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北京师范大学附属实验中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题


北师大附属实验中学
2014-2015 学年度第二学期高二年级数学期中考试试卷(理科一卷) 班级 姓名 学号 分数

试卷说明: 1、本试卷考试时间为 120 分钟,总分为 150 分;试卷一 100 分,试卷二 50 分; 2、试卷共 8 页,一卷共三道大题,17 道小题;二卷共两道大题,8 道小题. 命题人:高二数学备课组 审题人:姚玉平

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,每题只有一个正确答案, 请将正确答案的序号涂在答题卡上) 1.下面使用类比推理正确的是 A.“若 a ? 3 ? b ? 3 则 a ? b ”类比推出“若 a ? 0 ? b ? 0 则 a ? b ” B.“ (a ? b) ? c ? ac ? bc ”类比推出“
a?b a b ? ? (c ? 0) ”” c c c

C.“ (a ? b) ? c ? ac ? bc ”类比推出“ (a ? b) ? c ? ac ? bc D.“ (ab)n ? an ? bn ”类比推出“ (a ? b)n ? an ? bn ” 2.函数 y ? sin(2 x2 ? x) 导数是 A. cos(2 x2 ? x) C. 4cos(2 x2 ? x) 3.曲线 y ? 2 x ? cos x 在 x ? A. 0
1 x

B. 2x sin(2x2 ? x) D. (4x ? 1)cos(2x2 ? x)

?
2

处的切线的倾斜角为 C.

B.

? 4

? 2

D.

3? 4

4.曲线 y ? e 2 在点 (4, e2 ) 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 A. e 2 B. 2e 2 C. 4e 2
9 D. e 2 2

5. 已知 f (n) ? i n ? i ?n (i 2 ? ?1, n ? N ) 集合 ? f (n)? 的元素个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D.无数个
1 1 1 6. 用数学归纳法证明不等式“ 1 ? ? ? ??? ? n 当 ? n(n ? 2, n ? N * ) ,的过程中, 2 3 2 ?1 由 n ? k 变到 n ? k ? 1 时,左边增加了

A.1 项 7. 若 a ?

B. k 项

C. 2

k ?1



D. 2 项

k

ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? ,则 2 3 5

A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

C. c ? a ? b

D. b ? a ? c

8. 观察下列各式:a ? b ? 1 ,a 2 ? b 2 ? 3 ,a3 ? b3 ? 4 ,a 4 ? b4 ? 7 ,a5 ? b5 ? 11 , …, 则 a10 ? b10 ? A.28 B.76 C.123 D.199

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.若 ? (2 x ? k )dx ? 2 ,则实数 k =
0 1



10.计算 (1 ? i)(1 ? 2i) ? __________(写成 a ? bi 的形式).
1? i

11.函数 f ( x ) ?

x 的极大值为 1 ? x2

,此时 x ?



12. 已知 ?an ? 成等差数列, d 为公差,若 ?m, n ? N ? , m ? n, 使 S m? Sn , 则 S m ? n? 0 .( S n
为 ?an ? 的前 n 项和) 类比上述结论: ?bn ?为等比数列, q 为公比,若 ?m, n ? N ? , m ? n, 使

T m? Tn ,则_________________( Tn 为 ?bn ?的前 n 项积).
13.一矩形铁皮的长为 8 cm ,宽为 5 cm ,在四个角上截去四个相同的小正方形, 制成一个无盖的小盒子,当小正方形的边长为 _________ cm 时,盒子容积最大, 最大值为_______ cm3 . 14. 如 果 对 定 义 在 上 R 的 函 数 f ( x) , 对 任 意 两 个 不 相 等 的 实 数 x1 , x2 , 都 有

x1 f ( x ( x ? 1) ? x 2 f( x 2 )? x 1 f 2)

f ( x) 为“ H 函数”. 则称函数 x ( 1 x ), 2 f

给出下列函数 ①y ? ? x3 ? x ? 1 ;

②y ? 3x ? ( 2 sin x ? cos x);

③y ? e x ? 1;

?ln | x | ④y ? ? ?0

x?0 x?0


;

以上函数是“ H 函数”的所有序号为

一卷 9. 12.

