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三角函数图像变换课件


一、三角函数图象的作法
作图步骤: 1.几何法 y=sinx 作图步骤 几何法 (1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线 等分单位圆作出特殊角的三角函数线; 等分单位圆作出特殊角的三角函数线 (2)平移三角函数线 平移三角函数线; 平移三角函数线 (3)用光滑的曲线连结各点. (3)用光滑的曲线连结各点. 用光滑的曲线连结各点 y 1 o1 Ao -1 y=sinx 3

π 2 P M o y

α

A

x

π

π

2π x

2

2.五点法作函数 y=Asin(ωx+?) 的图象的步骤 五点法作函数 的图象的步骤: (1)令相位 ωx+?=0, π , π, 3π, 2π, 解出相应的 x 的值 的值; 令相位 2 2 (2)求(1)中 x 对应的 y 的值 并描出相应五点 的值, 并描出相应五点; 求 中 (3)用光滑的曲线连结 中五点 用光滑的曲线连结(2)中五点 用光滑的曲线连结 中五点. 3.变换法 函数 y=Asin(ωx+?)+k 与 y=sinx 图象间的关系 变换法: 图象间的关系: 变换法 的图象纵坐标不变, ①函数 y=sinx 的图象纵坐标不变 横坐标向左 (?>0) 或向右 (?<0) 平移 |?| 个单位得 y=sin(x+?) 的图象 的图象; 1 图象的纵坐标不变, ②函数 y=sin(x+?) 图象的纵坐标不变 横坐标变为原来的 ω , 的图象; 得到函数 y=sin(ωx+?) 的图象 图象的横坐标不变, ③函数 y=sin(ωx+?) 图象的横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 的图象; 倍, 得到函数 y=Asin(ωx+?) 的图象 图象的横坐标不变, ④函数 y=Asin(ωx+?) 图象的横坐标不变 纵坐标向上 (k>0) 或向下 (k<0) 平移 |k| 个单位得 y=Asin(x+?)+k 的图象. 的图象 要特别注意, 的图象, 要特别注意 若由 y=sin(ωx) 得到 y=sin(ωx+?) 的图象 则向左 ? 或向右平移应平移 | ω | 个单位. 个单位

二、三角函数图象的性质
1.正弦函数 y=sinx(x∈R) 是奇函数 对称中心是 (kπ, 0)(k∈Z), 正弦函数 ∈ 是奇函数, ∈ 对称轴是直线 x=kπ+ π (k∈Z); 余弦函数 y=cosx(x∈R) 是偶函数 ∈ ∈ 是偶函数, 2 对称中心是 (kπ+ π , 0)(k∈Z), 对称轴是直线 x=kπ (k∈Z)(正, 余 ∈ ∈ ( 2 轴的直线, 弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线 对 轴的交点) 称中心为图象与 x 轴的交点). 2.正切函数 y=tanx(x∈R, x ≠ π +kπ, k∈Z) 是奇函数 对称中心 正切函数 ∈ ∈ 是奇函数, 2 是( kπ , 0)(k∈Z). ∈ 2 函数的对称中心有两类: 轴的交点, 注 正切函数的对称中心有两类 一类是图象与 x 轴的交点 另一类是渐近线与 x 轴的交点, 但无对称轴, 这是与正弦、余 轴的交点 但无对称轴 这是与正弦、 弦函数的不同之处. 弦函数的不同之处

三、正、余弦函数的性质
1.定义域 都是 R. 定义域: 定义域 值域: 2.值域 都是 [-1, 1]. 值域 对 y=sinx, 当 x=2kπ+ π (k∈Z) 时, y 取最大值 1; 当 x=2kπ+3π ∈ 2 2 (k∈Z) 时, y 取最小值 -1; 对 y=cosx, 当 x=2kπ(k∈Z) 时, y 取最大 ∈ ∈ 值 1, 当 x=2kπ+π(k∈Z) 时, y 取最小值 -1. ∈ 3.周期性 ①y=sinx、y=cosx 的最小正周期都是 2π; ② f(x)= 周期性: 周期性 、 2π Asin(ωx+?) 和 f(x)=Acos(ωx+?)的最小正周期都是 T= |ω| . 的最小正周期都是

