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必修5第一章 解三角形 章末检测


必修 5 第一章 解三角形 章末检测
编号 姓名 一、选择题 1.在△ABC 中,c= 2,则 bcos A+acos B 等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 2. 设甲、 乙两楼相距 20 m, 从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60° 从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30° , , 则甲、乙两楼的高分别是( ) 40 A.20 3 m, 3 m B.10 3 m,20

3 m 3 15 20 C.10( 3- 2) m,20 3 m D. 3 m, 3 m 2 3 3. 在△ABC 中, A、 C 的对边分别为 a、 c, a2+c2-b2= 3ac, 角 B、 b、 若 则角 B 的值为( ) π π π 5π π 2π A. B. C. 或 D. 或 6 3 6 6 3 3 4.已知△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=k∶(k+1)∶2k,则 k 的取值范围是( ) A.(2,+∞) B.(-∞,0) 1 1 C.?-2,0? D.?2,+∞? ? ? ? ? ??? → ? 5. 在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10 ,则 BA · 等于( AC ) 3 2 2 3 A.- B.- C. D. 2 3 3 2 6. 从高出海平面 h 米的小岛看到正东方向有一只船俯角为 30° 看到正南方向有一只船俯角为 , 45° ,则此时两船间的距离为( ) A.2h 米 B. 2h 米 C. 3h 米 D.2 2h 米 7.在锐角△ABC 中,有( ) A.cos A>sin B 且 cos B>sin A B.cos A<sin B 且 cos B<sin A C.cos A>sin B 且 cos B<sin A D.cos A<sin B 且 cos B>sin A 8.在△ABC 中,已知 a= 5,b= 15,A=30° ,则 c 等于( ) A.2 5 B. 5 C.2 5或 5 D.以上都不对 9.根据下列情况,判断三角形解的情况,其中正确的是( ) A.a=8,b=16,A=30° ,有两解 B.b=18,c=20,B=60° ,有一解 C.a=5,c=2,A=90° ,无解 D.a=30,b=25,A=150° ,有一解 10.在某个位置测得某山峰仰角为 θ,对着山峰在平行地面上前进 600 m 后测仰角为原来的 2 倍,继续在平行地面上前进 200 3 m 后,测得山峰的仰角为原来的 4 倍,则该山峰的高度是( ) A.200 m B.300 m C.400 m D.100 3 m sin A cos B cos C 11.若 = = ,则△ABC 是( ) a b c A.等边三角形 B.有一内角是 30° 的直角三角形 C.等腰直角三角形 D.有一内角是 30° 的等腰三角形 π 12.△ABC 中,A= ,BC=3,则△ABC 的周长为( ) 3 π π A.4 3sin?B+3?+3 B.4 3sin?B+6?+3 ? ? ? ? π? π? C.6sin?B+3?+3 D.6sin?B+6?+3 ? ? 班级

1

二、填空题 2a b c 13.在△ABC 中, - - =________. sin A sin B sin C 14. 如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点 A、B,望对 岸标记物 C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度 为______________. . 15.△ABC 的三边长分别为 3、4、6,则它的较大锐角的角平分线 分三角形的面积比为______________. 16.在△ABC 中,若 A>B,则下列关系中不一定正确的是________. ①sin A>sin B ②cos A<cos B ③sin 2A>sin 2B ④cos 2A<cos 2B 三、解答题 4 17.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c,且 cos A= . 5 B+C (1)求 sin2 +cos 2A 的值; 2 (2)若 b=2,△ABC 的面积 S=3,求 a.

18.如图所示,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD 交 AC 于 E,AB=2. (1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE.

2

19.如图,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯塔的塔 顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°、30°,于水面 C 处测得 B 点和 D 点 的仰角均为 60°,AC=0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B、D 的 距离(结果保留根号).

20.在△ABC 中,A 最大,C 最小,且 A=2C,a+c=2b,求此三角形三边之比.

3

cos A b 4 21.在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,其中 c=10,且 = = . cos B a 3 (1)求证:△ABC 是直角三角形; (2)设圆 O 过 A、B、C 三点,点 P 位于劣弧 AC 上,∠PAB=60°.求四边形 ABCP 的面积.

