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江西省丰城中学2016届高三上学期第四次月考数学(理)试题


丰城中学高三上学期第四次月考数学(理)试题

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
2 1.函数 f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的可能区间是( x A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) ) D.(3,4) )

2.已知某一随机变量 X 的分布列如下,且 E(X)=6.3,则 a 的值为( X P A.5 B.6 4 0.5 a 0.1 9 b D.8

C.7

3.某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查.现 将 800 名学生从 1 到 800 进行编号.已知从 33~48 这 16 个数中取的数是 39,则在第 1 小组 1~ 16 中随机抽到的数是( A.5 ) B.7 C.11 D.13

4.一袋中有 5 个白球,3 个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出 现 10 次时停止,设停止时共取了 X 次球,则 P(X=12)等于( )

?3?10?5?2 A.C10 12?8? ?8?

?3??5?23 B.C9 12?8??8? 8

9 ?5?2?3?2 C.C11 ?8? ?8?

?3?10?5?2 D.C9 11?8? ?8?
) 10 D. 3

5. 已知平面 α 的一个法向量 n=(-2, -2,1), 点 A(-1,3,0)在 α 内, 则 P(-2,1,4)到 α 的距离为( A.10 B.3 8 C. 3

6.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园,为安全起见,首尾一定安排两 位爸爸,另外,两个小孩一定排在一起,则这 6 人的入园顺序排法种数为( A.48 B.36 C.24 D.12 )

7.若圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长 的最小值是( A.2 ) B.3 C.4 D.6 ) D.奇函数

8.已知非零向量 a,b,满足 a⊥b,则函数 f(x)=(ax+b)2(x∈R)是( A.既是奇函数又是偶函数 B.非奇非偶函数


C.偶函数

9.已知 1+2×3+3×32+4×33+?+n×3n 1=3n(na-b)+c 对一切 n∈N*都成立,则 a,b,c 的 值为( ) 1 B.a=b=c= 4
·1·

1 1 A.a= ,b=c= 2 4

1 C.a=0,b=c= 4

D.不存在这样的 a,b,c

x2 y2 10.F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右两支 a b 分别交于 A,B 两点.若△ABF2 是等边三角形,则该双曲线的离心率为( A.2 B. 7 C. 13 D. 15 )

11. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 m 的正方形,PD⊥底面 ABCD,且 PD =m,PA=PC= 2m,若在这个四棱锥内放一个球,则此球的最大半径是( )

1 A. (2- 2)m 3

1 B. (2+ 2)m 2

1 C. (2- 2)m 2

1 D. (2+ 2)m 6 )

→ → → 12. 已知△ABC 的外接圆的圆心为 O, 半径为 1, 若 3OA+4OB+5OC=0, 则△AOC 的面积为( 2 A. 5 B. 1 2 C. 3 10 D. 6 5

二、填空题(每小题 5 分,共20 分)
?1+x ,x>2, 13.已知函数 f(x-2)=? -x ?2 ,x≤2,
2

则 f(1)=________.

1 2?3 3 14. 已知? ?x+x ? 的展开式中的常数项为 a,则直线 y=ax 与曲线 y=x 所围成的图形的面积为 ________. 15.在区间[-1,1]上任取两数 m 和 n,则关于 x 的方程 x2+mx+n2=0 有两个不相等实根的概率为 ________. y2 16.已知双曲线 x2- =1 上存在两点 M,N 关于直线 y=x+m 对称,且 MN 中点在抛物线 y2=18x 3 上,则实数 m 的值为________.

三、解答题(共70 分)
17. (本小题满分 12 分)请认真阅读下列程序框图,然后回答问题,其中 n0∈N.
·2·

(1)若输入 n0=0,写出所输出的结果; (2)若输出的结果中,只有三个自然数,求输入的自然数 n0 的所有可能的值.

18. (本小题满分 12 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,E 为棱 CC1 上的动点. (1)求异面直线 BD 与 A1E 所成的角; (2)确定 E 点的位置,使平面 A1BD⊥平面 BDE.

19. (本小题满分 12 分)甲袋中装有大小相同的红球 1 个,白球 2 个;乙袋中装有与甲袋中相同大 小的红球 2 个,白球 3 个.先从甲袋中取出 1 个球投入乙袋中,然后从乙袋中取出 2 个小球. (1)求从乙袋中取出的 2 个小球中仅有 1 个红球的概率; (2)记从乙袋中取出的 2 个小球中白球个数为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望.

