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2015年南通市对口单独招生考试第一次调研考试(数学试卷)含答案


全市中等职业学校对口单招 2015 届高三年级第一轮复习调研测试

数学试卷
注意事项: 1.本试卷分选择题、填空题、解答题三部分.试卷满分 150 分.考试时间 120 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、考试号用 0.5mm 黑色签字笔填写在答题卡规 定区域. 3.选择题作答:用 2B 铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑. 4

.非选择题作答:用 0.5mm 黑色签字笔直接答在相应题号的答题区域内,否则无效. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在下列每小题中,选出一个正确答 案,请在答题卡上将所选的字母标号涂黑) 1.已知全集 U={ x 0 ? x ? 6, x ? Z }, 集合 A={1,3,5},B={1,4},则 Cu A ? Cu B 等于 ( ▲ ) A.{1,3,4,5} B.{0,2} C.{0,2,3,4,5} D.{1}

2. 已知向量 a ? (1, 2) , b ? (2 x, ?3) ,若 a ⊥( a + b ) ,则 x= ( ▲ ) A.3 B.-

1 2

C.-3

D.

1 2

3. 若点 P (? m,4) 是角 ? 终边上一点,且 cos ? ? ? A. 3 4. ( x ? A.70 B. -3 C. ? 3 D.5

3 ,则 m 的值为( ▲ ) . 5

1 8 ) 的二项展开式中, x 2 的系数是 x
B.-70 C.28

(

▲ ) D.-28

( x ≤ ?1) ?? x ? 3 ? 2 ( ?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 9 ,则 x ? 5. 设 f ( x ) ? ? x ? 3x ( x ≥ 2) ?
A.-12 B.±3 C.-12 或±3

( ▲ )

D.-12 或 3

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第1页

共9页

6.已知 a,b 为正实数,且 a+b=1,则 log2 a ? log2 b 的最大值为 A.2 B.-2 C.

( ▲ )

1 2

D.-

1 2

7.若函数 f(x+3)的定义域为(-1,1) ,则函数 f(x)的定义域为( ▲ ) A.(-4,-2) B. (-1,1) C.(2,4) D.(0,1) 8.已知抛物线 x ? A.

9 8

1 2 y 上一点 P 的横坐标为 1, 则点 P 到该抛物线的焦点 F 的距离为 ( ▲ ) 2 3 5 B. C.2 D. 2 4

9.如图,在正方体 ABCD ? A 1 B1C1 D1 所成 1B 1C1D 1 中, O 1 A 与上底面 A 1 为底面的中心,则 O 角的正切值是 A.1 B. ( ▲ )

2 2

C. 2

D.2 2

10. f ( x) ? 3sin(2 x ?

?
3

) 的图象为 C ,以下结论不正确的是
11 ? 对称 12

( ▲ )

A.图象 C 关于直线 x ? B.图象 C 关于点 (

2? , 0) 对称 3 ? 5? C.函数 f ( x) 在区间 ( ? , ) 上是增函数 12 12

D.由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移

? 个单位,就可以得到图象 C 3
▲ ▲ . .

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.化简逻辑函数式 AB ? BC ? BC ? AB =

12.若某算法框图如图所示, 则输出的结果为 13. 某工程的工作明细表如下: 工作代码 A B C D E 紧前工作 B、E C --C D 紧后工作 --A B、D E A 1 5 3 2 1

工期/天

则完成这项工程的最短工期为___▲____天.
数学试卷 第2页 共9页

14.某公司招聘职员,对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试,成绩(百分制)如下表: 候选人 甲 乙 面试 形体 86 92 口才 90 88 96 95 笔试 专业水平 创新能力 92 93

如果公司要求形体、口才、专业水平、创新能力按照 5%、30%、35%、30%计算总分,那么 将录取 ▲ . 15.圆 ?

? x ? 1 ? cos? ?x ? t (?为参数) 上的点到直线 ? (t为参数) 的最大距离为 ? y ? sin ? ?y ? 1? t



.

三、解答题(本大题共 8 小题,共 90 分) 16.(本题满分 6 分)已知 ax ? bx ? c < 0 的解集为 {x | 1 < x < 2} ,求 ax ? b > 0 的解集.
2

17.(本题满分 10 分)已知复数 z 满足 z ? z ? 8 ? 4i , 其中 i 为虚数单位. (1)求复数 z . (2)求复数 z ? 1 的三角形式.
2

?

18. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x ? (1)求函数 f ( x) 的最小正周期.

1 2

( 2 ) 已 知 a, b, c 分 别 为 ?A B C的 内 角 A、B、C 的 对 边 , 其 中 A 为 锐 角 ,

a ? 2 3, c ? 4且f ( A) ? 1 ,求 b及?ABC的面积.
4 , 3an?1 ? an ? 2, n ? N? . 3

19. (本题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? (1)求证:数列 ?an ? 1? 为等比数列. (2)设 bn ? log 1 ( an ?1) ,求数列 ?
3

?

? 1 ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ? bn ?1 ?

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20. (本题满分 12 分)已知二次函数 f ( x ) 满足 f (?2 ? x) ? f (?2 ? x) ,且 f ( x ) = x 有等根,

f ( x) 的图像被 x 轴截得的线段长为 4 .
(1)求 f ( x ) 的解析式. (2)若 x ? ?? 3,2? ,求函数 f ( x ) 的最值.

21. (本题满分12分)某工厂2014年第一季度生产的A、B、C、D四种型号的产品产量用条 形图表示如图,现用分层抽样的方法从中选取50件样品参加四月份的一个展销会. (1)问A、B、C、D四种型号的产品中各应抽取多少件? (2)从50件样品中随机地抽取2件,求这2件产品恰好是不同型号产品的概率; (3)从A、C型号的产品中随机地抽取3件,求抽取A种型号的产品2件的概率.

200 150 100 50 A B C D

22. (本题满分 12 分)某工厂家具车间造 A、B 型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两 道工序完成.已知木工做一张 A、B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时,漆工油漆一张 A、B 型桌 子分别需要 3 小时和 1 小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而工 厂造一张 A、B 型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元,试问工厂每天应生产 A、B 型桌子各多少 张,才能获得利润最大?

23. (本题满分 14 分)已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 (1)求椭圆 C 的方程;

6 ,短轴长为 2. 3

(2)若将坐标原点平移到 O (-1,1) ,求椭圆 C 在新坐标系下的方程; (3)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 P, Q 两点,若 PQ ?

'

6 ,求直线 l 的方程.

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全市中等职业学校对口单招 2015 届高三年级第一轮复习调研测试

数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题 1.C 2.D 3.A 二、填空题 11.A+B 12.63 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B 9.C 10.D

13.9

14.甲

15. 2 ? 1

三、解答题

?a>0 ? 16.解:由题意得 ? b ? ?3 ? ? a


?………………………………………………1 分

b ? ?3 a b a
………………………………3 分

∴由 ax ? b > 0 得 x>

∴ x> ? 3 ………………………………5 分 ∴ ax ? b > 0 的解集为(-3,+∞)………………………………6 分 17.解: (1)设 z ? a ? bi(a, b ? R) ∴ z ? z ? a ? bi ?
?

………………………………1 分

a 2 ? b 2 ? 8 ? 4i ………………………………3 分

∴?

? ?a ? 3 ?a ? a 2 ? b 2 ? 8 解得 ? ? ?b ? 4 ?b ? 4
………………………………5 分 ………………………………6 分

∴ z ? 3 ? 4i (2) z ? 1 ? 3 ? 4i ? 1 ? 4 ? 4i ∴ | z ? 1 |? 4 2 , arg( z ? 1) ? ∴ z ? 1的三角形式为 4 2 (cos

?

?

4

………………………………9 分

? i sin ) ……………………10 分 4 4

?

18.解: (1) f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x ?
2

1 1 ? cos 2 x 3 1 ? ? ? sin 2 x ? ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 6
共9页

数学试卷

第5页

………………………………4 分 ∴周期 T ?

2? ?? 2

………………………………5 分

(2) f ( A) ? sin( 2 A ? ∴ 2A ? ∴A? ∴A?

?
6

) ?1

………………………………6 分

?
?
?
6

?

?
2

? 2k? , k ? Z

3
3

? k? , k ? Z ∵ A为锐角
………………………………8 分

又由

a c 2 3 4 ? ,得 ? ………………………………9 分 ? sin C sin A sin C sin 3

解得 C ?

?
2

………………………………10 分

∴△ABC 为 Rt△ ∴b ?

c2 ? a2 ? 2
1 ab ? 2 3 2
………………………………12 分

S ?ABC ?

