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高二数学椭圆及其标准方程优质课教案


课题:椭圆及其标准方程
一、教学目标 学习椭圆的定义, 掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程;能根据条件 确定椭圆的标准方程,掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。 二、教学重点、难点 (1)教学重点:椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方 程。 (2)教学难点:椭圆标准方程的建立和推导。 三、教学过程 (一)创设情境,引入概念 1、 动画演示, 生活中的椭圆。 天体运动轨道是椭圆,有些镜子做成椭圆形状。 2 动画演示 思考:什么是椭圆?怎样画椭圆? (二)实验探究,形成概念 1、动手实验:学生分组动手画出椭圆。 实验探究: 保持绳长不变,改变两个图钉之间的距离,画出的椭圆有什么变化? 思考:根据上面探究实践回答,椭圆是满足什么条件的点的轨迹? 2、概括椭圆定义 引导学生概括椭圆定义 M

F1

F2

椭圆定义:平面内与两个定点 F1 , F2 距离的和等于常数(大于 F1 F2 )的点的 轨迹叫椭圆。 教师指出:这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。 思考:焦点为 F1 , F2 的椭圆上任一点 M,有什么性质? 令椭圆上任一点 M,则有 MF1 ? MF2 ? 2a(2a ? 2c ? F1 F2 ) 思考: 1、定义中的常数为什么要大于焦距? 2、若常数等于焦距,轨迹是线段 3、若常数小于焦距,轨迹不存在 注: 定义是判断椭圆的方法 定义是椭圆的一个性质 (三)研讨探究,推导方程 1、知识回顾:利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是

【学情预设】学生可能会建系如下几种情况: 方案一:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F1F2 的中点为原点; 方案二:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F1 为原点; 方案三:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F2 为原点; (学生观察椭圆的几何特征(对称性) ,如何建系能使方程更简洁?) 经过比较确定方案一. 2.推导标准方程. 选取建系方案,让学生动手,尝试推导. 按方案一:以过 F1 、 F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分或线为 y 轴,建 立平面直角坐标系.设 F1 F2 ? 2c(c ? 0) ,点 M ( x, y) 为椭圆上任意一点, 则 P ? ?M MF1 ? MF2 ? 2a?, ∴ 得

?x ? c ?2 ? y 2

?

?x ? c ?2 ? y 2

? 2a ,

(想一想:下面怎样化简?) (1)教师为突破难点,进行引导设问: 我们怎么化简带根式的式子?对于本式是直接平方好还是整理后再平方 好呢?化简,得 (2) b 的引入. 由椭圆的定义可知, 2a ? 2c , ∴ a2 ? c2 ? 0 .
F1 b 0

( a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ) .
y M a c F 2 x

让点 M 运动到 y 轴正半轴上(如图 2) ,由学生观察图形 直观获得 a , c 的几何意义,进而自然引进 b ,此时设
图2

b 2 ? a 2 ? c 2 ,于是得 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 , 两边同时除以 a 2 b 2 ,得到方程:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? (称为椭圆的标准方程) . a 2 b2

(3)建立焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程. 要建立焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程, 又不想重复上述繁琐的化简过程, 如何做?

方法:按步骤列出方程,利用两方程结构的异同(结构相同,只是字母 x ,
y 交换了位置) ,直接得到方程

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? . a 2 b2

图1

图3

4.归纳概括,掌握特征. (1)椭圆标准方程形式:它们都是二元二次方程,左边是两个分式的平方 和,右边是 1;
b 2 ? a 2 ? c 2 (a ? b ? 0) ; (2) 椭圆标准方程中三个参数 a , b , c 的关系:

(3)椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.

(四)归纳概括,方程特征 1、观察椭圆图形及其标准方程,师生共同总结归纳 (1)椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点,以焦点所在轴为坐标轴; (2)椭圆标准方程形式:左边是两个分式的平方和,右边是 1; (3)椭圆标准方程中三个参数 a,b,c 关系: (4)椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定; (5)求椭圆标准方程时,可运用待定系数法求出 a,b 的值。

标准方程

x2 y2 + =1 (a ? b ? 0) a2 b2
y M

y2 x2 + =1 (a ? b ? 0) a2 b2
y

F2 F2
x M O x

图形

F1

O

F1
b2 ? a2 ? c2 (0,?c)

a,b,c 关系 焦点坐标 焦点位置

b2 ? a2 ? c2 (?c,0)

在 x 轴上

在 y 轴上

(五)尝试应用,范例教学. 例1 下列哪些是椭圆的方程,如果是,判断它的焦点在哪个坐标轴上?并

指明 a 、 b ,说出焦点坐标.

x2 y2 (1) ? ?1 16 16

(2)

x2 y2 ? ?1 25 16

(3)9x2 ? 25 y 2 ? 225 ? 0
x2 y2 (5) 2 ? ?1 m m2 ? 1

(4) ? 3x2 ? 2 y 2 ? ?1

注意:分母哪个大,焦点就在哪个坐标轴上,反之亦然. (六)变式训练,探索创新

写出适合下列条件的椭圆的标准方程:两个焦点的坐标分别是 点到两焦点距离的和等于 10. 变式一:将上题焦点改为 (0 , ? 4) 、 (0 , 4) ,结果如何?

0? ? 4 , 0? ? ?4, 、 ,椭圆上一

变式二:将上题改为两个焦点的距离为 8 ,椭圆上一点 P 到两焦点的距离和等于 10 ,结果 如何?

(七)小结归纳,提高认识 师生共同归纳本节所学内容、知识规律以及所学的数学思想和方法。

(八)作业训练,巩固提高
1.P46 习题 2.1A 组第 1 题,第 2 题第①小题.

(九)板书设计 : §2.1.1 一.椭圆的定义 二.椭圆的标准方程 椭圆及其标准方程 三.例题 四. 作业

x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b x 焦点在 轴上:
y 2 x2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 b 焦点在 y 轴上; a


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