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高考数学数列放缩法技巧全总结


高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而 充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而 成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往 往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进 行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例 1.(1)求 k ?1

? 4k

n

2
2

? 1 的值;

(2)求证:

?k
k ?1

n

1
2

?

5 3.

2 2 1 1 n 2 1 2n ? ? ? ? 1? ? 2 ? ( 2 n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 2 n ? 1 2 n ? 1 4 n ? 1 解析:(1)因为 ,所以 k ?1 4k 2 ? 1 2n ? 1 2n ? 1
1 ? n2 1 1 n ? 4
2

?

(2)因为 奇巧积累:(1) (3)

4 1 ? ? 1 ? 2? ? ? 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

,所以

?k
k ?1

n

1
2

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5

1 4 4 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ? ? n 2 4n 2 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1 2 1 1 ? ? ? 1 2 ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) n ( n ? 1) C C (2) n?1 n

r Tr ?1 ? C n ?

1 n! 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? (r ? 2) n r r!(n ? r )! n r r! r (r ? 1) r ? 1 r

1 1 1 1 5 (1 ? ) n ? 1 ? 1 ? ? ??? ? n 2 ? 1 3 ? 2 n ( n ? 1 ) 2 (4)

(5) (7)

1 1 1 ? ? 2 n (2 n ? 1) 2 n ? 1 2 n

(6)
? 2( n ? n ? 1)

1 ? n?2 ? n n?2

2( n ? 1 ? n ) ?

1 n

(8)

1 ? 1 1 1 ? 2 ? ? ? ?? n ? (2n ? 1) ? 2 n?1 (2n ? 3) ? 2 n ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 2

1 1 1? 1 1 1 ?1 1 ? ? ?? ? ? , ? ? ? ? k ( n ? 1 ? k ) n ? 1 ? k k n ? 1 n ( n ? 1 ? k ) k ? 1 n n ? 1 ? k ? ? ? ? (9)
1

(10) (11) (12)

n 1 1 ? ? (n ? 1) ! n ! (n ? 1) !

(11)

n

? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ?

2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1

?

2 1 1 n? ? n? 2 2

2n 2n 2n 2n ?1 1 1 ? n ? n ? n ? ? (n ? 2) 2 n n (2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 2) (2 ? 1)(2n ?1 ? 1) 2n ?1 ? 1 2n ? 1
n

1 n
3

?

1 n?n
2

?

? ? 1 1 1 1 ?? ?? ? ? n(n ? 1)(n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) ? n ? 1 ? n ?1 ?

1 ? n ?1 ? n ?1 ? 1 ?? ? ? ?? n ? 1 n ?1 ? 2 n ?

1 1 ? n ?1 n ?1
2n 1 2n ? n ? 3 2 ?1 3

(13) (14) (15)

2n ?1 ? 2 ? 2n ? (3 ? 1) ? 2n ? 3 ? 3(2n ? 1) ? 2n ? 2n ? 1 ?
k?2 1 1 ? ? k!?(k ? 1)! ? (k ? 2)! (k ? 1) ! (k ? 2) !

(15)
2

1 ? n ? n ? 1(n ? 2) n(n ? 1)
?1

i2 ? 1 ? j2 ? 1 i2 ? j2 ? i? j (i ? j )( i 2 ? 1 ?

j ? 1)

?

i? j i ?1 ?
2

j2 ?1

例 2.(1)求证:

1?

1 1 1 7 1 ? ??? ? ? (n ? 2) 32 5 2 (2n ? 1) 2 6 2(2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? 2 ? ? 4 16 36 2 4n 4 n (2)求证:
1 1? 3 1? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? ??? ? 2n ? 1 ? 1 2 2 ? 4 2 ? 4 ? 6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n (3)求证:

(4) 求证:

2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 ( 2n ? 1 ? 1)

解析:(1)因为

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) 2 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

,所以

? (2i ? 1)
i ?1

n

1

2

1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? 1? ( ? ) 2 3 2n ? 1 2 3 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? (1 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (1 ? 1 ? ) 4 16 36 4 4 n 4 n 2 n (2)

(3) 先运用分式放缩法证明出 后就可以得到答案
1

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 2n ? 1

, 再结合

1 n?2

? n?2 ? n

进行裂项 ,最

(4)首先
1

n

? 2( n ? 1 ? n ) ?

2 n ?1 ? n
2 2

,所以容易经过裂项得到
2 1 1 n? ? n? 2 2

2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 2

?

1 3

???

1 n

再证 所以

n

? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ?

2n ? 1 ? 2n ? 1

?

而由均值不等式知道这是显然成立的,

1?

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 ( 2n ? 1 ? 1)



6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? ( n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 4 9 n 3 3.求证:
1 ? n2 1 1 n ? 4
2

?

解析: 一方面: 因为 另一方面: 当
n?3

4 1 ? ? 1 ? 2? ? ? 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

,所以

?k
k ?1

n

1
2

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5

1?

1 1 1 1 1 1 1 n ? ??? 2 ? 1? ? ??? ? 1? ? 4 9 n 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) n ?1 n ?1

时,

n 6n ? n ? 1 (n ? 1)(2n ? 1)

,当

n ?1

6n 1 1 1 ? 1? ? ??? 2 ( n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 4 9 n 时,

,

6n 1 1 1 ? 1? ? ??? 2 4 9 n 当 n ? 2 时, (n ? 1)(2n ? 1)
6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? ( n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 4 9 n 3 所以综上有

,

例 4.(2008 年全国一卷)设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?a ? 满足 0 ? a ? 1. a
n
1

n ?1

? f (an )

.

1) ,整数 设 b ? (a1,

k≥

a1 ? b a1 ln b

.证明: a

k ?1

?b.
n

解析:

由数学归纳法可以证明 ?a ? 是递增数列,
m

故 若存在正整数 m ? k , 使 a

?b

, 则a

k ?1

? ak ? b

,

若a

m

? b(m ? k )

,则由 0 ? a

1

? am ? b ? 1

知a

m

ln am ? a1 ln am ? a1 ln b ? 0

,

ak ?1 ? ak ? ak ln ak ? a1 ? ? am ln am
m ?1

k

,

因为

?a
m ?1

k

m

ln am ? k (a1 ln b)

,于是 a

k ?1

? a1 ? k | a1 ln b |? a1 ? (b ? a1 ) ? b

例 5.已知 n, m ? N , x ? ?1, S
?

m

? 1m ? 2m ? 3m ? ? ? nm ,求证: nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1.
n

解析:首先可以证明: (1 ? x)

? 1 ? nx
n

n m ?1 ? n m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 2) m ?1 ? ? ? 1m ?1 ? 0 ? ?[k m ?1 ? (k ? 1) m ?1 ]
k ?1

所以要证

nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1只要证:

?[ k
k ?1

n

m ?1

? (k ? 1) m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? (n ? 1) m ?1 ? 1 ? (n ? 1) m ?1 ? nm ?1 ? nm ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? ? ? 2m ?1 ?1m ?1 ? ?[(k ? 1) m ?1 ? k m ?1 ]
k ?1 k ?1

n

n

故只要证

?[ k
k ?1

n

m ?1

? (k ? 1) m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? ?[(k ? 1) m ?1 ? k m ?1 ]
k ?1 k ?1

n

n

,

即等价于 k 即等价于

m ?1

? (k ? 1)m?1 ? (m ? 1)k m ? (k ? 1)m?1 ? k m

, 而正是成立的,所以原命题成立.

1?

m ?1 1 m ?1 1 ? (1 ? ) m ?1 ,1 ? ? (1 ? ) m ?1 k k k k



6.已知 an ? 4 ? 2
n

n

,

Tn ?

2n a1 ? a2 ? ? ? an

,求证:

T1 ? T2 ? T3 ? ? ? Tn ?
n n

3 2

.

解析: 所以

Tn ? 41 ? 42 ? 43 ? ? ? 4n ? (21 ? 22 ? ? ? 2n ) ?
2n 4 n (4 ? 1) ? 2(1 ? 2n ) 3

4(1 ? 4 ) 2(1 ? 2 ) 4 n ? ? (4 ? 1) ? 2(1 ? 2n ) 1? 4 1? 2 3

Tn ?

?

2n 2n 3 ? 2n 3 2n ? n ?1 ? n ?1 ? ? n ?1 n 2 4 4 4 2 4 ? 3 ? 2 ? 2 2 2 ? (2 ) ? 3 ? 2n ? 1 ? ? 2 ? 2n ?1 ? ? 2n ?1 3 3 3 3
n ?1

?

3 2n 3? 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 (2 ? 2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ?1 ? 1 ?

从而

T1 ? T2 ? T3 ? ? ? Tn ?

3? 1 1 1 1 1 ? 3 ? ?1 ? ? ? ? ? ? n ?? 2? 3 3 7 2 ? 1 2n ?1 ? 1 ? 2

例 7.已知 证明: 因为 所以
4
4

x1 ? 1

,

?n(n ? 2k ? 1, k ? Z ) xn ? ? ?n ? 1(n ? 2k , k ? Z )
1
4

,求证:
? 1
4

4

1 1 1 ? ??? ? 2 ( n ? 1 ? 1)(n ? N *) 4 x x x2 ? x3 4 x4 ? x5 2 n 2 n ?1
1 2? n ? 2 n ? n ?1 2 2 n

1 x 2 n x 2 n ?1

?

(2n ? 1)( 2n ? 1)

?

1
4

4n 2 ? 1 1

4n 2 ?

? 2

,

2 n ? n ? n ?1

,所以

4

x 2 n x 2 n ?1

2 n

?

? 2( n ?1 ? n)

1 1 1 ? ??? ? 2 ( n ? 1 ? 1)(n ? N *) 4 x x x2 ? x3 4 x4 ? x5 2 n 2 n ?1

二、函数放缩



ln 2 ln 3 ln 4 ln 3n 5n ? 6 ? ? ? ? ? n ? 3n ? (n ? N * ) 2 3 4 3 6 8.求证: .
ln x ? x ? 1 ? ln x 1 ? 1? x x

解析:先构造函数有 cause
?

