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7.2.1 任意角的三角函数的定义


任意角三角函数的定义

刘玉环

任意角三角函数的定义 sinα

cosα

tanα

引入
现实世界中,许多运动、变
“月亮圆缺变化”示意图

化有着循环往复、周而复始的现
象,例如:昼夜交替、四季交替、 月亮圆缺变化,这种规律称为周

期性。三角函数”正是刻画这种
变化的重要的数学模型。

三角函数到底是一种怎样的函数? 它具有哪些特别的性质?在解决具有周 期性变化规律的问题中到底能发挥哪 些作用?

任意角三角函数的定义 sinα

cosα

tanα

概念学习 知识回顾
在初中,我们已经学习了锐角三角函数,它是怎样定义的? 如果∠A是直角三角形的一个锐角,如图
在Rt ABC中,∠C=90°,那么
B

sinA ?

BC 对边 ? AB 斜边 AC 邻边 cosA ? ? AB 斜边 BC 对边 t an A ? ? AC 邻边

A

C

现在,角已经推广到了任意角,可以用上述的方法定义任意角的三 角函数吗?

概念学习

知识探究

探究:在直角坐标系中,锐角 终边上的点的坐标表示吗?

? 的三角函数能用其

任意角三角函数的定义 sinα

cosα

tanα

概念学习

知识探究

如图,将锐角α 的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合, 点P在以原点为圆心以单位长度1为半径的圆上,我们把这样的 在 α 的终边上任取一点 P(a,b), 过点P做x轴的垂线,垂足为 M, 在终边上取不同点时 ,α 的三角函数值都不变。我们取 α终边上 圆称为单位圆。 那么,这三个比值会随着点 P在终边上位置的改变而改变吗? 到原点 O 距离为 1 的点 P 你能用点P的坐标a,b来表示α 的三角函数吗?
2 2 设 OP ? r ? a ? b ? 1

y
P’(a’, b’ ) P(a,b)

MP b sin ? ? ? ?b OP r OM a cos ? ? ? ?a OP r MP b tan ? ? ? OM a

r
?

O

M M’

x

任意角三角函数的定义 sinα

cosα

tanα

概念学习 知识探究
?

对于锐角α的三角函数值,我们除了可以在直角三 角形中定义之外,还可以把α放在直角坐标系中, 用其终边上点的坐标来表示。

?

对于任意一个角,虽然可能无法放在直角三角形中, 但任意一个角都可放在直角坐标系中,从而其终边 上的点就具有坐标;
由此我们可以把锐角的三角函数推广到任意角的三 角函数。

?

任意角三角函数的定义 sinα

cosα

tanα

概念学习
?

已知任意角α,以角α的顶点O为坐标原点,以角α的始边作为x 轴的正方向,建立平面直角坐标系xoy.在角α的终边上任取

?
? ? ? ?

一点P(x,y),把点P到原点的距离记作r,那么
有:r ?| OP |? x2 ? y 2 ? r ? 0?

?

y
P(x,y)

r
O

α

我们定义任意角α的三角函数为:

y y r 叫做角α的正弦,记作sinα,即sinα= r x 叫做角α的余弦,记作cosα,即cosα= x r r y y x 叫做角α的正切,记作tanα,即tanα= x

x

任意角三角函数的定义 sinα

cosα

tanα

cot a ? x y 余切

? ?

以上三个 对应法则都是以角α为自变量的函数,分别 叫做角的正弦函数、余弦函数、正切函数。 思考:三个函数的定义域分别是什么?

?

O

y 正弦sina ? r x 余弦cosa ? r y 正切tana ? x

csca ? r y 余割 seca ? r x 正割

y
P(x,y)

r

α

x

任意角三角函数的定义 sinα

cosα

tanα

概念学习
根据任意角三角函数的定义,设任意角 α 的终边与单 位圆交点为P(x,y),(即r=|OP|=1)那么: (1) sinα=y (2) cosα=x (3) tanα=y/x (x≠0) O
1

y
P(x,y)

?
1

x

任意角三角函数的定义 sinα

cosα

tanα

举例运用
例1:已知角α的终边经过点P(2,-3),求角α的正弦、余弦和 正切值

分析:已知角α的终边上的一点P(x,y),那么
y sin ? ? ? r y x2 ? y 2

cos ? ?

x ? r

x x2 ? y 2

y tan ? ? x

任意角三角函数的定义 sinα

cosα

tanα

举例运用
例2:根据定义求下列各角的正弦、余弦和正切值

? (1) 2

(2)?

任意角三角函数的定义 sinα

cosα

tanα

任意角三角函数的定义 sinα

cosα

tanα

任意角三角函数的定义 sinα

cosα

tanα

练习巩固
5? 1、求 的三个三角函数值 4 2、已知角 ? 的终边过点P(-12,5),求角 ? 的三个三角函数 值 3、填表
角? 角?的弧度数 0。 90。 180。 270。 360。

sin?
cos? tan?

任意角三角函数的定义 sinα

cosα

tanα

总结归纳
1、任意角α的正弦、余弦、正切的定义: 2、设 α 的终边与单位圆交点为P(x,y),那么 sin ? = ____ y
1

y
P(x,y)
?

cos? = ____ x
y ( x ? 0) tan ? = ____ x

O

1

x

任意角三角函数的定义 sinα

cosα

tanα

作业布置

P13

练习7-3

第1题:(2)、(4) 第3题;第4题

任意角三角函数的定义 sinα

cosα

tanα


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