?

A+B 22.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a+b=5,c= 7,且 4sin2 - 2 7 cos 2C= . 2 (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积.

4

必修 5 第一章 解三角形 章末检测参考答案
一、选择题 1~5BAADA 3.A 6~10ABCDB 11~12CD a2+c2-b2 3ac 3 π 解析 ∵a2+c2-b2= 3ac,∴cos B= = = ,∴B= . 2ac 2ac 2 6 4.D 解析 由正弦定理得:a=mk,b=m(k+1),c=2mk(m>0), ? ? ?a+b>c ?m(2k+1)>2mk 1 ∵? 即? ,∴k> . 2 ? ? ?a+c>b ?3mk>m(k+1) 5. A AB2+AC2-BC2 9+4-10 1 解析 由余弦定理得 cos A= = = . 2AB· AC 12 4 ??? → → → ? 1 3 ∴ AB · =|AB|· |· A=3×2× = . AC |AC cos 4 2 ??? → ? 3 → → ∴ BA · =-AB· =- . AC AC 2 6.A 解析 如图所示, BC= 3 h,AC=h, ∴AB= 3h2 ? h2 = 2h. 7.B π π π π 解析 由于 A+B> ,得 A> -B,即 >A> -B>0 2 2 2 2 π y=cos x 在?0,2?是减函数,所以得 cos A<sin B.同理可得 cos B<sin A. ? ? 8.C 3 解析 因 a2=b2+c2-2bccos A,∴5=15+c2-2 15×c× . 2 化简得:c2-3 5c+10=0,即(c-2 5)(c- 5)=0,∴c=2 5或 c= 5. 9.D 16×sin 30° a b 解析 A 中,因 = ,所以 sin B= =1 sin A sin B 8 20sin 60° 5 3 ∴B=90° ,即只有一解;B 中 sin C= = , 18 9 且 c>b,∴C>B,故有两解;C 中,∵A=90° ,a=5,c=2 2 2 ∴b= a -c = 25-4= 21,即有解,故 A、B、C 都不正确. 10.B 解析 如图所示,600· 2θ=200 3· 4θ, sin sin

∴cos 2θ= 11.C

3 ,∴θ=15°,∴h=200 3 ·sin 4θ=300 (m). 2

sin A cos B 解析 ∵ = ,∴acos B=bsin A, a b ∴2Rsin Acos B=2Rsin Bsin A,2Rsin A≠0. ∴cos B=sin B,∴B=45° .同理 C=45° ,故 A=90° .
5

12.D π BC AC AB 解析 A= ,BC=3,设周长为 x,由正弦定理知 = = =2R, 3 sin A sin B sin C AB+BC+AC BC 3 x 由合分比定理知 = ,即 = . sin A sin A+sin B+sin C 3 3 +sin B+sin C 2 2 3 ∴2 3? +sin B+sin(A+B)?=x, ?2 ? π π π 即 x=3+2 3?sin B+sin?B+3??=3+2 3?sin B+sin Bcos3+cos Bsin 3? ? ? ?? ? ? 1 3 3 3 =3+2 3?sin B+ sin B+ cos B?=3+2 3? sin B+ cos B? 2 2 2 ? ? ?2 ? π? 3 1 ?=3+6sin?B+ . =3+6? ? 6? ? 2 sin B+2cos B? 二、填空题 13.0 14.60 m 解析 在△ABC 中,∠CAB=30°,∠CBA=75°, ∴∠ACB=75°.∠ACB=∠ABC.∴AC=AB=120 m. ∴宽 h=AC·sin 30°=60 m. 15. 1∶2 32+42-62 11 解析 不妨设 a=3,b=4,c=6,则 cos C= =- <0. 24 2×3×4 ∴C 为钝角,则 B 为较大锐角,设 B 的平分线长为 m, 1 B 1 B 则 S1∶S2=?2×3 m sin 2 ?∶?2×6 m sin 2 ?=1∶2. ? ? ? ? 16.③ 解析 在△ABC 中,A>B,sin A>sin B,cos A<cos B. ∴1-2sin2 A<1-2sin2 B,∴cos 2A<cos 2B. 三、解答题 B+C 1-cos(B+C) 1+cos A 59 17.解 (1)sin2 +cos 2A= +cos 2A= +2cos2 A-1= . 2 2 2 50 4 3 (2)∵cos A= ,∴sin A= . 5 5 1 1 3 由 S△ABC= bcsin A,得 3= ×2c× ,解得 c=5. 2 2 5 2 2 2 由余弦定理 a =b +c -2bccos A,可得 4 a2=4+25-2×2×5× =13,∴a= 13. 5 18.解 (1)因为∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD,

