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【2013上海虹口二模】上海市虹口区2013届高三下学期二模数学(文)试题


虹口区 2013 年数学学科高考练习题(文科)
(时间 120 分钟,满分 150 分)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、函数 f ( x) ? (2k ? 1) x ? 1 在 R 上单调递减,则 k 的取值范围是
(1 ? i ) 1? i
sin ? cos ?
3

2013.4



2、已知复数 z ?
cos ? sin ?

,则 z ?



3、已知

?

1 3

,则 cos 2(? ? ? ) ?



4 、 设 (1 ? 2 x) n 展 开 式 中 二 项 式 系 数 之 和 为 a n , 各 项 系 数 之 和 为 bn , 则
lim
n ??

a n ? bn a n ? bn

?



5、已知双曲线与椭圆 曲线方程为

x

2

?

y

2

? 1 有相同的焦点,且渐近线方程为 y ? ?

1 2

x ,则此双

16

6

. . .
?
2

6、如果 log a 4b ? ?1 ,则 a ? b 的最小值为 7、数列 ?a n ? 的通项 a n ? n ? sin 8、设 F1 、 F2 是椭圆
x
2

n? 2

,前 n 项和为 S n ,则 S13 ?

?y

2

4

? 1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,且满足 ?F1 PF2 ?



则 ?F1 PF2 的面积等于
1 9、从集合 ? , 2,



3?的所有非空子集中,等可能地取出一个,所取出的子集中含数字 1

的概率是



2 10 、 对 于 x ? R , 不 等 式 2 ? x ? 1 ? x ? a ? 2a 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围





11 、 在 ?ABC 中 , AB ? 1 , AC ? 2 , ( AB ? AC ) ? AB ? 2 , 则 ?ABC 面 积 等 于 .

12、将边长为 2 的正方形沿对角线 AC 折起,以 A , B , C , D 为顶点的三棱锥的体

积最大值等于



13 、 设 a n ? log n ?1 (n ? 2) (n ? N ? ) , 称 a1 a 2 a3 ? a k 为 整 数 的 k 为 “ 希 望 数 ” 则 在 ,
(1, 2013) 内所有“希望数”的个数为
x ? ( a ? 1) x ? 2a ? 2
2



14、已知函数 f ( x) ?

2 x ? ax ? 2a
2

的定义域是使得解析式有意义的 x 的集合,

如果对于定义域内的任意实数 x ,函数值均为正,则实数 a 的取值范围 是 .

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分)
?x ? y ? 5 ? 15、已知不等式组 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 f ? x ? 2 y 的最大值是( ?y ? 0 ?



A. 1

B. 5

C. 7

D. 8

16、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中与异面直线 AB , CC1 均垂直的棱有(
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
1 2

)条.

17、已知函数 y ? 2 sin( x ?

?
2

) cos( x ?

?
2

) 与直线 y ?

相交,若在 y 轴右侧的交点自左


向右依次记为 M 1 , M 2 , M 3 ,??,则 M 1 M 13 等于(
A. 6? B. 7? C. 12? D. 13?

18 、 若 ?
??
3

?
2

?? ?

?
2

, ?

?
2

?? ?

?
2

, m ? R , 如 果 有 ? 3 ? sin ? ? m ? 0 , ) .
D. 1

? sin ? ? m ? 0 ,则 cos(? ? ? ) 值为(

A. ? 1

B. 0

C.

1 2

三、解答题(满分 74 分) 19、 (本题满分 12 分) 如图,PA ? 平面 ABCD ,PA ? 1 , 矩形 ABCD 的边长 AB ? 1 , BC ? 2 , E 为 BC 的中点. (1)求异面直线 PE 与 AB 所成的角的大小; (2)求四棱锥 P ? ABED 的侧面积.
B

P

A

D

E

C

20、 (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,向量
m ? ( 2 sin B, 2 cos B ) , n ? ( 3 cos B, ? cos B ) ,且 m ? n ? 1 .

