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3.3.2基本不等式与最大(小)值课件ppt(北师大版必修五)


3.2 基本不等式与最大(小)值
【课标要求】
理解并掌握基本不等式及变形应用. 1. 会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题. 2. 【核心扫描】 利用基本不等式求最值.(重点) 1. 利用基本不等式求最值时变形转化.(难点) 2. 要注意和函数单调性的结合应用. 3.

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自学导引
1.已知 x,y 都是正数

1 2 最大值 S x=y 4 (1)若 x+y=S(和为定值), 则当______时, xy 取_________. 积

x=y 最小值 (2)若 xy=p(积为定值), 则当______时, x+y 取得________ 和
2 p ____.
上述命题可归纳为口诀:和定积最大,积定和最小.

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和式 2.二元均值不等式具有将“_____”转化为“_____”和将“积式” 积式 转化为“和式”的放缩功能,常用于比较数(式)的大小或证 明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特 点,选择好利用均值不等式的切入点. 3.基本不等式的实际应用问题 解不等式实际应用题的解题思路

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想一想:两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗?
提示 不一定.应用基本不等式求最值时还要求等号能取到.基

本不等式中说, “当且仅当 a=b 时取等号”是说 a=b 时“≥” 中的“等号”成立,但有时“a”和“b”不一定能相等.如 sin x 与 4 , x∈(0, 两个都是正数, π), 乘积为定值. 但是由 0<sin x≤1, sin x 4 知 sin x≠2,所以 sin x+ >2 sin x 取不到最小值. 4 sin x· =4 等号不成立, sin x

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名师点睛
利用基本不等式求最值的要求 1. 必须满足三个条件: ①各项均为正数; ②含变数的各项的和(或积)必须是定值; ③当含变数的各项均相等时取得最值,即一正、二定、三相 等. 利用基本不等式解应用题的注意事项 2. (1)根据题意,把实际问题用“符号语言”、“图形语言”抽象成 数学模型,并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关 系,以便确立下一步的解题方向.

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(2)根据(1)中建立起来的数学模型和题目要求,讨论与结 论有关的不等关系,得到有关理论参数的值,再结合题目 要求得出实际问题的结论. 3.多次使用基本不等式的问题 运用基本不等式时,“正、定、等”缺一不可,但有些题中 由于连续使用基本不等式或者限定了某些量的取值范围, 而导致等号成立的条件不具备,不能直接运用基本不等 式,这时应进一步转化,使其转化成能用不等式求解或用 其他方法求解.

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题型一
【例1】 已知

利用基本不等式求函数的最大值
y=x(2-3x)的最大值.

? 2? x∈?0, ?,求函数 3? ?

[思路探索] 我们发现x+2-3x不是定值,用基本不等式 求最值时要求有定值,“积定和小,和定积大”,所以要凑 x的系数使和x+2-3x为定值.

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? 2? 1 ?0, ? ,∴2-3x>0.∴y=x(2-3x)= · (2-3x)≤ ∵x∈ 3x· 3? 3 ?

1?3x+2-3x?2 1 ? ? ? =3, 3? ? 2 ? 1 当且仅当 3x=2-3x,即 x= 时,等号成立. 3 1 1 ∴当 x= 时,函数 y=x(2-3x)有最大值 . 3 3

规律方法 求两数积的最值时,一般需要知道这两数的和 为定值,当条件不满足时,往往利用题目中的已知条件将 两数进行适当的拆项和添项,通过变形使转化后的两数和 为定值,再利用基本不等式求最值,变形后仍要求满足“ 一正二定三相等”.
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1 已知 0<x< ,求函数 y=x(1-3x)的最大值. 【训练1】 3 1 解 ∵0<x< .∴1-3x>0. 3
1 ∴y=x(1-3x)= · 3x(1-3x) 3 1?3x+?1-3x? ?2 1 ? ≤ ? ? =12. 3? ? 2 ? 1 1 当且仅当 x= 时,函数 y=x(1-3x)取得最大值 . 6 12

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题型二

利用基本不等式求最小值

5 1 的最小值. 【例2】 已知 x>4,求函数 y=4x-2+ 4x-5 [思路探索] 要求目标函数的最值,可考虑利用基本不等

式,这就需要通过合理配凑,创造利用基本不等式的条件.
解 5 1 ∵x> ,∴4x-5>0,∴y=4x-5+ +3. 4 4x-5 1 ?4x-5?· =2. 4x-5

1 ∵4x-5+ ≥2 4x-5

1 3 当且仅当 4x-5= ,即 x= 时,等号成立, 2 4x-5 ∴y≥2+3=5. 3 1 故当 x= 时,函数 y=4x-2+ 取最小值 5. 2 4x-5
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规律方法

b 对于能拆分为形如 y=ax+ +c 的函数,只要满 x

足“一正,二定,三相等”的条件,就可以利用基本不等式求 其最值或值域,在拆分时可适当换元,拆分后若两项为负, 可提取负号,创造变量为正数的条件,再求之.

