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2017函数、导数及其应用复习课件25.ppt


第二章

函数、导数及其应用

第十五节 用导数解决生活中的 优化问题

考 纲 要 求

会利用导数解决某些实际问题.

课 前 自 修
知识梳理
优化问题:社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问

最大 、用料________ 最省 、效率________ 最高 等问题 题中有关求利润________
优化 问题. 通常称为________ 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤: (1)分析实际问题中各个量之间的关系,建立实际问题的

数学模型 变量间的函数关系式y=f(x) ,根据 ________,写出实际问题中_________________________
实际问题确定定义域;

f′(x) f′(x)=0 ,得 (2)求函数y=f(x)的导数 ___________ ,解方程__________ 极值点 出定义域内的实根,确定 ________; 区间端点 和________ 极值点 的函数值的大小,获 (3)比较函数在__________ 得所求函数的最大(小)值; (4)还原到实际问题中作答.

基础自测
1.以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最
大值为 A.10 半径的比应为 B.15 C.25 ( C ) D.50 ( )

2.圆柱形金属饮料罐容积一定时,要使材料最省,则它的高与
1 1 A. B.2 C. D.3 3 2 解析:设圆柱的底面半径为 r,圆柱的高为 h,体积为 V,则有 πr2h 2V 2V =V.表面积 f(r)=2πrh+2πr2= r +2πr2,求导得 f′(x)=- 2 +4πr. r h 令 f′(r)=0,得 V=2πr3.又 πr2h=V,∴πr2h=2πr3, r =2.故选 B. 答案:B

3.一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单

位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是
A.7米/秒 B.6米/秒 C.5米/秒

(
D.8米/秒

)

解析:由导数的物理意义知,位移的导数是瞬时速度,由s=
1-t+t2求导得v=s′=-1+2t,当t=3时,v=5.故选C. 答案:C

4.用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果制作

容器的一边比另一边长0.5 m,那么高为________时,容器容
积最大.
解析: 设容器的短边长为 x m , 另一边长 (x + 0.5) m, 高为 14.8-4x-4?x+0.5? =3.2-2x,0<x<1.6, 4 则 y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6), 4 令 y′=-6x2+4.4x+1.6=0,得 x1=1,x2=- (舍去), 15 所以 x=1 时 y 有最大值,此时高为 1.2 m,最大容积为 1.8 m3. 答案: 1.2 m

考 点 探 究
考点一
利润最大问题

【例1】 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(单位:吨)与每吨产品的价格p(单位:元/吨)之间的关系式为p 1 2 =24 200- x ,且生产x吨的成本为R=50 000+200x(单位: 5 元).问:该厂每月生产多少吨产品才能使利润f(x)达到最大?最 大利润是多少?(利润=收入-成本) 思路点拨:根据题意,列出利润的函数关系式,进而可用 导数求最值的方法进行求解.

解析:每月生产 x 吨时的利润为

? f(x)=?24 ?

1 2? 200- x ?x-(50 000+ 5 ?

1 200x)=- x3+24 000x-50 000(x≥0). 5 3 2 由 f′(x)=- x +24 000=0,解得 x1=200,x2=-200(舍去). 5 因 f(x)在[0,+∞)内只有一个点 x=200,使 f′(x)=0, 由 f′(x)知它是最大值点,且最大值为 1 f(200)=- (200)3+24 000×200-50 000=3 150 000(元). 5 所以每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元.

点评:利用导数求实际问题中的最大值或最小值时,如果 函数在区间内只有一个极值点,那么依据实际意义,该极值点 也就是最值点.

变式探究
1.(2012· 泉州市检测)某公司生产一种产品,每生产1千件需投

入成本81万元,每千件的销售收入R(x)(单位:万元)与年产
量x(单位:千件)满足关系:R(x)=-x2+324(0<x≤10).该公 司为了在生产中获得最大利润(年利润=年销售收入-年总 成本),则年产量应为 A.5千件 C.9千件 B.6 3千件 D.10千件 ( )