,从而

ln 2 ln 3 ln 4 ln 3n 1 1 1 ? ? ? ? ? n ? 3n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ) 2 3 4 2 3 3 3

1 1 1 ? 1 1? ? 1 1 1 1 1 1? 1 1? ? 1 ? ??? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? n ? n ??? n ? 2 3 3 2 ?1 3 ? ? 2 3? ? 4 5 6 7 8 9? ?2

? 3n?1 5 ? 3 3? ? 9 9 ? 3n?1 ? 5n ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? n ? ? n ?1 ? 6 ? 6 9 ? ? 18 27 ? 3 ? ? 2?3 ? 6

ln 2 ln 3 ln 4 ln 3n 5n 5n ? 6 ? ? ? ? ? n ? 3n ? 1 ? ? 3n ? 6 6 3 所以 2 3 4

例 9.求证:(1) 解析:构造函数 案 函数构造形式:

? ? 2,

ln 2? ln 3? ln n? 2n 2 ? n ? 1 ? ? ??? ? ? (n ? 2) ? 2(n ? 1) 2 3 n
ln n ? ln n 2 ? 2 n? n

f ( x) ?

ln x x

,得到

ln n 2 1 1 ? 1? 2 ? 1? 2 n ( n ? 1) ,求和后可以得到答 n n ,再进行裂项

? ? ln x ? x ? 1 , ln n ? n ? 1(? ? 2)



1 1 1 1 1 ? ??? ? ln( n ? 1) ? 1 ? ? ? ? 2 3 n ? 1 2 n 10.求证:
ln( n ? 1) ? ln n ?1 n 2 n ?1 n ? ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? ln 2 n n ?1 1 n n ?1
ln x ? x, ln x ? 1 ? 1 x

解析:提示:

函数构造形式:

y

当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数 首先:
S ABCF ? 1 ?x n ?i
n

f ( x) ?

1 x

,
1 1 ? i ? ? ? ln x |n n ? i ? ln n ? ln(n ? i ) n x n ?i
n

E F O A n-i n

D C B x

,从而,

取 i ? 1 有, n 所以有

1

? ln n ? ln( n ? 1)

, ,…,
1 ? ln n ? ln( n ? 1) n

1 ? ln 2 2

,

1 ? ln 3 ? ln 2 3

,

1 ? ln( n ? 1) ? ln n n ?1

,相加后可以得到:

1 1 1 ? ??? ? ln(n ? 1) 2 3 n ?1

另一方面

S ABDE ?

1 n ?i x

?

n

,从而有 ,

1 1 ? i ? ? ? ln x |n n ? i ? ln n ? ln(n ? i ) n?i x n ?i

n

取 i ? 1 有, n ? 1 所以有

1

? ln n ? ln( n ? 1)
1 1 ??? 2 n

ln( n ? 1) ? 1 ?

,所以综上有

1 1 1 1 1 ? ??? ? ln( n ? 1) ? 1 ? ? ? ? 2 3 n ?1 2 n

例 11.求证:

(1 ?

1 1 1 )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? e 2! 3! n!



1 1 1 (1 ? )(1 ? ) ? ? ? (1 ? 2 n ) ? e 9 81 3

.解析:构造函数后即可证明



2 n?3 12.求证: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? ?? [1 ? n(n ? 1)] ? e

解析:

ln[n(n ? 1) ? 1] ? 2 ?

3 n(n ? 1) ? 1

,叠加之后就可

以得到答案 函数构造形式: ln( x ? 1) ? 2 ? x ? 1 ( x ? 0) ?
3 1 ? ln(1 ? x) 3 ? ( x ? 0) x x ?1

(加强命题)

例 13.证明:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n(n ? 1) ? ? ??? ? (n ? N *, n ? 1) 3 4 5 n ?1 4

解析:构造函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1( x ? 1) ,求导,可以得到:
f ' ( x) ? 1 2? x ?1 ? x ?1 x ?1

,令 f ( x) ? 0 有1 ? x ? 2 ,令 f ( x) ? 0 有 x ? 2 ,
' '
2

所以 f ( x) ? f (2) ? 0 ,所以 ln(x ? 1) ? x ? 2 ,令 x ? n 所以 n ? 1 ? 2 ,所以
ln n n ?1

? 1 有, ln n2 ? n2 ? 1

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n(n ? 1) ? ? ??? ? (n ? N *, n ? 1) 3 4 5 n ?1 4

例 14. 已知 解析:
a n ?1 ? (1 ?

a1 ? 1, an ?1 ? (1 ?

1 1 )an ? n . n2 ? n 2

证明 a ,

n

? e2

.

1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? ? )a n n(n ? 1) n(n ? 1) 2 n 2

然后两边取自然对数,可以得到

ln a n ?1 ? ln(1 ?

1 1 ? ) ? ln a n n(n ? 1) 2 n

然后运用 ln(1 ? x) ? x 和裂项可以得到答案) 放缩思路:
?
i ?1 n ?1

a n ?1 ? (1 ?

1 1 ? )a n ? n2 ? n 2n

ln a n ?1 ? ln(1 ?

1 1 ? ) ? ln a n ? n2 ? n 2n

? ln a n ?

1 1 ? n2 ? n 2n
n ?1 i ?1

。于是 ln a

n ?1

? ln a n ?

1 1 ? n2 ? n 2n



(ln ai ?1 ? ln ai ) ? ?

1 1 ? ( ) n ?1 1 1 1 1 1 2 ( 2 ? i ) ? ln a n ? ln a1 ? 1 ? ? ? 2 ? ? n ? 2. 1 n n 2 i ?i 2 1? 2
2 n

即 ln a ? ln a ? 2 ? a ? e . 注:题目所给条件 ln(1 ? x) ? x( x ? 0 )为一有用结论,可以起到提醒思路与探 索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论 2 ? n(n ? 1)(n ? 2) 来放缩:
n 1

n

a n ?1 ? (1 ?

1 1 )a n ? ? a n?1 ? 1 ? (1 ? 1 )(a n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)
1 1 )? . n(n ? 1) n(n ? 1)

ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ?

? ?[ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ?
i ?2 i ?2

n ?1

n ?1

1 1 ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 i(i ? 1) n



2 即 ln(an ?1) ? 1? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e .



16.(2008













)









f ( x) ? x ln x.



a ? 0, b ? 0, 证明: f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b).

解析:设函数 g ( x) ? f ( x) ? f (k ? x),

(k ? 0)

f ( x) ? x ln x,? g ( x) ? x ln x ? (k ? x) ln(k ? x), ? 0 ? x ? k . g ?( x) ? ln x ? 1 ? ln(k ? x) ? 1 ? ln 令g ?( x) ? 0, 则有 x , k?x

x 2x ? k k ?1? ? 0 ? ? x ? k. k?x k?x 2

k k k g( ) g ( x )在[ , k (0, ] 2 )上单调递增,在 2 上单调递减.∴ g ( x) 的最小值为 2 ,即总 ∴函数
k g ( x) ? g ( ). 2 有



k k k k g ( ) ? f ( ) ? f (k ? ) ? k ln ? k (ln k ? ln 2) ? f (k ) ? k ln 2, 2 2 2 2

? g ( x) ? f (k ) ? k ln 2,

即 f ( x) ? f ( k ? x) ?

f (k ) ? k ln 2.

令 x ? a, k ? x ? b, 则 k ? a ? b.
? f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2.
? f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b).

例 15.(2008 年厦门市质检) 已知函数 f ( x) 是在 (0,??) 上处处可导的函数,若 x ? f ' ( x) ? f ( x) 在 x ? 0 上恒成立. (I)求证:函数 (II)当 x
1

g ( x) ?

f ( x) 在(0,?? ) x

上是增函数; ;

? 0, x2 ? 0时, 证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 )

(III)已知不等式 ln(1 ? x) ? x在x ? ?1且x ? 0 时恒成立,
1

求证: 2

2

ln 2 2 ?

1 1 1 n ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)(n ? 2) 32 4 (n ? 1) 2
f ' ( x) x ? f ( x) ?0 x2

(n ? N * ).

解析:(I)

g ' ( x) ?

,所以函数 g ( x) ?

f ( x) 在(0,?? ) x

上是增函数

(II)因为 g ( x) ?

f ( x) 在(0,?? ) x

上是增函数,所以

f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ) x1 ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ? x2 ) x1 x1 ? x2 x1 ? x2
f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) x2 ? ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ? x2 ) x2 x1 ? x2 x1 ? x2

两式相加后可以得到 f ( x ) ? f ( x ) ? f ( x
1 2

1

? x2 )

(3)

f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x1 ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x1 x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x2 ? ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x2 x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

……

f ( xn ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) xn ? ? f ( xn ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) xn x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

相加后可以得到: 所以 x ln x
1 1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn )

? x2 ln x2 ? x3 ln x3 ? ? ? xn ln xn ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ln(x1 ? x2 ? ? ? xn )
? 1 1 1 1 ? 1 1 1 1 ? ? 1 1 1 ? 2 2 2 2? ?? ? 2 ? 2 ? 2 ??? ? ? ln? ? 2 ? 2 ??? ? ? 2 2 ln 2 ? 32 ln 3 ? 4 2 ln 4 ? ? ? (n ? 1) 2 ln(n ? 1) ? ??? 2 ? 2 3 4 ( n ? 1 ) 2 3 ( n ? 1) 2 ? ? ? ? ? ? ?



xn ?

1 (1 ? n) 2

,有

1 ?? 1 1 ? n ? 1 1 1 ? ? 1 1 1 ? ? ? ? ?? ?? ? ??? ?? ? ??? ? ? 2 2 ? 32 ? ? ? (n ? 1) 2 ? ? ? ln? (n ? 1)n ? 2(n ? 1)(n ? 2) ? ? n ? 1 ?? 2 n ? 2 ? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2
1

所以 2 (方法二)

2

ln 2 2 ?

1 1 1 n ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)(n ? 2) 32 4 (n ? 1) 2

(n ? N * ).

ln(n ? 1) 2 ln(n ? 1) 2 ln 4 1 ? ? 1 ? ? ? ln 4? ? ? (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1) 2 ? n ?1 n ? 2 ?

所以 又

1 1 1 1 1 ? n ln 4 ?1 ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? ln 4? ? ?? 22 3 4 (n ? 1) 2 ? 2 n ? 2 ? 2(n ? 2)

ln 4 ? 1 ?

1 n ?1

,所以

1 1 1 1 n ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? (n ? N * ). 2(n ? 1)(n ? 2) 22 3 4 (n ? 1) 2

三、分式放缩
b

姐妹不等式: a

?

b b?m b?m (b ? a ? 0, m ? 0) ? (a ? b ? 0, m ? 0) a?m 和a a?m

记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之. 例 19. 姐妹不等式:
2 ? 4 ? 6 ?? 2n

1 1 1 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 2n ? 1 3 5 2n ? 1
1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
b ?



