( p 2k ?1 ?1 ? p 2k ?1 ) ? 1,
由归纳法假设

( p1 ? p2 ) log2 ( p1 ? p2 ) ? ? ? ( p2k ?1 ?1 ? p2k ?1 ) log2 ( p2k ?1 ?1 ? p2k ?1 ) ? ?k , 得到

H ? ?k ? ( p1 ? p2 ? ? ? p2k ?1 ?1 ? p2k ?1 ) ? ?(k ? 1).
即当 n ? k ? 1 时命题也成立.

所以对一切正整数 n 命题成立. 3.已知函数 f ( x) ? (2x ? 1)ln(2 x ? 1) ? a(2x ? 1)2 ? x(a ? 0) . (1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处取极值,求 a 的值;
1 (2) 如图, 设直线 x ? ? , y ? ? x 将坐标平面分成Ⅰ、 Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ四个区域 (不含边界) , 2

若函数 y ? f ( x) 的图象恰好位于其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的
a 的取值范围;

(3)比较 32 ? 43 ? 54 ? ???? 20122011 与 23 ? 34 ? 45 ? ???? 20112012 的大小,并说明理由. 解: f ( x) ? (2x ? 1)ln(2 x ? 1) ? a(2x ? 1)2 ? x(a ? 0) ,
f ? ( x) ? 2ln(2x ? 1) ? 4a(2x ? 1) ? 1 .

Ⅰ Ⅱ Ⅱ
? 1 2

y
x Ⅲ

∵ f ( x) 在 x ? 0 处取极值,∴ f ? (0) ? ?4a ? 1 ? 0 . ∴a?
1 1 (经检验 a ? 符合题意) .……3 分 4 4

O Ⅳ

x

1 (2)因为函数的定义域为 (? , ??) , 2



x

且当 x ? 0 时, f (0) ? ?a ? 0 . 又直线 y ? ?x 恰好通过原点,所以函数 y ? f ( x) 的图象 应位于区域Ⅳ内,

(第 23 题)

于是可得 f ( x) ? ? x ,即 (2 x ? 1)ln(2 x ? 1) ? a(2 x ? 1)2 ? x ? ? x .…5 分 ∵ 2 x ? 1 ? 0 ,∴ a ? 令 h?( x) ? 0 ,得 x ?
2 ? 2 ln(2 x ? 1) ln(2 x ? 1) ln(2 x ? 1) .令 h( x) ? ,∴ h? ( x) ? . (2 x ? 1) 2 2x ? 1 2x ? 1

e ?1 . 2

1 1 e ?1 ∵ x ? ? ,∴ x ? (? , ) 时, m?( x) ? 0 , m( x) 单调递增, 2 2 2 x ?( e ?1 , ??) 时, m?( x) ? 0 , m( x) 单调递减. 2 e ?1 1 1 ) ? .∴ a 的取值范围是 a ? . …7 分 2 e e ln(2 x ? 1) e ?1 时单调递减, 在x ? ( , ??) 2x ? 1 2

∴ hmax ( x) ? h(

(3)法一:由(2)知,函数 m( x) ? 函数 p( x) ? ∴

ln x 在 x ? (e, ??) 时单调递减. x

ln( x ? 1) ln x ? ,? x ln( x ? 1) ? ( x ? 1)ln x . x ?1 x

∴ ln( x ? 1) x ? ln x( x?1) ,即 ( x ? 1) x ? x( x?1) .……9 分 ∴ 令x ? 3, 4, ???, 2011, 则 43 ? 34 ,54 ? 45 , ???, 20122011 ? 20112012 , 又 32 ? 43 ? 23 ? 34 ,所以 32 ? 43 ? 54 ????20122011 ? 23 ? 34 ? 45 ????20112012 .10 分
2011

2012 (2011 ? 1) 法二: ? 20112012 20112012
2011

2011

?

?C
r ?0

r 2011

20112011?r

20112012



r r ? 2011r ,?C2011 20112011?r ? 20112011 , ∵ C2011
2011



?C
r ?0

r 2011

20112011? r ?

