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2009届全国名校真题模拟专题训练9-立体几何解答题1(数学)


2009 届全国名校真题模拟专题训练 09
三、解答题(第一部分)
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三 校 期 末 联 考 ) ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 直 四 棱 柱 ABCD—A1B1C1D1 的高为 3,底面是边长为 4 且∠DAB=60°的菱 形,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,E 是 O1A 的中点. (1)求二面角 O1-BC-D 的大小; (2)求点 E 到平面 O1BC 的距离. 解法一: (1)过 O 作 OF⊥BC 于 F,连接 O1F, ∵OO1⊥面 AC,∴BC⊥O1F, ∴∠O1FO 是二面角 O1-BC-D 的平面角,………………3 分 ∵OB=2,∠OBF=60°,∴OF= 3 . 在 Rt△O1OF 在,tan∠O1FO= OO1 ? 3 ? 3, OF 3 ∴∠O1FO=60° 即二面角 O1—BC—D 为 60°………………6 分 (2)在△O1AC 中,OE 是△O1AC 的中位线,∴OE∥O1C ∴OE∥O1BC,∵BC⊥面 O1OF,∴面 O1BC⊥面 O1OF,交线 O1F.

立体几何

错误!未找到引用源。

过 O 作 OH⊥O1F 于 H,则 OH 是点 O 到面 O1BC 的距离,………………10 分 ∴OH= . ∴点 E 到面 O1BC 的距离等于 . ………………12 分 解法二: (1)∵OO1⊥平面 AC, ∴OO1⊥OA,OO1⊥OB,又 OA⊥OB,………………2 分 建立如图所示的空间直角坐标系(如图) ∵底面 ABCD 是边长为 4,∠DAB=60°的菱形, ∴OA=2 3 ,OB=2, 则 A(2 3 ,0,0) ,B(0,2,0) ,C(-2 3 ,0,0) ,O1(0,0,3)………………3 分 设平面 O1BC 的法向量为 n1 =(x,y,z) , 则 n1 ⊥ O1B , n1 ⊥ O1C ,

3 2

3 2

错误!未找到引用源。

??

??

????

??

???? ?

? ∴? ?

2 y ? 3z ? 0

? ??2 3x ? 3z ? 0

,则 z=2,则 x=- 3 ,y=3,

∴ n1 =(- 3 ,3,2) ,而平面 AC 的法向量 n2 =(0,0,3)………………5 分 ∴cos< n1 , n2 >= n1 ? n2 ? 6 ? 1 , | n1 | ? | n2 | 3 ? 4 2 设 O1-BC-D 的平面角为 α, ∴cosα= , ∴α=60°. 故二面角 O1-BC-D 为 60°. ………………6 分 (2)设点 E 到平面 O1BC 的距离为 d, ∵E 是 O1A 的中点,∴ EO1 =(- 3 ,0, 则 d= | EO1 ? n | ? | n1 | 分 2 、 ( 江苏省启东中学 2008 年高三综合测试一 )如图在三棱锥 S ? ABC 中 ?ACB ? 900 ,

??

?? ?

??

?? ?

1 2

???? ?

3 ) ,………………9 分 2

3 | (? 3,0, ) ? (? 3,3,2) | 3 3 2 ? ∴点 E 到面 O1BC 的距离等于 。……………12 2 2 (? 3 ) 2 ? 3 2 ? 2 2

SA ? 面ABC , AC ? 2 , BC ? 13 , SB ? 29 。
(1)证明 SC ? BC 。 (2)求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小。 (3)求异面直线 SC 与 AB 所成角的大小。 解: (1)∵∠SAB=∠SCA=900

S B

A

C

? SA ? AB ? SA ? 面ABC

SA ? AC

AB ? AC ? A

由于?ACB ? 900 即BC ? AC 由三重线定理得SC ? BC
(2)? BC ? AC BC ? SC

??SCA是侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角 在Rt ?SCB中,由于BC ? 13.SB ? 29 SC ? 4 在Rt?SAC中由于AC ? 2 AC 1 ? COS ?SCA ? ? SC 2 ??SCA ? 600 SC ? 4

即侧面SBC与底面ABC形成的二面角的大小为600

(3) 过C作CD // BA.过A作AD // BC交点为D.

则四边形ABCD是平行四边形 ? DC=AB= AC2 ? BC 2 ? 17 又SA ? SB 2 ? AB 2 ? 2 3.SD ? SA2 ? AD 2 ? 5 故在?SCD中,COS?SCD= 17 17
17 17

? SC与AB所成角的大小为arc cos

3、(江苏省启东中学高三综合测试二)在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠B=90°,D为AC中点,E 为BD的中点,AE的延长线交 BC于F,将△ABD沿BD折起,二面角A-BD-C大小记为θ . (Ⅰ)求证:面AEF⊥面BCD; (Ⅱ)θ 为何值时,AB⊥CD. 解: (Ⅰ)证明:在Rt△ABC中,∠C=30°,D为AC 的中点,则△ABD是等边三角形 又E是BD的中点,∵BD⊥AE,BD⊥EF,折起后,AE ∩EF=E,∴BD⊥面AEF ∵BD ? 面BCD,∴面AEF⊥面BCD (Ⅱ)解:过A作AP⊥面BCD于P,则P在FE的延长线上,设BP与CD相交于Q, 令AB=1,则△ABD是边长为1的等边三角形,若AB⊥CD,则BQ⊥CD

1 6 3 PE 1 AE ? , 又AE ? ,? 折后有 cos?AEP ? ? , 3 3 2 AE 3 由于∠AEF=θ 就是二面角A-BD-C的平面角, ? PE ?

1 当? ? ? - arccos 时AB?CD. 3
4、(江苏省启东中学高三综合测试三)如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60?的角,AA1=2,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,其重心为 G 点,E 是线段 BC1 上一点,且 BE=

1 BC1。 3

(1)求证:GE∥侧面 AA1B1B; (2)求平面 B1GE 与底面民 ABC 所成锐二面角的大小。

A1 C1

B1

E A 答案: (1)略; (2)arctan G C B

2 3 21 (arccos ) 3 7

5、(江苏省启东中学高三综合测试四)如图, 正方形 ABCD 和 ABEF 的 边长均为 1,且它们所在的平面互相垂直,G 为 BC 的中点. (Ⅰ)求点 G 到平面 ADE 的距离; (Ⅱ)求二面角 E ? GD ? A 的正切值. 解: (Ⅰ)∵BC∥AD, AD ? 面 ADE, ∴点 G 到平面 ADE 的距离即点 B 到平面 ADE 的距离. 连 BF 交 AE 于 H,则 BF⊥AE,又 BF⊥AD. ∴BH 即点 B 到平面 ADE 的距离. F 在 Rt△ABE 中, BH ?

F E A B G C D

2 . 2

E

O H A G C D

∴点 G 到平面 ADE 的距离为

2 . 2
B

(Ⅱ)过点 B 作 BN⊥DG 于点 N,连 EN, 由三垂线定理知 EN⊥DN. ∴ ?ENB 为二面角 E ? GD ? A 的平面角. 在 Rt△BNG 中, sin ?BGN ? sin ?DGC ?

2 5 5

∴ BN ? BG sin ?BGN ?

1 2 5 5 ? ? 2 5 5
BE ? 5 BN

则 Rt△EBN 中, tan ?ENB ?

所以二面角 E ? GD ? A 的正切值为 5 . 6、(安徽省皖南八校 2008 届高三第一次联考)如图,已知 PA ? 面 ABCD ,

PA ? AB ? AD ?

1 CD , 2



?BAD ? ?ADC ? 900 ;
(1)在面 PCD 上找一点M,使 BM ? 面 PCD 。 (2)求由面 PBC 与面 PAD 所成角的二面角的正切 解: (1)M 为 PC 的中点,设 PD 中点为 N, 则 MN= B







1 1 CD,且 MN// CD,∴MN=AB,MN//AB 2 2

∴ABMN 为平行四边形,∴BM//AN, 又PA=AD,∠PAD=90 ∴AN⊥PD,








B C

又CD⊥AN,∴AN⊥面PCD,∴BM⊥面PCD, (1) 延长CB交DA于E, ∵AB=

1 1 CD。AB// CD 2 2

∴AE=AD=PA,∴PD⊥PE 又∴PE⊥CD,∴PE⊥面PCD, ∴∠CPD为二面角C-PE-D的平面角;PD= 2 AD,CD=2AD; ∴tan∠CPD= 2
? 7、 已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,?BCA ? 90 , AC ? BC ? 2 ,A1

在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D ,又知 BA1 ? AC1 。 (I)求证: AC1 ? 平面 A1 BC ; (II)求 CC1 到平面 A1 AB 的距离; (III)求二面角 A ? A 1B ? C 的大小。 解: (I)因为 A1D ? 平面 ABC ,

ABC , 所以平面 AAC 1 1C ? 平面
又 BC ? AC ,所以 BC ? 平面 AAC 1 1C , 得 BC ? AC1 ,又 BA1 ? AC1 所以 AC1 ? 平面 A1 BC ;……………4 分 (II)因为 AC1 ? AC 1 ,所以四边形 AAC 1 1C 为 菱形,
? D 为 AC 中点,知 ?A 故 AA 1 ? AC ? 2 ,又 1 AC ? 60 。

BCF , 取 AA1 中点 F , 则 AA1 ? 平面 BCF , 从而面 A 1 AB ? 面
过 C 作 CH ? BF 于 H ,则 CH ? 面 A1 AB , 在 Rt ?BCF 中, BC ? 2, CF ? 3 ,故 CH ?

2 21 , 7

即 CC1 到平面 A1 AB 的距离为 CH ?