解析:依题意,年利润y=x(-x2+324)-81x=-x3+243x (0<x≤10),求导得y′=-3x2+243,令y′=0,得x=9(舍去负

值),因为0<x<9时,y′>0,x>9时,y′<0,所以当x=9时,y
有最大值.故选C. 答案:C

考点二

与分段函数有关的优化问题

【例2】 (2012· 上海市闸北区模拟)某公司是一家专做产品 A的国内外销售的企业,每一批产品A上市销售40天内全部售 完.该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了 跟踪调查,调查结果如图①、图②、图③所示,其中图①中的折 线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系,图②中的抛 物线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系,图③中的 折线表示的是每件产品A的日销售利润与上市时间的关系(国内、 外市场相同). (1)分别写出国内市场的日销售量f(t)、国外市场的日销售量 g(t)与第一批产品A的上市时间t的关系式. (2)第一批产品A上市后的哪几天,这家公司的日销售利润 超过6 300万元?

思路点拨:本题给出的是随着时间t的不同,对应的日销 售量y的函数图象也不相同的问题,因此需要建立的函数解析 式应为一个分段函数的形式,应针对自变量x的取值不同分别 求出其最大值,然后再进行比较.

? ?2t,0≤t≤30, 解析:(1)f(t)=? ? ?-6t+240,30<t≤40,

g(t)=-

3 2 t +6t(0≤t≤40). 20 从

? ?3t,0≤t≤20, (2)设每件产品 A 的销售利润为 u(t), 则 u(t)=? ?60,20<t≤40, ?

而这家公司的日销售利润 Q(t)的解析式为 Q(t)=u(t)[f(t)+g(t)]

?- 9 t3+24t2,0≤t≤20, ? 20 =?-9t2+480t,20<t≤30, ? ?-9t2+14 400,30<t≤40.

t?-27t+20×48? ①当 0≤t≤20 时,Q′(t)= ≥0?Q(t)在区间 20 [0,20]上单调递增,从而 Q(t)≤Q(20)=6 000<6 300; 70 ② 当 20<t≤30 时 , 由 Q(t)>6 300 ? <t<30 ? t = 3 24,25,26,27,28,29; ③当 30<t≤40 时,Q(t)<Q(30)=6 300. 综上所述,第一批产品 A 上市后,在第 24,25,26,27,28,29 天, 这家公司的日销售利润超过 6 300 万元.

点评:对于分段函数的问题,应该对自变量分段进行考虑, 对每一段考虑其最值的情况,然后再将这几段的最值情况综合 起来进行比较.

变式探究
2.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一件产 品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是R= 1 ? ?400x- x2,0≤x≤400, 2 R(x)= ? 则总利润最大时,每年生产的 ? ?80 000,x>400, 产品是________件.

解析:由题意得,总成本函数为 C=C(x)=20 000+100x,所

以总利润函数为 P=P(x)=R(x)-C(x)= x2 ? ?300x- -20 000,0≤x≤400, 2 ? ? ?60 000-100x,x>400, 而
? ?300-x,0≤x≤400, P′(x)=? ? ?-100,x>400,

令 P′(x)=0,得 x=

300,易知 x=300 时,P 最大. 答案:300

考点三

社会热点有关的优化问题

【例3】某电视生产企业有A,B两种型号的电视机参加家 电下乡活动,若企业投放A,B两种型号电视机的价值分别为a, b万元,则农民购买电视机获得的补贴分别为 a,mln(b+1)万 1 元(m>0且为常数 ).已知该企业投放总价值为10万元的A,B两 10 种型号的电视机,且A,B两种型号的投放金额都不低于1万元. (1)请你选择自变量,将这次活动中农民得到的总补贴表示 为它的函数,并求其定义域. (2)当投放B型电视机的金额为多少万元时,农民得到的总 补贴最大?
解析:(1)设投放 B 型电视机的金额为 x 万元,则投放 A 型电视 1 机的金额为(10-x)万元,农民得到的总补贴 f(x)= (10-x)+mln (x 10 +1),1≤x≤9.

m 1 10m-?x+1? -[x-?10m-1?] (2)f′(x)= - = = , x+1 10 10?x+1? 10?x+1? 令 f′(x)=0,得 x=10m-1. 1 ①若 10m-1≤1,即 0<m≤ ,则 f(x)在[1,9]上为减函数,当 x=1 5 时,f(x)有最大值. 1 ②若 1<10m-1<9,即 <m<1,则 f(x)在[1,10m-1]上是增函数, 5 在[10m-1,9]上是减函数,当 x=10m-1 时,f(x)有最大值. ③若 10m-1≥9,即 m≥1,则 f (x)在[1,9]上是增函数,当 x=9 时, f(x)有最大值. 1 1 因此,当 0<m≤ 时,投放 B 型电视机 1 万元;当 <m<1 时,投 5 5 放 B 型电视机(10m-1)万元,当 m≥1 时,投放 B 型电视机 9 万元,农 民得到的总补贴最大.