20112012

0 1 2009 1 C2011 20112011 ? C2011 20112010 ? ? C2011 20112 ? C2011 2011 ? 1 2012 2011

?

1 1 ? ? 2011 2011

?

1 ?1 2011

∴ 20122011 ? 20112012 ,同理可得 43 ? 34 ,54 ? 45 ,以下同一. 4.记 f n ( x, y) ? ( x ? y)n ? ( x n ? y n ) ,其中 x , y 为正实数, n ? N ? .给定正实数 a , b 满 足a?

b .用数学归纳法证明:对于任意正整数 n , f n (a, b) ? f n (2,2). b ?1

五.二项式相关的归纳证明问题
1.已知 (1 ?

1 n x ) 展开式的各项依次记为 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x), 2

an ( x), an?1 ( x) .

设 F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x),

? nan ( x) ? (n ?1)an?1( x) .

(1)若 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次成等差数列,求

n 的值;

(2)求证:对任意 x1 , x2 ?[0, 2] ,恒有 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 2n?1 (n ? 2) ?1 .
k ?1 k ?1 解: (1)依题意 ak ( x ) ? Cn ( x) , k ? 1, 2,3,

1 2

, n ?1 ,

n 1 n(n ? 1) 1 1 2 0 ? ? , Cn ? ( )2 ? , a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次为 Cn ? 1 , Cn 2 2 2 8 n n(n ? 1) 4分 所以 2 ? ? 1 ? ,解得 n ? 8 ; 2 8
(2) F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x),
0 1 1 2 1 ? Cn ? 2Cn ( x) ? 3Cn ( x) 2 2 2

? nan ( x) ? (n ?1)an?1( x)
n ?1 1 n 1 ? nCn ( x) n ?1 ? (n ? 1)Cn ( x) n 2 2

0 1 2 F (2) ? Cn ? 2Cn ? 3Cn 0 1 2 设 Sn ? Cn ? 2Cn ? 3Cn n n?1 则 Sn ? (n ? 1)Cn ? nCn

n?1 n ? nCn ? (n ? 1)Cn n?1 n , ? nCn ? (n ? 1)Cn 2 1 0 ? 3Cn ? 2Cn ? Cn

k n ?k 考虑到 Cn ,将以上两式相加得: ? Cn 0 1 2 2Sn ? (n ? 2)(Cn ? Cn ? Cn n?1 n ? Cn ? Cn ) 所以 Sn ? (n ? 2)2n?1

又当 x ? [0, 2] 时, F '( x) ? 0 恒成立,从而 F ( x) 是 [0, 2] 上的单调递增函数, 所以对任意 x1 , x2 ?[0, 2] , | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? F (2) ? F (0) ? (n ? 2)2n?1 ?1 . 10 分 2. (1)已知 k、n ? N * ,且 k≤n ,求证:
kCk n ?
k ?1 nCn ?1



(2)设数列 a 0 , a1 , a2 ,…满足 a0 ? a1 , ai ?1 ? ai ?1 ? 2ai (i ? 1,2,3,…) . 证明:对任意的正整数 n,
n 1 n ?1 2 2 n n p( x) ? a0C0 ? a2Cn x (1 ? x)n?2 ? ??? ? an Cn x 是关于 x 的一次式. n (1 ? x) ? a1Cn x(1 ? x)

(1)证明:左边 ? kCk n ?k? 右边 ? n ?

n! n! , ? k !(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )!

(n ? 1)! n! , ? (k ? 1)!(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )!

k ?1 所以 kCk (3 分) n ? nCn ?1 ;

(2)证明:由题意得数列 a 0 , a1 , a2 ,…为等差数列,且公差为 a1 ? a0 ? 0 .(5 分)
n 1 n ?1 2 2 n n 则 p( x) ? a0C0 ? a2Cn x (1 ? x)n?2 ? ??? ? an Cn x n (1 ? x) ? a1Cn x(1 ? x)

n 1 n?1 n n ? a0C0 ? ??? ? ?a0 + n(a1 ? a0 )? Cn x n (1 ? x) ? ? a0 + (a1 ? a0 )? Cn x(1 ? x)

