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2013年广东省教研室推荐高考必做38套(25)(数学理)


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2011年 广 东 省 教 研 室 推 荐 高 考 必 做 38套 ( 25) 数 学 试 题 (理 科 )
本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时l20分钟。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题

目 要求的。 1.设集合 P ? ?1,2,3? ,集合 Q ? x ? R 2 ? x ? 3 ,那么下列结论正确的是( A. P ? Q ? P B. Q ? P ? Q C. P ? Q ? P

?

?



D. P ? Q ? Q

2.若复数 z 满足 (1 ? i) z ? 1 ? ai ,且复数 z 在复平面上对应的点位于第二象限,则实数 a 的取值范围是 ( ) B. a ? 1 C. a ? ?1 D. a ? ?1或a ? 1 ) D. ?2

A. ? 1 ? a ? 1

3.函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ,若函数 f ( x ? m) 是偶函数,那么 m 的值是( A.1 B. ?1 C.2

4.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是( ) A.若 m ? n, m ? ? , n // ? ,则 ? // ? C.若 m ? ? , n // ? , ? // ? ,则 m ? n B.若 m // ? , n // ? , ? // ?, 则 m // n D.若 m // n, m // ? , n // ? , 则 ? // ?

5.为了改善环境,某市打算在燃油中添加某种添加济以减少污染。为了解添加剂作用,该市记录了 500 台使用新燃油机动车和另外 500 台使用旧燃油机动车在一段时间内的尾气排放来作比较。提出假设: “新
2 2 燃油不会使尾气中的污染物减少” ,计算得 K ? 3.918 ,经查临界值表得 P( K ? 3.841) ? 0.05 ,则下列

结论:①有 95%把握认为“新燃油会使机动车尾气中的污染物减少” ;②若某机动车未使用新燃油,那么 有 95%的可能性排放污染物增加;③这种添加剂减少污染的有效率为 95%。其中正确的序号是( A.①② B.①③ C.②③ D. ① )

2 6.已知条件 p :不等式 x ? mx ? 1 ? 0 的解集为 R;条件 q :指数函数

f ( x) ? (m ? 3) x

为增函数.则 p 是

q的
A.充分不必要条件 C.充要条件



) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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7.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 4, S2 ? 6 ,则

Sn ? 64 的最小值是( an
D.



A.7 8.将函数 y ?

B.

15 2

C.8

17 2

2 ? ( x ? 1) 2 ? 1 ( x ? ?0,?) 图像绕原点逆时针方向旋转角 ? (0 ? ? ? ? ) ,得到曲线 C .若 2
)

对于每一个旋转角 ? ,曲线 C 都是一个函数的图像,则 ? 的最大值是( A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 (一)必做题(9~12题) 9.已知向量 a, b 满足 | a |? 1,| b |? 3 , a 与 b 的夹角是60°,则 a ? (a ? b) = 10.离心率 e ? 是

? ?

?

?

?

?

? ? ?



1 ,一个焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点重合的椭圆的 2
.

开始 输入 x

标准方程

a 7 11.在 ( x ? ) 的展开式中 x 2 的系数是 ?14 ,则 a ? __________. x
12. 按如右图所示的程序框图运算. 若输入 x ? 8 ,则输出 k ? ; .

k ?0 x ? 3x ? 2 k ? k ?1 x ? 244 ?
是 输出 x,k 结束

若输出 k ? 2 ,则输入 x 的取值范围是



(二)选做题(13 ~ 15 题,考生只能从中选做两题) 13.(几何证明选讲选做题) 如图,AB,CD 是⊙O 的两条弦,它们相交于 P, 连结 AD,BD。已知 AD=BD=4,PC=6,那么 CD 的长为_________________.

14.(不等式选讲选做题) 若不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a 的解集为空集,则实 数 a 的取值范围是 .

15. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 曲 线 ? ? 2 c o ? 与 ? ? 1 交 于 A, B 两 点 , 则 s

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AB ?



三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin( x ?

?
6

) ? cos x( x ? R) . 1 3

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2) f (? ) ? ? , ? ? (?

?
2

, 0) ,求 sin ? 的值.

17.(本小题满分 12 分) 如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2, D 为 CC1 中点: A (1)求证: AB1 ? 平面 A BD ; 1 (2)求二面角 A ? A1D ? B 的余弦值大小. B C D B1 A1

C1

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18. (本小题满分 14 分) Monte-Carlo 方法在解决数学问题中有广泛的应用。 下面是 利用 Monte-Carlo 方法来计算定积分。考虑定积分 时

?

1

0

x 4 dx ,这

?