20. (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1:
2

x2 y2 ? =1(a>b>0)的左、右焦点分 a2 b2

别为 F1,F2.F2 也是抛物线 C2: y ? 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且|

·3·

MF2|=

5 . 3

(Ⅰ)求 C1 的方程; (Ⅱ) 平面上的点 N 满足 MN ? MF1 ? MF2 , 直线 l∥MN, 且与 C1 交于 A, B 两点, 若 OA ? OB ? 0 , 求直线 l 的方程.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x4+ax3+bx2+c,其图象在 y 轴上的截距为-5,在区间[0, 1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,又当 x=0,x=2 时取得极小值. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)能否找到垂直于 x 轴的直线,使函数 f(x)的图象关于此直线对称,并证明你的结论; (Ⅲ)设关于 x 的方程 f(x)=λ2x2-5( ? ? ?2 )的两个非零实根为 x1、x2.问是否存在实数 m,使 得不等式 m2+tm+2≤|x1-x2|对任意 t∈[-3,3]恒成立?若存在,求 m 的取值范围;若不存 在,请说明理由.

22. (本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=|2x+1|-|x-3|. ①解不等式 f(x)≤4; ②若存在 x 使得 f(x)+a≤0 成立,求实数 a 的取值范围.

四、附加题(共 10 分)
23. (每小题 5 分) (1) 已知三棱锥 P ? ABC 的底面是边长为 4 3 的正三角形 , PA ? 3, PB ? 4, PC ? 5 . 若 O 为

?ABC 的中心,则 PO 的长为
(2)若函数 f ( x) ?



3x 2 ? 7 , g ( x) ? x 2 ?

16 ? 1 ,则 g ( f ( x)) 的最小值是 x2 ?1



·4·

丰城中学 2015-2016 学年上学期高三月考试卷







科(课改实验班)

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
2 1.函数 f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的可能区间是( x A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) ) D.(3,4)

解析:容易知道,原函数单调递增,f(1)=ln 2-2<0, f(2)=ln 3-1>0,故零点在区间(1,2)上,故选 B. 2.已知某一随机变量 X 的分布列如下,且 E(X)=6.3,则 a 的值为( X P A.5 B.6 4 0.5 a 0.1 9 b D.8 )

C.7

解析:由题意得 0.5+0.1+b=1,且 E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3,因此 b=0.4,a=7.故 选 C. 3.某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查.现 将 800 名学生从 1 到 800 进行编号.已知从 33~48 这 16 个数中取的数是 39,则在第 1 小组 1~ 16 中随机抽到的数是( A.5 解析:间隔数 k= ) B.7 C.11 D.13

800 =16,即每 16 人抽取一个人.由于 39=2×16+7,所以第 1 小组中抽取的数 50

值为 7.故选 B. 4.一袋中有 5 个白球,3 个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出 现 10 次时停止,设停止时共取了 X 次球,则 P(X=12)等于( )

?3?10?5?2 A.C10 12?8? ?8?

?3??5?23 B.C9 12?8??8? 8

9 ?5?2?3?2 C.C11 ?8? ?8?

?3?10?5?2 D.C9 11?8? ?8?

解析:“X=12”表示第 12 次取到红球,前 11 次有 9 次取到红球,2 次取到白球,因此 P(X=12) 3 ?3?9?5?2 9 ?3?10?5?2 = C9 11?8? ?8? =C11?8? ?8? .故选 D. 8 5. 已知平面 α 的一个法向量 n=(-2, -2,1), 点 A(-1,3,0)在 α 内, 则 P(-2,1,4)到 α 的距离为( A.10 B.3 8 C. 3
·5·

)

10 D. 3

→ → 解析:PA=(1,2,-4),又平面 α 的一个法向量为 n=(-2,-2,1),所以 P 到 α 的距离为|PA||cos → |PA· n| |-2-4-4| 10 → 〈PA,n〉|= = = . 故选 D. |n| 3 3 6.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园,为安全起见,首尾一定安排两 位爸爸,另外,两个小孩一定排在一起,则这 6 人的入园顺序排法种数为 ( A.48 B.36 C.24 D.12 )