0 n 1 n ?1 n n n ?1 2 2 n ?2 n n ? ? 1 ? ? a0 ? ?Cn (1 ? x) ? Cn x(1 ? x) ? ??? ? Cn x ? ? (a1 ? a0 ) ?Cn x(1 ? x) + 2Cn x (1 ? x) ? ??? ? nCn x ?
0 n ?1 1 n?2 n ?1 n ?1 ? ? a0 ? (1 ? x) ? x ? ? (a1 ? a0 )nx ? ?C n ?1 (1 ? x) + C n ?1 x(1 ? x) ? ? ? ? ? C n ?1 x ? n

? a0 ? (a1 ? a0 )nx ? x ? (1 ? x)?
? a0 ? (a1 ? a0 )nx ,

n?1

所以对任意的正整数 n, p( x) 是关于 x 的一次式. (10 分) 3.我们知道,对一个量用两种方法分别算一次,由结果相同可以构造等式,这是一种非常 有用的思想方法——“算两次”(G.Fubini 原理) ,如小学有列方程解应用题,中学有等 积法求高 ??? 请结合二项式定理,利用等式 (1 ? x)n ? (1 ? x)n ? (1 ? x)2n (n ? N*) 证明:
2 n (1) ? (Cr n ) ? C2 n ; r ?0 n

(2)
n

? (C C
r ?0 r n

m

m?r n

) ? Cm 2n .
2n

证明: (1)考虑等式 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? , 等式左边 xn 的系数是
n
n 1 n ?1 2 n?2 C0 ? Cn Cn ? n Cn ? Cn Cn n 0 1 ? Cn C n ? ? C0 n ? ? ? Cn ? ? 2 2 n ? ? Cn ?= 2

? ?C ?
r ?0

n

r 2 n



等式右边 xn 的系数是 C n 2n , 分)

根据对应项系数相等得,

? ?C ?
r ?0

n

r 2 n

= Cn (5 2n .

(2)仍考虑等式 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ,
n n 2n

m 1 m?1 2 m?2 ? Cn Cn ? 等式左边 x m 的系数是 C0 n Cn ? Cn Cn

0 r m?r ? Cm ?, n Cn = ? ? Cn C n
r ?0

m

等式右边 x m 的系数是 C m 2n ,

根据对应项系数相等得,

??C C ? =
r ?0 r n m?r n

m

Cm (10 分) 2n .
4.设等差数列 ?an ? 的首项为 1,公差 d( d ? N* ) ,m 为数列 ?an? 中的项.

? 的展开式中是否含有常数项?并说明理由; (2)证明:存在无穷多个 d,使得对每一个 m, ? x ? 1 ? 的展开式中均不含常数项. x
(1)若 d=3,试判断 x ? 1 x
m m

?

(1)解:因为 ?an ? 是首项为 1,公差为 3 的等差数列,所以 an ? 3n ? 2 . (2 分) 假设 x ? 1 x
r m?r Tr ?1 ? Cm x

?

? 的展开式中的第 r+1 项为常数项( r ?0. ? 1x ? ? C ? x ,于是 m ? 3 2
m r r m m? 3 r 2

r?N ) ,

设 m ? 3n ? 2 n ? N* ,则有 3n ? 2 ? 3 r ,即 r ? 2n ? 4 ,这与 r ? N 矛盾. 2 3 所以假设不成立,即 x ? 1 x

?

?

?

? 的展开式中不含常数项. (5 分)
m

(2)证明:由题设知 an= 1 ? (n ? 1)d ,设 m= 1 ? (n ? 1)d , 由(1)知,要使对于一切 m, x ? 1 x

?

? 的展开式中均不含常数项,
m

必须有:对于 n ? N* ,满足 1 ? (n ? 1)d ? 3 r =0 的 r 无自然数解, 2 即 r ? 2d (n ? 1) ? 2 ? N . (8 分) 3 3 当 d=3k k ? N* 时, r ? 2d (n ? 1) ? 2 ? 2k (n ? 1) ? 2 ? N . 3 3 3 故存在无穷多个 d,满足对每一个 m, x ? 1 x 项. (10 分) 5.已知数列 ?an ? 的首项为 1 ,
[来源:Zxxk.Com]

?