1

0

x 4 dx 等于由曲线 y ? x4 , x 轴, x ? 1 所围成的区域 M 的

面积,为求它的值,我们在 M 外作一个边长为 1 正方形 OABC。 设想在正方形 OABC 内随机投掷 n 个点, n 个点中有 m 个点落 若 入 M 中,则 M 的面积的估计值为
1 m 4 ,此即为定积分 ? x dx 的 0 n

估计值 I。向正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点,有 ? 个点落入区域 M (1)若 ? =2099,计算 I 的值,并以实际值比较误差是否在 5%以内 (2)求 ? 的数学期望 (3)用以上方法求定积分,求 I 与实际值之差在区间(—0.01,0.01)的概率 附表: P(n) ?

?C
k ?0

n

k 10000

? 0.2k ? 0.810000?k

n P (n)

1 899 0. 0058

1 900 0. 0062

1 901 0. 0067

2 099 0. 9933

2 100 0. 9938

2 101 0. 9942

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19. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 已知点 P (4,4) ,圆 C: ( x ? m) ? y ? 5(m ? 3) 与椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个公共 a b
2 2

点为 A(3,1) 1,F2 分别是椭圆的左、右焦 ,F 点,直线 PF1 与圆 C 相切。 (1)求 m 的值与椭圆 E 的方程; (2)设 D 为直线 PF1 与圆 C 的切点,在椭圆 E 上是否存在点 Q ,使△PDQ 是以 PD 为底的 等腰三角形?若存在, 请指出共有几个这样的 点?并说明理由。

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

x2 ? kx 2

(k为常数) ,

(1) 试讨论 f ( x ) 的单调性; (2) 若 f ( x ) 存在极值,求 f ( x ) 的零点个数。

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21. (本小题满分 14 分) 已知 p ? 0 ,数列 {an } 满足: a1 ? 2, an?1 ? pan ? 1 ? p(n ? N * ) (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) bn ? 2 ? qn?1 (n ? N * ) ,当 n ? 2 时, p, q 都在区间(0,1)内变化,且满足 p2n?2 ? q2 n?2 ? 1 时,求 所有点 (an , bn ) 所构成图形的面积; (3)当 p ? 1 时,证明:

a n a1 a2 n ?1 ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ). p a2 a3 an?1 p

2011年 广 东 省 教 研 室 推 荐 高 考 必 做 38套 ( 25) 数 学 试 题 (理 科 )参 考 答 案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8

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答案

C

B

A

C

D

A

D

B

二、填空题
9.

5 2

10.

x2 y 2 ? ?1 16 12

11. ?2

12.4, (28,82]

13.8

14. (??,3]

15. 3

三、解答题
16.解:(Ⅰ) f ? x ? ? sin( x ?

?
6

) ? cos x ?

3 1 sin x ? cos x ? cos x 2 2

?

? ? 3 1 sin x ? cos x ? sin x cos ? cos x sin 6 6 2 2
?
6 ).
??????????? 4 分 ??????????? 6 分

? sin( x ?

? 函数 f ? x ? 的最小正周期为 2 ? .
(Ⅱ)∵ ? ?

?
6

? (?

? ?

? 1 , ) , sin(? ? ) ? ? . 3 6 6 3
??????????? 8 分

? ? 2 2 cos(? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? 6 6 3
sin ? ? sin[(? ?

?

) ? ] ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin 6 6 6 6 6 6
??????????? 12 分

?

?

?

?

?

1 3 2 2 1 3?2 2 ?? ? ? ? ?? 3 2 3 2 6

17.取 BC 中点 O ,连 AO ,∵ ?ABC 为正三角形,∴ AO ? BC , ∵在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,平面 ABC ? 平面 BCC1 B1 , ∴ AO ? 平面 BCC1 B1 ?????2 分

? ??? ???? ??? ? ? 取 B1C1 中点为 O1 ,以 O 为原点, OB , OO1 , OA 的方向为 x, y, z 轴的正方向,
建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则
B(1,0,0)



D(?1,1,0), A1 (0,2, 3), A(0,0, 3), B1 (1,2,0)

???4 分

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???? ? ??? ? ???? ∴ AB1 ? (1,2, ? 3), BD ? (?2,1,0), BA1 ? (?1,2, 3) , ???? ??? ? ? ???? ???? ? ∵ AB1 ? BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , AB1 ? BA1 ? ?1 ? 4 ? 3 ? 0 , ???? ??? ? ? ???? ???? ? ∴ AB1 ? BD , AB1 ? BA1 ,∴ AB1 ? 平面 A1 BD .???????????????6 分 ? ???? ???? ? (2)设平面 A1 AD 的法向量为 n ? ( x, y, z) , AD ? (?1,1, ? 3), AA1 ? (0,2,0) .