2 3 解析:由题意得,爸爸排法为 A2 2种,两个小孩排在一起有 A2种排法,妈妈和孩子共有 A3种排法, 2 3 ∴排法种数共为 A2 ×A2 2×A3=24(种).答案:C

7.若圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长 的最小值是( A.2 ) B.3 C.4 D.6

解析:由 x2+y2+2x-4y+3=0,得(x+1)2+(y-2)2=2, 依题意得圆心 C(-1,2)在直线 2ax+by+6=0 上, 所以有 2a×(-1)+b×2+6=0, 又由点(a,b)向圆所作的切线长为 即 a=b+3. l= ?a+1?2+?b-2?2-2 , ① ②

将①代入②,得 l= ?b+4?2+?b-2?2-2= 2?b+1?2+16, ∵b∈R,∴当 b=-1 时,lmin=4. 故选 C. ) D.奇函数

8.已知非零向量 a,b,满足 a⊥b,则函数 f(x)=(ax+b)2(x∈R)是( A.既是奇函数又是偶函数 B.非奇非偶函数 C.偶函数

解析:∵a⊥b,∴a· b=0,f(x)=(ax+b)2=a2x2+2a· bx+b2=a2x2+b2. 又∵f(-x)=a2(-x)2+b2=a2x2+b2,∴f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数.故选 C. 9.已知 1+2×3+3×32+4×33+?+n×3n 1=3n(na-b)+c 对一切 n∈N*都成立,则 a,b,c 的


值为(

) 1 B.a=b=c= 4 D.不存在这样的 a,b,c

1 1 A.a= ,b=c= 2 4 1 C.a=0,b=c= 4

解析:由题意知,等式对一切 n∈N*都成立,可取 n=1,2,3,代入后构成关于 a,b,c 的方程组, 求解即得.令 n=1,2,3 分别代入已知得

·6·

1=3?a-b?+c, ? ? ?1+2×3=32?2a-b?+c, ? ?1+2×3+3×32=33?3a-b?+c, 1 1 1 解得,a= ,b= ,c= . 2 4 4 故选 A.

3a-3b+c=1, ? ? 即?18a-9b+c=7, ? ?81a-27b+c=34,

x2 y2 10.F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右两支 a b 分别交于 A,B 两点.若△ABF2 是等边三角形,则该双曲线的离心率为( A.2 解析:如图所示, B. 7 C. 13 D. 15 )

由双曲线的定义,得|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a,因为△ABF2 是正三角形, 所以|BF2|=|AF2|=|AB|,因此|AF1|=2a,|AF2|=4a,且∠F1AF2=120° , 1 在△F1AF2 中,4c2=4a2+16a2+2×2a×4a× =28a2,所以 e= 7.故选 B. 2 11. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 m 的正方形,PD⊥底面 ABCD,且 PD =m,PA=PC= 2m,若在这个四棱锥内放一个球,则此球的最大半径是( )

1 A. (2- 2)m 3

1 B. (2+ 2)m 2

1 C. (2- 2)m 2

1 D. (2+ 2)m 6

解析:由题知,此球内切于四棱锥时,半径最大, 设该四棱锥的内切球的球心为 O,半径为 r,连接 OA,OB,OC,OD,OP,易知 VP-ABCD=VO-ABCD+VO-PAD+VO-PAB+VO-PBC+VO-PCD, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 即 ×m2×m= ×m2×r+ × ×m2×r+ × × 2m2×r+ × × 2m2×r+ × ×m2×r, 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 1 解得 r= (2- 2)m, 2 1 所以此球的最大半径是 (2- 2)m. 2
·7·

故选 C.

→ → → 12. 已知△ABC 的外接圆的圆心为 O, 半径为 1, 若 3OA+4OB+5OC=0, 则△AOC 的面积为( 2 A. 5 B. 1 2 C. 3 10 D. 6 5

)

→ → → → → → 2+25 → 2+30OA → 2,即 34+30cos∠ 解析:依题意,得(3OA+5OC)2=(-4OB)2,9OA · OC=16OB OC 3 4 1 → → AOC=16,cos∠AOC=- ,sin∠AOC= 1-cos2∠AOC= ,△AOC 的面积为 |OA||OC|sin 5 5 2 2 ∠AOC= ,故选 A. 5

二、填空题(每小题 5 分,共20 分)
?1+x ,x>2, 13.已知函数 f(x-2)=? -x ?2 ,x≤2,
2

则 f(1)=________.