二.填空题(每小题 5 分,共 30 分) ; ; 10. 13. , ; ; 11. 14. , ; ;

三、解答题(本大题共 3 小题,共 30 分,写出必要的解答过程) 15.已知复数 z 满足: z ? 1? 3i ? z .

(Ⅰ) 求复数 z ;
(1 ? i) 2 (?7 ? 24i) (Ⅱ) 若 z1 ? ,求 z1 . 2z

16. 如果 a , b 都是正数,且 a ? b .求证:

a b ? ? a? b. b a

北京师范大学附属实验中学
2014-2015 学年度第二学期高二年级数学期中试卷(理科)
班级__________ 姓名_______________学号_________分数_____________

17. 已知函数 f ( x) ?

ex . x

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 ax ? y ? 0 ,求 x0 的值; (Ⅱ)当 x ? 0 时,求证: f ( x) ? x ; (Ⅲ)问集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}( b ? R 且为常数)的元素有多少个?(只需写 出结论)

2014-2015 学年度第二学期高二年级数学期中考试试卷(理科二卷) 四、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,将正确答案填在横线上) 18.如果 3 ? a ? 5 ,复数 z ? (a2 ? 8a ? 15) ? (a2 ? 5a ?14)i 在复平面上的对应点 第 象限.

z在

19.若下列两个方程 x2 ? (a ?1) x ? a2 ? 0 , x2 ? 2ax ? 2a ? 0 中至少有一个方程有实数 根,则实数 a 的取值范围是________.
1 20. 设 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? 5 ,当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,则实数 m 的取 2

值范围为



21. 若集合 {a, b, c, d} ? {1,2,3,4}, 且下列四个关系:① a ? 1 ;② b ? 1 ;③ c ? 2 ;④
d ? 4 有 且 只 有 一 个 是 正 确 的 , 则 符 合 条 件 的 有 序 数 组 (a, b, c, d ) 的 个 数 是

_________. 22. 对正整数 n ,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an ,
? a ? 则数列 ? n ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1?

.

23.以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 ? ( x) 组成的 集合: 对于函数 ? ( x) , 存在一个正数 M , 使得函数 ? ( x) 的值域包含于区间 ??M , M ? . 例如,当 ?1 ( x) ? x3 , ?2 ( x) ? sin x 时, ?1 ( x) ? A , ?2 ( x) ? B .现有如下命题: ① 设 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 D , 则 “ f ( x) ? A ” 的 充 要 条 件 是 “ ?b ? R, ?a ? D, f (a) ? b ” ; ②函数 f ( x) ? B 的充要条件是 f ( x) 有最大值和最小值;

③若函数 f ( x) , 且 f ( x) ? A , 则 f( g ( x) 的定义域相同, g ( x) ? B , x) gx ?( ) B ? ; ④若函数 f ( x) ? a ln( x ? 2) ?
x ( x ? ?2, a ? R) 有最大值,则 f ( x) ? B . x ?1
2

其中的真命题有____________.(写出所有真命题的序号).

二卷 四.填空题(每小题 5 分,共 30 分) 18. 21. ; ; 19. 22. ; ; 20. 23. ; ;

五、解答题(本大题共 2 小题,共 20 分,写出必要的解答过程) 24.已知函数 f ( x) ? 4ln x ? ax2 ? 6 x ? b ( a , b 为常数) ,且 x ? 2 为 f ( x) 的一个 极值点. (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ) 若函数 y ? f ( x) 有 3 个不同的零点,求实数 b 的取值范围.

2 2 ? an 25.已知各项为正的数列 {an } 的首项为 a1 ? 2sin ? ( ? 为锐角) , 4 ? an ?1 ? 2 ,

数列 {bn } 满足 bn ? 2n?1 an .

? (Ⅰ)求证:当 x ? (0, ) 时, sin x ? x 2 ? (Ⅱ)求 an ,并证明:若 ? ? ,则 a1 ? a2 ? 4
若不存在,请说明理由.

? an ? ?