2 21 。 7

(III)过 H 作 HG ? A1B 于 G ,连 CG ,则 CG ? A1B , 从而 ?CGH 为二面角 A ? A 1B ? C 的平面角, 在 Rt ?A ? BC ? 2 ,所以 CG ? 2 , 1BC 中, AC 1 在 Rt ?CGH 中, sin ?CGH ?

CH 42 , ? CG 7

故二面角 A ? A 1B ? C 的大小为 arcsin

42 。……………12 分 7

解法 2: (I)如图,取 AB 的中点 E ,则 DE // BC ,因为 BC ? AC , 所以 DE ? AC ,又 A1D ? 平面 ABC , 以 DE, DC, DA 1 为 x, y , z 轴建立空间坐标系, 则 A ? 0, ?1,0? , C ? 0,1,0? , B ? 2,1,0? ,

A1 ? 0,0, t ? , C1 ? 0, 2, t ? ,
???? ? ???? AC1 ? ? 0,3, t ? , BA1 ? ? ?2, ?1, t ? ,

???? ??? ? ??? ? ? CB , ? CB ? 0 ,知 AC CB ? ? 2,0,0? ,由 AC 1 1
又 BA1 ? AC1 ,从而 AC1 ? 平面 A1 BC ;……………4 分 (II)由 AC1 ? BA 1 ? ?3 ? t ? 0 ,得 t ? 3 。
2

???? ? ????

设平面 A1 AB 的法向量为 n ? ? x, y, z ? , AA1 ? 0,1, 3 , AB ? ? 2,2,0? ,所以

?

????

?

?

??? ?

? ???? ? ? ?n ? AA1 ? y ? 3z ? 0 ,设 z ? 1 ,则 n ? 3, ? 3,1 ? ? ? ??? ? ? n ? AB ? 2 x ? 2 y ? 0 ???? ? ? AC1 ? n 2 21 所以点 C1 到平面 A1 AB 的距离 d ? 。……………8 分 ? ? 7 n ???? ?? ??? ? (III)再设平面 A1 BC 的法向量为 m ? ? x, y, z ? , CA1 ? 0, ?1, 3 , CB ? ? 2,0,0? ,

?

?

?

?

?? ???? ?? ? ?m ? CA1 ? ? y ? 3z ? 0 z ? 1 m ? 0, 3,1 , ,设 ,则 ?? ??? ? ? m ? CB ? 2 x ? 0 ? ?

所以

?

?

?? ? ?? ? m?n 7 故 cos ? m, n ?? ?? ? ? ? ,根据法向量的方向, 7 m?n
可知二面角 A ? A 1B ? C 的大小为 arccos

7 。 7

8、(四川省成都市新都一中高 2008 级一诊适应性测试)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 3 AB=AC=AA1=a,且∠CAB=90°,三棱锥 P-ABC 中,P∈平面 BB1C1C,且 PB=PC= 2 a . (1)求直线 PA 与平面 ABC 所成角的正切值 (2)求证:PB//平面 AB1C (3)求二面角 A-PB-C 的大小. 解: (1)取 BC 的中点 M ,连 AM , PM ,? PB ? PC ,

? PM ? BC ,? 面 PBC ? 面 ABC , PM ? 面 ABC ,??PAM 是直线 PA 与面 ABC 所成的角,
在 Rt ?ABC 中, AB ? AC ? a, ?CAB ? 90? ,? AM ?

2 a, 2

Rt ? PBM 中, PB ?

3a 2 1 , BM ? a,? PM ? a , 2 2 2

? tan ?PAM ?

PM 2 ? AM 2
1 2 2 2 ,又 tan ?BCB a ,PM ? a ,? tan ?PBM ? ? 1 2 2 2 2

(2)由(1)知 BM ?

? tan ?PBM ? tan ?B1CB ,??PBM ? ?B1CB ,? PB // CB1 ,
? PB ? 面 AB1C , CB1 ? 面 AB1C ,? PB // 面 AB1C
(3)由(1)知 AM⊥面 CPB,由三垂线定理可知 AH⊥PB,在面 PBC 中过 M 作 MH⊥PB, 垂足为 H,连接 AH,则∠AHM 为二面角 A-PB-C 的平面角……10 分 在 RtΔAHM 中,tan∠AHM=

AM ? = 3 ,∴∠AHM= MH 3

9、(四川省成都市一诊)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=BC=2,E 为 PA 的中点,过 E 作平行于底面的平面 EFGH,分别与另外三条侧棱相交于点 F、G、H. 已 知底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,∠BCD=135°. (1) 求异面直线 AF 与 BG 所成的角的大小; (2) 求平面 APB 与平面 CPD 所成的锐二面角的大小.

解:由题意可知:AP、AD、AB 两两垂直,可建立空间直角坐标系 A-xyz 由平面几何知识知:AD=4,D(0,4,0),B(2,0,0), C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(1,0,1),G(1,1,1) (1)=(1,0,1),=(-1,1,1) ∴· =0 π ∴AF 与 BG 所成角为2 (2)可证明 AD⊥平面 APB ∴平面 APB 的法向量为 n=(0,1,0) 设平面 CPD 的法向量为 m=(1,y,z) ……4 分 ……2 分

??? ? ? CD ? 0 ? m? 由 ? ??? ? ? ?m?PD ? 0
故 m=(1,1,2)

? ?

?y=1 ?z=2

m· n 6 ∵cos<m,n>=|m|· |n|= 6 6 ∴平面 APB 与平面 CPD 所成的锐二面角的大小为 arccos 6 10、(四川省成都市新都一中高 2008 级 12 月月考)如图,已知四棱锥 P—ABCD 的底面是直 角梯形,∠ABC=∠BCD=90°, AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面 PBC⊥底面 ABCD,O 是 BC 中点,AO 交 BD 于 E. (1)求证:PA⊥BD; (2)求二面角 P-DC-B 的大小; D (3)求证:平面 PAD⊥平面 PAB. E 本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系,二面角, 空间想想能力,以及综合解题能力 A B 方法一:(1)证明:? PB ? PC, ? PO?BC 又? 平面 PBC? 平面 ABCD 平面 PBC ? 平面 ABCD=BC,? PO? 平面 ABCD 分 在梯形 ABCD 中,可得 Rt?ABO ? Rt?BCD P

C O

… … 2

? ?BEO ? ?OAB ? ?DBA ? ?DBC ? ?DBA ? 90? ,即 AO? BD ? PA 在平面 ABCD 内的射影为 AO,? PA? BD

… … 4

分 (2)解:? DC? BC ,且平面 PBC? 平面 ABCD ∴DC⊥平面 PBC ? PC ? 平面 PBC,? DC? PC ∴∠PCB 为二面角 P—DC—B 的平面角 … … 6 分 ∵△PBC 是等边三角形,∴∠PCB=60°,即二面角 P—DC—B 的大小为 60° ……8 分

(3)证明:取 PB 的中点 N,连结 CN ∵PC=BC,∴CN⊥PB ① ? AB? BC ,且平面 PBC? 平面 ABCD ? AB ? 平面 PBC ……………10 分 ? 平面 PBC? 平面 PAB ② ? AB ? 平面 PAB 由①、②知 CN⊥平面 PAB 连结 DM、MN,则由 MN∥AB∥CD 1 MN= AB=CD,得四边形 MNCD 为平行四边形 2

错误!未找到引用源。

∴CN∥DM ∴DM⊥平面 PAB 错误!未找到引用源。 ∵DM? 平面 PAD ? 平面 PAD⊥平面 PAB ………………12 分 方法二:取 BC 的中点 O,因为△PBC 是等边三角形, 由侧面 PBC⊥底面 ABCD 得 PO⊥底面 ABCD ……1 分 以 BC 中点 O 为原点,以 BC 所在直线为 x 轴,过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 O—xyz……2 分 (1)证明:∵CD=1,则在直角梯形中, AB ? BC ? 2 在等边三角形 PBC 中, PO ?

3

? A(1 , ? 2, 0),B( 1 , 0, 0),D(?1 , ?1 , 0),P(0, 0,3)
? ? ? BD ? (?2, ? 1, 0), PA ? (1, ? 2, ? 3)

? ? ? ? ? BD? PA ? (?2) ? 1 ? (?1) ? (?2) ? 0 ? (? 3 ) ? 0 ? PA ? BD ,即 PA? BD


… … 4

? 3 3 (2)解:取 PC 中点 N,则 BN ? ( ? ,0, ) 2 2
? ? ? DC ? (0, 2, 0), CP ? (1, 0,3 ) ? ? 3 3 ? BN? DC ? (? ) ? 0 ? 0 ? 2 ? ?0 ? 0 2 2

? ? 3 3 BN? CP ? (? ) ? 1 ? 0 ? 0 ? ? 3?0 2 2

? ? ? ? BN ? 平面 PDC,显然 OP ? (0,0, 3) ,且 OP ? 平面 ABCD ? ? ? BN 、 OP 所夹角等于所求二面角的平面角

? ? ? 3 3 3 ? ? BN? OP ? (? ) ? 0 ? 0 ? 0 ? ? 3? , | BN |? 3, | OP |? 3 2 2 2
? ? ? c o s? BN , OP ?? 3 2 ?1 3 3 2

… … 6

?二面角 P ? DC ? B 的大小为 60?

……8 分

(3)证明:取 PA 的中点 M,连结 DM,则 M 的坐标为 ( 1 , ? 1, 3 )
2 2
? ? 又 DM ? ( 3 ,0, 3 ) , PB ? (1,0, ? 3) 2 2

……10 分
? ? 3 3 DM ? PB ? ? 1 ? 0 ? 0 ? ? ( ? 3) ? 0 2 2

? ? 3 3 ? DM ? PA ? ? 1 ? 0 ? (?2) ? ? (? 3 ) ? 0 2 2

? ? ? ? ? DM ? PA , DM ? PB , 即 DM?PA,DM?PB
? DM? 平面 PAB,? 平面 PAD? 平面 PAB.
11、 (安徽省淮南市 2008 届高三第一次模拟考试)如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长 A1 是 2,D 是侧棱 CC1 的中点,直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角为 A 45°. (1)求此正三棱柱的侧棱长; (2)求二面角 A-BD-C 的大小; (3)求点 C 到平面 ABD 的距离.
B1
D

B
C

C1

解: (Ⅰ)设正三棱柱 ABC — A1 B1C1 的侧棱长为 x .取 BC 中点 E ,连 AE .

