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北京市东城区2014届高三上学期期末考试 数学文 Word版含答案


北京市东城区 2014 届高三上学期期末考试

数学(文)试题
本试卷共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无 效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 (1)已知集合 A= {x|0<x<2},B= {-1,0,1) ,则 A ? B= (A){-1} (B){0} (C){1} (2)在复平面内,复数 i(2+i)对应的点位于 (A 涕一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (3)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ? )上单调递减的是 (A) y= -ln|x| (B) y=x3 (C)y=2|x| 2 (4) “x>l”是“x >1”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)执行如图所示的程序框图,输出的 a 值为 (A)3 (B)5 (C)7 (D)9 (D){0,1} (D)第四象限 (D) y=cosx-

(6)直线 y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2 =4 相交于 A,B 两点,若|AB |=2 3 ,则 k= (A)± 3

(B)±

3 3

(C) 3

(D)

3 3

(7)关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题: ①若 a·b=a·c,则 b=c; ②若 a=(1,k) ,b=(-2,6) ,a∥b,则 k=-3; ③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 30o. (参若 a-(1,k) ,b=(-2,6) ,a 其中真命题的序号为 (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③ (8)已知函数 f(x)= ? (A) (-∞,0]

? x 2 ? 5 x, x ? 0, ? x ? ? ?e ? 1, x ? 0.

若 f (x)≥kx,则 k 的取值范围是 (C) (0,5] (D)[0,5]

(B) (-∞,5]

第二部分(非选择题共 1 10 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)命题“ ?x ∈R,x<l"的否定是 . (l0)双曲线

x2 ? y2 =1 的离心率 e= 9

;渐近线方程为 。



(11)在△ABC 中,a=15,b=10,A= 60o,则 cosB=

?x ? 0 ? x y (12)已知变量 x,y 满足约束条件 ? y ? 1 , 则 z=4 ·2 的最大值 ?x ? y ?
为 。 ( 13 ) 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 该 几 何 体 的 体 积 为 。 (14)对于实数 x,用[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.3]=0, [5. 6]=5. 若 n∈N*, an= ? ? ,Sn 为数列{an}的前 n 项和, 则 S8= 4

?n? ? ?

; S4n=



三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f(x)=2 3 sinxcosx-2 cos2x+l. (I)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若 ? ∈(0,

? ) ,且 f( ? )=1,求 ? 的值。 2

(16) (本小题共 13 分) 已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a5 =45,a2 +a6 =14. (I)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足:

b b1 b2 ? 2 ? ?? n ? an ? 1(n ? N ? ) ,求{bn}的前 n 项和. n 2 2 2

(17) (本小题共 14 分) 如图,边长为 4 的正方形 ABCD 与矩形 ABEF 所在平面互相垂直,M,N 分别为 AE,BC 的中点,AF=3. (I)求证:DA⊥平面 ABEF; (Ⅱ)求证:MN∥平面 CDFE; (Ⅲ)在线段 FE 上是否存在一点 P,使得 AP⊥MN? 若存在,求出 FP 的长;若不存在,请说明理由.

(18) (本小题共 13 分) 已知函数 f(x)=lnx-ax(a>0) . (I)当 a=2 时,求 f(x)的单调区间与极值; (Ⅱ)若对于任意的 x∈(0,+ ? ) ,都有 f(x)<0,求 a 的取值范围.

(19) (本小题共 13 分) 已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,右焦点为( 3 ,0) . 2 2 a b

(I)求椭圆的方程; (Ⅱ)过椭圆的右焦点且斜率为 k 的直线与椭圆交于点 A(xl ,y1),B(x2,y2) ,若

x1 x2 y1 y2 ? 2 ? 0 , 求斜率 k 是的值. a2 b

(20) (本小题共 14 分) 设集合 Sn={1,2,3,?,n) ,若 X 是 Sn 的子集,把 X 中所有元素的和称为 X 的“容量” (规定空集的容量为 0) ,若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为 Sn 的奇(偶)子集. (I)写出 S4 的所有奇子集; (Ⅱ)求证:Sn 的奇子集与偶子集个数相等; (Ⅲ)求证:当 n≥3 时,Sn 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.


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