变式探究
3.某集团为了获得更大的收益,每年要投入一不定期的资金用 于广告促销,经调查,每年投入广告费t 百万元,可增加销 售额约为(-t2+5t)百万元(0≤t≤5). (1)若公司将当年的广告费控制在3百万元之内,则应投入多 少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?

(2)现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告促销和产能
升级,经预测,每投入产能升级费x 百万元,可增加的销售 额约为 ?- x3+x2+3x? 百万元,请设计一个资金分配方案, ? 3 ? 使该公司由此获得的收益最大?(注:收益=销售额-投入)
?

1

?

解析:(1)设投入 t 百万元的广告费后增加的收益为 f(t)百万元,则 有 f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0<t≤3). 当 t=2 百万元时,f(t)取得最大值 4 百万元,即投入 2 百万元的广 告费时,该公司由此获得的收益最大.

(2)设用于产能升级的资金为 x 百万元,则用于广告促销的资金为 (3-x)百万元, ? 1 3 ? 2 又设由此获得的收益是 g(x),则有 g(x)=?-3x +x +3x?+[-(3 ? ? 1 3 2 -x) +5(3-x)]-3=- x +4x+3(0≤x≤3),求导得 g′(x)=- 3 x2+4, 令 g′(x)=0,解得 x=-2(舍去)或 x=2. 当 0≤x<2 时,g′(x)>0;当 2<x≤3 时,g′(x)<0. 故 g(x)在[0,2]上是增函数,在[2,3]上是减函数. 所以 x=2 时,g(x)取最大值,即将 2 百万元用于产能升级,1 百 万元用于广告促销,该公司由此获得的收益最大.

考点四

用料最省问题
甲、乙两家工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A

【例4】

处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km的B处,乙 厂到河岸的垂足D与A相距50 km,两厂要在此岸边合建一个供 水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和 5a元,问:供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省? 思路点拨:本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变 量转化成函数关系式.技巧与方法主要有:根据题设条件作出 图形,分析各已知条件之间的关系,借助图形的特征,合理选

择这些条件间的联系方式,适当选定变量,构造相应的函数关
系.

解析:(法一)根据题意知,只有点 C 在线段 AD 上某一适当位

置,才能使总水管费用最省,如图,设点 C 距点 D 为 x km,则 BD=40,AC=50-x, ∴BC= BD2+CD2= x2+402. 又设总的水管费用为 y 元,依题意有 y=3a(50-x)+5a x2+402 (0<x<50). 5ax y′=-3a+ 2 2,令 y′=0,解得 x=30. x +40 在(0,50)上,y 只有一个极值点,根据实际问题的意义知,函数 在 x=30 处取得最小值,此时 AC=50-x=20(km), ∴供水站建在 A, D 之间距甲厂 20 km 处, 可使水管费用最省.

(法二)如图,设∠BCD=θ,则 BC=

40 40 π ,CD= 0<θ< ,AC sin θ tan θ 2

40 =50- . tan θ 设总的水管费用为 f(θ),依题意有 ? 40 ? 40 ? ? f(θ)=3a 50-tan θ +5a· sin θ ? ? 5-3cos θ =150a+40a· . sin θ ?5-3cos θ? ? ?′ ∴f′(θ)=40a· sin θ ? ? ?5-3cos θ?′· sin θ-?5-3cos θ?· ?sin θ?′ 3-5cos θ =40a· =40a· , sin2θ sin2θ 3 令 f′(θ)=0,得 cos θ= . 5

3 根据问题的实际意义,当 cos θ= 时,函数取得最小值,此时 5 4 4 sin θ= ,∴tan θ= . 5 3 40 ∴AC=50- =20(km),即供水站建在 A,D 之间距甲厂 tan θ 20 km 处,可使水管费用最省.