(1)求角 B ; (2)若 a , b , c 成等差数列,且 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

21、 (本题满分 14 分)已知复数 z n ? a n ? bn ? i ,其中 a n ? R , bn ? R , n ? N ? ,是虚 数单位,且 z n ?1 ? 2 z n ? z n ? 2i , z1 ? 1 ? i . (1)求数列 ?a n ? , ?bn ? 的通项公式; (2)求和:① z1 ? z 2 ? ? ? z n ;② a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn .

22、 (本题满分 16 分)已知抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) ,直线交此抛物线于不同的两个
2

点 A( x1 ,

y1 ) 、 B ( x 2 ,

y2 ) . 0) 时,证明 y1 ? y 2 为定值;

(1)当直线过点 M (? p,

(2)当 y1 y 2 ? ? p 时,直线是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明 理由; (3)记 N ( p,
0) ,如果直线过点 M ( ? p, 0) ,设线段 AB 的中点为 P ,线段 PN 的中

点为 Q .问是否存在一条直线和一个定点,使得点 Q 到它们的距离相等?若存在,求出这 条直线和这个定点;若不存在,请说明理由.

23、 (本题满分 18 分)定义域为 D 的函数 f (x) ,如果对于区间 I 内 ( I ? D ) 的任意两个数

x1 、 x 2 都有 f (

x1 ? x 2 2

)?

1 2

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 成立,则称此函数在区间 I 上是“凸函数” .

(1)判断函数 f ( x) ? ? x 在 R 上是否是“凸函数” ,并证明你的结论;
2

(2)如果函数 f ( x) ? x 2 ? (3)对于区间 [c,

a x

在区间 [1,

,求实数 a 的取值范围; 2] 上是“凸函数”
d ] 上的任取 x1 , x 2 ,x3 ,??, x 2 n ,

d ] 上的“凸函数” f (x ) ,在 [c,

证明: f (

x1 ? x 2 ? ? ? x 2 n 2
n

)?

1 2
n

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2 n )] .

虹口区 2013 年数学学科高考练习题答案(文)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、(? ?, 6、1;
3 2

1 2

);

2、 2; 8、1;
2 2 3

3、?

7 9


4 7

4、? 1 ; ;

5、

x

2

?

y

2

? 1;

8

2

7、7;

9、

10、 [? 1, 3] ;

11、



12、



13、9;

14、 ? 7 ? a ? 0 或 a ? 2 ;

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、 C ; 16、 D ; 17、 A ; 18、 D ;

三、解答题(满分 74 分) 19、(12 分) 解: (1)取 AD 的中点 F ,连 EF 、 PF .
? EF // AB ,? ?PEF 的大小等于异面直线 PE 与 AB 所成的角
P

或其补角的大小.??2 分 由 PA ? 1 , AB ? BE ? 1 , PA ? 平面 ABCD , ABCD 是矩形, 得
EF ? 1
A F D



AE ?
3 ?1? 2 2 3

2


3 3

PF ?

2



PE ?

3



B

E

C

? cos ?PEF ?

?

.??????5 分

? 异面直线 PE 与 AB 所成的角的大小等于 arccos

3 3

.??????6 分

(2)? PA ? 平面 ABCD , PA ? 1 , AB ? 1 , AD ? 1 , S ?PAB ?

1 2

, S ?PAD ? 1 .
2 2

? PA ? BE , BE ? AB ,? BE ? 平面 PAB ,? BE ? PB , PB ?

2 , S ?PBE ?



??????????9 分 连 AE ,由 AB ? BE ? 1 ,得 AE ? 又 PD ?
? S ?PED ?

2 ,同理 DE ?
2 2

2 , PE ?

PA ? AE
2

2

?

3,

PA ? AD
2

2

?