1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 4 6 2n

1 2n ? 1

也可以表示

成为 1? 3 ? 5 ??? (2n ?1)

? 2n ? 1

1 2n ? 1



解析: 利用假分数的一个性质 a
2 4 6 2n 2 ( ? ? ? ) ? 2n ? 1 2n ? 1

b?m (b ? a ? 0, m ? 0) a?m

可得

2 4 6 2n ? ? ? ? 3 ? 5 ? 7 ? 2n ? 1 ? 1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n
? 1 3 5

1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? (2n ? 1) 2 4 6 2n



1 1 1 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? )? (1 ? ) ? 2n ? 1. 3 5 2n ? 1



1 1 1 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1. 4 7 3n ? 2 20.证明:

解析: 运用两次次分式放缩:
2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n ? ? ?? ? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 2 5 8 3n ? 1

(加 1)

2 5 8 3n ? 1 4 7 10 3n ? 1 ? ? ??? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 3 6 9 3n

(加 2)

相乘,可以得到:
3n ? 1 ? 4 7 10 3n ? 1 1 4 7 3n ? 2 ?2 5 8 ? ? ? ? ?? ? (3n ? 1) ? ? ? ? ?? ? ? . ? ? ?? ? 1 4 7 3 n ? 2 2 5 8 3 n ? 1 2 5 8 3n ? 1 ? ?
2

所以有

1 1 1 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1. 4 7 3n ? 2

四、分类放缩 例 21.求证: 解析:
1?
1? 1 1 1 n ? ??? n ? 2 3 2 ?1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? n ? 1? ? ( ? ) ? ( 3 ? 3 ? 3 ? 3 ) ??? 2 3 2 4 4 2 ?1 2 2 2 2

(

1 1 1 1 n 1 n ? ? ? ? n ) ? n ? ? (1 ? n ) ? 2 2 2n 2n 2 2 2

例 22.(2004 年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系 xoy 中, 轴上的点列 ?An ?与曲线 y ? 2x ( x ≥0)上的点列 ?Bn ?满足 上的截距为 an .点 Bn 的横坐标为 bn , n ? N .
?

y

轴正半

OA n ? OB n ?

1 n

,直线 An Bn 在 x 轴

(1)证明 an > an?1 >4, n ? N ? ; 解析:(1) 依题设有:
bn 2 ? 2bn ?

(2)证明有 n

0

?N

?

,使得对 ?n ? n 都有
0

b b b2 b3 ? ? ? ? n ? n?1 b1 b2 bn?1 bn

< n ? 2008 .

? 1? An ? 0, ? , Bn bn , 2bn , ? bn ? 0 ? ? n?

?

?

,由

OBn ?

1 n

得:

1 1 ,?bn ? 2 ? 1 ? 1, n ? N * n2 n

,又直线 A B 在 x 轴上的截距为 an 满足
n n

? an ? 0? ? ?

1? ? 1? 2bn ? ? ? ? 0 ? ? ? bn ? 0 ? n? ? n? ?

an ?

bn 1 ? n 2bn

2n2bn ? 1 ? n2bn 2 ? 0, bn ? 2 ?

1 n2bn

? an ?

bn 1 ? n 2bn bn 1 2 ? ? 2 ? ? bn ? 2 ? 2bn ? 4 ? a ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 1 ? 1 n 1 ? 2n2bn n bn n bn 1 ? n 2bn n2 n2
1 ? 1 ?0 n ?1

?

?

显然,对于 n (2)证明:设
cn ? 1 ?1 ? n2 1 1 ? 1 ?1 n2

,有 a

n

? an?1 ? 4, n ? N *

cn ? 1 ?

bn ?1 ,n? N* bn

,则
1 ?1 ?1 n2 1 1 ?1 ? ?1 2 n2 ? n ? 1?

? n ? 1?

2

?1

? 1 1 ? ? n2 ? 2 ? ? ? n ? n ? 1?2 ? ? ?

?

2n ? 1

? n ? 1?

2

? ? 1 ?1 ?1 ? 2n ? 1 ? 1 1 2n ? 1 n2 ? ? ?? ? 2 2 2 ? 2 ? n ? 1? 1 1 n ? 1? ? ? 2 2 ?1 2 2 ?1 ? ? n n ? ?
2

? 2n ? 1?? n ? 2 ? ? 2 ? n ? 1?

? n ? 0,? cn ?

1 ,n? N* n?2

设S

n

? c1 ? c2 ?

k * ? cn , n ? N * ,则当 n ? 2 ? 2 ? 1? k ? N ? 时,

1 1 Sn ? ? ? 3 4

1 1 ?1 1? ? 1 ? k ? ? ? ??? 2 ? 2 ?1 2 ? 3 4 ? ? 2 ? 1 1 1 1 k ?1 ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? ? 2k ?1 ? k ? 2 2 2 2 。 ?
k
0

?

1? ? 1 ? ??? 23 ? ? 2k ?1 ? 1

?

1 ? ? 2k ?

所以,取 n

? 24009 ? 2 ,对 ?n ? n0 都有:

? bn ?1 ? ? b2 ? ? b3 ? 4017? 1 ? ? 2008 ?1 ? b ? ??? ?1 ? b ? ? ??? ? ?1 ? b ? ? ? S n ? S n0 ? 2 1 ? 2 ? n ? ? ? ?

b b b2 b3 ? ? ? ? n ? n?1 b b b bn n ?1 故有 1 2

< n ? 2008 成立。
2

例 23.(2007 年泉州市高三质检) 已知函数 f ( x) ? x 为[-1,0],值域也为[-1,0].若数列 {bn } 满足

? bx ? c(b ? 1, c ? R) ,若 f ( x) 的定义域
f ( n) (n ? N * ) n3

bn ?

,记数列{b } 的前 n 项和
n
n

为 Tn ,问是否存在正常数 A,使得对于任意正整数 n 都有 T 解析:首先求出 ∴
f ( x) ? x 2 ? 2x ,∵ bn ? n3 ?
f ( n) n 2 ? 2n 1 ? n3 n

?A

?并证明你的结论。

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1 ?

1 1 1 ? ??? 2 3 n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 4? ? ? ? 2? ? 8 2 ,… 4 2,5 6 7 8 ,∵ 3 4

1 1 1 1 1 k ? ? ? ? k ? 2 k ?1 ? k ? Tn ? ? 1 k 2 k ?1 ? 1 2 k ?1 ? 2 2 2 2 ,故当 n ? 2 时, 2 ,

因此,对任何常数 A,设 m 是不小于 A 的最小正整数, 则当 n ? 2
2m?2

时,必有

Tn ?

2m ? 2 ?1 ? m ? A 2
?A

.

故不存在常数 A 使 T

n

对所有 n ? 2 的正整数恒成立.
? x ? 0, ? ? y ? 0, ? y ? ? nx ? 3n ?

例 24.(2008 年中学教学参考)设不等式组 设 D 内整数坐标点的个数为 an .设
n

表示的平面区域为 D ,
n

Sn ?

1 a n?1

?

1 an? 2

???

1 a2n

, 当 n ? 2 时,求

证:

1 1 1 1 7n ? 11 ? ? ??? ? a1 a2 a3 a 2n 36
an ? 3n

.
1 1 1 1 7n ? 11 ? ? ??? ? a1 a2 a3 a 2n 36

解析:容易得到
S2 n ? 1 ?

,所以,要证

只要证

S2 n ? 1 ?

1 1 1 7n ? 11 ? ??? n ? 2 3 2 12

,因为

1 3 7 7n ? 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ? ? ( n ?1 ? ? ? ? n ? 1 ? ? T21 ? T2 2 ? ? ? T2 n ?1 ? ? (n ? 1) ? 2 2 12 12 2 3 4 5 6 7 8 2 ? 1 2n ?1 ? 2 2

,所以原命题

得证

五、迭代放缩

例 25. 已知

xn?1 ?

xn ? 4 , x1 ? 1 xn ? 1

,求证:当

n?2

时,

?| x
i ?1

n

i

? 2 | ? 2 ? 21? n

解析:通过迭代的方法得到 例 26. 设 解析:
Sn ? sin 1! sin 2! sin n! ? 2 ??? n 21 2 2

xn ? 2 ?

1 2 n ?1

,然后相加就可以得到结论

1 ,求证:对任意的正整数 k,若 k≥n 恒有:|Sn+k-Sn|<n

| S n ? k ? S n |?|

sin( n ? 1)! sin( n ? 2)! sin( n ? k ) ? ??? | 2 n ?1 2 n?2 2 n?k

?|

sin( n ? 1)! sin( n ? 2)! sin n(? k ) 1 1 1 |?| | ??? | |? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? n ? k 2 n ?1 2 n?2 2 n?k 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? k ) ? n ? (1 ? k ) ? n 2n 2 22 2 2 2 2
n 0 1 n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?n

?

又2

所以

| S n ? k ? S n |?

1 1 ? 2n n

六、借助数列递推关系 例 27.求证: 2 解析: 设
an ?

1

?

1? 3 1? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? 2n ? 2 ? 1 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

则 ,从而

a n ?1 ?

2n ? 1 a n ? 2(n ? 1)a n?1 ? 2nan ? a n 2(n ? 1)

an ? 2(n ? 1)an?1 ? 2nan ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2(n ? 1)a n?1 ? 2a1 ? 2(n ? 1) ? 1 2n ? 3 ? 1 ? (2n ? 2) ? 1 2n ? 2 ?1

所以

1 1? 3 1? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? ??? ? 2n ? 2 ? 1 2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

例 28. 求证: 2 解析: 设
an ?

1

?

1? 3 1? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? 2n ? 1 ? 1 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
a n ?1 ?

则 ,从而

2n ? 1 a n ? [2(n ? 1) ? 1]a n?1 ? (2n ? 1)a n ? a n ?1 2(n ? 1)

an ?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an?1 ? (2n ? 1)an ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (2n ? 1)a n?1 ? 3a1 ? (2n ? 1) ? 1 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 1 ? 1 2

例 29. 若 a 解析:

1

? 1, an?1 ? an ? n ? 1 ,求证: a1 ? a2

1

1

???

1 ? 2( n ? 1 ? 1) an

an? 2 ? an?1 ? n ? 2 ? an ? an?1 ? 1 ?

1 ? an?2 ? an an?1

所以就有

1 1 1 1 ? ??? ? ? an?1 ? a n ? a2 ? a1 ? 2 a n?1an ? a2 ? 2 n ? 1 ? 2 a1 a2 a n a1

七、分类讨论 例 30.已知数列 {a } 的前 n 项和 S 满足 S
n n
n

? 2an ? (?1)n , n ? 1.