解析:令 x-2=1,则 x=3,∴f(3)=1+32=10. 答案:10 1 2? 3 3 14. 已知 ? ?x+x ? 的展开式中的常数项为 a,则直线 y = ax 与曲线 y= x 所围成的图形的面积为 ________.
k?1?3-k 2 k k 3k-3 解析:Tk+1=C3 ?x? (x ) =C3 x ,令 3k-3=0,得 k=1,

即常数项 a=3,直线 y=3x 与曲线 y=x3 交点的横坐标分别为- 3,0, 3,所以所围成图形 的面积为 2?

?0

3

(3x-x3)dx=2

? 3x2-1x4?? 3=9.答案:9 4 ??0 2 2 ? 2

15.在区间[-1,1]上任取两数 m 和 n,则关于 x 的方程 x2+mx+n2=0 有两个不相等实根的概率为 ________. 解析:由题意知-1≤m≤1,-1≤n≤1.要使方程 x2+mx+n2=0 有两个不相等实根,则 Δ=m2 1 1 -4n2>0,即(m-2n)(m+2n)>0.作出可行域,如图,当 m=1 时,nC= ,nB=- ,所以 S△OBC 2 2 1 2× 2 1 2S 1 △ 1 1 OBC 2 2 ? ?? = ×1×? ?2-?-2??=2,所以方程 x +mx+n =0 有两个不相等实根的概率为 2×2 = 4 = 2 1 1 .答案: 4 4

·8·

y2 16.已知双曲线 x2- =1 上存在两点 M,N 关于直线 y=x+m 对称,且 MN 中点在抛物线 y2=18x 3 上,则实数 m 的值为________.

?x - 3 =1,① 解析:设 M(x ,y ),N(x ,y ),MN 的中点为 P(x ,y ),则? y ?x - 3 =1,②
2 1 1 1 2 2 0 0 2 2 2 2 2 由①-②,得 x2 1-x2= 2 y2 1-y2 , 3

y2 1

1 1 y1-y2 1 即(x1-x2)(x1+x2)= (y1-y2)(y1+y2),也即 2x0= · · 2y = · (-1)· 2y0, 3 3 x1-x2 0 3 ∴y0=-3x0, 又 P 在直线 y=x+m 上,∴y0=x0+m, m 3 - , m?. 由③④解得 P? ? 4 4 ? 代入抛物线 y2=18x,得 9 2 ?-m?, ∴m=0 或-8. m =18· ? 4? 16 ③ ④

经检验 m=0 或-8 均符合题意. 答案:0 或-8

三、解答题(共70 分)
17. (本小题满分 12 分)请认真阅读下列程序框图,然后回答问题,其中 n0∈N. (1)若输入 n0=0,写出所输出的结果; (2)若输出的结果中,只有三个自然数,求输入的自然数 n0 的所有可能的值.

·9·

解:(1)若输入 n0=0,则输出的数为 20,10,5,4,2. (2)要使结果只有三个数,只能是 5,4,2.所以应使 5≤ 20 <10. n0+1

解得 1<n0≤3,即 n0=3,2.所以输入的 n0 可能值为 2,3. 18. (本小题满分 12 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,E 为棱 CC1 上的动点. (1)求异面直线 BD 与 A1E 所成的角; (2)确定 E 点的位置,使平面 A1BD⊥平面 BDE. 证明:(1)连接 AC,A1C1, ∵正方体 AC1 中,AA1⊥平面 ABCD,∴AA1⊥BD. ∵正方体 ABCD 中,AC⊥BD 且 AC∩AA1=A, ∴BD⊥平面 ACC1A1 且 E∈CC1, ∴A1E?平面 ACC1A1,∴BD⊥A1E. (2) E 为 CC1 中点. 设 AC∩BD=O,则 O 为 BD 的中点,连接 A1O,EO, 由(1)得 BD⊥平面 A1ACC1,∴BD⊥A1O,BD⊥EO. ∵正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,E 为 CC1 中点,
2 2 2 2 ∴A1O2+OE2=AA2 1+AO +OC +EC =a +