5 ? PE ? DE
2

? PD ,由勾股定理逆定理得 ?AED ? 90? ,
3? 2? 2 6

6 2

.? 四棱锥 P ? ABED 的侧面积为

.??????12 分

20 、( 14 分 ) 解 :( 1 ) ? m ? n ? 1 , ? 2 sin B ? 3 cos B ? 2 cos B ? 1 ,
2

3 sin 2 B ? cos 2 B ? 2 , sin( 2 B ?

?
6

) ? 1 ,????????5 分

又 0 ? B ? ? ,? ?

?
6

? 2B ?

?
6

?

11? 6

,? 2 B ?

?
6

?

?
2

,? B ?

?
3

??????7 分

(2)? b ? 2 , 2b ? a ? c ,? a ? c ? 4 . 又 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B ,? 4 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos 分 将 a ? c ? 4 代入得 a 2 ? 4a ? 4 ? 0 ,得 a ? 2 ,从而 c ? 2 ,三角形为等边三角形.??12 分
? S? ?

?
3

,即 4 ? a 2 ? c 2 ? ac ??10

1 2

ac sin B ?

3 .??????14 分

21、 (14 分)解: (1)? z1 ? a1 ? b1 ? i ? 1 ? i ,? a1 ? 1 , b1 ? 1 . 由
z n ?1 ? 2 z n ? z n ? 2i

得 ,

a n ?1 ? bn ?1 ? i ? 2( a n ? bn ? i ) ? ( a n ? bn ? i ) ? 2i ? 3a n ? (bn ? 2) ? i

?a n ?1 ? 3a n ??????3 分 ?? ?bn ?1 ? bn ? 2
? 数列 ?a n ? 是以 1 为首项公比为 3 的等比数列,数列 ?bn ? 是以 1 为首项公差为 2 的等差数

列,? a n ? 3 n ?1 , bn ? 2n ? 1 .????????6 分 (2)由(1)知 a n ? 3 n ?1 , bn ? 2n ? 1 . ① z1 ? z 2 ? ? ? z n ? (a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? i ?
1 2 (3 ? 1) ? n ? i .??10 分
n 2

②令 S n ? a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn , S n ? 1 ? 3 ? 3 ? 3 2 ? 5 ? ? ? 3 n ?1 ? (2n ? 1) 将(Ⅰ)式两边乘以 3 得 3S n ? 3 ? 1 ? 3 2 ? 3 ? 33 ? 5 ? ? ? 3 n ? (2n ? 1) (Ⅱ)

(Ⅰ)

将(Ⅰ)减(Ⅱ)得 ? 2 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 2 ? 2 ? 33 ? ? ? 2 ? 3 n ?1 ? 3 n ? (2n ? 1) .
? 2 S n ? ?2 ? 3 ( ?2n ? 2) , S n ? ( n ? 1) ? 3 ? 1 .????????14 分
n n

22、 (16 分)解: (1)过点 M (? p,

0) 与抛物线有两个交点,可知其斜率一定存在,设

? y ? k ( x ? p) 得 l : y ? k ( x ? p ) , 其 中 k ? 0 ( 若 k ? 0 时 不 合 题 意 ), 由 ? 2 y ? 2 px ?
k ? y ? 2 py ? 2 p k ? 0 ,? y1 ? y 2 ? 2 p .??????4 分
2 2 2

注:本题可设 l : x ? my ? p ,以下同. (2)当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ? b ,其中 k ? 0 (若 k ? 0 时不合题意) .
? y ? kx ? b ? y ? 2 px
2

由?

得 ky ? 2 py ? 2 pb ? 0 .
2

? y1 y 2 ?

2 pb k

? ? p ,从而 b ? ?

k 2

.??????6 分
k 2

假设直线过定点 ( x 0 ,

y 0 ) ,则 y 0 ? kx0 ? b ,从而 y 0 ? kx0 ?