?

?

? 的展开式中均不含常数
m

0 1 2 2 p( x) ? a1Cn (1? x)n ? a2Cn x(1? x)n?1 ? a3Cn x (1? x)n?2 ?

n?1 n?1 n n ? anCn x (1? x) ? an?1Cn x

(1)若数列 ?an ? 是公比为 2 的等比数列,求 p(?1) 的值; (2)若数列 ?an ? 是公比为 2 的等差数列,求证: p ( x) 是关于 x 的一次多项式.
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

6.记 (1 ? (1)求 an

x x x )(1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? n ) 的展开式中, x 的系数为 an , x 2 的系数为 bn ,其中 n ? N * 2 2 2 1 p q (1 ? n )(1 ? n ) ,对 n ? N * , n ? 2 恒成立?证明 3 2 2

(2)是否存在常数 p,q(p<q),使 bn ? 你的结论.

7.已知 f ( x) ? ( x ? x ? 1) ( n ? N ) , g ( x) 是关于 x 的 2 n 次多项式;
2 n

?

(1)若 f ( x ) g ( x) ? g ( x ) 恒成立,求 g (1) 和 g (?1) 的值;并写出一个满足条件的 g ( x) 的
2 3

表达式,无需证明. (2)求证:对于任意给定的正整数 n ,都存在与 x 无关的常数 a0 , a1 , a2 ,…, an , 使得 f ( x) ? a0 (1 ? x2n ) ? a1 ( x ? x2n?1 ) ? a2 ( x2 ? x2n?2 ) ? 因为 f (1) ?1 ? 3 ?1 ? 0 ,所以 g (1) ? 0 ;
n
2 3 令 x ? ?1 ,则 f ? ?(?1) ? ? g (?1) ? g ? ?( ?1) ? ? ,即 f (1) g (?1) ? g (?1) ,

? an?1 ( xn?1 ? xn?1 ) ? an xn

解: (1)令 x ? 1 ,则 f (1) g (1) ? g (1) ,即 g (1) ? [ f (1) ? 1] ? 0 ,

因为 g (?1) ? [ f (1) ? 1] ? 0 ,因为 f (1) ?1 ? 3 ?1 ? 0 ,所以 g (?1) ? 0 ;
n

例如 g ( x) ? ( x ?1) (n ? N ) .
2 n
2 2

?

……4 分

(2)当 n ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? 1 ? ( x ? 1) ? x ,故存在常数 a0 ? 1 , a1 ? 1 , 使得 f ( x) ? a0 (1 ? x2 ) ? a1x . 假设当 n ? k ( k ? N )时,都存在与 x 无关的常数 a0 , a1 , a2 ,…, ak , 使得 f ( x) ? a0 (1 ? x2k ) ? a1 ( x ? x2k ?1 ) ? a2 ( x2 ? x2k ?2 ) ?
?

? ak ?1 ( xk ?1 ? xk ?1 ) ? ak xk ,即 ? ak ?1 ( xk ?1 ? xk ?1 ) ? ak xk .

( x2 ? x ?1)k ? a0 (1 ? x2k ) ? a1 ( x ? x2k ?1 ) ? a2 ( x2 ? x2k ?2 ) ?
则当 n ? k ? 1 时,

f ( x) ? ( x2 ? x ? 1)k ?1 ? ( x2 ? x ? 1) ? ( x2 ? x ? 1)k
2k 2 k ?1 ? ( x 2 ? x ? 1) ? ? ? a0 (1 ? x ) ? a1 ( x ? x ) ?

? ak ?1 ( x k ?1 ? x k ?1 ) ? ak x k ? ?

? (a0 ? a1x ? ?(a0 x ? a1x2 ? ?(a0 x2 ? a1x3 ?

? ak ?1xk ?1 ? ak xk ? ak ?1xk ?1 ? ? ak ?1xk ? ak xk ?1 ? ak ?1xk ?2 ?