4.奇偶性与对称性 正弦函数 奇偶性与对称性: 正弦函数y=sinx(x∈R)是奇函数 对称中心 是奇函数, 奇偶性与对称性 ∈ 是奇函数 是 (kπ, 0)(k∈Z), 对称轴是直线 x=kπ+ π (k∈Z); 余弦函数 y=cosx ∈ ∈ 2 (x∈R)是偶函数 对称中心是 (kπ+ π , 0)(k∈Z), 对称轴是直线 x= 是偶函数, ∈ 是偶函数 ∈ 2 kπ (k∈Z) (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂 ∈ 轴的直线, 轴的交点) 直于 x 轴的直线 对称中心为图象与 x 轴的交点).

5.单调性 y=sinx 在 [2kπ- π , 2kπ+ π ](k∈Z)上单调递增 在 单调性: 单调性 ( ∈ )上单调递增, 2 π , 2kπ+ 3π ](k∈Z)上单调递减2 y=cosx 在 [2kπ, 2kπ+π] [2kπ+ ( ∈ )上单调递减; 2 2 (k∈Z)上单调递减 在 [2kπ+π, 2kπ+2π](k∈Z)上单调递增 ∈ )上单调递减, ( ∈ )上单调递增.

四、正切函数的性质

1.定义域 {x | x≠ π +kπ, k∈Z}. 定义域: 定义域 ≠2 ∈ 2.值域是 R, 在上面定义域上无最大值也无最小值 值域是 在上面定义域上无最大值也无最小值. 值域

3.周期性 是周期函数且周期是 π, 它与直线 y=a 的两个相邻 周期性: 周期性 交点之间的距离是一个周期 π. 一般说来, 某一周期函数解析式加绝对值或平方, 注 一般说来 某一周期函数解析式加绝对值或平方 其周期 性是: 弦减半、切不变. 性是 弦减半、切不变

例1 利用单位圆中的三角函数线证明当 0<α< π 时, 不等式 2 y sinα<α<tanα 成立 成立. T 提示 由 S△OAP<S扇形 <S△OAT 得: 扇形OAP P 1 1 1 ×OA×MP< 2 ×α×OA2< 2×OA×AT × × 2 α 1 ×1×sinα< 1 ×12×α< 1×1×tanα o M A x 即 2 × × 2 2 故有 sinα<α<tanα. 7π 例2 解不等式 |sinx|>cosx. {x| π +2kπ<x< 4 +2kπ, k∈Z} ∈ 4 y

五、典型例题

o

x

3.求函数 y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x 的最小正周期和最小值 求函数 的最小正周期和最小值, 上的单调增区间. 并写出该函数在 [0, π] 上的单调增区间 解: ∵ y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ 3 sin2x = 3 sin2x-cos2x 故该函数的最小正周期是 π, 最小值是 -2. =2sin(2x- π ) -6

π

π ≤2x- π ≤2kπ+ π (k∈Z) 得: 由 2kπ- 2 - 6 2 ∈ π kπ- ≤x≤kπ+ π (k∈Z). ∈

6 3 令 k=0, 1 即得函数 y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x π ] [ 5π , π]. 在 [0, π] 上的单调增区间是 [0, 3 和 6

4.已知函数 y= 1 cos2x+ 3 sinxcosx+1, x∈R. (1)求当 y 取得最 已知函数 ∈ 求当 2 2 的集合; 大值时自变量 x 的集合 (2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R) 的 该函数的图象可由 ∈ 图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 1 cos2x+ 3 sinxcosx+1= 1 cos2x+ 3 sin2x+ 5 解: (1)y= 2 4 2 4 4 1 sin(2x+ π )+ 5 . =2 6 4