点评:解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函 数.把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系,并 把问题的主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题,再化归

为常规问题,选择合适的数学方法求解(尤其要注意使用导数解
决最优化的问题).

变式探究
4.某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场,一边可以利 用原有的墙壁,问:堆料场的长和宽各为多少时,才能使砌 墙所用的材料最省?

解析: 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短. 如下图所示, 512 设场地一边长为 x m,则另一边长为 x m,因此新墙总长度 L=2x 512 + x (x>0), 512 L′=2- 2 . x 512 令 L′=2- 2 =0,得 x=16 或 x=-16. x ∵x>0,∴x=16. ∵L 在(0,+∞)上只有一个极值点, ∴它必是最小值点. 512 ∵x=16,∴ x =32. 故当堆料场的宽为 16 m,长为 32 m 时,可使砌墙所用的材料最省.

考点五

与容积?体积?有关的优化问题

【例5】 (2011· 山东卷)某企业拟建造如图所示的容器(不计 厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均 80? 为半球形,按照设计要求容器的体积为 3 立方米,且l≥2r.假设 该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米 建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元, 设该容器的建造费用为y千元. (1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r.

80π 4πr3 解析: (1) 因为容器的体积为 立方米,所以 + πr2l = 3 3 ? 80 ? 80π 80 4r ,解得 l = 2 - ,所以圆柱的侧面积为 2πrl = 2πr ?3r2? - 3 3r 3 ? ? ?4r? 160π 8πr2 2πr? 3 ?= - ,两端两个半球的表面积之和为 4πr2,所以 3r 3 ? ? 160π y= r -8πr2+4πcr2, 80 4r 80 4r 由于 l≥2r,而 l= 2- ,所以 2- ≥2r,解得 0<r≤2, 3r 3 3r 3 160π ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 函数的定义域为?0,2?,所以 y=4π?c-2?r + r (0<r≤2).

160π (2)因为 y′=- 2 -16πr+8πcr r 20 ? 8π?c-2?? ? 3 ? r - = 2 ? ?,0<r≤2, c - 2 r ? ? 3 20 20 由于 c>3,所以 c-2>1,当 r - =0 时,解得 r= , c- 2 c- 2
3



3

20 =m,则 m>0. c- 2

20 ? 8π?c-2? 3 8π?c-2? ? 3 8π?c-2? 3 ? ? r - 所 以 y′ = (r - m ) = (r - c-2? = r2 r2 r2 ? m)(r2+mr+m2), 9 ? ? ? ①若 0<m<2,即 c> ,当 r=m 时,y′=0,当 r∈? ?0,m?时,y′< 2 3 20 ? ? ? 0;当 r∈? 是函数 y 的极小 ?m,2?时,y′>0.所以 r=m,即 r= c-2 值点,也是最小值点. 9 ? ? ? ②若 m≥2,即 3<c≤ ,当 r∈? ?0,2?时,y′<0.只有 r=2 时,y′ 2 ? ? ? =0,所以函数 y 在? ?0,2?上单调递减,因此 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 9 综上所述,当 3<c≤ 且建造费用最小时,r=2;当 c> 且建造费用 2 2 3 20 最小时,r= . c-2

变式探究
5. (2012· 深圳高级中学期末)在半径为 R 的半球内有一内接圆柱,则 这个圆柱的体积的最大值是 ( ) 2 3 3 4 3 3 A. πR B. πR 9 9 2 3 3 4 3 C. πR D. πR 3 9

解析:设圆柱的高为 h,则圆柱的底面半径为 R2-h2,圆柱的体 积为 V=π(R2-h2)h=-πh3+πR2h(0<h<R),V′=-3πh2+πR2, R 2 3 3 令 V′=0,得 h= ,此时 V 有最大值为 V= πR .故选 A. 9 3 答案:A

课时升华
利用导数解决实际问题中的优化问题应注意的几点:
1.利用导数解决实际问题,关键在于要建立适当的数学模 型(即函数关系),如果函数在区间内只有一个点使得f′(x)=0,此 时函数在这点有极大(小)值,那么可不与区间端点的函数值进行 比较,也可以知道这一点即为最大(小)值点. 2.实际应用中准确地列出函数的解析式,确定函数的定义 域是求解的关键.