? 2a?2+? 2a?2+?a?2=9a2, ? 2 ? ? 2 ? ?2? 4

a2 9 2 2 2 2 2 2 A1E2=A1C2 1+C1E =2a + = a ,即 A1O +OE =A1E ,∴A1O⊥OE. 4 4 又 OE∩BD=O,∴A1O⊥平面 BDE. 又 A1O?平面 A1BD, ∴平面 A1BD⊥平面 BDE. 19. (本小题满分 12 分)甲袋中装有大小相同的红球 1 个,白球 2 个;乙袋中装有与甲袋中相同大 小的红球 2 个,白球 3 个.先从甲袋中取出 1 个球投入乙袋中,然后从乙袋中取出 2 个小球. (1)求从乙袋中取出的 2 个小球中仅有 1 个红球的概率;
·10·

(2)记从乙袋中取出的 2 个小球中白球个数为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 解:(1)记“乙袋中取出的 2 个小球中仅有 1 个红球”为事件 A,包含如下两个事件:从甲袋中取 出 1 个红球投入乙袋,然后从乙袋取出的 2 个球中仅有 1 个红球;从甲袋中取出 1 个白球投入 乙袋,然后从乙袋取出的 2 个球中仅有 1 个红球.分别记为事件 A1,A2,且 A1 与 A2 互斥,
1 1 1 C3 C3 1 则 P(A1)= × 2 = , 3 C6 5 1 2 C1 16 1 16 5 2C4 P(A2)= × 2 = ,所以 P(A)= + = . 3 C6 45 5 45 9

5 故从乙袋取出的 2 个小球中仅有 1 个红球的概率为 . 9 (2)ξ=0,1,2. 1 C2 2 C2 1 3 2 P(ξ=0)= × 2+ × 2= , 3 C6 3 C6 9
1 1 1 C1 2 C1 5 3C3 2C4 P(ξ=1)= × 2 + × 2 = , 3 C6 3 C6 9

1 C2 2 C2 1 3 4 P(ξ=2)= × 2+ × 2= . 3 C6 3 C6 3 所以随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 1 5 1 11 则 E(ξ)=0× +1× +2× = . 9 9 3 9 0 1 9 1 5 9 2 1 3

x2 y2 20. (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1: 2 ? 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分 a b 2 别为 F1,F2.F2 也是抛物线 C2: y ? 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且| 5 MF2|= . 3
(Ⅰ)求 C1 的方程; (Ⅱ) 平面上的点 N 满足 MN ? MF1 ? MF2 , 直线 l∥MN, 且与 C1 交于 A, B 两点, 若 OA ? OB ? 0 , 求直线 l 的方程.

0) .设 M ( x1,y1 ) ,M 在 C2 上,因为 MF2 ? 解: (Ⅰ)由 C2 : y ? 4 x 知 F2 (1,
2

5 5 ,所以 x1 ? 1 ? , 3 3

得 x1 ?

2 6 2 , y1 ? . M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c ? 1 ,于是 3 3
9a 4 ? 37a 2 ? 4 ? 0 ,

8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1, 消去 b 2 并整理得 ? 9a 3b ?b 2 ? a 2 ? 1. ?

·11·

x2 y 2 1 不合题意,舍去) .故椭圆 C1 的方程为 ? ? 1. 4 3 3 ???? ? ????? ???? ? (Ⅱ)由 MF1 ? MF2 ? MN 知四边形 MF1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O ,
解得 a ? 2 ( a ?

2 6 因为 l ∥ MN ,所以与 OM 的斜率相同,故的斜率 k ? 3 ? 6 . 2 3 2 2 ? ?3 x ? 4 y ? 12, 设的方程为 y ? 6( x ? m) .由 ? 消去 y 并化简得 ? ? y ? 6( x ? m),
9 x 2 ? 16mx ? 8m 2 ? 4 ? 0 .设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,

8m 2 ? 4 16m , x1 x2 ? . x1 ? x2 ? 9 9 ??? ? ??? ? 因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 6( x1 ? m)( x2 ? m)
? 7 x1 x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? 6m 2 = 7 ?
故所求直线的方程为 y ?

8m 2 ? 4 16m 1 ? 6m ? ? 6m 2 ? (14m 2 ? 28) ? 0 . 9 9 9 2 2 所以 m ? ? 2 .此时 ? ? (16m) ? 4 ? 9(8m ? 4) ? 0 ,
6 x ? 2 3 ,或 y ? 6 x ? 2 3 .