π 当且仅当 2x+ 6 =2kπ+ π (k∈Z), 即 x=kπ+ π (k∈Z) 时, 2 ∈ 6 ∈
取得最大值. 函数 y 取得最大值 取得最大值时, 的集合是: 故当 y 取得最大值时 自变量 x 的集合是 {x | x=kπ+ π , k∈Z}. ∈ 6

(2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换 将函数 依次进行如下变换: 1 ②将所得图象上各点横坐标缩短到原来的 2 倍(纵坐标不 的图象; 变), 得到 y=sin(2x+ π ) 的图象 6 1 ③将所得图象上各点纵坐标缩短到原来的 2 倍(横坐标不 的图象; 变), 得到 y= 1 sin(2x+ π ) 的图象 2 6 π 5 1 ④将所得图象向上平移 4 个单位长度, 得到 y= 2 sin(2x+ 6 ) 个单位长度 5 + 4 的图象 的图象; 的图象. 综上得到 y= 1 cos2x+ 3 sinxcosx+1 的图象 2 2

π , 得 y=sin(x+ π ) 的图象 ①将 y=sinx 的图象向左平移 6 6 的图象;

5.已知函数 f(x)=sin(ωx+?)(ω>0, 0≤?≤π) 是 R 上的偶函数 已知函数 上的偶函数, π 对称, 上是单调函数, 其图象关于点 M( 3π , 0) 对称 且在区间 [0, 2 ] 上是单调函数 4 的值. 求 ? 和 ω 的值 上的偶函数, 解: ∵f(x)=sin(ωx+?)(ω>0, 0≤?≤π) 是 R 上的偶函数 ∴sin(-ωx+?)=sin(ωx+?), 即 -cos?sinωx=cos?sinωx 对任 都成立. 意实数 x 都成立 ∵ω>0, ∴cos?=0. 又∵0≤?≤π, ∴?= π . ∴f(x)=cosωx. 2 对称, ∵f(x) 的图象关于点 M 对称 图象的一个对称中心. ∴点 M 为 f(x) 图象的一个对称中心 3ωπ π (k∈Z). ∴ω= 4k+2 (k∈Z). ∈ ∴ 4 =kπ+ 2 ∈ 3 ∵ω>0,

π 上是减函数. ∴f(x)=cosωx 在区间 [0, ω ] 上是减函数

∴要使 f(x)=cosωx 在区间 [0, π ] 上是单调函数 2 上是单调函数,

π ≤ π , 即 0<ω≤2. 必有 2 ω
4k+2 ∈ 3 ≤2(k∈Z).

∴0<

∴ω=2 或 2 . 解得 k=0 或 1. 3 π 2 综上所述, 综上所述 ?= 2 , ω=2 或 3 .

6.如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- π 对称 求 a 如果函数 - 8 对称, 的值. 的值 其中, 解: y=sin2x+acos2x= a2+1 sin(2x+?), 其中 tan?=a.

π 对称 法1 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 8 对称, π , y 取最大值或最小值. ∴当 x=- 8 时 取最大值或最小值 π )+?=kπ+ π , k∈Z. ∴?=kπ+ 3π , k∈Z. ∈ ∴2(- 8 ∈ 4 2 3π )=-1. ∴a=tan?=tan(kπ+ )=4 π 法2 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 8 对称, - 对称

π , y 取最大值或最小值. ∴当 x=- 8 时 取最大值或最小值 π |sin2(- π )+acos2(- )|2=a2+1 8 解得 a=-1. 8

π 对称 法3 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 8 对称, π 时的函数值相同 ∴当自变量取 0, - 4 时的函数值相同. ∴sin0+acos0=sin2(- π )+acos2(- π ). 即 0+a=-1+0. π 对称 法4 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 对称, π + π = π 时, 函数值为 0. ∴当 x=- 8 4 8 ∴sin π +acos π =0.
4 而函数 y=sin2x+acos2x 的周期为 π, 8 ∴a=-1. 4 4