证明:对任意的整数 m ? 4 ,有

1 1 1 7 ? ??? ? a 4 a5 am 8

解析:容易得到

an ?

2 n?2 2 ? (?1) n ?1 . 3
n

?

?

,

由于通项中含有 (?1) ,很难直接放缩,考虑分项讨论: 当 n ? 3 且 n 为奇数时
?
1 1 3 1 1 3 2 n?2 ? 2 n?1 ? ? ( n?2 ? n?1 ) ? ? 2n?3 an an?1 2 2 ? 1 2 ? 1 2 2 ? 2 n?1 ? 2 n?2 ? 1

3 2 n ?2 ? 2 n ?1 3 1 1 ? ? ? ( n ?2 ? n ?1 ) 2 2 2 2 2 n ?3 2

(减项放缩) ,于是

① 当m ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ??? ( ? ) ? ??? ? a4 a5 a 6 a m?1 a m am 4 且 m 为偶数时 a4 a5
? 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 7 ? ( ? ? ? ? m ? 2 ) ? ? ? ? (1 ? m ? 4 ) ? ? ? . 2 2 23 2 4 2 2 4 2 8 8 2 2
1
4

② 当 m ? 4 且 m 为奇数时 a ① ② 得证。

?

1 1 ??? ? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 a5 a m a 4 a5 a m a m?1

(添项放缩) 由① 知

1 1 1 1 7 ? ??? ? ? . a 4 a5 a m a m?1 8



八、线性规划型放缩 例 31. 设函数 解析:由
f ( x) ? 2x ?1 x2 ? 2

.若对一切 x ? R , ?3 ? af ( x) ? b ? 3 ,求 a ? b 的最大值。 知
1 ( f ( x) ? )( f (1) ? 1) ? 0 2

1 ?( x ? 2)2 ( x ? 1) 2 ( f ( x) ? )( f (1) ? 1) ? 2 2( x 2 ? 2)2



?

1 ? f ( x )? 1 2

由此再由 f ( x) 的单调性可以知道 f ( x) 的最小值为 2 ,最大值为1 因此对一切 x ? R , ?3 ? af ( x) ? b ? 3 的充要条件是,
?a ? b ? ?3 ?a ? b ? 3 ? ? 1 ?? a ? b ? ?3 ? 2 ? 1 ?? a ? b ? 3 ? 2

?

1

1 ? ??3 ? ? a ? b ? 3 2 ? ? ??3 ? a ? b ? 3

即 a , b 满足约束条





由线性规划得, a ? b 的最大值为 5.

九、均值不等式放缩 例 32.设 S
n

? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1).

求证

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? Sn ? . 2 2

解析: 此数列的通项为 a
? k ? k (k ? 1) ?

k

? k (k ? 1) , k ? 1,2,?, n.
n n 1 ? ? k ? S n ? ? (k ? ) 2 k ?1 k ?1

k ? k ?1 1 ?k? 2 2




ab ? a?b 2

即 注:① 应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式 放成 k(k ? 1) ? k ? 1则得 ,就放过“度”了! ② 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
a ? ? ? an n ? n a1 ? a n ? 1 ? 1 1 n ??? a1 an
2 a12 ? ? ? a n n

n(n ? 1) n(n ? 1) n (n ? 1) 2 ? Sn ? ? ? . 2 2 2 2

,若

(n ? 1)(n ? 3) (n ? 1) 2 S n ? ? (k ? 1) ? ? 2 2 k ?1
n

其中, n ? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。

例 33. 已知函数
f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ?
f ( x) ?

f ( x) ?

1 1 ? a ? 2 bx

,若 f (1) ? 5 ,且 f ( x) 在 [0 , 1] 上的最小值为 2 ,求证:

4

1

1 1 ? . 2 n ?1 2

解析:

4x 1 1 1 ?1? ?1? ( x ? 0) ? f (1) ? ? ? f (n) ? (1 ? ) 2? 2 1? 4x 1? 4x 2 ? 2x

? (1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ) ? ? ? (1 ? ) ? n ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) ? n ? n ?1 ? . 4 2 2 2 ? 22 2 ? 2n 2 2

例 34.已知 a , b 为正数,且 a 解析: 由
n 0 n

1

?

1 ?1 b

,试证:对每一个 n ? N , (a ? b)
?

n

? a n ? b n ? 2 2n ? 2 n?1 .

1 1 ? ?1 a b
n 1 n

得 ab ? a ? b ,又
n?1 r n n ?r r

1 1 a b (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 4 a b b a ,故 ab
n n n

? a ? b ? 4 ,而
n?1
i n n?i ? Cn ,倒序相

(a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? C a
n n n

b ? ?? C b
1 n n?1


r n ?r r n?1

令 f (n) ? (a ? b) ? a ? b ,则 f (n) = C a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn ab ,因为 C 1 n?1 n?1 r n ?r r r n ?r n?1 n?1 n?1 加得 2 f (n) = Cn (a b ? ab ) ? ?? Cn (a b ? a b ) ? ?? Cn (ab ? a b) ,
n

而a

n ?1

b ? abn?1 ? ? ? a n?r b r ? a r b n?r ? ? ? abn?1 ? a n?1b ? 2 a n b n ? 2 ? 4 2 ? 2 n?1 ,
1 r n?1 (Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn )(a r b n?r ? a n?r b r ) ? (2n ? 2)(a r b n?r ? a n?r b r )

则 2 f ( n) =
f (n) ? (2 n ? 2) ? 2 n

? (2 n ? 2) ? 2 n ?1

, 所 以

,即对每一个 n ? N ? , (a ? b)

n

? a n ? b n ? 2 2n ? 2 n?1 .



1 2 3 n 35.求证 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n ? 2

n?1 2

(n ? 1, n ? N )
n ?1 2

解析:

1 2 3 n 不等式左 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 n ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ? n ? n 1? 2 ? 22 ??? 2n?1 = n ? 2



原结论成立. 例 36.已知 f ( x) ? e
x

? e ? x ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? f (n) ? (e n?1 ? 1) 2

n

解析:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (e x1 ?

1 1 e x1 e x2 1 ) ? (e x2 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? x1 x2 ? e x1 ? x2 ? 1 e x1 e e e e ?e
n n ?1

经过倒序相乘,就可以得到 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? f (n) ? (e

? 1) 2

例 37.已知 解析:

f ( x) ? x ?

1 x

,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n) ? 2 (n ? 1)
n

n

1 1 k 2n ? 1 ? k 1 (k ? )(2n ? 1 ? k ? ) ? k (2n ? 1 ? k ) ? ? ? ? 2(2n ? 1 ? k ) ? 2 k 2n ? 1 ? k 2n ? 1 ? k k k (2n ? 1 ? k )

其中: k ? 1,2,3,?,2n ,因为 k ? 2n ? k (1 ? k ) ? 2n ? (k ? 1)(2n ? k ) ? 0 ? k (2n ? 1 ? k ) ? 2n 所以
1 1 (k ? )( 2n ? 1 ? k ? ) ? 2n ? 2 k 2n ? 1 ? k
2

从而 [ f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n)]

? (2n ? 2)2n ,所以 f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n) ? 2n (n ? 1)n .



38.若 k ? 7 ,求证:

Sn ?

1 1 1 1 3 ? ? ??? ? n n ?1 n ? 2 nk ? 1 2 .

1 1 1 1 1 1 1 1 2Sn ? ( ? )?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) n nk ? 1 n ? 1 nk ? 2 n ? 2 nk ? 3 nk ? 1 n 解析:

因为当 x ? 0, y ? 0 时 , 且仅当 x ? y 时取到等号. 所以 所以
2Sn ?

x ? y ? 2 xy ,

1 1 2 ? ? x y xy

1 1 1 1 4 ( x ? y)( ? ) ? 4 ? ? x y x y x ? y , 所以 , 所以

,当

4 4 4 4 4n(k ? 1) ? ? ??? ? n ? nk ? 1 n ? 1 ? nk ? 2 n ? 2 ? nk ? 3 n ? nk ? 1 n ? nk ? 1

Sn ?

2(k ? 1) 2(k ? 1) 4 3 ? ? 2? ? 1 k ? 1 k ? 1 2 1? k ? n

所以 S

n

?

1 1 1 1 3 ? ? ??? ? n n ?1 n ? 2 nk ? 1 2

例 39.已知 解析:

f ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ,求证: f (0) ? f (1) ? 16 .
a2 16

a2

f (0) ? f (1) ? a 2[ x1 (1 ? x1 )][x2 (1 ? x2 )] ?

.

例 40.已知函数 f(x)=x2-(-1)k· 2lnx(k∈ N*).k 是奇数, n∈ N*时, 求证: [f’(x)]n-2n-1·f’(xn)≥2n(2n-2). 解析: 由已知得
f ?( x) ? 2 x ? 2 ( x ? 0) x



(1)当 n=1 时,左式= (2) n ? 2 ,

2 2 (2 x ? ) ? (2 x ? ) ? 0 x x 右式=0.∴ 不等式成立.

2 2 [ f ?( x)] n ? 2 n ?1 ? f ?( x n ) ? (2 x ? ) n ? 2 n ?1 ? (2 x n ? n ) x x 左式=

1 n?2 2 n?4 n?2 ? 2 n (C n x ? Cn x ? ? ? Cn

1 1 n ?1 ? Cn ). x n?4 x n?2



1 n?2 2 n?4 S ? Cn x ? Cn x ?

n?2 ? Cn

1 n ?1 1 ? Cn x n?4 x n?2

由倒序相加法得:
1 2S ? C n ( x n?2 ?

1 1 1 2 n ?1 ) ? Cn ( x n?4 ? n?4 ) ? ? ? C n ( n?2 ? x n?2 ) x n?2 x x

1 2 n?1 ? 2(Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? 2(2n ? 2) ,

所以 S ? (2

n

? 2).
n

所以 [ f ?( x)]

? 2 n?1 ? f ?( x n ) ? 2 n (2 n ? 2)成立. 综上,当

k 是奇数, n ? N 时,命题成立

?