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x4+ax3+bx2+c,其图象在 y 轴上的截距为-5,在区间[0, 1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,又当 x=0,x=2 时取得极小值. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)能否找到垂直于 x 轴的直线,使函数 f(x)的图象关于此直线对称,并证明你的结论; (Ⅲ)设关于 x 的方程 f(x)=λ2x2-5( ? ? ?2 )的两个非零实根为 x1、x2.问是否存在实数 m,使 得不等式 m2+tm+2≤|x1-x2|对任意 t∈[-3,3]恒成立?若存在,求 m 的取值范围;若不存 在,请说明理由. (Ⅰ)解:∵函数 f(x)=x4+ax3+bx2+c,在 y 轴上的截距为-5, ∴c=-5. ∵函数 f(x)在区间[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减, ∴x=1 时取得极大值,又当 x=0,x=2 时函数 f(x)取得极小值. ∴x=0,x=1, x=2 为函数 f(x)的三个极值点, 即 f'(x)=0 的三个根为 0,1,2,∴f '(x)=4x3+3ax2+2bx=4x(x-1)(x-2))=4x3-12x2+8x. ∴a=-4,b=4, ∴函数 f(x)的解析式: f(x)=x4-4x3+4x2-5. (Ⅱ)解:若函数 f(x)存在垂直于 x 轴的对称轴,设对称轴方程为 x=t,则 f(t +x)=f(t-x)对 x∈R 恒 成立. 即: (t +x)4-4(t +x)3+4(t +x)2-5=(t-x)4-4(t-x)3+4(t-x)2-5. 化简得(t-1)x3+( t3-3 t2 +2t)x=0 对 x∈R 恒成立. ?t-1=0, ∴? 3 ∴t=1. 2 ?t -3 t +2t=0. 即函数 f(x)存在垂直于 x 轴的对称轴 x=1. (Ⅲ)解: 方程 f(x)=λ2x2-5,即 x4-4x3+4x2-5=λ2x2-5, 即 x4-4x3+4x2-λ2x2=0,亦即 x2(x2-4x+4-λ2)=0,∵x=0 是一个根, ∴方程 x2-4x+4-λ2=0 的两根为 x1 , x 2 ,? x1 ? x 2 ? 4, x1 x 2 ? 4 ? ? .
2

·12·

|x1-x2|= (x1+x2)2-4 x1x2=2|?| ? 0, 要使 m2+tm+2≤|x1-x2|对任意 t∈[-3,3]恒成立,只要 m2+tm+2≤0 对任意 t∈[-3,3] 恒成立,令 g(t)=tm +m2+2 , 则 g(t)是关于 t 的线性函数.
?g(-3) ≤ 0, ?1≤m≤2, 只要? 解得? g (3) ≤ 0 . ? ?-2≤m≤-1.

∴不存在实数 m,使得不等式 m2+tm+2≤|x1-x2|对任意 t∈[-3,3]恒成立. 22. (本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=|2x+1|-|x-3|. ①解不等式 f(x)≤4; ②若存在 x 使得 f(x)+a≤0 成立,求实数 a 的取值范围. -x-4,x≤- , ? 2 ? 1 ①y=|2x+1|-|x-3|=? 3x-2,- <x<3, 2 ? ?x+4,x≥3. 1

解析

作出函数 y=|2x+1|-|x-3|的图象,它与直线 y=4 的交点为(-8,4)和(2,4). ∴|2x+1|-|x-3|≤4 的解集为[-8,2]. 1 7 ②由 y=|2x+1|-|x-3|的图象可知,当 x=- 时,f(x)min=- . 2 2 7 ∴存在 x 使得 f(x)+a≤0 成立的条件是-a≥f(x)min, ∴a≤ . 2

四、附加题(共 10 分)
23. (每小题 5 分) (1) 已知三棱锥 P ? ABC 的底面是边长为 4 3 的正三角形 , PA ? 3, PB ? 4, PC ? 5 . 若 O 为

?ABC 的中心,则 PO 的长为 6
(2)若函数 f ( x) ?



3x 2 ? 7 , g ( x) ? x 2 ?

16 ? 1 ,则 g ( f ( x)) 的最小值是 x2 ?1

8 .

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