4 ∴a=-1. -

1.已知函数 f(x)=log (sinx-cosx), (1)求它的定义域和值域 已知函数 求它的定义域和值域; 求它的定义域和值域 (2)判断它的单调区间 (3)判断它的奇偶性 (4)判断它的周期 判断它的单调区间; 判断它的奇偶性; 判断它的单调区间 判断它的奇偶性 判断它的周期 如果是周期函数, 求出它的一个周期. 性, 如果是周期函数 求出它的一个周期 π 解: (1)由 sinx-cosx>0, 即 2sin(x- 4 )>0 得: 由 2kπ+ π <x<2kπ+ 5π , k∈Z 4 ∈ 4 {x | 2kπ+ π <x<2kπ+ 5π , k∈Z}. ∴f(x) 的定义域为 4 ∈ 4
1 2

课后练习

∴f(x)=log (sinx-cosx)≥log 的值域为[- 1 ∞ ∴f(x) 的值域为 - 2 , +∞). (2)∵y=sinx-cosx 在 f(x) 的定义域上的单调递增区间是 ∵ (2kπ+ π , 2kπ+ 3π ](k∈Z); ∈ 4 4 3π , 2kπ+ 5π )(k∈Z), π ∈ 单调递减区间是 [2kπ+ 4 4
1 2 1 2

π )≤ 2 , ∵sinx-cosx= 2sin(x- 4 -

1 2 =- 2 . -

π ∈ π , 2kπ+ 3π ](k∈Z); ∴f(x) 的单调递减区间是 (2kπ+ 4 4 π ∈ π [2kπ+ 3π , 2kπ+ 5π )(k∈Z). 单调递增区间是 4 4 (3)∵f(x) 的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 ∵ 的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称, 是非奇非偶函数. ∴函数 f(x) 是非奇非偶函数 (4)∵f(x+2π)=log [sin(x+2π)-cos(x+2π)] ∵ =log (sinx-cosx) =f(x),
1 2 1 2

是周期函数, ∴函数 f(x) 是周期函数 它的一个周期是 2π.

2.已知函数 f(x)=Asin(ωx+?)(A>0, ω>0, x∈R) 在一个周期内 已知函数 ∈ y 的图象如图所示: 的图象如图所示 求直线 y= 3 与函数 2 f(x) 图象的所有交点的坐标 图象的所有交点的坐标. 7π 5π 7π 2 2 解: 根据图象得 A=2, T= 2 -(- π )=4π, - π o π 3π -2 x 2 2 2 ∴ω= 1 . ∴y=2sin( 1 x+?). 2 2 1 π 由 2 (- 2 )+?=0 得 ?= π . ∴y=2sin( 1 x+ π ). 4 2 4 由 3=2sin( 1 x+ π ) 得 sin( 1 x+ π )= 3 . 2 4 2 4 2 2π ∴ 1 x+ π =2kπ+ π 或 2kπ+ 3 (k∈Z). ∈ 4 3 2 π 或 4kπ+ 5π (k∈Z). ∴x=4kπ+ 6 6 ∈ π , 3 ) 或 (4kπ+ 5π , 3 ) (k∈Z). 故所有交点坐标为 (4kπ+ 6 ∈ 6

3.设函数 f(x)=a ? b, 其中向量 a=(2cosx, 1), b=(cosx, 3 sin2x), 设函数 x∈R. (1)若 f(x)=1- 3 且 x∈[- π , π ], 求 x ; (2)若函数 y=2sin2x ∈ 若 ∈-3 3 若函数 的图象, 的图象按向量 c=(m, n)(|m|<π ) 平移后得到函数 y=f(x) 的图象 2 求实数 m, n 的值. 的值 解: (1)依题意 f(x)=2cos2x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+ π ). 依题意 6 3 由 1+2sin(2x+ π )=1- 3 得: sin(2x+ π )=- 2 . 6 6 π 5π ∵x∈[- π , π ], ∴2x+ π ∈[- 2 , 6 ]. ∈-3 3 6