(Ⅲ) 是否存在最大正整数 m , 使得 bn ? m sin ? 对任意正整数 n 恒成立?若存在, 求出 m ;

北师大附属实验中学 2014-2015 学年度第二学期高二年级数学期中试卷参考答案 一卷

一.选择题 1-8: B D B A B D C C
1 ,1 ; 2

二.填空题 9. 1 ; 12. Tm?n ? 1 ; 三.解答题 15. 解:(Ⅰ)设 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,而 z ? 1? 3i ? z 即 a2 ? b2 ?1? 3i ? a ? bi ? 0
? ? a 2 ? b 2 ? a ? 1 ? 0 ?a ? ?4 则? ?? , b ? 3 b ? 3 ? 0 ? ? ?
z ? ?4 ? 3i

10. 2 ? i ; 13. 1,18;

11.

14. ② ③

, ………2 分

………5 分 ………9 分 ………10 分

(Ⅱ) z1 ?

(1 ? i)2 (?7 ? 24i) 2i(?7 ? 24i) 24 ? 7i ? ? ? 3 ? 4i 2z 2(?4 ? 3i) 4?i

z1 ? 3 ? 4i
16. 证法一: ∵
a b ? ? a? b b a

=

a a ? b b ? a b ? b a (a ? b)( a ? b ) = ab ab ( a ? b )2 ( a ? b ) >0( a ? b ) ab
a b ? ? a? b b a a b ? ? a? b b a

=



………10 分

证法二:要证

需证

a 2 b2 ? ? 2 ab ? a ? b ? 2 ab b a

即需证 a3 ? b3 ? a 2b ? ab2 需证 (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? ab(a ? b)

需证 a 2 ? ab ? b2 ? ab 需证 (a ? b)2 ? 0 ∵ a ? b ∴ (a ? b)2 ? 0 恒成立 ∴
a b ? ? a? b b a

………10 分

ex x ? ex 17.(Ⅰ)解: f '( x) ? . x2

………1 分

因为 切线 ax ? y ? 0 过原点 (0, 0) ,

e x0 e x0 x0 ? e x0 x 所以 ? 0 . 2 x0 x0
解得: x0 ? 2 . (Ⅱ)证明:设 g ( x) ?

………2 分 …3 分

f ( x) e x e x ( x 2 ? 2 x) ? 2 ( x ? 0) ,则 g '( x) ? . x4 x x

令 g '( x) ?

e x ( x 2 ? 2 x) ? 0 ,解得 x ? 2 . x4

……4 分

x 在 (0, ??) 上变化时, g '( x), g ( x) 的变化情况如下表
x
g '( x )

(0, 2)

2

(2, + ? )



0

+ ↗
e2 . 4

g ( x)

e2 4

所以 当 x ? 2 时, g ( x) 取得最小值
e2 4

………5 分

所以 当 x ? 0 时, g ( x) ?

1 ,即 f ( x) ? x .

………6 分

(Ⅲ)解:当 b ? 0 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 0;

当0 ? b ?

e2 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 1; 4

当b ?

e2 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 2; 4

当b ? 二卷

e2 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 3. 4

………10 分

四.填空题
18 三. ; 21.6 19. (??, ?2] [?1, ??) ; 22. 2n ?1 ? 2 20. (7,??) 23.①③④

五.解答题 解: (Ⅰ) 函数 f (x)的定义域为(0,+∞) 4 ∵ f ′ (x) = ? 2ax ? 6 x ∴ f ?( 2 ) ? 2 ? 4a ? 6 ? 0 ,则 a = 1. (Ⅱ)由(Ⅰ) 知 f ( x) ? 4 ln x ? x 2 ? 6x ? b ∴ f ′ (x) =
4 2 x 2 ? 6 x ? 4 2( x ? 2)(x ? 1) ? 2x ? 6 ? ? x x x