例 41. (2007 年东北三校)已知函数 f (x) ? a

x

? x(a ? 1)

(1)求函数 f ( x) 的最小值,并求最小值小于 0 时的 a 取值范围; (2)令 S (n) ? C
1 n
n ' 2 ' n?1 ' f ' (1) ? Cn f (2) ? ? ? Cn f (n ? 1) 求证: S (n) ? (2 ? 2) ? f ( 2 )

n

(1)由f ' ( x) ? a x ln a ? 1, f ' ( x) ? 0,即:a x ln a ? 1,? a x ? 同理:f ' ( x) ? 0, 有x ? ? loga ln a,

1 , 又a ? 1? x ? ? loga ln a ln a

所以f ' ( x)在(??,? loga ln a)上递减,在(? loga ln a,??)上递增; 所以f ( x) min ? f (? loga ln a) ? 若f ( x) min ? 0, 即 1 ? ln ln a ln a

1 ? ln ln a 1 ? 0, 则 ln ln a ? ?1,? ln a ? ln a e
1

? a的取值范围是 1 ? a ? ee
1 2 n ?1 ( 2) S ( n ) ? C n (a ln a ? 1) ? C n (a 2 ln a ? 1) ? ? ? C n (a n ?1 ln a ? 1) 1 2 2 n ?1 n ?1 1 2 n ?1 ? (C n a ? Cn a ? ? ? Cn a ) ln a ? (C n ? Cn ? ? ? Cn )

1 1 2 n ?1 ? [C n (a ? a n ?1 ) ? C n (a 2 ? a n ?2 ) ? ? ? C n (a n ?1 ? a )]ln a ? (2 n ? 2) 2
n

? a 2 (2 n ? 2) ln a ? (2 n ? 2) n ? (2 n ? 2)(a 2 ln a ? 1) ? (2 n ? 2) f ' ( ), 2 所以不等式成立。
n

★例 42. (2008 年江西高考试题)已知函数 证明:1 ? f ? x? ? 2 .
f ( x) ?

f ? x? ?

1 1 ax ? ? ax ? 8 x ? ? 0, ? ?? 1? x 1? a

,

.对任意正数 a ,

解析:对任意给定的 a ? 0 , x ? 0 ,由

1 1 ? ? 1? x 1? a

1 1? 8 ax

,

若令

b?

8 ax ,则 abx ? 8 ① ,而
1 1 ? 1? x 1? x

f ? x? ?

1 1 1 ? ? 1? x 1? a 1? b



(一) 、先证 f ? x ? ? 1;因为 又由 所以
?



1 1 ? 1? a 1? a



1 1 ? 1? b 1? b


a ?b? x ? 6.

2 ? a ? b ? x ? 2 2a ? 2 bx ? 4 4 2abx ? 8
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1? x 1? a 1? b 1? x 1? a 1? b

,得
?

f ? x? ?

3 ? 2(a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b)

9 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) 1 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) ? abx ? ?1 (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b) (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b) .

(二) 、再证 f ? x? ? 2 ;由① 、② 式中关于 x, a, b 的对称性,不妨设 x ? a ? b .则 0 ? b ? 2 (ⅰ ) 、当 a ? b ? 7 ,则 a ? 5 ,所以 x ? a ? 5 ,因为
1 1 2 ? ? ?1 1? x 1? a 1? 5

1 ?1 1? b



,此时

f ? x? ?

1 1 1 ? ? ?2 1? x 1? a 1? b
8



(ⅱ ) 、当 a ? b ? 7 ③ ,由① 得 , x ? ab , 因为 同理得 今证明 只要证 显然. 因此⑦ 得证.故由⑥ 得
f ( x) ? 2

1 ab ? ab ? 8 1? x

, ④ ⑥

1 b b b 2 ?1 ? ? ? [1 ? ] 2 1? b 1? b 4 ( 1 ?b ) 2? (b 1 )

2

所以

1 b ? 1? 2(1 ? b) 1? b

1 a ? 1? 2(1 ? a) 1? a

⑤ ,于是

1? a b ab ? f ? x? ? 2 ? ? ? ?2 ? 2? ab ? 8 ? ? 1? a 1? b ?

a b ab ? ?2 1? a 1? b ab ? 8

⑦ , 因为

a b ab ? ?2 1? a 1? b (1 ? a)(1 ? b)



ab ab ? ab ? 8 ? (1 ? a)(1 ? b) ,也即 a ? b ? 7 ,据③ (1 ? a ) (? 1b ) a b? ,即 8 ,此为



综上所述,对任何正数 a, x ,皆有1 ? f ? x? ? 2 .

例 43.求证:

1?

1 1 1 ? ??? ?2 n ?1 n ? 2 3n ? 1
1 ? 1 1 1 ?1 1? 1 2 ??? ? ?? ? ? ? ? ?1 n?2 3n ? 1 2 ? 3 4 ? 2 4

解析:一方面: n ? 1
1

(法二) n ? 1

?

1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1? 1 ?? ? 1 ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ?? n?2 3n ? 1 2 ? ? 3n ? 1 n ? 1 ?? ?? n ? 1 3n ? 1 ? ? n ? 2 3n ?

?

? 1 ? 4n ? 2 4n ? 2 4n ? 2 ? ?? ? ??? ? 2 ? ( 3 n ? 1 )( n ? 1 ) 3 n ( n ? 2 ) ( n ? 1 )( 3 n ? 1 ) ? ?

? ? (2n ? 1) 2 1 1 1 ? ?2n ? 1? ? ? ? (2n ? 1) 2 ? n 2 ? (2n ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? n 2 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? 1 ? ?

另一方面: n ? 1

1

?

1 1 2n ? 1 2n ? 2 ??? ? ? ?2 n?2 3n ? 1 n ? 1 n ?1

十、二项放缩
0 1 n n 0 1 2 n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn , 2 ? Cn ? Cn ? n ? 1 ,

0 1 2 2 n ? Cn ? Cn ? Cn ?

n2 ? n ? 2 2

2 n ? n(n ? 1)(n ? 2)
n

例 44. 已知 解析:

a1 ? 1, an ?1 ? (1 ?

1 1 )an ? n . n2 ? n 2

证明 a

? e2

a n ?1 ? (1 ?

1 1 1 )a n ? ? a n ?1 ? 1 ? (1 ? )(a n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)
1 1 )? . n(n ? 1) n(n ? 1)
? ?[ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ?
i ?2 i ?2 n ?1 n ?1

ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ?

1 1 ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 i(i ? 1) n



即 ln(a

n

?1) ? 1 ? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 .

例 45.设 a

n

1 ? (1 ? ) n n

,求证:数列 {a } 单调递增且 an ? 4.
n

解析: 引入一个结论:若 b ? a ? 0 则 b ? a ? (n ? 1)b n?1 n 整理上式得 a ? b [(n ? 1)a ? nb].( ? ) 以 以
a ? 1? 1 1 ,b ? 1? n ?1 n

n?1

n?1

n

(b ? a) (证略)

代入( ? )式得

(1 ?

1 n ?1 1 ) ? (1 ? ) n . n ?1 n

即 {an } 单调递增。
a ? 1, b ? 1 ? 1 2n

1 ? (1 ? ) 2n 代入( ? )式得

1

n

?

1 1 ? (1 ? ) 2 n ? 4. 2 2n
1 (1 ? ) n ? 4 n

此式对一切正整数 n 都成立,即对一切偶数有
(1 ? ) 单调递增,所以对一切正整数 n 有 n 1
n

,又因为数列 {an }

?4



1 2 ? (1 ? ) n ? 3. n 注:① 上述不等式可加强为 简证如下:

1 1 1 1 2 n 1 a n ? (1 ? ) n ? 1 ? C n ? ? Cn ? 2 ? ? ? Cn . n n n nn 利用二项展开式进行部分放缩:

只取前两项有
k Cn

1 an ? 1 ? Cn ?

1 ? 2. n

对通项作如下放缩:

1 1 n n ?1 n ? k ?1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? . n k! 1 ? 2? 2 2 k ?1 n k k! n n 1 1 1 1 1 ? (1 / 2) n ?1 a n ? 1 ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 2 ? ? ? 3. 2 2 2 1 ? 1/ 2 2 故有

② 上述数列 {an } 的极限存在,为无理数 e ;同时是下述试题的背景: 已知 i, m, n 是正整数,且 1 ? i ? m ? n. (1)证明 n A ? m A ; (2)证明 (1 ? m) 年全国卷理科第 20 题)
i i m i i n

n

? (1 ? n) m . (01

简析 对第(2)问:用 1 / n 代替 n 得数列 {b } : b
n

1 n

? (1 ? n) n

是递减数列;借鉴此
1 m 1

结 论 可 有 如 下 简 捷 证 法 : 数 列 {(1 ? n) } 递 减 , 且 1 ? i ? m ? n, 故 (1 ? m) (1 ? m) ? (1 ? n) 。
n m

1 n

? (1 ? n) n ,



当然, 本题每小题的证明方法都有 10 多种,如使用上述例 5 所提供的假分数性质、 贝努力不等式、 甚至构造“分房问题”概率模型、 构造函数等都可以给出非常漂亮 的解决!详见文[1]。

例 46.已知 a+b=1,a>0,b>0,求证: a 解析: 因为 从而

n

? b n ? 21? n.

1 1 1 a, , b a ? ? d, b ? ? d 2 a+b=1,a>0,b>0,可认为 2 成等差数列,设 2 ,
n n

?1 ? ?1 ? a n ? b n ? ? ? d ? ? ? ? d ? ? 21? n ?2 ? ?2 ?



47.设 n ? 1, n ? N ,求证 3 解析: 观察

2 ( )n ?

8 (n ? 1)(n ? 2) .