? ?ABC 是正三角形,? AE ? BC .
又底面 ABC ? 侧面 BB1C1C ,且交线为 BC .

A
H

A1

? AE ? 侧面 BB1C1C .

B
E

G F C

I

B1
D

C1

连 ED ,则直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角

为 ?ADE ? 45 .
?

在 Rt ?AED 中, tan 45? ?

AE ? ED

3 x2 1? 4

,解得 x ? 2 2 .

? 此正三棱柱的侧棱长为 2 2 .

……………………5 分

注:也可用向量法求侧棱长. (Ⅱ)解法 1:过 E 作 EF ? BD 于 F ,连 AF ,

? AE ? 侧面 BB1C1C , ? AF ? BD . ? ?AFE 为二面角 A ? BD ? C 的平面角.
在 Rt ?BEF 中, EF ? BE sin ?EBF ,又

BE ? 1,sin ?EBF ?

CD 2 3 3 ? ? , ? EF ? . BD 3 3 22 ? ( 2) 2

又 AE ? 3,

? 在 Rt ?AEF 中, tan ?AFE ?

AE ?3. EF
…………………………10 分

故二面角 A ? BD ? C 的大小为 arctan 3 . 解法 2: (向量法,见后)

(Ⅲ) 解法 1: 由 (Ⅱ) 可知,BD ? 平面 AEF ,? 平面 AEF ? 平面 ABD , 且交线为 AF ,

? 过 E 作 EG ? AF 于 G ,则 EG ? 平面 ABD .

在 Rt ?AEF 中, EG ?

AE ? EF ? AF

3?

3 3 3 2 ) 3

?

( 3) 2 ? (

30 . 10

? E 为 BC 中点,? 点 C 到平面 ABD 的距离为 2 EG ?

2 30 . 10
A ? D B ,D

…………14 分

解法 2: (思路) 取 AB 中点 H , 连 CH 和 DH , 由C A C ? B

, 易得平面 ABD ?

平面 CHD ,且交线为 DH .过点 C 作 CI ? DH 于 I ,则 CI 的长为点 C 到平面 ABD 的 距离. 解法 3: (思路)等体积变换:由 VC ? ABD ? VA?BCD 可求.

解法 4: (向量法,见后) 题(Ⅱ) 、 (Ⅲ)的向量解法: (Ⅱ)解法 2:如图,建立空间直角坐标系 o ? xyz . 则 A(0,0, 3), B(0, ?1,0), C(0,1,0), D(? 2,1,0) .

A

z

A1



? n1 ? ( x, y, z) 为平面 ABD 的法向量.

B
x o
C

B1
D

? ? ? y ? ? 3z ?n1 ? AB ? 0, ? 由 ?? 得 ? . 2 x ? y ? 3 z ? 0 ? n ? AD ? 0 ? ? ? 2
取 n1 ? (? 6, ? 3,1).

C1

y

??

又平面 BCD 的一个法向量 n2 ? (0,0,1).

?? ?

? ? n1 ? n2 ? ? (? 6 ,? 3,1) ? (0,0,1) 10 ? . ? cos ? n1 , n2 ?? ? ? ? n1 n2 1 ? (? 6 ) 2 ? (? 3 ) 2 ? 12 10

结合图形可知,二面角 A ? BD ? C 的大小为 arccos

10 . 10

…………10 分

(Ⅲ)解法 4:由(Ⅱ)解法 2, n1 ? (? 6, ? 3,1), CA ? (0, ?1, 3).

??

??? ?

? CA ? n1 ? ? 点 C 到平面 ABD 的距离 d ? ? n1

(0,?1, 3 ) ? (? 6 ,? 3 ,1) (? 6 ) 2 ? (? 3 ) 2 ? 12



2 30 . 10

12、(安徽省巢湖市 2008 届高三第二次教学质量检测 )如图, P 、 O 分别是正四棱柱
ABCD ? A1 B1C1 D1 上、下底面的中心, E 是 AB 的中点, AB ? kAA1 .

(Ⅰ)求证: A1 E ∥平面 PBC ; (Ⅱ)当 k ? 2 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小; (Ⅲ) 当 k 取何值时, O 在平面 PBC 内的射影恰好为 ?PBC 的重心?
A1 D1 P B1 C1

D O A E1 B

C

解法一: (Ⅰ) 过 P 作 MN∥B1C1, 分别交 A1B1、 D1C1 于 M、 N, 则 M、 N 分别为 A1B1、 D1C1 的中点,连 MB、NC,则四边形 BCNM 是平行四边形 …………… 2 分 ∵E、M 分别为 AB、A1B1 中点,∴A1E∥MB 又 MB ? 平面 PBC,∴A1E∥平面 PBC。………… 4 分 (Ⅱ) 过 A 作 AF⊥MB,垂足为 F,连 PF, ∵BC⊥平面 ABB1A1,AF ? 平面 ABB1A1, ∴AF⊥BC, BC∩MB=B,∴AF⊥平面 PBC, ∴∠APF 就是直线 AP 与平面 PBC 所成的角,…… 7 分 设 AA1=a,则 AB= 2 a,AF= sin∠APF= 分 (Ⅲ)连 OP、OB、OC,则 OP⊥BC,由三垂线定理易得 OB⊥PC,OC⊥PB,所以 O 在 平面 PBC 中的射影是△PBC 的垂心,又 O 在平面 PBC 中的射影是△PBC 的重心,则△ PBC 为正三角形。即 PB=PC=BC,所以 k ? 2 。 反之,当 k= 2 时,PA=AB=PB=PC=BC,所以三棱锥 O ? PBC 为正三棱锥, ∴O 在平面 PBC 内的射影为 ?PBC 的重心 分 解法二:以点 O 为原点,直线 OA、OB、OP 所在直线分别为 x、y、z 轴,建立如图所示 的空间直角坐标系,不妨设 AB ? 2 2 ,则得 A1 (2, 0,
C (?2, 0, 0) ……………………2 分
A E1 A1 D1 P

N
B1

C1

M F
D O

C

B

2 3 a ,AP= 2 a , 3

AF 6 6 ? 。所以,直线 AP 与平面 PBC 所成的角是 arcsin 。 AP 3 3

………… 9

………… 13

2 2 2 2 ) 、B(0, 2, 0) 、 ) 、E (1,1, 0) 、P (0, 0, k k

z
D1 P A1 B1 C1

??? ? ???? ? 2 2 ) 、 BC ? (?2, ?2,0) 、 (Ⅰ)由上得 A1 E ? (?1,1, ? k ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 2 PB ? (0, 2, ? ) ,设 A1 E ? x ? BC ? y ? PB 得 k
2 2 2 2 (?1,1, ? ) ? x ? ( ?2, ?2, 0) ? y ? (0, 2, ? ) k k ???? ? 1 ??? ? ??? ? 1 解得 x ? , y ? 1 , ∴ A1 E ? BC ? PB 2 2

D O

C

x

A

E1

B

y

? BC ? PB ? B , A1 E ? 平面PBC

∴ A1 E ∥平面 PBC

………………

4分
??? ? ??? ? ??? ? (Ⅱ)当 k ? 2 时,由 P(0, 0, 2) 、 A(2, 0, 0) 得 PA ? (2,0, ?2) 、 BC ? (?2, ?2,0) 、 PB ? (0, 2, ?2)
? ??? ? ? ? ? ?1? ? ? 0 ?n ? BC ? 0 设平面 PBC 的法向量为 n ? (1, ? , ? ) ,则由 ? ? ??? ,得 ? ,n ? (1, ?1, ?1) …………7 ? ?? ? ? ? 0 ? ? n ? PB ? 0
_


??? ? ? ??? ? ? PA ? n 6 6 ? ? ? cos? PA, n? ? ??? ,∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小为 arcsin . …………9 3 3 ? PA ? ? ? n ?

分 (Ⅲ) 由(Ⅰ)知 ?PBC 的重心 G 为 ? ?? , ,
???? ? 2 2 2 2? 2 2 2 2 OG ? ( ? , , ), ,则 ? ? 3 3 3k ? 3 3 3k ?

