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江苏省泰州中学2015-2016学年高二下学期第二次月考数学(文)(解析版)


江苏省泰州中学 2015-2016 学年高二下学期第二次月考数学 (文)
一、填空题:共 14 题
1.已知集合

,则

_________.

【答案】 【解析】本题主要考查的是集合的运算,意在考查学生对基本概念的理解.因为 ,又 ,所以 .

2.函数的单调递减区间为

.

【答案】 【解析】本题主要考查了幂函数、对数函数的导数以及函数的单调性的基本知 识. ,令,当 时, ,所以单调递减区间为 .

【备注】 历年高考题中常在大题中考查利用函数的导函数求函数的单调区间, 难度适中.

3. 设集合

,那么“

”是“

”的____________

条件. 【答案】必要不充分 【解析】本题主要考查的是充要条件,意在考查学生的逻辑推理能力. 因为集合 必要不充分条件. ,所以 ,所以“ ”是“ ”的

4.命题“若实数满足

,则

”的否命题是 ___________命题(填“真”或“假”).

【答案】真 【解析】本题主要考查的是命题及其关系,意在考查学生的逻辑推理能力. 命题“若实数 满足 题. ,则 ”的否命题是:“若实数 满足 ,则 ,”是真命

5.已知幂函数

的图象过点

,则此函数的解析式为_________.

【答案】 【解析】本题主要考查的是幂函数的定义,意在考查学生的运算能力. 设 ,则 ,故 ,所以

6. 设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为

x

.

【答案】(1,1) 【解析】本题主要考查导数的几何意义等,意在考查考生分析问题、解决问题的能力. y'=ex,则 y=ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k 切=1,又曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线与 y=ex 在点

(0,1)处的切线垂直,所以 y= (x>0)在点 P 处的切线的斜率为-1,设 P(a,b),则曲线 y= (x>0)

上点 P 处的切线的斜率为

=-a-2=-1,可得 a=1,又 P(a,b)在 y= 上,所以 b=1,故 P(1,1).

7.设函数

,那么

____________.

【答案】27 【解析】本题主要考查的是分段函数的求值,意在考查学生的运算能力. 因为 ,所以

8.已知,函数

,若



上是单调减函数,则 的取值范围是

______________. 【答案】

【解析】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性,意在考查学生分析问题、解决 问题的能力. 因为函数 ,所以 ,且 在 上是单调减函数,所以 ,设

,则

,即

,解得

,故答案



9. 定义在 上的函数

满足:

,且

,则不等式

(其

中 为自然对数的底数)的解集为 ___________. 【答案】 【解析】本题主要考查的是利用函数的单调性求解不等式,意在考查学生分析问题、解 决问题的能力. 令 ,则 ,故 增函数,而 的解集为 ,故不等式 是 上的单调递

(其中为自然对数的底数)

10.世界人口在过去 40 年翻了一番,则每年人口平均增长率约是 _________(参考数

据: 【答案】

).

【解析】本题主要考查的是指数函数的应用,意在考查学生的计算能力. 设 40 年前的人口为 每年的增长率为 ,则 40lg(1+ )=lg2=0.301,lg(1+ 口平均增长率约是 ,所以 1+ = ,消去 两侧取对数,得 ,故 , 每年人

11.已知函数



的导函数,则过曲线

上一点 【答案】

的切线方程为__________.

【解析】本题主要考查的是利用导数的几何意义确定函数的切线方程,意在考查学生分 析问题、解决问题的能力. 因为 标为(1,1),当点 为切点时,由 方程为: 即 ,所以,把 得 代入 ,把 中,解得 ,所以点 的坐

代入得切线的斜率为 3,这时切线 切线斜率为

;当 不是切点时,设切点为

,则

,解得

,则切线方程为:

,故答案为

.

12. 已知函数

,若关于 的方程有两个不同的实根,则实数 的取值范围是

__________. 【答案】 【解析】本题主要考查函数与方程,意在考查学生的数形结合能力. 函数 的图象如图所示:

方程

有两个不同的实根,可转化为

的图象与

有两个不

同的交点,结合图象可得 的取值范围为

13.曲边梯形由曲线

所围成,过曲线

上一点作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形,则这一点的坐标 为___________. 【答案】 【解析】本题主要考查的是导数的几何意义以及梯形面积的计算,意在考查学生的运算 能力. 设 为: ,曲线 ,当 的导数为 时,;当 时, ,点 处的切线方程 ,所以所求梯形的

面积

=

,因为

,所以

时,面积最大,最大值为 ,故此时

14.已知函数

,若关于 的函数有 8 个不同的零点,则实数的取

值范围是____________. 【答案】 【解析】本题主要考查的是根的存在性及根的个数,意在考查学生的数形结合能力. 作出 的图象,如图所示:

由图象可知当 中函数

在(0,4]上任意一个值时,都有四个不同的 与 有 8 个不同的零点,可得关于的方程

的值对应,再结合题 有两

个不同的实数根

,且

,

,故

,解得

.

二、解答题:共 6 题
15. 已知集合

,函数

的定义域为集

合 . (1)若,求集合 (2)若“ ”是“ ; ”的充分条件,求实数 的取值范围. , ;

【答案】(1) 则

(2)“x

”是“x

”的充分必要条件,则

,

①3a+5=3,即 a=- 时,A=

②3a+53,即 a

时,由 A B 得:-2

综上, 的取值范围为

.