? a1x2k ?1 ? a0 x2k ) ? a1x2k ? a0 x2k ?1 ) ? a1x2k ?1 ? a0 x2k ?2 ) ? (ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?3 ) xk ?1 ? ?

? ak ?1xk ?1 ? ak xk ?2 ? ak ?1xk ?3 ?

? a0 ? (a1 ? a0 ) x ? (a2 ? a1 ? a0 ) x2 ? (a3 ? a2 ? a1 ) x3 ?

?(ak ? ak ?1 ? ak ?2 ) xk ? (2ak ?1 ? ak ) xk ?1 ? (ak ? ak ?1 ? ak ?2 ) xk ?2 ? ?(a3 ? a2 ? a1 ) x2k ?1 ? (a2 ? a1 ? a0 ) x2k ? (a1 ? a0 ) x2k ?1 ? a0 x2k ?2 ? a0 ( x ? x2k ?2 ) ? (a1 ? a0 )( x ? x2k ?1 ) ? (a2 ? a1 ? a0 )( x2 ? x2k ) ? ?(ak ? ak ?1 ? ak ?2 )( xk ? xk ?2 ) ? (2ak ?1 ? ak ) xk ?1 ;

令 a0 ' ? a0 , a1 ' ? a0 ? a1 , am ' ? am?2 ? am?1 ? am ( 2 ? m ? k ) , ak ?1 ' ? 2ak ?1 ? ak ; 故存在与 x 无关的常数 a0 ' , a1 ' , a2 ' ,…, ak ' , ak ?1 ' ;使得

f ( x) ? a0 '(1 ? x2k ?2 ) ? a1 '( x ? x2k ?1 ) ? a2 '( x2 ? x2k ) ?
使得 f ( x) ? a0 (1 ? x2n ) ? a1 ( x ? x2n?1 ) ? a2 ( x2 ? x2n?2 ) ? …10 分

? ak '( xk ? xk ?2 ) ? ak ?1 ' xk ?1 . ? an?1 ( xn?1 ? xn?1 ) ? an xn .

综上所述,对于任意给定的正整数 n ,都存在与 x 无关的常数 a0 , a1 , a2 ,…, an ,

8.在数学上, 常用符号来表示算式, 如记 ? ai = a0 ? a1 ? a2 ? a3 ?
i ?0

n

? an , 其中 i ? N ,n ? N ? .
n

i (1)若 a 0 , a1 , a 2 ,…, a n 成等差数列,且 a0 ? 0 ,求证: ? ? ai Cn ? ? an ? 2n?1 ; i ?0

(2)若 ? (1 ? x) k ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ?
k ?1

2n

i a2 n x 2 n , bn ? ? a2i ,记 d n ? 1 ? ?[( ?1) i bi Cn ] ,且不 i ?0 i ?1

n

n

等式 t ? (dn ? 1) ? bn 恒成立,求实数 t 的取值范围. (1)设等差数列的通项公式为 an ? a0 ? nd ,其中 d 为公差
i 则 ? ? ai Cn ? ? a0 ? a1Cn1 ? a2Cn2 ? i ?0 n

n 0 1 ? anCn ? a0 (Cn ? Cn ?

n 1 2 ? Cn ) ? d (Cn ? 2Cn ?

n nCn )

k k ?1 因为 kCn ? nCn ?1 1 2 ? 2Cn ? 所以 Cn
n

n 0 1 nCn ? n(Cn ?1 ? Cn ?1 ?

n ?1 ? Cn ?1 )

i 所以 ? ? ai Cn ? ? a 0 ?2n ? nd ? 2n?1 = an ? 2n?1 . i ?0

注:第(1)问也可以用倒序相加法证明. (2)令 x ? 1 ,则 ? ai ? 2 ? 22 ? 23 ?
i ?0 2n

? 22 n ?

