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高一数学1.3-2三角函数的诱导公式课件人教版必修4


1.3

三角函数的诱导公式 第二课时

问题提出

cos? ? x

1.诱导公式一、二、三、四分别反映了 2kπ +α (k∈Z)、π +α 、-α 、 π -α 与α 的三角函数之间的关系,这 四组公式的共同特点是什么?
函数同名,象限定号.

2.对形如π -α 、π +α 的角的三角函 数可以转化为α 角的三角函数,对形 ? p 如 ? ? 、 + a 的角的三角函数与α 角
2

2

的三角函数,是否也存在着某种关系, 需要我们作进一步的探究.

知识探究(一):2 ? ? 的诱导公式

?

思考1:sin(90°-60°)与sin60° 的值相等吗?相反吗?
?
2

思考2:sin(90°-60°)与cos60°, cos(90°-60°)与sin60°的值分别 有什么关系?据此,你有什么猜想?
??

sin ( ? ? ) ? cos ? 2

?

sin ( ? ? ) ? cos? 2 p cos( - a ) = sin a 2

?

思考3:如果α 为锐角,你有什么办法证 p ? 明 sin ( ? ? ) ? cos? ,cos( - a ) = sin a ?
2
2
p - a 2

a

c
α b

p b sin( - a ) = cosa = 2 c p a cos( - a ) = sin a = 2 c

思考4:若α 为一个任意给定的角,那么 ? ? ? 的终边与角α 的终边有什么对称关 2 ? 的终边 y 2 ?? 系?
α 的终边 O

x

思考5:点P1(x,y)关于直线y=x对称 的点P2的坐标如何?

思考6:设角α 的终边与单位圆的交点 ? 为P1(x,y),则 2 ? ? 的终边与单 位圆的交点为P2(y,x),根据三角函 数的定义,你能获得哪些结论?
y
?
2 ?? 的终边

公式五:
sin(

P2(y,x)
α 的终边 O

?
2

? ? ) ? cos? ? ? ) ? sin ?

P1(x,y) x

cos(

?
2

? 知识探究(二): ? ? 的诱导公式 2

思考1:sin(90°+60°)与cos60°, cos(90°+60°)与sin60°的值分别 有什么关系?据此,你有什么猜想?
sin(

?
2

? ? ) ? cos?

cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

?

? ? 思考2: ? ? 与 ? ? 有什么内在联系? 2 2 ? ? ?? ? ? ? ( ?? )
2 2

思考3:根据相关诱导公式推导, ? ? sin( ? ? ) , cos( ? ? ) 分别等于什么?
2 2
sin(

?
2

? ? ) ? cos?

公式六:

cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

?

tan( ? ? ) 与 tan? 有什么关系? 思考4: 2 p t an( + a ) t an a = - 1 2

?

思考5:根据相关诱导公式推导,

3p 3p 3p 3? sin( - a ), cos( - a ), sin( + a ), cos( ? ? ) 2 2 2 2

分别等于什么?

思考6:正弦函数与余弦函数互称为余函 数,你能概括一下公式五、六的共同特 点和规律吗? 公式五:
sin(

?

2

? ? ) ? cos? ? ? ) ? sin ?

cos(

?
2

sin(

?
2

? ? ) ? cos?

公式六:

cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

?

k? 思考7:诱导公式可统一为 2 ? ? (k ? Z)

的三角函数与α的三角函数之间的关系, 你有什么办法记住这些公式? 奇变偶不变,符号看象限.

理论迁移

例1 化简:
11? sin(2 ? - ? )cos(? ? ? )cos( ? ? )cos( -? ) 2 2 9? cos(? - ? )sin(3 ? - ? )sin(- ? - ? )sin( ?? ) 2

?

例2 的值

已知

2 cos( ? ? ) ? 6 3

?

,求

2? sin (? ? ) 3

1 cos(60 ? ? ) ? ? ? tan (30 ? ? ) 1 ? sin (60 ? ? ) 的值.

1 例3 已知 sin (30 ? ? ) ? ,求 3 ?
?

小结作业

1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三 角函数之间的相互关系,并具有一定的规 律性,“奇变偶不变,符号看象限”,是 记住这些公式的有效方法.

2.诱导公式是三角变换的基本公式,其 中角α可以是一个单角,也可以是一个 复角,应用时要注意整体把握、灵活变 通.

作业: P29习题1.3 A组:3. B组:1,2.


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