6? 2 4 AE AB ? (2)在△ABE 中,AB=2,由正弦定理得 , sin ?ABE sin ?AEB AE 2 ? 即 ,故 0 0 sin(45 ? 15 ) sin(900 ? 150 ) 1 2? 2sin 300 2 ? 6 ? 2, AE= ? 0 cos15 6? 2 4
∴∠CBE=15°.∴cos∠CBE=cos(45° ? 30°) =
6

19.解 在△ACD 中,∠DAC=30°,∠ADC=60° ? ∠DAC=30°,所以 CD=AC=0.1. 又∠BCD=180° ? 60° ? 60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA.

AB AC ? , sin ?BAC sin ?ABC AC sin 600 3 2 ? 6 3 2? 6 所以 AB= ,∴BD= ? (km). ? 0 sin15 20 20 3 2? 6 故 B、D 的距离为 km. 20
在△ABC 中, a c a sin A sin 2C 20.解 在△ABC 中,由正弦定理得 = , = = =2cos C, sin A sin C c sin C sin C 2 2 2 a +b -c a 即 cos C= .由余弦定理得 cos C= , 2c 2ab 1 a2-c2+ (a+c)2 4 a ∵2b=a+c,∴ = ,整理得 2a3-3a2c-2ac2+3c3=0, 2c a+c 2a· 2 3 即(a+c)(a-c)(2a-3c)=0,解得 a=-c(舍去),a=c 或 a= c, 2 ∵A>C,∴a>c,∴a=c 不合题意. 3 1 5 3 5 当 a= c 时,b= (a+c)= c,∴a∶b∶c= c∶ c∶c=6∶5∶4. 2 2 4 2 4 故此三角形的三边之比为 6∶5∶4.

a c a sin A sin 2C ? ? ? 2C , . ? sin A sin C c sin C sin C a 2 ? b2 ? c 2 整理为 sin Acos A=sin Bcos B,即 sin 2A=sin 2B. cos C ? 2ab 又∵ 2b ? a ? c ,∴0<A<B<π ,∴0<2A<2B<2π ,
21.(1)证明 根据正弦定理得 ∴2A=π ? 2B,即 A+B= (2)解

? ? ,∴C=. ,故△ABC 是直角三角形. 2 2

由(1)可得:a=6,b=8.

BC 3 4 ? ,cos∠CAB= . AB 5 5 ∴sin∠PAC=sin(60° ? ∠CAB)=sin 60°·cos∠CAB ? cos 60°·sin∠CAB 3 4 1 3 1 ? ? ? ? 4 3 ?3 = 2 5 2 5 10
在 Rt△ABC 中,sin∠CAB=

?

?

连结 PB,在 Rt△APB 中,AP=AB·cos∠PAB=5,∴四边形 ABCP 面积 S=S△ACB+S△PAC=

1 1 1 1 4 3 ? 3 =18+8 3 . ab+ AP·AC·sin∠PAC=24+ ×5×8× 2 2 2 10

?

?

A+B 7 C 7 22.解 (1)∵A+B+C=180° ,由 4sin2 -cos 2C= ,得 4cos2 -cos 2C= , 2 2 2 2 1+cos C 7 1 ∴4· -(2cos2C-1)= ,整理,得 4cos2C-4cos C+1=0,解得 cos C= , 2 2 2 ∵0° <C<180° ,∴C=60° . (2)由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C,即 7=a2+b2-ab,∴7=(a+b)2-3ab, 1 1 3 3 3 由条件 a+b=5,得 7=25-3ab,ab=6,∴S△ABC= absin C= ×6× = . 2 2 2 2
7


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