2(1 ? 4n ) ? 2 ? 4n ? 2 ?1

令 x ? ?1 ,则 ? [(?1)i ai ] ? 0 ,
i ?0 n 1 所以 bn ? ? a2i ? (2 ? 4n ? 2) ? 4n ? 1 2 i ?0

2n

0 1 2 3 ? (4 ? 1)Cn ? (42 ? 1)Cn ? (43 ? 1)Cn ? 根据已知条件可知, dn ? Cn
0 1 2 3 ? [Cn ? Cn (?4) ? Cn (?4)2 ? Cn (?4)3 ?

n ? (?1)n (4n ? 1)Cn
n ? (?1)n Cn ] ?1

n 0 1 2 3 4 ? Cn (?4)n ] ? [Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?

n ? ( 1 ? 4n ) ? ( 1 ? n 1 )? ? 1 ? ( 3 ? ) ,

1

所以 dn ? (?3)n ? 1 将 bn ? 4n ? 1、 dn ? (?3)n ? 1 代入不等式 t ? (dn ? 1) ? bn 得, t ? (?3)n ? 4n ? 1

4 1 4 1 5 当 n 为偶数时, t ? ( )n ? ( )n ,所以 t ? ( )2 ? ( )2 ? ; 3 3 3 3 3 4 1 4 1 当 n 为奇数, t ? ?[( )n ? ( )n ] ,所以 t ? ?[( )1 ? ( )1 ] ? ?1 ; 3 3 3 3
5 综上所述,所以实数 t 的取值范围是 [?1, ] . 3

六.数列相关的证明问题
* 1.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, 且对任意 n ? N ,恒有 nan?1 ? 2(n ? 1)an

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设区间 [

an an ?1 , ] 中的整数个数为 bn , 求数列 {bn } 的通项公式。 3n 3(n ? 1)

⑴由 nan ?1 ? 2(n ? 1) an ,得

an ?1 2(n ? 1) a 2n ? ,当 n ≥ 2 时, n ? , an n an ?1 n ? 1 an an ?1 ? ? an ?1 an ? 2 ? a2 2n 2(n ? 1) ? a1 ? ? ? a1 n ?1 n ? 2 2?2 ? 2 ? n ? 2n , 1

所以,当 n ≥ 2 时, an ?

此式对于 n ? 1 也成立,所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? 2n .…4 分 ⑵ 由⑴知,

an 2n (3 ? 1) n 0 n ?1 1 n?2 ? ? ? Cn 3 ? Cn 3 ? 3n 3 3

n ?1 ? (?1) n ?1 Cn ?

( ?1) n , 3

an ?1 2n ?1 (3 ? 1) n ?1 0 n 1 n ?1 ? ? ? Cn ? ?1 3 ? Cn ?1 3 3(n ? 1) 3 3
当 n 为奇数时, bn ? ( 当 n 为偶数时, bn ? (

n ? (?1) n Cn ?1 ?

(?1) n ?1 ,……8 分 3

2n ?1 1 2n 1 2n ? 1 ? ) ? ( ? ) ?1? ; 3 3 3 3 3 2n ?1 1 2n 1 2n ? 1 ? ? 1) ? ( ? ) ? .……10 3 3 3 3 3

2.设数列{an},{bn}满足 a1=b1,且对任意正整数 n,{an}中小于等于 n 的项数恰为 bn;{bn} 中小于等于 n 的项数恰为 an. (1)求 a1; (2)求数列{an}的通项公式. (1)首先,容易得到一个简单事实:{an}与{bn}均为不减数列且 an∈N,bn∈N. 若 a1=b1=0,故{an}中小于等于 1 的项至少有一项,从而 b1≥1,这与 b1=0 矛盾. 若 a1=b1≥2,则{an}中没有小于或等于 1 的项,从而 b1=0,这与 b1≥2 矛盾. 所以,a1=1. (2)假设当 n=k 时,ak=bk=k,k∈N*. 若 ak+1≥k+2,因{an}为不减数列,故{an}中小于等于 k+1 的项只有 k 项, 于是 bk+1=k,此时{bn}中小于等于 k 的项至少有 k+1 项(b1,b2,…,bk,bk+1), 从而 ak≥k+1,这与假设 ak=k 矛盾. 若 ak+1=k,则{an}中小于等于 k 的项至少有 k+1 项(a1,a2,…,ak,ak+1), 于是 bk≥k+1,这与假设 bk=k 矛盾. 所以,ak+1=k+1. 所以,当 n=k+1 时,猜想也成立. 综上,由(1),(2)可知,an=bn=n 对一切正整数 n 恒成立. 所以,an=n,即为所求的通项公式.

