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3.1.2 二分法导学案(含答案)


鸡西市第十九中学高一数学组 鸡西市第十九中学学案 2014 年( )月( )日 班级 姓名 3.1.2 学习 目标 重点 难点 二分法 1.通过具体实例理解 二分法的概念及其适用条件 ,了解二分法是求方程近似解 的常用方法; 2. 会用二分法求一个函数在给定区间内的零点,从而 求得方程的近似解 . 通过借助计算器用二分法求方程的近似解,了解 逼近法 这一数学思想,体会数

学逼近过程,感受精确与近似的相对统一. 【问题情境】 一元二次方程可用判别式判定根的存在性,可用求根公式求方程的根.但对于一般的方 程,虽然可用零点存在 性定理判定根的存在性,而没有公式求得方程的解,如何求得方 程的解呢?本节我们就来探讨这个问题. 【探究点一】二分法 导引 1 有一个猜数字游戏:给定 1~100 这 100 个自然数,计算机随机输出一个 1~ 100 之间的整数,通过操作键盘让同学们去猜这个数,对于大家每次猜测的结果,计 算机的提示是“对了”或“大了”或“小了”. 问题 1 任给一个 1~100 的整数,你能在 7 次以内猜出吗?请说出猜出的过程. 答 第一次猜 50,若“大了”,接着猜 1 与 50 中间的整数 25,若“大了”,则继续猜 1 与 25 中间的整数 13,若“大了”,则继续猜 1 与 13 中间的整数 7,若“小了”,则继 续猜 7 与 13 中间的整数 10,若“小了”,则继续猜 10 与 13 中间的整数 11 或 12,若 11 不对,则一定是 12,这样最多需要猜 7 次. 问题 2 这种猜测的思想是什么? 答 上述游戏,每次都将所给区间一分为二,进行比较后得到新的区间,再一分为二, 如此下去,使得所猜数字逐步逼近计算机所给的数字,这种思想就是二分法. 导引 2 如下图,f(x)的图象与 x 轴有一个交点,如何求方程 f(x)=0 的解? 问题 3 假设在区间[-1,5]上,f(x)的图象是一条连续的曲线,且 f(-1)· f(5)<0,如何 按照二分法的思想求方程 f(x)=0 的一个解? 答 取[-1,5]的中点 2,因为 f(5)<0,f(2)>0,即 f(2)· f(5)<0. 所以在区间[2,5]内有方程的解. 于是再取[2,5]的中点 3.5??这样继续下去, 如果取到某个区间的中点 x0, 恰使 f(x0)=0, 则 x0 就是所求的一个解;如果区间的中点的函数值总不等于零,那么,不断地重复上述 操作,就得到一系列闭区间,方程的一个解在这些区间中,区间长度越来越小,端点逐 步逼近方程的解,可以得到一个近似解. 例 1 利用计算器,求方程 x2-2x-1=0 的一个正实数零点的近似解(精确到 0.1). 1 鸡西市第十九中学高一数学组 解 设 f(x)=x -2x-1, 先画出函数图象的简图.(如右图 所示) 因为 f(2)=-1<0,f(3)=2>0, 所以在区间(2,3)上,方程 x2-2x-1=0 有正实数根,又因 为在区间(2,3)上函数 f(x)是单调递增的,所以方程 x2-2x -1=0 在区间(2,3)上有唯一正实数根 x1. 取 2 与 3 的平均数 2.5,因为 f(2.5)=0.25>0, 所以 2<x1<2.5. 再取 2 与 2.5 的平均数 2.25,因为 f(2.25)=-0.437 5<0, 所以 2.25<x1<2.5.如此继续下去, 得 f(2)<0,f(3)>0?x1∈(2,3), f(2)<0,f(2.5)>0?x1∈(2,2.5) f(2.25)<0,f(2.5)>0

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