【解析】本题主要考查的是集合的运算及充要条件,意在考查学生的运算求解能力. (1)根据交集的定义进行运算即可; (2)由“x ”是“x”的充分条件,可得 ,据此建立关系式计算即可.

16.已知函数

是奇函数.

(1)求实数 的值; (2)若函数 在区间 , , 为奇函数,所以 时, . 在 的图象知,所以 . 上单调递增, , , , 上单调递增,求实数 的取值范围.

【答案】(1)设,则 所以 又 于是 所以 (2)要使 结合

故实数的取值范围是

【解析】本题主要考查的是奇函数的性质,意在考查学生分析问题、解决问题的能力. (1)由奇函数性质 ,建立方程,可得 ;

(2)根据分段函数的图象建立关系式计算即可.

17.已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为 40 万美元,每生产 1 万部还

需另投入 16 万美元.设公司一年内生产该款手机万部并全部销售完,每万部的销售收入 为 万美元,且 .

(1)写出年利润(万美元)关于年产量 (万部)的函数解析式; (2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利 润. 【答案】(1)当 时, ,



时,

,

所以

.

(2)①当 所以

时, ,

,

②当

时,

,

由于

,

当且仅当

,即

时取等号,

所以 取最大值为 5 760, 综合①②知, 当 时, 取得最大值 6 104 万元.

【解析】本题主要考查的是分段函数的应用,意在考查学生分析问题、解决问题的能力. (1)根据利润=收入-成本,建立函数方程即可; (2)分别计算和时的最大值,综合可知,当 时, 取得最大值 6 104 万元.

18.已知函数

,其中函数

的图象在点处的切线平

行于 轴. (1)确定 与 的关系; (2)若,试讨论函数 【答案】(1)依题意得 的单调性. ,



,

由函数

的图象在点 .

处的切线平行于 轴得:

,∴

(2)由(1)得

.

∵函数

的定义域为

,

∴当

时,

.



,得

,由

,得

;



时,令

,得



,



,即

,



,得



,由,得

;



,即

,



,得



,由

,得

若,即

,在

上恒有

.

综上可得:当

时,函数



上单调递增,在

上单调递减;

当 增; 当

时,函数



上单调递增,在

上单调递减,在

上单调递

时,函数



上单调递增;



时,函数



上单调递增,在

上单调递减,在上单调递增.

【解析】本题主要考查的是导数在研究函数性质中的应用,意在考查学生分析问题、解 决问题的能力. (1)求出 由函数 ; (2)分情况计算 ,根据导数与单调性之间的关系,得到结论. 的图象在点 处的切线平行于 轴得: ,解得

19.已知函数

. 在上是增函数,求实数的取值范围; 的图象恒在函数 图象的下方;

(1)若函数

(2)求所有的实数 ,使得对任意时,函数

(3)若存在 取值范围. 【答案】(1)

,使得关于 的方程

有三个不相等的实数根,求实数 的

,



在 上是增函数,则

,即

,所以 的取值范围为

.

(2)由题意得对任意的实数

恒成立,即,当

恒成立,



,得

,

故只要



在上恒成立即可,



时,只要

的最大值小于 且

的最小值大于 即可,

而当

时,

为增函数,

;



时,为增函数,

,所以

.

(3)当 的实数根; 则当

时,

在 上是增函数,则关于 的方程

不可能有三个不等

时, 由

,

得在

时,

对称轴

,则



为增函数,

此时

的值域为

,

在时,

对称轴

,则



为增函数,

此时的值域为



为减函数,此时

的值域为

;

由存在

,方程

有三个不相等的实根,则

,

即存在,使得即可,令

,

只要使

即可,而



上是增函数,

,

故实数 的取值范围为

;

同理可求当

时, 的取值范围为

;

综上所述,实数 的取值范围为

.

【解析】本题主要考查的是函数的单调性、恒成立的问题和根的个数的判断,意在考查 化归思想和学生的运算能力.

(1)将函数

去绝对值,转化为分段函数,由

在 上是增函数,得

,即

; (2)由题意可得对任意的实数 算即可; (3)分 和 两种情况进行讨论. 恒成立,即,当 恒成立,由此计

20.已知函数

. 在 对 且 在 处取得极值,求实数 的值及单调区间; 恒成立,求 的取值范围; 上存在零点,求的取值范围.

(1)若 (2)若 (3)若



【答案】(1)若

,则

,





,故

,



或时,

单调递增,



时,

单调递减,

所以

的单调递增区间为

和,单调递减区间为

,

(2)当

时,

,

令 则当 当 所以 又 依题意 易知 且 ,故 时, 时,

易知 ,即 ,即



上有且仅有一个零点设为 , ,故在单调递减, ,故 , 即 , , 在 单调递增,

即 在单调递增, ,

又随 增大而减小, 所以 (3) 在 又 在 . 存在零点 上有解在 即 上有解, , ,



即在

上有解



,



,

①当 ②当 所以 所以 综上

时, 时,易知在

,故有解, 上单调递减,在 , , 单调递增,

.

【解析】本题主要考查的是导数的应用,意在考查学生对所学知识的综合运用能力. (1)根据导数与极值以及单调性之间的关系,得到答案; (2)把 对 恒成立,转化为 的问题求解;

(3)把

在存在零点



上有解,又

,所以



上有解,构造函数

求解.


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