1 2 1 an ? ? 1 (a n ? 1) a n ?1 ? 1 3 1 3 3 ? ? ? ………………4 分 19.(1)证明: an ? 1 an ? 1 an ? 1 3
∴数列 ?an ? 1? 为等比数列 ………………………………5 分

(2)由(1)得数列 ?an ? 1? 为等比数列,且公比为 ∴ a n ? 1 ? (a1 ? 1) ? ( )

1 3

1 3

n ?1

1 ? ( )n 3

………………………………7 分

∴ bn ? log1 (a n ? 1) ? log1 ( ) ? n
n 3 3

1 3

………………………………8 分



1 1 1 1 ? ? ? bn ? bn?1 n(n ? 1) n n ? 1

………………………………9 分

数学试卷

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共9页

∴ Sn ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ? 1? ? …………………12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

20. 解: (1)∵ f ?? 2 ? x ? ? f ?? 2 ? x ? ∴ f ?x ? 的图像的对称轴为 x =-2 又∵ f ( x ) 的图像被 x 轴截得的线段长为 4 . ∴图像过点(-4,0) , (0,0) ∴设 f ?x ? ? a?x ? 4?x = ax ? 4ax
2

………………………………2 分

………………………………4 分

………………………………5 分

又 f ( x ) = x 有等根 即 ax ? 4ax = x
2

ax2 ? (4a ?1) x =0 有等根 ∴ ? ? ?4a ? 1? ? 0 ………………………………7 分
2

∴a ?

1 4

∴ f ?x ? ?

1 2 x ?x 4

……………………………8 分

(2)由(1)得对称轴为 x =-2 ? ?? 3,2? ∴当 x =-2 时 f ( x ) 取最小值-1 当 x =2 时 f ( x ) 取最大值 3. ………………………………12 分

21.解: (1)由图可知 A:B:C:D=100:200:50:150 =2:4:1:3

4 ? 20 10 3 ? 15 D= 50 ? ………………………4 分 10 (2)设事件 A={取得 2 件产品恰好是不同型号产品}
∴A= 50 ? B= 50 ?

2 ? 10 10 1 ?5 C= 50 ? 10

p? A? ? 1 ?

2 2 2 5 C10 ? C20 ? C52 ? C15 = 2 7 C50

………………………………8 分

(3)设事件 B={A、C 中抽取 3 件抽到 A 种型号的产品2件}

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共9页

C C p?B ? ? 10 3 15 C15

2

1

=

45 91

………………………………12 分 ………………………………1 分

22. 解:设每天生产 A 型桌子 x 张,B 型桌子 y 张.

?x ? 2 y ? 8 ? 则 ?3 x ? y ? 9 ? x ? 0, y ? 0 ?
目标函数为:z=2x+3y 作出可行

………………………………4 分

………………………………5 分 域:

………………………………8 分 把直线 l:2x+3y=0 向右上方平移至 l′的位置时,直线经过可行域上的点 M,且与原点 距离最大,此时 z=2x+3y 取最大值. 解方程 ?

?x ? 2 y ? 8 ?3x ? y ? 9

得 M 的坐标为(2,3). ………………………………11 分 答:每天应生产 A 型桌子 2 张,B 型桌子 3 张才能获得最大利润. ……………12 分 23. 解: (1)∵ e ? ∴a ?

6 ,2b ? 2 3

3

又焦点在 x 轴上 ………………………………3 分

所以

x2 ? y2 ? 1 3

(2)∵坐标原点平移到(-1,1) ∴ ?
' ? ?x ? x ? 1 ?y ? y' ?1 ?

……………………………5 分
2



?x ? 1? ? ?y 新坐标系下的方程为 3
'

'

?1 ? 1

?

2

……………………………6 分

数学试卷

第8页

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(3)设直线方程为 y ? x ? m ,则

?y ? x ? m ? 2 消去 y 得: ?x 2 ? y ? 1 ? ?3
4 x 2 ? 6mx ? 3m2 ? 3 ? 0
所以 x1 ? x2 ? ? 又 PQ ? ………………………………9 分

3m 3m2 ? 3 , x1 x2 ? 2 4

………………………………10 分

6,

2 2 所以 6 = 1 ? k ( x1? x2 ) ? 4 x1 x2

9m2 3m2 ? 3 = 2 ? 4? 4 4
解得 m ? 0 所以直线方程为 y ? x

………………………………12 分

………………………………14 分

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