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x2 (x>1)的最小值. 【训练2】 求函数 y= x-1
解 ∵x>1,∴x-1>0.

x2-1+1 1 1 ∴y= =x+1+ =x-1+ +2≥ x-1 x-1 x-1 2 1 1 ?x-1?· +2=4, 当且仅当 x-1= , x=2 时, 即 x-1 x-1

x2 等号成立.故当 x=2 时,函数 y= (x>1)取最小值 4. x-1

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题型三

利用基本不等式解应用题

【例3】 (本题满分12分)某渔业公司今年年初用98万元购进一 艘渔船用于捕捞,第一年需要各种费用12万元.从第二年 起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该 船每年捕捞总收入50万元. (1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少? (2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少? 审题指导 (1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的 量定为函数; (2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大 值或最小值问题;

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[规范解答] (1)设该船捕捞 n 年后的总盈利 y 万元,则
? ? n?n-1? ? ? y=50n-98-?12×n+ ×4?(2 ? 2 ?

分)

=-2n2+40n-98 =-2(n-10)2+102(4 分) ∴当捕捞 10 年后总盈利最大,最大是 102 万元(6 分)
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? ? y 49 (2)年平均利润为 =-2?n+ -20?(8 分) n n ? ? ? ≤-2?2 ? ? 49 n· -20?=12(10 分) ? n

49 当且仅当 n= ,即 n=7 时上式取等号. n 所以,当捕捞 7 年后年平均利润最大,最大是 12 万元.(12 分)
k 【题后反思】 对于函数 y=x+ (k>0),可以证明在 x∈(0, k] x 及[- k,0)上均为减函数,在[ k,+∞)及(-∞,- k]上都是增 函数,求此函数的最值时,若所给的范围含± k可用基本不等式, 不包含± k就用函数的单调性.
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【训练3】 如图所示,某公园要在一块矩形绿地的中央修建两 个相同的矩形池塘,每个池塘的面积为10 000 m2,池塘前 方要留4 m宽的走道,其余各方留2 m宽的走道,问:每个 池塘的长和宽分别为多少时绿地总面积最小?

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解 设池塘的长为 x m 时绿地总面积为 S, 10 000 则池塘的宽 y= (x>0). x
?20 000 ? 120 000 ∴S=(6+x)? +6 ?= +6x+20 x x ? ?

036≥2 720 000+

20 036=1 200× 2+20 036. 120 000 当且仅当 =6x,即 x=100 2,y=50 2时,等号成立. x 故每个池塘的长为 100 2 m, 宽为 50 2 m 时, 绿地总面积最小.

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误区警示

忽略应用基本不等式的前提条件而致错

【示例】 求 f(x)=2+log2x+ 5 (0<x<1)的最值. log2x 5 [错解] f(x)=2+log2x+ . log2x
≥2+2 5 log2x· =2+2 5. log2x

∴f(x)min=2+2 5.
5 ∵0<x<1,∴log2x<0, <0,不能直接运用 log2x 公式.

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[正解]

? 5 ? ?>0. ∵0<x<1,∴(-log2x)>0,?- log2x? ? ? 5 ? ?- ? =2 ?-log2x? ? log2x?

? 5 ? ?- ? ≥2 ∴(-log2x)+ ? log2x?

5.

5 ∴log2x+ ≤-2 5. log2x 5 ∴f(x)=2+log2x+ ≤2-2 5. log2x 5 当且仅当 log2x= 时,即 x=2- log2x ∴f(x)max=2-2 5.
5

时取等号.

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a+b 在基本不等式 ≥ ab中,a,b 均为非负数, 2 应用该定理时,一定要符合这一前提条件,先将各项化为 正值,再运用基本不等式定理.

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