? ???? ?n ? AD ? 0 ? ???? ? ???? ? ?? x ? y ? 3z ? 0 ?y ? 0 ? ? ? ,∴ ? ,解得 ? , n ? AD, n ? AA1 ,∴ ? ? ???? ? ?2 y ? 0 ? x ? ? 3z ?n ? AA1 ? 0 ? ? ?
? 令 z ? 1 ,得 n ? (? 3,0,1) 为平面 A1 AD 的一个法向量, ????????????9 分 ???? ? 由(1)知 AB1 ? 平面 A1 BD ,∴ AB1 为平面 A1 AD 的法向量,
? ???? ? ? ???? ? n ? AB1 ? 3 ? 3 6 , cos ? n, AB1 ?? ? ???? ? ?? ? 4 2? 2 2 n AB1

∴二面角 A ? A1 D ? B 的余弦值大小为 cos ? ?

6 . 4

???????????12 分

18.解: (1)若 ? =2099,则 I ? 而

2099 ? 0.2099 10000
??????????2 分

?

1 x 4 dx = x5 |1 ? 0.2 0 0 5
1

∴估计值与实际值的误差为:

| 0.2099 ? 0.2 | ?100% ? 4.95% 0.2
?????????4 分

即估计值与实际值的误差在 5%以内

(2)由题意,每一次试验能够落入区域 M 中的概率为 0.2, 投掷 10000 个点有 ? 个点落入区域 M 内,则

? ~ B ?10000, ? 0.2
∴ E? ? 10000 ? 0.2 ? 2000

??????????7 分 ??????????9 分

(3)I 与实际值之差在区间(—0.01,0.01)的概率为

P(|

?
10000

? 0.2 |? 0.01) ? P(1900 ? ? ? 2100) ?

2100

k ?1901

?C

k 10000

? 0.2k ? 0.810000?k

? P(2099) ? P(1900) =0.9871
19.解(1)∵点 A(3,1)在圆 C 上,∴ (3 ? m) ? 1 ? 5
2

??????????14 分

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又 m ? 3 ,∴ m ? 1 设 F1 (?c,0) ,∵ P (4, 4) ∴直线 PF1 的方程为 4 x ? (4 ? c) y ? 4c ? 0 ∵直线 PF1 与圆 C 相切 ∴

??????????2 分

??????????4 分

| 4 ? 4c | 16 ? (4 ? c)2

? 5(c ? 0)

??????????6 分

即c ? 4

?a 2 ? b2 ? 16 ? a 2 ? 18 ? ? 由? 9 解得 ? 2 1 ?b ? 2 ? ? 2 ? 2 ?1 ?a b
∴椭圆 E 的方程是

x2 y 2 ? ?1 18 2

??????????7 分

(2) 直线 PF1 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 由?

?x ? 2 y ? 4 ? 0
2 2 ?( x ? 1) ? y ? 5

得切点 D(0, 2)

??????????10 分

又∵P(4,4), ∴线段 PD 的中点为 M(2,3) 又∵椭圆右焦点 F2 (4,0)

3 3 ?? 2?4 2 1 又 k PD ? ,∴线段 PD 的垂直平分线的斜率为 -2 2 3 ∵ ?2 ? ? ,∴线段 PD 的垂直平分线与椭圆有两个交点 2 k MF2 ?

??????????12 分

即在椭圆上存在两个点 Q,使△PDQ 是以 PD 为底的等腰三角形. ?????????14 分 (或与过点 M 的椭圆右侧切线斜率比较说明) 20.解:(1)函数的定义域为 (0, ??)

f '( x) ?

1 x 2 ? kx ? 1 ? x?k ? x x

?????????2 分

2 2 方程 x ? kx ? 1 ? 0 的判别式 ? ? k ? 4

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(i)当 ?2 ? k ? 2 时, ? ? 0 ,在 f ( x ) 的定义域内 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 是增函数???3 分 (ii)当 k ? ?2 时, ? ? 0 若 k ? ?2 , f '( x) ?

( x ? 1) 2 ? 0 , f ( x) 是增函数 x

若 k ? 2 , f '( x) ? 以 f ( x ) 是增函数

( x ? 1) 2 ,那么 x ? (0,1) ? (1,?? )时, f ?( x) ? 0 ,且 f ( x ) 在 x ? 1 处连续,所 x
?????????4 分

2 (iii)当 k ? ?2 或 k ? 2 时, ? ? 0 ,方程 x ? kx ? 1 ? 0 有两不等实根

x1 ?

k ? k2 ? 4 k ? k2 ? 4 , x2 ? 2 2

当 k ? ?2 时, x1 ? x2 ? 0 ,当 x ? 0 时, x 2 ? kx ? 1 ? 0 恒成立, 即 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 是增函数 当 k ? 2 时, x2 ? x1 ? 0 ,此时 f ( x ) 的单调性如下表:

x
f '( x)
f ( x)

(0, x1 )

x1
0

( x1 , x2 )

x2
0

( x2 , ??)