???? ??? ? ? ?OG ? BC ? 0 若 O 在平面 PBC 内的射影恰好为 ?PBC 的重心,则有 ? ???? ??? ,解得 k ? 2 ? ? ?OG ? PB ? 0

∴当 k ? 2 时, O 在平面 PBC 内的射影恰好为 ?PBC 的重心. 13 、 ( 北京市朝阳区 2008 年高三数学一模 ) 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ ACB=120°, AC=CB=A1A=1,D1 是 A1B1 上一动点(可 以与 A1 或 B1 重合) ,过 D1 和 C1C 的平面与 AB 交于 D. C1 (Ⅰ)证明 BC∥平面 AB1C1; A1 B1 (Ⅱ)若 D1 为 A1B1 的中点,求三棱 D1 锥 B1-C1AD1 的体积 VB1 ?C1AD1 ; (Ⅲ)求二面角 D1-AC1-C 的取值范围. 方法 1: (Ⅰ)证明:依条件有 CB∥C1B1, 又 C1B1 ? 平面 A B1C1, CB C A A1 C1 D D1 B B1

? 平面 A B1C1,

所以 CB∥平面 A B1C1.…………………3 分 (Ⅱ)解: 因为 D 为 AB 的中点, 依条件可知 C1D⊥A1B1. 所以 VB1 ?C1AD1 = VC1 ?D1AB1 = C A D B

1 1 ×C1D1×( ×A1A×D1B1) 3 2

=

1 1 1 3 3 × ×( ×1× )= .………………………………………………………7 分 3 2 2 2 24

(Ⅲ)解: 因为 D1 是 A1B1 上一动点, 所以当 D1 与 A1 重合时,二面角 D1AC1-C 的大小为π ; ……………………………………………………………9 分 F 当 D1 与 B1 重合时, E C1 如图,分别延长 A1C1 和 AC1, 过 B1 作 B1E⊥A1C1 延长于 E, 依条件可知平面 A1B1C1⊥平面 ACC1A1, 所以 B1E⊥平面 ACC1A1. 过点 E 作 EF⊥A1C1,垂直为 F. 连结 FB1, 所以 FB1⊥A1C1. 所以∠B1FE 是所求二面角的平面角. 容易求出 B1E= A1 B1(D1)

C A B(D) ……………………………………………11 分

3 2 ,FE= . 2 4
B1 E = 6. FE

所以 tan∠B1FE=

所以∠B1FE= arctan 6 . (或 arccos

7 ) 7
7 ,π ]).……13 分 7

所以二面角 D1-AC1-C 的取值范围是[arctan 6 ,π ](或[arccos

方法 2: (Ⅰ) , (Ⅱ)略 (Ⅲ)解: 如图建立空间直角坐标系,则有 A(1,0,0),B1(-

z C1 A1 B1(D1)

1 3 , ,1), 2 2

C C1(0,0,1). 因为 D1 是 A1B1 上一动点, B(D) A 所以当 D1 与 A1 重合时,二面角 x y D1-AC1-C 的大小为π ;……………………………………………………………9 分 当 D1 与 B1 重合时,

显然向量 n1=(0,1,0)是平面 A CC1A1 的一个法向量. 因为 C1 A =(1,0,-1),

????

???? ? 1 3 ,1), C1B1 =(- , 2 2
设平面 C1AB1 的法向量是 n2=(x,y,z), 由 C1 A · n2=0, C1B1 · n2=0,解得平面 C1AB1 的一个法向量 n2=(1,

????

???? ?

3 ,1). 3

因为 n1· n2=

7 3 ,| n1|=1,| n2|= , 3 3

设二面角 B1-AC1-C 的大小为 β, 所以 cosβ=

7 . 7 7 . 7 7 ,π ](或[arctan 6 ,π ]). 7

即 β=arccos

所以二面角 D1-AC1-C 的取值范围是[arccos

14、 (北京市崇文区 2008 年高三统一练习一)如图, 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ∠ABC=90°, AB=BC=AA1=2,D 是 AB 的中点. (I)求 AC1 与平面 B1BCC1 所成角的正切值; (II)求证:AC1∥平面 B1DC; (III) 已知 E 是 A1B1 的中点, 点 P 为一动点,记 PB1=x. 点 P 从 E 出发, 沿着三棱柱的棱, 按照 E→A1→A 的路线运动到点 A, 求这一过程中三棱锥 P—BCC1 的体积表达式 V 错误!未找到引用源。 (x).

解: (I)∵直三棱柱 ABC—A1B1C1,∴B1B⊥面 ABC, ∴B1B⊥AB. 又∵AB⊥BC,∴AB⊥面 BCC1B1.…………2 分 连结 BC1,则∠AC1B 为 AC1 与平面 B1BCC1 所成角.……3 分 依题设知,BC1=2 2 ,在 Rt△ABC1 中,

错误!未找到引用源。

tan?AC1 B ?

AB 2 2 ? ? . …………5 分 BC1 2 2 2

(II)如图,连结 DF,在△ABC1 中,∵D、F 分别为 AB、BC1, 的中点, ∴DF∥AC1,又∵DF ? 平面 B1DC,AC1 ? 平面 B1DC, ∴AC1∥平面 B1DC.………………………………10 分 (III)PB1=x, S ?BCC1 ? 2. 当点 P 从 E 点出发到 A1 点,即 x ? [1,2] 时,由(1)同理可证 PB1⊥面 BB1C1C,

? V P ? BCC1 ?

1 2x s ?BCC1 ? PB1 ? . 3 3 1 4 S ?BCC1 ? AB ? . 3 3

当点 P 从 A1 点运动到 A 点,即 x ? [2,2 2 ] 时, V P ? BCC1 ?

? 2x ? ?3 ∴三棱锥 P—BCC1 的体积表达式 V ( x) ? ? ?4 ? ?3

x ? [1,2] x[2,2 2 ].

15、 (北京市东城区 2008 年高三综合练习一) 如图, 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ∠BAC=90°, AB=BB1,直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角. 错误!未找到引用源。 (I)求证:平面 B1AC⊥平面 ABB1A1; (II)求直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值; (III)求二面角 B—B1C—A 的大小. 解法一: (I)证明:由直三棱柱性质,B1B⊥平面 ABC, ∴B1B⊥AC, 又 BA⊥AC,B1B∩BA=B, ∴AC⊥平面 ABB1A1, 又 AC ? 平面 B1AC, ∴平面 B1AC⊥平面 ABB1A1. …………4 分 (II)解:过 A1 做 A1M⊥B1A1,垂足为 M,连结 CM, ∵平面 B1AC⊥平面 ABB1A,且平面 B1AC∩平面 ABB1A1=B1A, ∴A1M⊥平面 B1AC. ∴∠A1CM 为直线 A1C 与平面 B1AC 所成的角, 错误!未找到引用源。 ∵直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角, ∴∠B1CB=30°. 设 AB=BB1=a,可得 B1C=2a,BC= 3a, AC ?

2a ,

从而A1C ? 3a, 又A1 M ? sin A1CM ? A1 M 6 ? . A1C 6

2 a, 2

∴直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值为

6 . 6

…………9 分

(III)解:过 A 做 AN⊥BC,垂足为 N,过 N 做 NO⊥B1C,垂足为 O,连结 AO, 由 AN⊥BC,可得 AN⊥平面 BCC1B1,由三垂线定理,可知 AO⊥B1C, ∴∠AON 为二面角 B—B1C—A 的平面角,

AN ?

AB1 ? AC AB ? AC 6 AN 6 ? a, AO ? ? a, ? sin AON ? ? . BC 3 B1C AO 3
6 . 3
…………14 分 错误!未找到引用源。

∴二面角 B—B1C—A 的大小为 arcsin

解法二: (I)证明:同解法一. …………4 分 (II)解:建立如图的空间直角坐标系 A—xyz, ∵直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角, ∴∠B1CB=30°. 设 AB=B1B=1,

则BC ? 3 , AC ? 2 . 则A(0,0,0), B(0,1,0), C ( 2 ,0,0), A1 (0,0,1), B1 (0,1,1).

连结A1 B, 易知A1 B是平面B1 AC的一个法向量 , A1 B ? (0,1,?1), 又 A1C ? ( 2 ,0,1), ? cos ? A1 B, A1C ?? A1 B ? A1C | A1 B | ? | A1C | ? 1 6 ? 6 , 6
…………9 分

∴直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值为

6 . 6

(III)解:设 n ? ( x, y, z ) 为平面 BCC1B1 的一个法向量,

则n ? BB1 , n ? BC, 又 BB1 ? (0,0,1), BC ? ( 2 ,?1,0), ? z ? 0, ?? ? 2 x ? y ? 0, 令x ? 1, 则y ? 2 , z ? 0, 得n ? (1, 2 ,0). 又 A1 B是平面B1 AC的一个法向量 , 设二面角B ? B1C ? A的大小为? , 则 cos? ? cos ? n, A1 B ? n ? A1 B | n | ? | A1 B |
3 . 3

?

2 3? 2

?

3 . 3

∴二面角 B—B1C—A 的大小为 arccos

16、(北京市东城区 2008 年高三综合练习二)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,平面 PAB⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,△PAB 错误!未找到引用源。 为等边三角形. (1)求 PC 与平面 ABCD 所成角的大小; (2)求二面角 B—AC—P 的大小; (3)求点 A 到平面 PCD 的距离.

解法二: (1)解:同解法一………………5 分 (2)解:建立如图的空间直角坐标系 O—xyz, 则 A(-1,0,0) ,B(1,0,0) , 则 P(0,0, 3 ) ,C(1,2,0) 设 n ? ( x, y, z) 为平面 PAC 的一个法向量,

错误!未找到引用源。

则 n ? PA, n ? PC. 又 PA ? (?1,0,? 3), PC ? (1,2,? 3),

? ?? x ? 3z ? 0, 令 z=1,得 x ? ? 3, y ? 3 ?? ? ? x ? 2 y ? 3z ? 0.
得 n ? (? 3, 3,1). 又 OP 是平面 ABC 的一个法向量, 设二面角 B—AC—P 的大小为 ? , 则 cos ? ? cos ? n, OP ??

n ? OP | n | ? | OP |

?

3 7? 3

?

7 . 7

? 二面角P ? AC ? B的大小为arccos

7 . ………………10 分 7

(3)解:设 m ? (a, b, c) 为平面 PCD 的一个法向量. 则 m ? PD, m ? PC. 由 D (-1, 2, 0) , 可知 PD ? (?1,2,? 3),又PC ? (1,2,? 3 ) ,

? ?a ? 2b ? 3c ? 0, ?? 可得 a=0,令 b ? 3 ,则 c=2. ? ? a ? 2 b ? 3 c ? 0 . ?
得 m ? (0, 3,2).

PA ? (?1,0,? 3) ,
| m ? PA | |m| ? 2 3 7 ? 2 21 . 7

设点 A 到平面 PCD 的距离为 d,则 d ?