2an 3.已知数列{ a n }满足: a1 ? 1 , an?1 ? (n ? N* ) . 2 an ? 1
(1)求 a 2 , a 3 的值; (2)证明:不等式 0 ? an ? an ?1 对于任意 n ? N* 都成立.
a ? 4 . ……2 分 (1)解:由题意,得 a2 ? 2 , 3 3 5

(2)证明:①当 n ? 1 时,由(1) ,知 0 ? a1 ? a2 ,不等式成立.……4 分 ②设当 n ? k (k ? N* ) 时, 0 ? ak ? ak ?1 成立,6 分 则当 n ? k ? 1 时,由归纳假设,知 ak ?1 ? 0 .

而 ak ? 2 ? ak ?1 ?

2a ? a ? 1? ? 2ak ? ak ?1 ? 1? 2ak ?1 2ak 2(ak ?1 ? ak ) ? ? k ?1 k ? ?0, ak ?1 ? 1 ak ? 1 (ak ?1 ? 1)(ak ? 1) (ak ?1 ? 1)(ak ? 1)

所以 0 ? ak ?1 ? ak ? 2 ,即当 n ? k ? 1 时,不等式成立. 由①②,得不等式 0 ? an ? an ?1 对于任意 n ? N* 成立.…10 分 4.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 , an?1 ?

(3n ? 3)an ? 4n ? 6 , n ? N* . n

?a ? 2? (1)求证:数列 ? n ? 是等比数列; ? n ?

(2)设 bn ?

3n ?1 , n ? N * ,求证:当 n ? 2 , n ? N * 时, bn?1 ? bn? 2 ? an ? 2

? b2n ?

4 1 . ? 5 2n ? 1

22.(1)令 cn ?

an ? 2 , n
(3n ? 3)an ? 4n ? 6 ?2 (3n ? 3)(an ? 2) a ?2 n ? ?3 n ? 3cn , n ?1 n(n ? 1) n
cn ?1 ? 3, cn

a ?2 则 cn ?1 ? n ?1 ? n ?1

c1 ? a1 ? 2 ? 1 ? 0 ,? cn ? 0 ,?

?a ? 2? ? 数列 ?cn ? ,即 ? n ? 是等比数列; ? n ?

(2)由(1)得

3n ?1 1 an ? 2 n?1 ? , ? 3 ,? an ? n ? 3n?1 ? 2 ,? bn ? an ? 2 n n

下面用数学归纳法证明当 n ? 2 , n ? N * 时, bn?1 ? bn? 2 ?

? b2n ?

4 1 . ? 5 2n ? 1

1 1 7 4 1 3 7 3 ①当 n ? 2 时,不等式的左边 ? b3 ? b4 ? ? ? ,右边 ? ? ? ,而 ? , 3 4 12 5 5 5 12 5
? n ? 2 时,不等式成立;

②假设当 n ? k (k ? 2) 时,不等式成立,即 bk ?1 ? bk ? 2 ? 当 n ? k ? 1 时,bk ?1?1 ? bk ?1?2 ?
?
?

? b2k ?

4 1 ; ? 5 2k ? 1

? b2( k ?1) ? (bk ?1 ? bk ?2 ?

? b2 k ) ? (b2 k ?1 ? b2 k ?2 ? bk ?1 )

4 1 1 1 1 ? ? ? ? 5 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1

4 1 1 ? ? 5 2k ? 2 k ? 1 4 1 ? ? 5 2( k ? 1) 4 1 ? ? 5 2( k ? 1) ? 1

? 当 n ? k ? 1 时,不等式也成立.

由①②可得,

当 n ? 2 , n ? N * 时, bn?1 ? bn? 2 ?

? b2n ?

4 1 . ? 5 2n ? 1


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