3.在求实际问题的最值时,一定要注意考虑实际问题的意
义,不符合实际意义的值应舍去.

感 悟 高 考
品味高考
1.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素, 其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素

铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:
年)满足函数关系M(t)=M02 ,其中M0为t=0时铯137的含
? t 30

量.已知t=30时,铯137的含量的变化率是-10ln 2(太贝克/

年),则M(60)=
A.5太贝克 C.150ln 2太贝克

(

)

B.75ln 2太贝克 D.150太贝克

? 1 1 30 解析:因为 M′(t)=- ln 2×M02 ,则 M′(30)=- ln 30 30

t

2×M02

?

30 30

=-10ln 2,解得 M0=600,所以 M(t)=600×2
? 60 30

?

t 30



那么 M(60)=600×2
答案:D

1 =600× =150(太贝克).故选 D. 4

2.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单 位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y= +10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数,已知销售价格为5元/
a x- 3

千克时,每日可售出该商品11千克.
(1)求a的值;

(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商
场每日销售该商品所获得的利润最大.

a 解析:(1)因为 x=5 时,y=11,所以 +10=11?a=2. 2 2 (2)由(1)知该商品每日的销售量 y= +10(x-6)2,所以商场每 x- 3 日销售该商品所获得的利润为 ? 2 2? f(x)=(x-3)?x-3+10?x-6? ?=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. ? ? 2 f′(x)= 10[(x- 6) + 2(x- 3)(x- 6)]= 30(x- 4)(x- 6), 3<x<6 ,令 f′(x)=0,得 x=4,于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况见下表:

x f′ (x ) f( x )

(3,4) +
?

4 0 极大值42

(4,6) -
?

由上表可得,x=4是f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最 大值点. 所以当x=4时,函数f(x)取得最大值f(4)=42.

高考预测
1.(2012· 四会市华侨中学统测)某工厂从2005年开始,近八年以 来生产某种产品的情况是:前四年年产量的增长速度越来越 慢,后四年年产量的增长速度保持不变,则该厂这种产品的 产量与时间的函数图象可能是 ( )

解析:观察知,选项B中,0<t<4时,图中曲线的切线斜率越 来越小,表明增长速度越来越慢;4<t<8时,是一条线段, 斜率为定值,表明增长速度不变.故选B. 答案:B

2.(2012· 黄冈中学调研)某创业投资公司拟投资开发某种新能源

产品,估计能获得10万元~1 000万元的投资收益.现准备制
定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资 收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同 时奖金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数模型制定奖励方案,试用数学语言表述公司对

奖励函数模型的基本要求.
x (2)现有两个奖励函数模型:①y= +2;②y=4lg x-3.试 150

分析这两个函数模型是否符合公司要求?

解析:(1)设奖励函数模型为 y=f(x),则公司对函数模型的基本要求 是: x 当 x∈[10,1 000]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤9 恒成立;③f(x)≤ 恒 5 成立. x (2)①对于函数模型 f(x)= +2, 150 当 x∈[10,1 000]时,f(x)是增函数, 1 000 20 则 f(x)max=f(1 000)= +2= +2<9.所以 f(x)≤9 恒成立. 150 3 ?f?x?? f?x? 1 2 ?max 因为函数 y= x = + 在[10,1 000]上是减函数,所以? x 150 x ? ? 1 1 1 x = + > ,即 f(x)≤ 不恒成立. 150 5 5 5 故该函数模型不符合公司要求.

②对于函数模型 f(x)=4lg x-3, 当 x∈[10,1 000]时,f(x)是增函数, 则 f(x)max=f(1 000)=4lg 1 000-3=9. 所以 f(x)≤9 恒成立. x 设 g(x)=4lg x-3- , 5 4lg e 1 则 g′(x)= x - . 5 2 4lg e 1 2lg e-1 lg e -1 当 x≥10 时,g′(x)= x - ≤ = <0, 5 5 5 所以 g(x)在[10,1 000]上是减函数. 从而 g(x)≤g(10)=-1<0. x x 所以 4lg x-3- <0,即 4lg x-3< . 5 5 x 所以 f(x)≤ 恒成立. 5 故该函数模型符合公司要求.


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