?


?


?
增 ?????????6 分

综上:当 k ? 2 时, f ( x ) 在 (0, ??) 是增函数

当 k ? 2 时, f ( x ) 在 (0,

k ? k2 ? 4 k ? k2 ? 4 ),( , ??) 是增函数, 2 2

在(

k ? k2 ? 4 k ? k2 ? 4 , ) 是减函数???????7 分 2 2

(2)由(1)知当 k ? 2 时, f ( x ) 有极值 ∵ x1 ?

k ? k2 ? 4 2 2 ? ? ? 1 ,∴ ln x1 ? 0 2 k ? k2 ? 4 k

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且 f极大 ( x) ? f ( x1 ) ? ln x1 ?

x12 x2 x ( x ? 4) ? kx1 ? 1 ? 2 x1 ? 1 1 ?0 2 2 2

????9 分

∵ f ( x ) 在 (0, x1 ) 是增函数,在 ( x1 , x2 ) 是减函数, ∴当 x ? (0, x2 ] 时, f ( x) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x ) 在 (0, x2 ] 无零点 ????10 分

当 x ? ( x2 , ??) 时, f ( x ) 是增函数,故 f ( x ) 在 ( x2 , ??) 至多有一个零点????11 分 另一方面,∵ f (2k ) ? ln(2k ) ? 0 , f ( x2 ) ? 0 ,则 f ( x2 ) f (2k ) ? 0 由零点定理: f ( x ) 在 ( x2 , 2k ) 至少有一个零点 ∴ f ( x ) 在 ( x2 , ??) 有且只有一个零点 综上所述,当 f ( x ) 存在极值时, f ( x ) 有且只有一个零点。 21.解: (1)∵ an?1 ? pan ? 1 ? p(n ? N * ) ∴ an?1 ?1 ? p(an ?1) ∴ {an ?1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,p 为公比的等比数列 因此 an ?1 ? pn?1 ,即 an ? 1 ? pn?1 (2)∵当 n ? 2 时, an ? 1 ? pn?1 , bn ? 2 ? qn?1 由 0 ? p, q ? 1 ,得 1 ? an ? 2,1 ? bn ? 2 ∵ p 2 n ?2 ? q 2 n ?2 ? 1 又∵ (an ?1)2 ? ( pn?1 )2 ? p2n?2 ,(bn ?1)2 ? q2n?2 而 p 2 n ?2 ? q 2 n ?2 ? 1 ∴ (an ?1)2 ? (bn ?1)2 ? 1 ????????4 分 ????????3 分 ????????2 分 ??????14 分 ????????13 分

?1 ? x ? 2 ? 即对满足题设的所有点 (an , bn ) 在区域 ? : ?1 ? y ? 2 内????????6 分 ?( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ?

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而对区域 ? 内的任一点 ( x, y ) , 取 p ? n?1 x ?1 ? (0,1), q ? n?1 2 ? y ? (0,1) , 则 an ? 1 ? pn?1 , bn ? 2 ? qn?1 即 ?p, q ? (0,1) , 使 得 ?( x , ?? , ( x, y ) 都 是 (an bn y ) , ( n ? N , n ? 2 )中的点 综上可知,点 (an , bn ) 构成的图形是如图所示的

)

1 ? 圆,其面积为 4 4

???????8 分

ak 1 ? p k ?1 1 ? p k ?1 1 ? p k ?1 1 ? ? ? ? , k ? 1, 2,..., n, ??????9 分 (3)∵ k k ?1 1 ak ?1 1 ? p p( ? p k ?1 ) p(1 ? p ) p p


a a1 a2 n ? ? ... ? n ? . a2 a3 an ?1 p

???????10 分

?

ak 1 ? p ? ak ?1 1 ? p k

k ?1

1 p ?1 (1 ? p k ) ? 1 p ?1 1 p p ? ? ? ? k 1? p p p 1 ? pk
???????12 分

?

1 p ?1 1 ? ? , k ? 1, 2,..., n, p p pk

1 1 (1 ? ( ) n ) a a a n p ?1 1 1 1 n p ?1 p p ? 1 ? 2 ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? ? 1 a2 a3 an ?1 p p p p p p p 1? p n 1 1 n ?1 ? ? (1 ? ( ) n ) ? p p p p


a n a1 a2 n ?1 ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ). p a2 a3 an?1 p

???????14 分


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