∴点 A 到平面 PCD 的距离为

2 21 . 7
A D B

17、(北京市丰台区 2008 年 4 月高三统一练习一)已知如图(1),正三角形 ABC 的边 长为 2a,CD 是 AB 边上的高,E、F 分别是 AC 和 BC 边上的点,且满足 A
CE CF ? ? k ,现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B,如图(2). CA CB
E D F B C

E F

(Ⅰ) 试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; ( Ⅱ ) 求 二 面 角 B-AC-D 的 大 小 ; 图(1) (Ⅲ) 若异面直线 AB 与 DE 所成角的余弦值为 2 ,求 k 的值. A 4 解:(Ⅰ) AB∥平面 DEF. 在△ABC 中, ∵ E、F 分别是 AC、BC 上的点,且满足 CE ? CF ? k , D CA CB B ∴ AB∥EF.

E F C

图(2)

∵ AB ? 平面 DEF,EF ? 平面 DEF,∴ AB∥平面 DEF. …………… 3 分
?

A (Ⅱ)过 D 点作 DG⊥AC 于 G,连结 BG, G ∵ AD⊥CD, BD⊥CD, E ∴ ∠ADB 是二面角 A-CD-B 的平面角. D F ∴ ∠ADB= 90? , 即 BD⊥AD. B ∴ BD⊥平面 ADC. ∴ BD⊥AC. ∴ AC⊥平面 BGD. ∴ BG⊥AC . ∴ ∠BGD 是二面角 B-AC-D 的平面角. ……………………………… 5 分 在 ADC 中,AD=a, DC= 3a , AC=2a,
2 ∴ DG ? AD?DC ? 3a ? 3a . AC 2a 2 在 Rt△BDG 中, tan ?BGD ? BD ? 2 3 . DG 3 ∴ ?BGD ? arctan 2 3 . 3 即二面角 B-AC-D 的大小为 arctan 2 3 .………………………………… 8 分 3 (Ⅲ)∵ AB∥EF, ∴ ∠DEF(或其补角)是异面直线 AB 与 DE 所成的角.… 9 分 ∵ AB ? 2a ,∴ EF ? 2ak . 又 DC= 3a , CE ? kCA ? 2ak ,

C

∴ DF ? DE ? DC2 ? CE2 ? 2DC? CE? cos ?ACD

? 3a 2 ? 4a 2 k 2 ? 2 3 ? a 2a ? k c o ?s 3 0

? 3a2 ? 4a2k 2 ? 6a2k ? a 3 ? 4k 2 ? 6k . ………………… 11 分
2 2 2 ∴ cos ?DEF ? DE ? EF ? DF ? EF ? 2 . 2 DE ?EF 2 DE 4

1 ∴ 2 2ak ? 2 ? a 3 ? 4k 2 ? 6k . 解得 k=2. 18、(北京市海淀区 2008 年高三统一练习一)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,PA ⊥底面 ABCD , PC ⊥ AD . 底面 ABCD AB // DC ,AB ? BC . PA ? AB ? BC , 为梯形, 点 E 在棱 PB 上, 且 PE ? 2 EB . (Ⅰ)求证:平面 PAB ⊥平面 PCB ; (Ⅱ)求证: PD ∥平面 EAC ; (Ⅲ)求二面角 A ? EC ? P 的大小. 证明: (Ⅰ)∵PA⊥底面 ABCD, ∴ PA ? BC . 又 AB⊥BC, PA ? AB ? A , ∴ BC ⊥平面 PAB . 又 BC ? 平面 PCB , ∴平面 PAB ⊥平面 PCB . (Ⅱ)∵PA⊥底面 ABCD, ∴AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影. 2分 4分

P

E

A
D

B

P

C

N H

A
D M

E B

C

又∵PC⊥AD, ∴AC⊥AD. 在梯形 ABCD 中,由 AB⊥BC,AB=BC,得 ?BAC ? ∴ ?DCA ? ?BAC ?

?
4



?
4

P



又 AC⊥AD,故 ?DAC 为等腰直角三角形. ∴ DC ?

2 AC ? 2

?

2 AB ? 2 AB .
DM DC ? ? 2. MB AB
7分

?

N C E H B

连接 BD ,交 AC 于点 M ,则 在 ?BPD 中,

PE DM ? ? 2, EB MB

∴ PD // EM 又 PD ? 平面 EAC,EM ? 平面 EAC, ∴PD∥平面 EAC. (Ⅲ)在等腰直角 ?PAB 中,取 PB 中点 N ,连结 AN ,则 AN ? PB . ∵平面 PAB ⊥平面 PCB ,且平面 PAB ? 平面 PCB = PB , ∴ AN ? 平面PBC .

9分

在平面 PBC 内,过 N 作 NH ? 直线 CE 于 H ,连结 AH ,由于 NH 是 AH 在 平面 CEB 内的射影,故 AH ? CE . ∴ ?AHN 就是二面角 A—CE—P 的平面角. 12 分 在 Rt ?PBC 中, 设 CB ? a , 则 PB ?

1 2 BE ? PB ? a, PA2 ? AB2 ? 2a , 3 3

NE ?

11 1 2 a, PB ? a , CE ? CB 2 ? BE 2 ? 6 6 3

由 NH ? CE , EB ? CB 可知: ?NEH ∽ ?CEB , ∴

NH CB ? . NE CE

代入解得: NH ?

a . 22
AN 2 ? 11 . a ,∴ tan AHN ? NH 2
13 分

在 Rt ?AHN 中, AN ?

即二面角 A—CE—P 的大小为 arctan 11 . 解法二:

14 分

(Ⅱ)以 A 为原点, AB, AP 所在直线分别为 y 轴、 z 轴,如图建立空间直角坐标系.

设 PA ? AB ? BC ? a ,则 A? 0,0,0? , B ? 0, a,0? , C ? a, a,0? , P ? 0,0, a ? ,

? 2a a ? E ? 0, , ? . ? 3 3?
5分 设 D ? a, y,0? ,则

uur uuu r CP ? ? ?a, ?a, a ? , AD ? ? a, y, 0 ? ,

? CP ? AD , uur uuu r ∴ CP ? AD ? ?a2 ? ay ? 0 ,解得: y ? ? a . ? DC ? 2 AB . 连结 BD ,交 AC 于点 M , DM DC ? ? 2 .7 分 则 MB AB PE DM ? ? 2, 在 ?BPD 中, EB MB ∴ PD // EM . 又 PD ? 平面 EAC,EM ? 平面 EAC,

uuu r uu u r (Ⅲ)设 n1 ? ? x, y,1? 为平面 EAC 的一个法向量,则 n1 ? AC, n1 ? AE ,
?ax ? ay ? 0, ? ∴ ? 2ay a ? ? 0. ? 3 ? 3
解得: x ?

∴PD∥平面 EAC.

9分

1 1 1 1 , y ? ? ,∴ n1 ? ( , ? ,1) . 2 2 2 2

11 分

设 n2 ? ? x ', y ',1? 为平面 EBC 的一个法向量,则 n2 ? BC, n2 ? BE ,

uuu r

uur

?ax ' ? 0, ??? ? ??? ? a a ? 又 BC ? ? a,0,0? , BE ? (0, ? , ) ,∴ ? ?ay ' a 3 3 ? ? 0, ? 3 ? 3
解得: x ' ? 0, y ' ? 1 ,∴ n2 ? ? 0,1,1? . 12 分

cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 3 . ? n1 n2 6
3 . 6

13 分

∴二面角 A—CE—P 的大小为 arccos

19 、 ( 北京市十一学校 2008 届高三数学练习题 ) 如图,在正四棱锥

P ? ABCD 中, PA ? AB ? a ,点 E 在棱 PC 上.
(Ⅰ)问点 E 在何处时, PA // 平面EBD ,并加以证明; (Ⅱ)当 PA // 平面EBD 时,求点 A 到平面 EBD 的距离; (Ⅲ)求二面角 C ? PA ? B 的大小. 解法一: (Ⅰ)当 E 为 PC 中点时, PA // 平面EBD .………2 分 连接 AC,且 AC ? BD ? O ,由于四边形 ABCD 为正方形, ∴O 为 AC 的中点,又 E 为中点, ∴OE 为△ACP 的中位线, ∴ PA // EO ,又 PA ? 平面EBD , ∴ PA // 平面EBD ………………………5 分 (Ⅱ) 点 A 到平面 EBD 的距离等于点 P 到平面 EBD 在正△DPC 和正△BPC 中,由于 E 为 PC 中点, ∴PC⊥DE,PC⊥BE ,又 BE ? DE ? E ,
P

P E D C

A

B

E F D O A B C

a ∴ PC ? 平面EBD ,PE 即为所求, PE ? 2 a ∴点 A 到平面 EBD 的距离为 .………………………9 分 2
(Ⅲ)连接 PO,则 PO ? 平面ABCD , ∴ BO ? PO ,又 BO⊥AC, ∴ BO ? 平面PAC 过点 O 作 OF ? PA ,垂足为 M ,连接 BM . 由三垂线定理得 PA ? MB . ??OFB 为二面角 C ? PA ? B 的平面角. 在 Rt△ AMB 中, ?FAB ? 60? ,? FB ? 又? BO ?
2 6 AB , ? sin ?OFB ? 3 2

………………………12 分
3 AB . 2

故二面角 C ? AP ? B 的正弦值为

6 . 3

故 ? ? arcsin 解法二:

6 . 3

……………………………………14 分

(Ⅱ)作 PO ? 平面ABCD ,依题意 O 是正方形 ABCD 的中心,如图建立空间坐标系.

则 P(0, 0,

2 2 2 2 2 a) , A( a, 0, 0) , B(0, a, 0) , C (? a, 0, 0) D(0, ? a, 0) . 2 2 2 2 2

∴ E (?