2 3 1 ( )n ( ) n ? (1 ? ) n 3 的结构,注意到 2 2 ,展开得

1 1 1 n n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) ? 6 1 1 2 3 1 (n ? 1)( n ? 2) (1 ? ) n ? 1 ? C n ? ? Cn ? 2 ? Cn ? 3 ?? ? 1? ? ? (1 ? ) n ? 2 2 2 8 8 2 2 8 ,即 2 ,得证.



ln 3 ? ln 2 1 ln 2 ? ln(1 ? ) ? n 2 n n . 48.求证:

解析:参见上面的方法

例 42.(2008 年北京海淀 5 月练习) 已知函数 y ? f ( x), x ? N , y ? N ,满足:
* *

① 对任意 a, b ? N , a ? b ,都有 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ;
*

② 对任意 n ? N 都有 f [ f (n)] ? 3n .
*

(I)试证明: f ( x) 为 N 上的单调增函数; (II)求 f (1) ? f (6) ? f (28) ;
n 1 1 ≤ ? ? n * 4 n ? 2 a a2 a ? f (3 ), n ? N 1 (III)令 n ,试证明:. ? 1 1 ? an 4

*

解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ,所以可以得到 (a ? b) f (a) ? (a ? b) f (b) ? 0 ,

也就是 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 , 不妨设 a ? b , 所以 , 可以得到 f (a) ? 上的单调增函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!

f (b) , 也就是说 f ( x) 为 N*

首先我们发现条件不是很足 ,,尝试探索看看按 (1)中的不等式可以不可以得到 什么结论,一发现就有思路了! 由(1)可知 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,令 b ? 1, a ?
f (1) ,则可以得到 ( f ( x) ? 1)( f ( f (1)) ? f (1)) ? 0 ,又 f ( f (1)) ? 3 ,

所以由不等式可以得到1 ? f (1) ? 3 ,又 f (1) ? N * ,所以可以得到 f (1) ? 2 接下来要运用迭代的思想: 因为 f (1) ? 2 ,所以 f (2) ? f [ f (1)] ? 3 , f (3) ? f [ f (2)] ? 6 , f (6) ?
f [ f (3)] ? 9





f (9) ? f [ f (6)] ? 18 , f (18) ? f [ f (9)] ? 27 , f (27) ? f [ f (18)] ? 54 , f (54) ? f [ f (27)] ? 81

在此比较有技巧的方法就是: 81 ? 54 ? 27 ? 54 ? 27 ,所以可以判断 f (28) ? 55



当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项 数尽可能地列出来,然后就可以得到结论. 所以,综合①②③有 f (1) ? f (6) ? f (28) = 55 ? 9 ? 2 ? 66 (3)在解决 {a } 的通项公式时也会遇到困难.
n

f [ f (3n )] ? 3n?1, f (3n?1) ? f { f [ f (3n )]} ? 3 f (3n ), ? an?1 ? 3an , 所以数列 an ? f (3n ), n ? N* 的方程为 an ? 2 ? 3n ,

从而

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? (1 ? n ) (1 ? n ) ? n n 0 0 1 1 a1 a2 an 4 3 , 一方面 4 3 4 , 另一方面 3 ? (1 ? 2) ? Cn ? 2 ? Cn ? 2 ? 2n ? 1 所
? 1 1 ? an 4 .

n 1 1 1 1 1 1 1 2n n ≤ ? ? (1 ? n ) ? (1 ? )? ? ? 以 4 3 4 2n ? 1 4 2n ? 1 4n ? 2 ,所以,综上有 4n ? 2 a1 a2

例 49. 已知函数 f?x?的定义域为[0,1],且满足下列条件:① 对于任意 x ?[0,1], 总有 f ? x ? ? 3 ,且 f ?1? ? 4 ;② 若 x ? 0, x ? 0, x ? x ? 1, 则有 f ? x ? x ? ? f ? x ? ? f (x ) ? 3.
1 2 1 2

1

2

1

2

(Ⅰ )求 f?0?的值; (Ⅱ )求证:f?x?≤4; (Ⅲ )当
x ?( 1 1 , ](n ? 1,2,3, ???) 3n 3n?1

时,试证明: f ( x) ? 3x ? 3 .

解析:(Ⅰ )解:令 x1 ? x2 ? 0 ,由① 对于任意 x ?[0,1],总有 f ? x ? ? 3 , ∴ f (0) ? 3

又由② 得 f (0) ? 2 f (0) ? 3, 即 f (0) ? 3; (Ⅱ )解:任取 x1 , x2 ?[0,1], 且设 x1 ? x2 , 因为 x
2

∴ f (0) ? 3.
2 1 2

则 f (x ) ? f [x ? (x
1

? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 3,

? x1 ? 0

,所以 f ( x ? x ) ? 3 ,即 f ( x
2

2

? x1 ) ? 3 ? 0,

∴ f ( x1 ) ?

f ( x2 ) .

∴ 当 x ?[0,1]时, f ( x) ? f (1) ? 4 . (Ⅲ )证明:先用数学归纳法证明: (1) 当 n=1 时,
f(

f(

1 1 ) ? n?1 ? 3(n ? N*) n ?1 3 3

1 1 ) ? f (1) ? 4 ? 1 ? 3 ? 0 ? 3 30 3
1
k ?1

,不等式成立;

(2) 假设当 n=k 时, f (3 由
f(

)?

1 ? 3(k ? N*) 3k ?1

1 1 1 1 1 1 1 ) ? f [ k ? ( k ? k )] ? f ( k ) ? f ( k ? k ) ? 3 3k ?1 3 3 3 3 3 3
1 1 )?6? 1 ? 9. 3k ?1

? f(

1 1 1 )? f ( k )? f ( k )?6 3k 3 3

得 3 f (3 ) ? f (3
k

k ?1

即当 n=k+1 时,不等式成立 由(1) 、 (2)可知,不等式 于是,当
x ?( 1 1 , ](n ? 1,2,3, ???) 3n 3n?1
f( 1 1 )? ?3 3n?1 3n?1

对一切正整数都成立. , 所以,
f ( x) ? f ( 1 ) ? 3x ? 3. 3n?1

时,

3x ? 3 ? 3 ?

1 1 1 ? 3 ? n?1 ? 3 ? f ( n?1 ) 3n 3 3

而 x ?[0,1], f ? x ? 单调递增



f(

1 1 ) ? f ( n?1 ) 3n 3

例 50.

已知: a1 ? a2 ?

? an ? 1, ai ? 0
2 1

(i ? 1,2? n)

求证:

2 a12 a2 ? ? a1 ? a2 a2 ? a3

?

2 2 an an 1 ?1 ? ? an?1 ? an an ? a 1 2

解析:构造对偶式:令

2 2 2 an an a a2 ?1 A? ? ??? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1

B?

2 2 2 a3 an a2 a12 ? ??? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1


ai2 ? a 2 j

A? B ?

2 2 2 a 2 ? a3 a 2 ? an a 2 ? a12 a12 ? a2 ? 2 ? ? ? n?1 ? n a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1



(a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? ? ? (an?1 ? an ) ? (an ? a1 ) ? 0,? A ? B

又? a
?A?
2 1 2 2

i

? aj
2 2

?

1 (ai ? a j ) 2
2 3 2 n ?1

( i, j ? 1,2?n)

2 a ?a a ? an a 2 ? a12 1 1 1 a ?a 1 ( A ? B) ? ( )? ??? ? n ? ?(a ? a 2 ) ? (a 2 ? a3 ) ? ? ? (a n ?1 ? a n ) ? (a n ? a1 )? ? 2 2 a1 ? a2 a 2 ? a3 an?1 ? an an ? a1 4 1 2

十一、积分放缩 利用定积分的保号性比大小 保号性是指,定义在 ?a, b? 上的可积函数 f ? x? ? ??? 0 ,则 ?
b a

f ? x ? dx ? ? ? ? 0

.

例 51.求证: ? 解析:
x ? ? e,? ?

e

? e?

.
?
? ln ? ln e ? ln x ? ? ln x ? ? 1 ? ln x ln e ? ?? dx ? ?? ? ? ?e d ? ? e x x ? ?e x 2 ? ? e ,∵ e , ?

? e ? e? ?

ln ?

?

时,

1 ? ln x ?0 x2

,?

?

e

1 ? ln x dx ? 0 x2

ln ?



∴?

?

ln e e ? e ,? ? e

.

利用定积分估计和式的上下界 定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小 矩形的面积和. 例 52. 求证:
1? 1 1 ? ? 2 3 ? 1 ?2 n
1 x

?

n ? 1 ?1

?

, ? n ? 1, n ? N ? .
, n?

解析: 考虑函数 如图,显然
n

f ? x? ?

在区间 ?i, i ?1? ?i ? 1, 2,3,

上的定积分.

i ?1 1 1 1 ? ?1 ? ? dx i i i x -①

对 i 求和,

?
i ?1

n n ?1 1 i ?1 1 1 dx ? ?? dx ? ? 1 i x i i ?1 x

? ?? ?2 x ?1 ? 2

n ?1

?

n ? 1 ?1

?.
? 1 7 ? 2n 10 .

例 53. 已知 n ? N , n ? 4 .求证: n ? 1 解析:考虑函数 ∵ ∴
1 n?i

1

?

1 1 ? ? n?2 n?3
? i ?1 i ? , ? n?

f ? x? ?
i

1 1? x

在区间 ?? n

?i ? 1, 2,3,

, n?

上的定积分.

1 1 ? ? n 1? i n
n

? ?in ?1
n

1 dx 1 ? x -②

1 ??n? i i ?1 1? ? n i ?1 n ? i
n

1

1

? ? ?in ?1
i ?1 n

n

i

1 1 dx 1 1 ?ln ?1 ? x ? ? ?0 1 ? x ? ?0 1 ? x dx ? ?

? ln 2 ?

7 10

.

例 54. (2003 年全国高考江苏卷)设 a ? 0 ,如图,已知直线 l : y ? ax及曲线 C : y ? x ,
2

C 上的点 Q1 的横坐标为 a1 ( 0 ? a1 ? a ).从 C

上的点 Q ?n ? 1? 作直线平行于 x 轴,交直线 l
n

于点 Pn?1 ,再从点 Pn?1 作直线平行于 y 轴,交曲线 C 于点
Qn?1 . Qn ? n ? 1, 2, , n? 的横坐标构成数列 ?an ? .

(Ⅰ )试求 an ?1 与 an 的关系,并求 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ )当

a ? 1, a1 ?

1 2

时,证明
n k ?1

? (a
k ?1

n

k

? ak ?1 )ak ? 2 ?

1 32



(Ⅲ )当 a ? 1 时,证明

? (ak ? ak ?1 )ak ? 2 ?

1 3

.

a n?1 an ? a ( 1 ) 2 a 解析: (过程略).

证明(II) :由 a ? 1 知 an?1 ? an ,∵ 1
2

a ?

1 2

,∴

1 1 a2 ? , a3 ? 4 16

.

∵ 当 k ? 1 时, ∴
k ?1

ak ? 2 ? a3 ?

1 16

, .

? (ak ? ak ?1 )ak ? 2 ?

n

1 n 1 1 ? (ak ? ak ?1 ) ? (a1 ? an ?1 ) ? 16 k ?1 16 32
2 ? ak

证明(Ⅲ ) :由 a ? 1 知 a ∴(a
k

k ?1

.

2 ? ak ?1 )ak ?2 ? (ak ? ak ?1 )ak ?1 恰表示阴影部分面积,

显然 ∴?
k ?1 n

2 (ak ? ak ?1 )ak ?1 ? ?

ak

ak ?1

x2 dx


n ak k ?1
k ?1

2 (ak ? ak ?1 )ak ? 2 ? ? (ak ? ak ?1 )ak x 2 dx ? ?1 ? ? ? a k ?1

n

?

a1

0

1 3 1 x 2 dx ? 3 a1 ? 3

.

奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如: ①
i ?1 1 1 ?? ? dx i i x ? 2? i ?1 ? i ?



i 1 ? i? ? i ?1 ? 1 ? ?in dx ? ln ?1 ? ? ? ln ?1 ? ?1 ? 1 ? x n n ?; ? ? ? ②n ? i n

sin ?i ? sin ?i ?1

③ ④

1 ? sin ?i ?1
2

?

?

sin?i

1 1 ? x2

sin?i?1

dx ? ?i ? ?i ?1



2 (ak ? ak ?1 )ak ?1 ? ?

ak

ak ?1

x 2 dx ?

1 3 ? ak ? ak3?1 ? 3

.

十二、部分放缩(尾式放缩) 例 55.求证: 解析:
1 1 1 4 ? ??? ? 3 ?1 3? 2 ?1 3 ? 2 n ?1 ? 1 7
1 11 1 4 47 48 4 ? ? ? ? ? 1 84 84 7 28 3 1? 2

1 1 1 1 1 1 11 1 1 ? ??? ? ? ??? ? ? ??? 3 ?1 3? 2 ?1 3 ? 2 n ?1 ? 1 4 7 3 ? 2 n ?1 ? 1 28 3 ? 2 2 3 ? 2 n ?1

?

例 56. 设

an ? 1 ?

1 1 1 ? a ? ? ? a , a ? 2. a 3 n 2

求证: a

n

? 2.

解析: 又k
?

an ? 1 ?
2

1 1 1 1 1 1 ??? a ? 1? 2 ? 2 ??? 2 . ? n 2 3 n 2 a 3a

? k ? k ? k (k ? 1), k ? 2

( 只 将 其 中 一 个 k 变 成 k ?1 , 进 行 部 分 放 缩 ) ,

1 1 1 1 ? ? ? k 2 k (k ? 1) k ? 1 k
an ? 1 ?



于是

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2 ? ? 2. n 2 2 3 n ?1 n 2 2 32 n
2
1

例 57.设数列 ?a ?满足 an?1 ? an ? nan ? 1?n ? N? ? ,当 a
n

? 3 时证明对所有 n

? 1,

有 (i)an ? n ? 2 ;

(ii)

1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an 2

解析: (i) 用数学归纳法:当 n ? 1 时显然成立,假设当 n ? k 时成立即 ak ? k ? 2 ,则当 n ? k ? 1时 a ? a (a ? k ) ? 1 ? a (k ? 2 ? k ) ? 1 ? (k ? 2) ? 2 ? 1 ? k ? 3 ,成立。 (ii ) 利 用 上 述 部 分 放 缩 的 结 论 ak ?1 ? 2ak ? 1 来 放 缩 通 项 , 可 得
k ?1 k k k

ak ?1 ? 1 ? 2(ak ? 1) ?

a k ? 1 ? ? ? 2 k ?1 (a1 ? 1) ? 2 k ?1 ? 4 ? 2 k ?1 ?
1 1? ( ) n 2 ? 1. 1 2 1? 2

1 1 ? . a k ? 1 2 k ?1

?
i ?1

n

n 1 1 1 ? ? i ?1 ? ? 1 ? a i i ?1 2 4

注:上述证明 (i) 用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩: a ? (k ? 2)(k ? 2 ? k ) ? 1 ? k ? 3 ;证明 (ii ) 就直接使用了部分放缩的结论 a ? 2a ? 1
k ?1 k ?1 k

y

十三、三角不等式的放缩
A

P

例 58.求证: | sin x |?| x | ( x ? R) .
O T B x

解析:(i)当 x ? 0 时, | sin x |?| x | (ii)当
0?x?

?
2

时,构造单位圆,如图所示:

因为三角形 AOB 的面积小于扇形 OAB 的面积 所以可以得到 sin x ? x ?| sin x |?| x | 当
x?

?
2

时 | sin x |?| x |

所以当 x ? 0 时 sin x ? x 有 | sin x |?| x | (iii)当 x ? 0 时,
? x ? 0 ,由(ii)可知: | sin x |?| x |

所以综上有 | sin x |?| x | ( x ? R)

十四、使用加强命题法证明不等式

(i)同侧加强 对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明 f ( x) ? A , 只要证明 f ( x) ? A ? B(B ? 0) ,其中 B 通过寻找分析,归纳完成. 例 59.求证:对一切 n(n ? N *) ,都有 解析:
1 1 ? ? k k k3 1 k (k ? 1)
2

?k
k ?1

n

1 k

?3

.

?

? ? 1 1 1 1 ?? ?? ? ? k ?1 ? k ?1 (k ? 1)k (k ? 1) ? ( k ? 1 ) k k ( k ? 1 ) ? ?

? ? 1 1 1 1 ? 1 1 ? k ?1 ? k ?1 ?? ?? ? ? ? ? ?? ? (k ? 1)k ? 2 k (k ? 1) ? k ? 1 ? k ? 1 k ? k ?1 k ?1 ? ?

?

1 ? 1 1 ? 2k 1 1 ? ? ? ? ?? 2 k ? k ?1 k ?1 ? k ?1 k ?1

从而

?k
k ?1

n

1 k

? 1?

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 1? ? ? ?3 2 1 3 2 4 3 5 k ?1 k ?1 k k ?1

当然本题还可以使用其他方法,如:
1 1 ? ? k k k k ?1
n

? 1 1 1 ?? ? k ? k ? k ?1 ? k2 ? k (k ? 1)

? 1 1 k ? k ?1 ? 1 1 ? 1 1 ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2?? ? ? ? ? k ? k ?1 1 k k? ? k ?1 k? ? ? k ?1

所以

?k
k ?1

1 k

? 1? ?
k ?2

n

1 1 ? 1 ? 2(1 ? )?3 k k k .

(ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况 ,这时,不妨”返璞归真”,通过双向 加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为: 欲证明 A ? f ( x) ? B ,只要证明: A ? C ? f ( x) ? B ? C(C ? 0, A ? B) .



60.已知数列 {an} 满足:
? 1 ? 2 2 an ? ? ? an ?1 ? a ? ? ? ak ?1 ? 2 n ?1 ? ?
2 2 2 2
2

a1 ? 1, an ?1 ? an ?

1 an

,求证:

2n ?1 ? an ? 3n ? 2 (n ? 2).

解析:

,从而 a
2

2

n

? an?1 ? 2 ,所以有
2 2 2

2

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 2(n ?1) ?1 ? 2n ?1
? 1 ? 2 2 an ? ? ? a n?1 ? a ? ? ? a k ?1 ? 3 n ?1 ? ?
2

,所以 a

n

? 2n ?1



,所以 a

2

n

? an?1 ? 3 ,所以有

2

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 3(n ?1) ? 1 ? 3n ? 2

2

2

2

2

2

2

2

2

所以 a

n

? 3n ? 2

所以综上有

2n ?1 ? an ? 3n ? 2 (n ? 2).
a1 ? 1, an ?1 ? an ? 1 an

引申:已知数列 {an} 满足: 解析:由上可知
n

,求证:
1 ? an

?a
k ?1

n

1
k

? 2n ? 1

.
2 ? 2 n ? 1 ? 2n ? 3

an ? 2n ?1

,又

2n ? 1 ?

2n ? 1 ? 2n ? 3 2

,所以

1 2n ? 1

?

2n ? 1 ? 2 n ? 3

从而

?a
k ?1

1
k

? 1 ? 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 3 ? 2n ? 1(n ? 2)

n 1 1 ?1 ? 2n ? 1 ? a a k ? 1 n ? 1 又当 时, 1 ,所以综上有 k .

同题引申: (2008 年浙江高考试题)已知数列 ?a ?, a
n

n

? 0 , a1 ? 0 , an?12 ? an?1 ? 1 ? an 2 (n ? N ? ) .

记 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , (1) a
n

Tn ?

1 1 1 ? ??? 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ?(1 ? a n )

.求证:当 n ? N 时.
?

? an?1

;
2 n?1

(2) S
2

n

? n?2

;

★(3) Tn ? 3 .

解析:(1) a

? an ? 1 ? an?1 ,猜想 an ? 1 ,下面用数学归纳法证明:
1

(i)当 n ? 1 时, a

? 1,结论成立;
k

(ii)假设当 n ? k (k ? 1) 时, a 从而 a
2 k ?1

? 1 ,则 n ? k ? 1(k ? 1) 时, ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ? ak

2

2

? ak ?1 ? 2 ? an?1 ? 1 ,所以 0 ? ak ?1 ? 1
n

所以综上有 0 ? a (2)因为 a 后可以得到:
2 2 n?1

? 1 ,故 an?1 ? an ? 0 ? an?1 ? an
2 2 2 2

2

2

? an ? 1 ? an?1 则 a2 2 ? a12 ? 1 ? a2 , a3 ? a2 ? 1? a3 ,…, an?1 ? an ? 1 ? an?1 ,相加
2 2 2

2

an?1 ? a1 ? n ? (a2 ? a3 ? ?? an?1 ) ? Sn?1 ? n ? an?1

,所以

Sn ? n ?1 ? an ? n ? 2 ,所以 S n ? n ? 2

(3)因为 an?1 ? an?1 ? 1? an ? 2an ,从而

2

2

an?1 ? 1 ?

2a n an?1

a 1 ? n?1 1 ? a ,有 n?1 2an ,所以有

a a a a 1 ? n?1 ? n ? 3 ? n?1 (1 ? a3 )?(1 ? an )(1 ? an?1 ) 2an 2an?1 2a2 2 n?1 a2

,从而 ,所以

a a 1 1 ? n?1 ? ? n?1 (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an )(1 ? an?1 ) 2 n?1 a2 1 ? a2 2 n?1 a a 1 1 ? n 21n ? ? nn (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) 2 a2 1 ? a2 2 ?2
Tn ? 1 ?

,所以

a a a 1 1 1 1 1 2 ? 3 ? 4 ? ? ? nn ? 1? ? ? ? ? ? n?2 ? ?1?1 ? 3 1 ? a2 2 2 2 1 ? a2 2 2 2 2 ?2 2 5 ?1

所以综上有 Tn ? 3 .

例 61.(2008

年陕西省高考试题)已知数列 {an} 的首项 a1 ? 5 , ;

3

an ?1 ?

3an 2an ? 1 , n ? 1, 2,



1 1 ?2 ? an ≥ ? ? x? 2 ? n 2, (1)证明:对任意的 x ? 0 , 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? , n ? 1,

(2)证明:

a1 ? a2 ?