π -π ∴2x+ π =- 3 . ∴x=- 4 . 6

(2)函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m, n) 平移后得到函数 函数 y=2sin2(x-m)+n 即 y=f(x) 的图象 的图象. 由(1)知 f(x)=2sin2(x+ π )+1. 知 12 ∵|m|< π , ∴m=- π , n=1. 2 12

4.如图所示 某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满 如图所示, 如图所示 的解析式, 其中, 足函数 y=Asin(ωx+?)+b 的解析式 其中 A>0, ω>0, 0<?<π. y 温度 ℃ 温度/℃ (1)求这段时间的最大温差 求这段时间的最大温差; 求这段时间的最大温差 30 (2)写出这段曲线的函数解析式 写出这段曲线的函数解析式. 写出这段曲线的函数解析式 由图示, 解: (1)由图示 这段时间的最大温差是 20 由图示 这段时间的最大温差是: 30℃-10℃=20℃. ℃ ℃ ℃ 10 (2)图中从 (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 6 10 y=Asin(ωx+?)+b 半个周期的图象 o 半个周期的图象. π ∴ 1 ? 2π =14-6. 解得 ω= 8 . 2 ω 1 1 又由图示 A= 2(30-10)=10, b= 2(30+10)=20, 时间/h 时间 14

x

∴y=10sin( π x+?)+20. 将 x=6, y=10 代入可取 ?= 3π . 8 4 故所求的解析式为: 故所求的解析式为 y=10sin( π x+ 3π )+20, x∈[6, 14]. ∈ 4 8

6cos4x+5sin2x-4 5.已知函数 f(x)= , 求 f(x) 的定义域 判断它 的定义域, 已知函数 cos2x 的奇偶性, 并求其值域. 的奇偶性 并求其值域 ≠ 解: 由 cos2x≠0 得 2x≠kπ+ π (k∈Z). 解得 x≠ kπ + π (k∈Z). ≠ ≠ 2 4 ∈ 2 ∈ 故 f(x) 的定义域为 {x∈R | x≠ kπ + π , k∈Z}. ∈ ≠ 2 4 ∈ 的定义域关于原点对称, ∵ f(x) 的定义域关于原点对称 且 6cos4(-x)+5sin2(-x)-4 6cos4x+5sin2x-4 - = =f(x), f(-x)= cos2x cos2(-x) 是偶函数. ∴ f(x) 是偶函数 kπ + π (k∈Z) , 当 x≠ 2 4 ∈ 时 ≠ 6cos4x-5cos2x+1 (2cos2x-1)(3cos2x-1) f(x)= = =3cos2x-1. cos2x cos2x = 1 + 3 cos2x≠ 1 . ≠ 2 2 2 的值域为[- 1 ∪ 1 故 f(x) 的值域为 -1, 2 )∪( 2 , 2].

6.已知 f(x)=-2asin(2x+ π )+2a+b, x∈[ π , 3π ], 是否存在常数 已知 ∈ 6 4 4 a, b∈Q, 使得 f(x) 的值域为 -3, 3 -1]? 若存在 求对应的 a 和 的值域为[若存在, ∈ b, 若不存在 说明理由 若不存在, 说明理由. π ≤ x≤ 3π , 2π π 5π 解: 由已知 4 4 ∴ 3 ≤2x+ 6 ≤ 3 . π 3. ∴-1≤sin(2x+ 6 )≤ 2 若存在这样的常数 a, b, 则 当 a>0 时, 有 - 3 a+2a+b=-3, 且 4a+b= 3 -1. 解得 a=1, b= 3 -5. ∵b?Q, ? 故此时不存在符合条件的 a, b. 当 a<0 时, 有 - 3 a+2a+b= 3 -1, 且 4a+b=-3. 解得 a=-1, b=1, 且 a∈Q, b∈Q. ∈ ∈ 存在, 故符合条件的有理数 a, b 存在 且 a=-1, b=1. -


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