??? ? 2 2 2 2 2 a, 0, ) , EB ? ( a, a, ? a) , 4 4 4 2 4

??? ? ??? ? 2 2 a, a) DB ? (0, 2a,0) , BP ? (0, ? 2 2

? 设面 EBD 的法向量为 n ? ( x, y, z)
? 2 2 2 ax ? ay ? az ? 0 ? ?? 4 2 4 ? 2ay ? 0 ? ? ? n ? ( 1 , 0 ,, 1 ) ……………… 7 分
F D O A

P E C

B

2 ? ??? ? a n?PB 1 2 ? ? ? a . ………………9 分 点 A 到平面 EBD 的距离为 d ? ?? 2 |n| 2
(Ⅲ)设二面角 C ? AP ? B 的平面角为 ? ,平面 PAB 的法向量为 n ? (1,1,1) . 设平面 PAC 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) , ? n1 ? OB ? (0,

?

?? ?

??

??? ?

2 a, 0) .………12 分 2

? ?? n?n1 ? cos ? ? ? ?? ? n n1

2 a 3 3 2 ? . ?? ? arccos . 3 3 2 3? a 2

20、(北京市西城区 2008 年 4 月高三抽样测试)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ,
PA ? PB,

AB ? BC, ?BAC ? 30? ,平面 PAB ? 平面 ABC .

(Ⅰ)求证: PA ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求二面角 P ? AC ? B 的大小; (Ⅲ)求异面直线 AB 和 PC 所成角的大小. 解法一: (Ⅰ)证明:

? 平面 PAB ? 平面 ABC ,平面 PAB ? 平面 ABC ? AB ,
且 BC ? AB ,

? BC ? 平面 PAB .

………….. 2 分

? PA ? 平面 PAB , ? PA ? BC .
又? PA ? PB,

?

P A? 平面

P B .C

………….. 4 分

(Ⅱ)解:

作 PO ? AB 于点 O , OM ? AC 于点 M ,连结 PM .

? 平面 PAB ? 平面 ABC ,
根据三垂线定理得 PM ? AC ,

? PO ? 平面 ABC ,

? ?PMO
角.









P ? AC ? B







………….. 6 分
? PA ? PB,

设 PA ? PB ? 6 ,

? OM ? AM , ?MAO ? 30? ,

? A B ? 2 3, P O? B O ? AO ? .3 AO ? OM ? AO ? sin 30? ? , 2
………

? tan PMO ?
….. 8 分 即 二

PO AO ? ? 2, OM OM





P ? AC ? B

的 ………….. 9 分







arctan 2 .
(Ⅲ)解:

在底面 ABC 内分别过 A、C 作 BC、AB 的平行线,交于点 D , 连结 OC,OD,PD . 则 ?PCD 是异面直线 AB 和 PC 所成的角或其补角. ….. 11 分
? AB ? BC , ?BAC ? 30? ,

? BC ? AB ? tan 30? ? 2 , OC ? OB2 ? BC 2 ? 7 ,

? PC ? PO2 ? CO2 ? 10 .
易知底面 ABCD 为矩形,从而 OC ? OD , PC ? PD.

1 CD 30 在 ?PCD 中,cos PCD ? 2 , ? PC 10
13 分

…………..

?







线

AB



PC















arccos

30 . 10

………….. 14 分

解法二: 作 PO ? AB 于点 O ,

? 平面 PAB ? 平面 ABC ,
? PO ? 平面 ABC .

过点 O 作 BC 的平行线,交 AC 于点 D . 如图,以 O 为原点,直线 OD,OB,OP 分别为 x 轴, ………….. 2 分 y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系 .

设 PA ? PB ? 6 .

? PA ? PB,

? AB ? 2 3 , PO ? BO ? AO ? 3 .
? AB ? BC , ?BAC ? 30? ,

? BC ? AB ? tan 30? ? 2 .
D(1,, 0 0). ? O(0,, 0 0),A(0, ? 3, 0),B(0, 3, 0),C(2, 3, 0), P(0,, 0 3),
….. 4 分 (Ⅰ)证明: ………

??? ? ??? ? ? PA ? (0, ? 3, ? 3), BC ? (2,,, 0 0)
??? ? ??? ? ? PA?BC ? 0,
又? PA ? PB,
? PA ? BC .

?
P A? 平面
分 (Ⅱ)解: 作 OM ? AC 于点 M ,连结 PM .

P B .C

………….. 7

? PO ? 平面 ABC , 根据三垂线定理得 PM ? AC , ? ?PMO
角. 在 Rt?AMO 中, OM ? AO ? sin 30? ? 是 二 面 角

P ? AC ? B







………….. 8 分

AO 3 , ? 2 2

???? ? ? 3 3 ? ???? ? 3 3 ?3 ? 3 ? 从而 MO ? ? ? , , , ? M? , , 0 , 0 , MP ? ? , , 3 ? ? ? ? ?4 ? 4 4 ? ? 4 4 ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ???? ???? ? ???? MO?MP 5 ? cos? MO, MP? ? ???? , ? ???? ? 5 MO MP
10 分 即 二 面 角

…………..

P ? AC ? B









arccos

5 . 5

………….. 11 分

(Ⅲ)解:

??? ? ??? ? ? AB ? 0, 2 3, 0 , PC ? 2,3,- 3 ,

?

?

?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ?PC 30 ? cos? AB, PC ? ? ??? , ? ??? ? ? 10 AB PC

? 异面直线 AB 和 PC 所成角的大小为 arccos

21、(北京市西城区 2008 年 5 月高三抽样测试)如图,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中, AA1= 2 ,AB=1,E 是 DD1 的中点。 (Ⅰ)求直线 B1D 和平面 A1ADD1 所成角的大小; (Ⅱ)求证:B1D⊥AE; (Ⅲ)求二面角 C—AE—D 的大小。

30 . 10

22、 (北京市宣武区 2008 年高三综合练习一)如图, 三棱锥 P-ABC 中, PC ? 平面 ABC, PC=AC=2, AB=BC,D 是 PB 上一点,且 CD ? 平面 PAB (1)求证:AB ? 平面 PCB; (2)求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小; P (3)求二面角 C-PA-B 的大小的余弦值。 解法一: (1)? PC ? 平面 ABC,AB ? 平面 ABC, ? PC ? AB, ? CD ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB, ? CD ? AB。又 PC ? CD ? C , D ? AB ? 平面 PCB (2)过点 A 作 AF//BC,且 AF=BC,连结 PF、FC,

B C A

则 ? PAF 为异面直线 PA 与 BC 所成的角。 由(1)可得 AB ? BC,? CF ? AF, 有三垂线定理,得 PF ? AF,则 AF=CF= 2 , PF= PC 2 ? CF 2 ?

6。
PF 6 ? ? 3, AF 2

在 Rt ?PFA 中, tan?PAF ?

? 异面直线 PA 与 BC 所成的角为

? ………………………………………… 8 分 3

(3)取 AP 的中点 E,连结 CE、DE

? PC=AC=2,? CE ? PA,CE= 2 ? CD ? 平面 PAB,由三垂线定理的逆定理,得 DE ? PA, ? ?CED 为二面角 C-PA-B 的平面角
由(1)AB ? 平面 PCB ,又? AB=BC,可得 BC= 在 Rt ?PCB 中,PB= PC ? BC ?
2 2

2

6 ,CD=
4 3

PC ? BC 2 ? 2 2 ? ? PB 6 3

在 Rt ?CDE 中, cos?CED ?

DE ? CE

2? 2

?

3 3

? 二面角 C-PA-B 大小的余弦值为

3 ……………………………………..13 分 3

解法二: (1)同解法一 ………………………………………………………4 分 (2)由(1)AB ? 平面 PCB ,? PC=AC=2, 又? AB=BC, 可求得 BC=

2

以 B 为原点,如图建立空间直角坐标系, 则 A(0, 2 ,0) ,B(0,0,0) , C( 2 ,0,0) P( 2 ,0,2)

AP =( 2 ,- 2 ,2) , BC =( 2 ,0,0)
则 AP ? BC = 2 ?

2 +0+0=2
AP ? BC AP BC ? 2 2 2? 2 ? 1 2

cos ? AP, BC ??

? 异面直线 AP 与 BC 所成的角为

? ………………………………………………8 分 3

(3)设平面 PAB 的法向量为 m=(x,y,z) , AP =( 2 ,- 2 ,0) AB =(0,- 2 ,0) 则?

? ? AB ? m ? 0 ,即,得 m=( 2 ,0,-1) ? ? AP ? m ? 0

设平面 PAC 的法向量为 n=(x,y,z)

? ? ? 2z ? 0 ? PC ? n ? 0 , AC =( 2 ,- 2 ,0) ,则 ? ,即 ? PC =(0,0,-2) ? ? 2z ? 2 y ? 0 ? AC ? n ? 0
得 n=(1,1,0) Cos<m,n>=

m?n 2 3 ? ? mn 3 3? 2
3

? 二面角 C-PA-B 大小的余弦值为 3

23、 (北京市宣武区 2008 年高三综合练习二)如图所示, 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面 边长是 2,侧棱长是 3,D 是 AC 的中点。 (1)求证: B1C // 平面 A1 BD ; (2)求二面角 A1 ? BD ? A 的大小; (3)求直线 AB1 与平面 A1 BD 所成的角的正弦值。
C A1 B1 C1

解法一: (1) 设 AB1 与 A1 B 相交于点 P, 连接 PD, 则 P 为 AB1 中点,
D

? D 为 AC 中点,? PD// B1C 。
又? PD ? 平面 A1 B D,? B1C //平面 A1 B D (2)? 正三棱住 ABC ? A1B1C1 ,

A

B

……………………………………… 4 分
C1

? AA1 ? 底面 ABC。
又? BD ? AC

A1

B1

? A1D ? BD ? ?A1DA 就是二面角 A1 ? BD ? A 的平面角。
? AA1 = 3 ,AD=
1 AC=1 2

M

P C D

A

B

? tan ?A1DA = ? ?A1DA =

A1A ? 3 AD

? ? , 即二面角 A1 ? BD ? A 的大小是 ………………………………… 8 分 3 3

(3)由(2)作 AM ? A1 D ,M 为垂足。

? BD ? AC,平面 A1ACC1 ? 平面 ABC,平面 A1ACC1 ? 平面 ABC=AC ? BD ? 平面 A1ACC1 , ? AM ? 平面 A1ACC1 , ? BD ? AM ? A1D ? BD = D ? AM ? 平面 A1 DB ,连接 MP,则 ?APM 就是直线 A1B 与平面 A1B D 所成的角。
? AA1 = 3 ,AD=1,? 在 Rt ? AA1 D 中, ?A1DA =

? , 3

? AM ? 1 ? sin60? ?