? an ?

n2 n ?1

.
an ? 3n 2 ? 1? n n 2?3 3

解析:(1)依题,容易得到 即证
1?

,要证

x?0

,

an ≥

1 1 ?2 ? ? ? ? x? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n ? , n ? 1, 2,

,

2 1 1 ? 2 2 2 1 ? ? ? ? n ? ? ? x ? 1 ? 1? ? 2 3n 1 ? x (1 ? x) 2 ? 3n (1 ? x) 2 ? 1 ? x 3 (1 ? x)

2 2 ? 3n 2 1 2 ? 3n 2 ? n ? n ?1 ? 0 t? ? (t ) ? ? n ? t 2 ? 2t ? n ? 1 ? 0(0 ? t ? 1) 2 1 ? x 3 ( 1 ? x ) 3 1 ? x 3 3 即证 ,设 所以即证明

从而

? (1) ? 0

,即

?

2 ? 3n 2 ? 2 ? n ?1 ? 0 3n 3

,这是显然成立的.
an ≥ 1 1 ?2 ? ? ? ? x? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n 2, ? n ? 1,

所以综上有对任意的 (法二)
? 1 1 ? 1 ? x (1 ? x) 2

x?0

,

,

1 1 ?2 ? 1 1 ?2 ? ? ? ? ? x? ? ? ? 1 ?1 ? x ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n ?
2 ?1 ? 2 1 1? 1 ? ? ? an ? ? an ? ? (1 ? x) ? ? 2 ?? ? a 1 ? x a ( 1 ? x ) ≤ an a 1 ? x ? ? n ? n n ?

,? 原不等式成立.

(2)由(1)知,对任意的 x ? 0 ,有
a1 ? a2 ? ? an ≥ 1 1 ?2 ? 1 1 ?2 ? ? ? ? ? x? ? ? ? x? ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3 ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 32 ?
? n 1 ?2 2 ? ? ? ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3 32 ? 2 ? ? nx ? 3n ?

?

1 1 ?2 ? ? ? ? x? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n ?



?取

1?2 2 x? ? ? 2 ? n?3 3

?

2? 1? 1? n ? 2 ? 3? ? 3 ? ? 1 ?1 ? 1 ? ? ? ? ? 3n ? ? 1 ? n ? 3n ? n ?1 ? ? ? 3?



a1 ? a2 ?

? an ≥



n n2 n2 ? ? 1 n ?1 1? 1? 1 ? ?1 ? n ? n ? 1 ? n 3 n? 3 ?



? 原不等式成立.

十四、经典题目方法探究 探究 1.(2008 年福建省高考)已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x .若 f ( x) 在区间 [0, n](n ? N *) 上 的最小值为 b ,
n

a1 a1 ? a3 a ? a ? a ? ?? a2 n ?1 ? ??? 1 3 5 ? 2an ? 1 ? 1 a ? ln( 1 ? n ) ? b a a ? a a2 ? a4 ? a6 ? ?? a2 n n .求证: 2 2 4 令 n .

证明:首先:可以得到 an ? nn .先证明 ( 方 法 一 )
1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
2

1 2n ? 1

(2n ? 1)(2n ? 1) 1 1 ?1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? 1? 3 3 ? 5 ? ? ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? ? 2 2 ? 4 2 ? ? ? ( 2 n) 2 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

所 以

1 2n ? 1

(方法二)因为

1 1?1 2 3 3 ?1 4 2n ? 1 2n ? 1 ? 1 2n ? ? , ? ? ,?, ? ? 2 2 ?1 3 4 4 ?1 5 2n 2n ? 1 2n ? 1
2

,相乘得: ,从而
1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1 2n ? 1

1 ?1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? ? 2 ? 4 ? 6 ? ?? 2n ? ? 2n ? 1 ? ?

.

(方法三)设 A=

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

,B=
2

2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (2n ? 1)

,因为 A<B,所以 A2<AB,
1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1 2n ? 1

所以

1 ?1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? ? 2 ? 4 ? 6 ? ?? 2n ? ? 2n ? 1 ? ?

, 从而

.

a1 a1 ? a3 a ? a ? a ? ? ? a2 n ?1 ? ??? 1 3 5 ? 2an ? 1 ? 1 a a ? a a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n 下面介绍几种方法证明 2 2 4

(方法一)因为

2n ? 1 ?

2n ? 1 ? 2n ? 1 2

1

,所以

2n ? 1

? 2n ? 1 ? 2n ? 1

,所以有

n 1 1? 3 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? ? 2 k ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n k ?1

(方法二)

n?2 ? n ?

2 n?2 ? n
1 2n ? 1

,因为

1 ? n?2

2 n?2 ? n

,所以

1 ? n?2 ? n n?2

令 n ? 2n ? 1 ,可以得到

? 2n ? 1 ? 2n ? 1

,所以有

n 1 1? 3 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? ? 2 k ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n k ?1

(方法三)设 从而 a
n ?1

an ?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 2n ? 1 , an ?1 ? an 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 2

所以 2(n ? 1)a

n ?1

? an ?1 ? (2n ? 1)an ? an ?1

,

? [2(n ? 1) ? 1]an ?1 ? (2n ? 1)an

,从而 a

n

? (2n ? 1)an ? (2n ? 1)an?1
3 2

a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? (2n ? 1)a n ? (2n ? 1)a n ?1 ? (2n ? 1)a n ?1 ? (2n ? 3)a n ?2 ? ? ? 5a 2 ? 3a1 ? (2n ? 1)a n ?
an ? 1 2n ? 1



,所以

a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? 2n ? 1 ?

3 ? 2n ? 1 ? 1 2
1 2k ? 1 ? 2n ? 1 ? 1

(方法四)运用数学归纳法证明:
1
3 ?1 ? 2 3 ?1 ?

?
k ?1

n

1 3 ?1 2

(i)当 n ? 1 时,左边= 3 ,右边= (ii)
1 3 ? 1 5 ???

显然不等式成立;
k


1 2k ? 1 ?


1 2k ? 3

n ? k (k ? 1)


1 2k ? 3

,

?
i ?1

1 2i ? 1

? 2k ? 1 ? 1

,



n ? k ?1



,

? 2k ? 1 ? 1 ?

,
2k ? 1 ? 1 2k ? 3 ? 2k ? 3 ? 1 2k ? 3 ? 2 k ? 3 ? 2k ? 1 ? 1 2k ? 3 ? 2k ? 1 2

所以要证明 是成立的.

?
i ?1

k ?1

1 2i ? 1

? 2k ? 3 ? 1

, 只要证明

,这

这 就 是 说 当
a1 a1 ? a3 a ? a ? a ? ?? a2 n ?1 ? ??? 1 3 5 ? 2an ? 1 ? 1 a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ?? a2 n

n ? k ?1

时 , 不 等 式 也 成 立 , 所 以 , 综 上 有

探究 2.(2008 年全国二卷)设函数 取值范围. 解析:因为
f ( x) ? sin x 2 ? cos x

f ( x) ?

sin x 2 ? cos x

.如果对任何 x ≥ 0 , 都有 f ( x) ≤ ax , 求a的

,所以

f ' ( x) ?

cos x(2 ? cos x) ? sin 2 x 1 ? 2 cos x ? (cosx ? 2) 2 (cosx ? 2) 2

设 g ( x) ? f ( x) ? ax ,则

g ' ( x) ? f ' ( x) ? a ?

1 ? 2 cos x cos x ? 2 ? cos x ? 2 ? 1 ? 2 2 3 ?a? ?a? ? ?a g (0) ? 0 (cos x ? 2) 2 (cos x ? 2) 2 cos x ? 2 (cos x ? 2) 2

,

因为 | cos x |? 1 ,所以 cos x ? 2 (i)当
a? 1 3

2

?

3 ? 1? ? ? 1, ? (cosx ? 2) 2 ? ? 3?
a? 1 3

时,

g ' ( x) ? 0

恒成立,即 g ( x) ? g (0) ? 0 ,所以当

时,

f ( x) ≤ ax 恒成立.

(ii)当 a ? 0 时, (iii)当
0?a? 1 3

? 1 ? f ( ) ? ?0? a?( ) 2 2 2

,因此当 a ? 0 时,不符合题意.

arccos3a ? 时,令 h( x) ? sin x ? 3ax ,则 h?( x) ? cos x ? 3a 故当 x ??0, 时, h?( x) ? 0 .

arccos3a ? arccos3a) 时, h( x) ? h(0) ? 0 , 因此 h( x) 在 ?0, 上单调增加.故当 x ? (0,
arccos3a) 时, 即 sin x ? 3ax .于是,当 x ? (0,
f ( x) ? sin x sin x ? ? ax 2 ? cos x 3

所以综上有 a 的取值范围是 ?? 3

?1

? ,?? ? ?

变式:若 0 ? xi ? arccos3a ,其中 i ? 1,2,3,?, n 且
0?a? 1 3 , x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? arccos3a ,求证:

tan

x x x1 x 3a ? tan 2 ? tan 3 ? ? ? tan n ? arccos3a 2 2 2 2 2 .

证明:容易得到

tan

xi sin xi sin xi ? ? 2 cos xi ? 1 2

由上面那个题目知道 sin xi ? 3axi 就可以知道
tan x x x1 x 3a ? tan 2 ? tan 3 ? ? ? tan n ? arccos3a 2 2 2 2 2

★同型衍变:(2006 年全国一卷)已知函数 (x) >1, 求 a 的取值范围.

f ( x) ?

1 ? x ? ax e 1? x .若对任意

x∈ (0,1) 恒有 f

解析:函数 f (x)的定义域为(-∞, 1)∪ (1, +∞), 导数为

f ?( x) ?

ax2 ? 2 ? a ?ax e (1 ? x) 2

.

(ⅰ ) 当 0< a≤2 时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意 x∈ (0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时 a 满足要求. (ⅱ ) 当 a>2 时, f (x) 在区间 (任取一点, 比如取 不满足要求. (ⅲ ) 当 a≤0 时, 对于任意 x∈ (0, 1) 恒有
f ( x) ? 1 ? x ? ax 1 ? x e ?1 1? x ≥1? x ,
x0 ? 1 2
a?2 a
a?2 a

,

a?2 a

)为减函数, 故在区间(0,

a?2 a

) 内

, 就有 x0∈ (0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时 a

这时 a 满足要求.

综上可知, 所求 a 的取值范围为 a≤2.


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