……1 分 ……2 分 ………3 分

……… 4 分

由 f ′ (x) > 0 可得 x >2 或 x <1,由 f ′ (x) < 0 可得 1< x <2. ∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ,1) 和 (2,+ ∞ ), 单调递减区间为 (1 , 2 ). 单调递增. 且当 x =1 或 x =2 时,f ′ (x) = 0. ∴ f (x) 的极大值为
f (1) ? 4 ln1 ? 1 ? 6 ? b ? b ? 5

………6 分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函数 f (x)在(0, 1)单调递增, 在(1, 2)单调递减, 在(2, +∞)

f (x)的极小值为 f (2) ? 4 ln 2 ? 4 ? 12 ? b ? 4 ln 2 ? 8 ? b
? f (1) ? b ? 5 ? 0 由题意可知 ? ? f (2) ? 4 ln 2 ? 8 ? b ? 0

5 ? b ? 8 ? 4 ln 2

……8 分

………10 分

25.解: (Ⅰ)令 f ( x) ? sin x ? x?(0 ? x ?

?
2

),

则 f ?( x) ? cos x ? 1?? 0(0 ? x ?

?
2

) 故 f ( x)

, ………………3 分

∴ f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 sinx<x

2 2 2 ? an (Ⅱ)由 4 ? an 2 ? 4 ? an (an ? 0) 又 a1 ? 2sin ? , ?1 ? 2 得 an ?1 ?

? a2 ? 2 ? 4 ? a12 ? 2 ? 2 cos ? ? 2sin
2 a3 ? 2 ? 4 ? a2 ? 2 ? 2cos

?
2

, , …………………4 分

?
2

? 2sin

?
4

2n ?1 下面用数学归纳法证明:

猜想: an ? 2sin

?

①n=1 时, a1 ? 2sin ? ,成立, ②假设 n=k 时命题成立,即 ak ? 2sin
2 ak ?1 ? 2 ? 4 ? ak ? 2 ? 4 ? (2sin

?
2k ?1

,则 n=k+1 时,

?
2
k ?1

)2 ? 2 ? 2cos

?
2
k ?1

= 2sin

?
2k



即 n=k+1 时命题成立.由①②知 an ? 2sin 由(Ⅰ)知 an ? 2sin

?
2n ?1

对 n ?N*成立.

………8 分

?
2
n ?1

?

?
2n? 2

, n ?N*

故 a1 ? a2 ? 因此 ? ?

? an ?

?
2
?1

?? ?

?
2

?

1 2? [1 ? ( ) n ] ? 2 ? 4? [1 ? ( 1 ) n ] ? 4? ? n ?2 ? 1 2 2 1? 2
…………7 分

?
4

时, a1 ? a2 ?

? an ? ?

(Ⅲ)bn ? 2n ?1 an ? 2n ? 2 sin

?
2n ?1

2sin n 2sin b 1 2 ? 2n ,故 n ?1 ? ? ? 1 ,{bn } ? ? ? ? bn sin n ?1 2sin n cos n cos n 2 2 2 2

?

?

为递增数列,因此要使 bn ? m sin ? 对任意正整数 n 恒成立,只需 b1 ? m sin ? 成立, 而 b1 ? 8sin ? ,因此 m ? 8 ,故存在最大自然数 m=8 满足条件… 10 分 另证:由于 b1 ? m sin ? ,可得 m ? 8 ,因此可猜想 m 的最大值 m ? 8 ,下面证 明 bn ? 8sin ? ,即证 2n sin

?
2n ?1

? 2sin ? 恒成立.

①n=1 时, b1 ? 2sin ? ? 2sin ? ,成立, ②假设 n=k 时命题成立,即 2k sin

?
2k ?1

? 2sin ? ,则 n=k+1 时,

2k ?1 sin

?
2k

? 2k 2sin

?
2k

? 2k

2sin

?
2
k

cos

?
2 ? 2k
k

sin

cos

?
2k

2k ?1 ? 2sin ? ? 2 sin? , ? ? cos k cos k 2 2

?

即 n=k+1 时命题成立.由①②知 2n sin

?
2n ?1

? 2sin ? 对 n ?N*成立.

即 bn ? 8sin ? 对 n ?N*成立,由 m ? 8 知正整数 m 的最大值为 8

…10 分

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