3 1 7 , AP ? AB1 ? 。 2 2 2

3 AM 21 ? 2 ? . ? sin?AP M ? AP 7 7 2
? 直线 AB1 与平面 A1B D 所成的角的正弦值为
解法二: (1)同解法一 (2)如图建立空间直角坐标系, 则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) , A1 (1,0, 3 ) ,B(0, 3 ,0) , B1 (0, 3 , 3 ) , A1D =(-1,0,- 3 ) ? A1B =(-1, 3 ,- 3 ) 设平面 A1 BD 的法向量为 n=(x,y,z)
A1 B1 z C1

21 7

则 n ? A1B ? ?x ? 3y ? 3z ? 0 n ? A1D ? ?x ? 3z ? 0
D A x B y C

则有 ?

?x ? ? 3z ? y?0

,得 n=( ? 3 ,0,1)

由题意,知 AA1 =(0,0, 3 )是平面 ABD 的一个法向量。 设 n 与 AA1 所成角为 ? , 则 cos? ?

n ? AA1 n ? AA1

?

1 , 2

?? ?

?
3

? 二面角 A1 ? BD ? A 的大小是

? ………………………………… 8 分 3

(3)由已知,得 AB1 =(-1, 3 , 3 ) ,n=( ? 3 ,0,1) 则 cos? ?

AB1 ? n AB1 n

?

21 7
21 7
错误!未找到引用源。

? 直线 AB1 与平面 A1B D 所成的角的正弦值为

24、(四川省成都市高 2008 届毕业班摸底测试)如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,已知 AB=BC=1,∠ABC=90°,AA1= 2 ,D、E 分别为 BB1、AC 的中点。 (Ⅰ)求二面角 A1—AD—C1 的大小; (Ⅱ)若 AE ? 2 EC ,求证:BE//平面 AC1D。 (Ⅰ)以 BA 所在的直线为 x 轴、BC 所在直线为 y 轴、BB1 所在直线为 z 轴,建 立空间直角坐标系 B ? xyz 。∵ BD ? 2DB1 则 A(1,0,0) ,A1(1,0,3) ,C1(0,1,3) , D(0,0,2) ∴ AD ? (?1,0,2),C1 D ? (0,?1,?1). ……2 分 设平面 AC1D 的法向量为 n=(x,y,z) ,则由

?x ? 2 ? ?? x ? 2 z ? 0 ? AD ? n ? 0 ? ?? . 取 ? y ? ?1 ? ?y?z?0 ? ?z ? 1 ?C1 D ? n ? 0 ? ?
∴平面 AC1D 的法向量为 n=(2,-1,1) …………2 分 又平面 A1AD 的法向量为 m=(0,1,0) …………1 分

错误!未找到引用源。

∵ cos ? n, m ??

n?m 1 6 , ?? ?? | n | ?|m | 6 6

又由图形可知,所求二面角为锐角 ∴二面角 A1—AD—C1 的大小为 arccos

6 . 6

…………2 分

(Ⅱ)作 EF//CC1 交 AC1 于点 F,连结 DF。 ∵ AE ? 2 EC , EF ?

2 CC1 ? BD. 3

又 EF//BD, ∴四边形 EFDB 为平行四边形,∴DF//BE。 而 DF ? 平面 AC1D,BE ? 平面 AC1D, ∴BE//平面 AC1D。 …………5 分) [注:也可证 BE ? n,其中 BE ? AE ? BA ?

2 1 2 AC ? ( , ,0). ] 3 3 3

25、 (东北区三省四市 2008 年第一次联合考试)如图, 三棱锥 P-ABC 中, PC⊥平面 ABC, PC=AC=2,AB=BC,D 是 PB 上一点, 且 CD⊥平面 PAB。 (1)求证:AB⊥平面 PCB (2)求二面角 C-PA-B 的大小。 解(1)? PC ? 平面ABC,AB ? 平面ABC

? PC ? AB ? CD ? 平面PAB,AB ? 平面PAB ? CD ? AB 又PC ? CD=C ? AB ? 平面P C B
(2)解法一: 取 AP 的中点 E,连续 CE、DE

? PC ? AC ? 2,? CE ? PA, CE ? 2. ? CD ? 平面PAB, 由三垂线定理的逆定理,得DE ? PA。 ??CED为二面角C-PA-B的平面角 由( 1)AB ? 平面PCB, ? AB ? BC, 又 ? AB=BC,AC=2,求得BC= 2

在Rt?PCB中,PB= PC2+BC2= 6

CD=

PC ? BC 2 ? 2 2 = = PB 6 3
CD 2 ? CE 6 6 3

在Rt?CDE中, sin ?CED ?

? 二面角C-PA-B大小为 arcsin
(2)解法二:

? AB ? BC , AB ? 平面 PBC,过点 B作直线 l PA,则 l ? AB , l ? BC, 以BC、BA、l所在直线为 x、y、z轴建立窨直角坐标系( 如图)

设平面PAB 的法向量为 m ? ?x, y, z ?, A 0, 2,0 , P 2,0,2 , C 2,0,0
? BA ? 0, 2 ,0 , AP ?

?

? ?

? ?

?

?

?

?

2 ,? 2 ,2 ,

?

? ? ? BA ? m ? 0 ?- 2 y ? 0, 则?  即? ? ? ? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0. ? AP ? m ? 0 ?y ? 0 解得? ?x ? ? 2z 令z ? ?1,得m ?

?

2 ,0,?1

?

设平面P AC的法向量n ? ? x1 , y1 , z1 ? CP ? ?0,0,2?, AC ?

?

2 ,? 2 ,0

?

? ?2 z1 ? 0, ?CP ? n ? 0 则?  即? ? ? 2 x1 ? 2 y1 ? 0. ? AC ? n ? 0 ? z1 ? 0 解得? 令x1 ? 1, 得n ? ?1,1,0 ? ? x1 ? y1

? cos ? m, n ??

m?n m?n

?

2 3? 2

?

3 3 3 3

所以二面角C-PA-B大小为arccos

26、 (东北三校 2008 年高三第一次联考)如图, 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长都为 错 A 4,D 为 CC1 中点. 误 (Ⅰ)求证: AB1 ? 平面A1 BD ; (Ⅱ)求二面角 A ? A1 D ? B 的大小. C B

! 错 未 D 误 找 错到 ! 误引 ! 未 未用 找 找 到源 引 到 用。 引 源。用

解法一: (Ⅰ)取 BC 中点 O,连结 AO.

? ?ABC 为正三角形,? AO ? BC ? AO ? 平面BCC1B1 .……3分
连结 B1O ,在正方形 B1 BCC1 中, O,D 分别为

BC,CC1 的中点,
由正方形性质知 B1O ? BD ,

? AB1 ? BD .………5分
又在正方形 ABB1 A 1 中, AB 1⊥A 1B ,

? AB1 ? 平面 A1BD .……6分
(Ⅱ)设 AB1 与 A1B 交于点 G ,在平面 A 1BD 中, 作 GF ? A1 D 于 F ,连结 AF ,由(Ⅰ)得 AB1 ? 平面A1 BD .? AF ? A1 D

? ?AFG 为二面角 A ? A1 D ? B 的平面角.………9分
在 △AA1D 中,由等面积法可求得 AF ?

8 5 ,………10分 5

又? AG ?

1 AG 10 AB1 ? 2 2 ,? sin ?AFG ? . ? 2 AF 4

所以二面角 A ? A1 D ? B 的大小为 arcsin 解法二: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO . 取 B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点, 如图建立空间直角坐标系 O ? xyz ,

10 .……12分 4

则 B?2,0,0?, D?? 2,2,0?, A1 0,4,2 3 , A 0,0,2 3 , B1 ?2,4,0?

?

? ?

?

? AB1 ? 2,4,?2 3 , BD ? ?? 4,2,0?, BA 1 ? ? 2,4,2 3
……3 分

?

?

?

?

? AB1 ? BD ? 0, AB1 ? BA 1 ? 0 ,? AB 1 ? BD, AB 1 ? BA 1.
? AB1 ? 平面 A1BD .………6分
(Ⅱ)设平面 A1 AD 的法向量为 n ? ?x, y, z ? . AD ? ? 2,2,?2 3 , AA 1 ? ?0,4,0? .

?

?

? n ? AD, n ? AA1 ,
?? 2 x ? 2 y ? 2 3 z ? 0 ?? ?4 y ? 0
令 z ? 1 得 n ? ? 3,0,1 为平面 A1 AD 的一个法向量.……9分 由(Ⅰ) AB1 ? 2,4,?2 3 为平面 A 1BD 的法向量.……10分

?

?

?

?

? cos ? n, AB1 ?? ?