,得 ( x 0 ? )k ? y 0 ? 0 ,
2

1

1 ? 1 ? x0 ? 即? 2 ,即过定点 ( , 2 ?y ? 0 ? 0

0) .??????8 分

当直线 l 的斜率不存在,设 l : x ? x 0 ,代入 y ? 2 px 得 y 2 ? 2 px 0 , y ? ? 2 px 0 ,
2

? y1 y 2 ?

2 px 0 ? ( ? 2 px 0 ) ? ?2 px 0 ? ? p ,从而 x 0 ?
1

1 2

,即 l : x ?

1 2

,也过 ( ,
2

1

0) .

综上所述,当 y1 y 2 ? ? p 时,直线过定点 ( ,
2

0) .??????10 分

(3)依题意直线的斜率存在且不为零,由(1)得点 P 的纵坐标为 y P ? 代入 l : y ? k ( x ? p ) 得 x P ?
? x? ? ? y ) ,则 ? ?y ? ? ? 1 p
2

1 2

( y1 ? y 2 ) ?

p k



p k
2

? p ,即 P (

p k
2

? p,

p k

) .????12 分

(

? p ? p)

设 Q ( x,

2 k 1

消k 得 y2 ?

p 2

x ????14 分

? 2 k

p

由抛物线的定义知存在直线 x ? ? 分

p 8

,点 (

p 8

,

0) ,点 Q 到它们的距离相等.????16

23、 (18 分)解: (1)设 x1 , x 2 是任意两个实数,则有
x1 ? x 2 2
2

f(

) ? ?(

x1 ? x 2 2

) ?
2

1 4

( ? x1 ? 2 x1 x 2 ? x 2 ) ?
2 2

1 2

( ? x1 ? x 2 ) ?
2 2

1 2

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] .

.??????4 分 ? 函数 f ( x ) ? ? x 在 R 是“凸函数”
x1 ? x 2 2 1 2

(2)若对于 [1,

2] 上的任意两个数 x1 , x 2 ,均有 f (

)?

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 成立,



(

x1 ? x 2 2

) ?
2

a x1 ? x 2 2

?

1 2

[( x1 ?
2

a x1

) ? ( x2 ?
2

a x2

)]









( x1 ? x 2 ) a ? ?
2

1 2

( x1 ? x 2 ) x1 x 2 ( x1 ? x 2 )
2

????????7 分 若 x1 ? x 2 , a 可以取任意值. 若 x1 ? x 2 ,得 a ? ?
1 2 x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) ,? ? 8 ? ? 1 2 x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) ? ?1 ,? a ? ?8 .

综上所述得 a ? ?8 .??????10 分 (3)当 k ? 1 时由已知得 f (
x1 ? x 2 2 )? 1 2
?

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 成立.







k ?m
1 2
m

(m ? N )

















f(

x1 ? x 2 ? ? ? x 2 k 2
m ?1

)?

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2 m )] 成立.

那么,由 c ?

x1 ? x 2 ? ? ? x 2 m 2
m

? d ,c ?

x 2 m ?1 ? x 2 m ? 2 ? ? ? x 2 m ? 2 m 2
m

?d

得 f(

x1 ? x 2 ? ? ? x 2 m ?1 2
m ?1

x 2 m ?1 ? x 2 m ? 2 ? ? ? x 2 m ? 2 m 1 x1 ? x 2 ? ? ? x 2 m ) ? f{ [ ? ]} m m 2 2 2 x 2 m ?1 ? x 2 m ? 2 ? ? ? x 2 m ? 2 m 2
1 2
m

?

1 2

[f(
1
m

x1 ? x 2 ? ? ? x 2 m 2
m

)? f(

m

)]

? ?

1

{

2 2 1 2
m ?1

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2 m )] ?

[ f ( x 2 m ?1 ) ? f ( x 2 m ? 2 ) ? ? ? f ( x 2 m ?1 )]}

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2 m ?1 )] .

即 k ? m ? 1 时,不等式也成立.根据数学归纳法原理不等式得证.??????18 分


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