6 6 .? 所以二面角 A ? A1 D ? B 的大小为 arccos . 4 4

27 、( 东北师大附中高 2008 届第四次摸底考试 ) 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

AA1 ? AD ? 1, AB ? 2 ,点 E 在棱 AB 上移动. (1)求证: D1 E ? A1 D ; (2) E 为 AB 中点时,求点 E 到平面 ACD1 的距离; ? (3) AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小是 . 4 解: (1)由于 AE ? 面AA1D1 D , A1 D ? AD1 ,根据三垂线定理, 得 D1 E ? A1 D . (4 分) (2)设 E 到平面 ACD1 的距离为 h . 3 在 ?ACD1 中, AC ? CD1 ? 5 , AD1 ? 2 , S ?AD C ? , 2 1 1 1 1 而 S ?ACE ? ,? VD1 -AEC= S ?ACE ? DD1 ? S ?AD1C ? h ,得 h ? . (8 分) 3 2 3 3 (3)过 D 作 DH ? CE 于 H ,连接 D1 H、DE ,则 D1 H ? CE . ? ?DHD1 为二面角 D1 ? EC ? D 的平面角.设 AE ? x, 则 BE ? 2 ? x, ? 在 ?D1 DH 中,? ?DHD1 ? ,得 DH ? 1 . 4
1

由于 CE ? DH ? CD ? DA ,

2 即 (2 ? x) ? 1 ? 2 ,

解得 x ? 2 ? 3 .

因此,当 x ? 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? . 4

28、(本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AA1=AB=1. (I)求证:A1C//平面 AB1D; (II)求二面角 B—AB1—D 的大小; (III)求点 C 到平面 AB1D 的距离. 【解】解法一(I)证明: 连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. ∵ABC—A1B1C1 是正三棱柱,且 AA1 = AB, ∴四边形 A1ABB1 是正方形, ∴E 是 A1B 的中点, 又 D 是 BC 的中点, ∴DE∥A1C. ………………………… 3 分

∵DE ? 平面 AB1D,A1C ? 平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D. ……………………4 分 (II)解:在面 ABC 内作 DF⊥AB 于点 F,在面 A1ABB1 内作 FG⊥AB1 于点 G,连接 DG. ∵平面 A1ABB1⊥平面 ABC, ∴DF⊥平面 A1ABB1, ∴FG 是 DG 在平面 A1ABB1 上的射影, ∵FG⊥AB1, ∴DG⊥AB1 ∴∠FGD 是二面角 B—AB1—D 的平面角 …………………………6 分 设 A1A = AB = 1,在正△ABC 中,DF=

3 . 4

在△ABE 中, FG ?

3 3 2 DF 6 ,在 Rt△DFG 中, tan FGD ? , ? BE ? ? 4 8 FG 3

所以,二面角 B—AB1—D 的大小为 arctan

6 . …………………………8 分 3

(III)解:∵平面 B1BCC1⊥平面 ABC,且 AD⊥BC, ∴AD⊥平面 B1BCC1,又 AD ? 平面 AB1D,∴平面 B1BCC1⊥平面 AB1D. 在平面 B1BCC1 内作 CH⊥B1D 交 B1D 的延长线于点 H, 则 CH 的长度就是点 C 到平面 AB1D 的距离. ……………………………10 分 由△CDH∽△B1DB,得 CH ?

BB1 ? CD 5 ? . B1 D 5
5 . ……………………………………12 分 5

即点 C 到平面 AB1D 的距离是

解法二: 建立空间直角坐标系 D—xyz,如图, (I)证明: 连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. 设 A1A = AB = 1, 则 D(0,0,0), A1 (0,

3 1 3 1 1 ,1), E (? , , ), C ( ,0,0). 2 4 4 2 2

1 3 1 3 1 ? A1C ? ( ,? ,?1), DE ? (? , , ), 2 2 4 4 2

? A1C ? ?2DE,? A1C // DE. …………………………3 分
? DE ? 平面AB1 D, A1C ? 平面AB1 D , ? A1C // 平面AB1 D. ……………………………………4 分
(II)解:? A(0,

3 1 3 1 ,0), B1 (? ,0,1) , ? AD ? (0, ,0), B1 D ? ( ,0,?1) , 2 2 2 2

设 n1 ? ( p, q, r ) 是平面 AB1D 的法向量,则 n1 ? AD ? 0, 且n1 ? B1 D ? 0 , 故?

3 1 q ? 0, p ? r ? 0.取r ? 1, 得n1 ? (2,0,1) ; 2 2

同理,可求得平面 AB1B 的法向量是 n2 ? ( 3,?1,0). ……………………6 分 设二面角 B—AB1—D 的大小为 θ,? cos? ?

n1 ? n2 15 , ? | n1 || n2 | 5

∴二面角 B—AB1—D 的大小为 arccos

15 . …………………………8 分 5

(III)解由(II)得平面 AB1D 的法向量为 n1 ? (2,0,1) , 取其单位法向量 n ? (

2 5

,0,

1

1 ), 又DC ? ( ,0,0). 2 5
5 . 5

∴点 C 到平面 AB1D 的距离 d ?| DC ? n |?

29、(福建省莆田一中 2007~2008 学年上学期期末考试卷)如图所示,等腰 △ABC 的底边 AB=6 6 ,高 CD=3, 点 E 是线段 BD 上异于点 B、 D 的动点.点 F 在 BC 边上,且 EF⊥AB.现沿 EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置,使 PE⊥AE.记

BE ? x V(x)表示四棱锥 P-ACFE 的体积.
(1)求 V(x)的表达式; (2)当 x 为何值时,V(x)取得最大值? (3)当 V(x)取得最大值时,求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值。 解: (1) V ?

1 1 x 6 3 (9 6 ? ? ? x) ? x (0 ? x ? 3 6) 即 V ? 3 6 x ? x (0 ? x ? 3 6) ; 3 2 6 36
6 2 6 x ? (36 ? x 2 ) ,? x ? (0, 6) 时, V ? ? 0; ? x ? (6,3 6) 时, V ? ? 0; 12 12

(2) V ? ? 3 6 ?

? x ? 6 时 V ( x) 取得最大值.
(3)以 E 为空间坐标原点,直线 EF 为 x 轴,直线 EB 为 y 轴,直线 EP 为
z P

z





















,



??? ? A(0,6 ? 6 6,0), C(3,6 ? 3 6,0), AC ? (3,3 6,0) ; P( 0 , 0 , 6 F ),
与 PF 夹角是 ?
C x F

? ? ?? ( 6? , 0P ,0 F ? )

? ( ,设异面直线 6 , 0 , 6 )AC

A

D

E

B y

? cos ? ?

3 6 3 7? 6 7

?

1 7

30、(福建省泉州一中高 2008 届第一次模拟检测)如图,平面 PAD⊥平面 ABCD, ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA=AD=2,E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点. (1)求证:PB∥面 EFG; 1 (2)求异面直线 EG 与 BD 所成的角; , (3)在线段 CD 上是否存在一点 Q,使得 A 点到平面 3 EFQ 的距离为 0.8,若存在,求出 CQ 的值; , 若不存在,请说明理由. 5

∴PB∥平面 EFG. (2)解:取 BC 的中点 M,连结 GM、AM、EM,则 GM//BD, ∴∠EGM(或其补角)就是异面直线 EG 与 BD 错误!未找到引用源。 所成的角. 在 Rt△MAE 中, EM ? 同理 EG ? 6 , 又 GM= GM ?

EA2 ? AM 2 ? 6 ,

1 BD ? 2 , 2

∴在△MGE 中,

cos?EGM ?

EG 2 ? GM 2 ? ME 2 6 ? 2 ? 6 3 ? ? 2EG ? GM 6 2 6? 2
3 , 6

故异面直线 EG 与 BD 所成的角为 arccos

(3)假设在线段 CD 上存在一点 Q 满足题设条件, 过点 Q 作 QR⊥AB 于 R,连结 RE,则 OR∥AD, ∵ABCD 是正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA=AD=2, ∴AD⊥AB,AD⊥PA. 又 AB∩PA=A, ∴AD⊥平面 PAB. 又∵E,F 分别是 PA,PD 中点,

∴EF∥AD,∴EF⊥平面 PAB. 又 EF ? 面 EFQ, ∴面 EFQ⊥面 PAB. 过 A 作 AT⊥ER 于 T,则 AT⊥平面 EFQ, ∴AT 就是点 A 到平面 EFQ 的距离. 设 CQ ? x(0 ? x ? 2),则BR ? CO ? x, AR ? 2 ? x, AE ? 1 , 在 Rt?EAR中, AT ?

AR ? AE ( 2 ? x) ? 1 ? ? 0.8 , RE (2 ? x) 2 ? 12

解得 x ?

2 . 3 2 时,点 A 到平面 EFQ 的距离为 0.8. 3

故存在点 Q,当 CQ=

解法二:建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,2,0) ,D(0,2,0) , P(0,0,2) ,E(0,0,1) ,F(0,1,1) ,G(1,2,0). 错误!未找到引用源。 (1)证明:? PB ? (2,0,?2), FE ? (0,?1,0),

FG ? (1,1,?1) …………………………1 分
设 PB ? s FE ? t FG , 即 (2,0,?2) ? s(0,?1,0) ? t (1,1,?1) ,

?t ? 2, ? ? ?t ? s ? 0, 解得s ? t ? 2. ?? t ? ?2, ?

? PB ? 2FE ? 2FG, 又? FE与FG不共线 , ? PB, FE与FG共面. ……………2 分
? PB ? 平面EFG ,
∴PB∥平面 EFG. …………………………………………………………………… 3 分 (2)解:∵ EG ? (1,2,?1), BD ? (?2,2,0) ,…………………………………………4 分

? cos ? EG , BD ??

EG ? BD | EG | ? | BD |

?

?2?4 6 ?2 2

?

3 6


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