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2014届高三数学一轮复习 一元二次不等式及其解法提分训练题


一元二次不等式及其解法
一、选择题 1 .不等式

x-2 ≤0 的解集是( x+1

) B.(-1,2] D.[-1,2]

A.(-∞,-1)∪(-1,2] C.(-∞,-1)∪[2,+ ∞) 解析 ∵
? ? x+ x-2 ≤0?? x+1 ?x+1≠0 ?

x-



? ?-1≤x≤2, ?? ?x≠-1, ?

∴x∈(-1,2]. 答案 B 2. 若集合 A ? {x ?? ? ? x ?? ? ?}, B ? {x A. {x ?? ? x ? ?} C.

x?? ? ?} ,则 A ? B ? ( x
B. {x ? ? x ? ?} D. {x ? ? x ? ?}



{x ? ? x ? ?}

解析 因为集合 A ? {x ?? ? x ? ?}, B ? {x ? ? x ? ?} ,所以 A ? B ? {x ? ? x ? ?} ,选 B. 答案 B 1? ? 1 2 2 3. 已知不等式 ax -bx-1≥0 的解集是?- ,- ?, 则不等式 x -bx-a<0 的解集是( 2 3? ? A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞) 1? ?1 ? ? D.?-∞, ?∪? ,+∞? 3? ?2 ? ? ).

?1 1? C. ? , ? ?3 2?

1 1 1 ? 1? 2 解析 由题意知- ,- 是方程 ax -bx-1=0 的根,所以由根与系数的关系得- +?- ? 2 3 2 ? 3?

b 1 ? 1? 1 2 2 = ,- ×?- ?=- .解得 a=-6,b=5,不等式 x -bx-a<0 即为 x -5x+6<0,解集 a 2 ? 3? a
为(2,3). 答案 A 4. 已知全集 U 为实数集 R,集合 A=?x?
? ? ? ?

?x+1>0 ?x-m

? ? 1 ?,集合?UA={y|y=x , 3 ? ?

x∈[-1,8]},则实数 m 的值为(
A.2 C.1

) B.-2 D.-1

? ? 1 x+1 解析 集合?UA=?y|y=x ,x∈[-1,8]?=[-1,2],故不等式 >0, 3 x-m ? ? 即不等式(x+1)(x-m)>0 的解集为(-∞,-1)∪(m,+∞),所以 m=2. 答案 A 1

5.在 R 上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b,则满足 x⊙(x-2)<0 的实数 x 的取值范围为 ( ). B.(-2,1) D.(-1,2)
2

A.(0,2) C.(-∞,-2)∪( 1,+∞)

解析 根据给出的定义得 x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x +x-2=(x+2)(x-1), 又

x⊙(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故这个不等式的解集是
(-2,1). 答案 B 6.对于实数 x,规定[x]表示不大于 x 的最大整数,那么不等式 4[x] -36[x]+45<0 成立 的 x 的取值范围是( ). C.[2,8) D.[2,7]
2

?3 15? A.? , ? ?2 2 ?

B.[2,8]

3 15 2 解析 由 4[x] -36[x]+4 5<0, 得 <[x]< , 又[x]表示不大于 x 的最大整数, 所以 2≤x 2 2 <8. 答案 C
? ?-2,x>0, 7.设函数 f(x)=? 2 ?x +bx+c,x≤0, ?

若 f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于 x 的不等式

f(x)≤1 的解集为(

). B.[-3,-1] D.[-3,+∞)
2

A.(-∞,-3]∪[-1,+∞) C.[-3,-1]∪(0,+∞)

解析 当 x≤0 时,f(x)=x +bx+c 且 f(-4)=f(0),故其对称轴为 x=- =-2,∴b= 2 4 .又 f(-2)=4-8+c=0,∴c=4,当 x≤0 时,令 x +4x+4≤1 有-3≤x≤-1;当 x>0 时,f(x)= -2≤1 显然成立,故不等式的解集为 [-3,-1]∪(0,+∞). 答案 C 二、填空题 8.不等式|x+1|-|x-3|≥0 的解集是________. 解 析
? ?x>3, ? ?x+1- ? ?x<-1, ? 原 不 等 式 等 价 于 ? ?-x-1- ? ?-1≤x≤3, ? 或 ? ?x+1- -x ?
2

b

-x



x-



解得 1≤x≤3 或 x>3,故原不等式的解集为{x|x≥1}.

答案 {x|x≥1}

2

?x +1,x≥0, ? 9.已知函数 f(x)=? ?1,x<0, ?

2

则满足不等式 f(1-x )>f(2x)的 x 的取值范围是

2

________. 解析 由函数 f (x)的图象可知(如下图),满足 f(1-x )>f(2x)分两种情况:
2

1-x ≥0, ? ? ①?x≥0, ? ?1-x2>2x
?1-x >0, ? ②? ?x<0 ?
2

2

? 0≤x< 2-1.

? -1<x<0.

综上可知:-1<x< 2-1. 答案 (-1, 2-1) 1 1 n 2 * 10.若关于 x 的不等式 x + x-( ) ≥0 对任意 n∈N 在 x∈(-∞,λ ]上恒成立,则实常数 2 2 λ 的取值范围是________. 1 1 n 1 2 解析 由题意得 x + x≥( )max= , 2 2 2 1 ∴x≥ 或 x≤-1. 2 又 x∈(-∞,λ ],∴λ ∈(-∞,-1]. 答案 (-∞,-1] 1 ? ? x 11.已知 f(x)=?x-2 ? ?-x2-x+ 1 ? ? ≤2, x - 2 解析 依题意得 ? ? ?x>2, ,

则不等式 f(x)≤2 的解集是________. ,
? ?-x -x+4≤2, 或? ?x≤2. ?
2

x

解得 x ∈ ( -∞,- 2] ∪ [1,2] ∪

?5,+∞?. ?2 ? ? ? ?5 ? 答案 (-∞,-2]∪[1,2]∪? ,+∞? ?2 ? 2 12.若不等式 2x-1>m (x -1)对满足-2≤m≤2 的所有 m 都成立,则 x 的取值范围为
________.
3

解析

(等价转化法)将原不等式化为:m(x -1)-(2x-1)<0.令 f(m)=m(x -1)-(2x-
?f ? ?f ?

2

2

1), 则原问题转化为当-2≤m≤2 时,f(m)<0 恒成立,只需?
? ?- ? ? ?



<0, <0

即可,即

x2- x-
2

- -

x- x-

<0, <0,

-1+ 7 1+ 3 解得 < x< . 2 2

答案 ?

?-1+ 7 1+ 3? , ? 2 ? ? 2

【点评】 本题用改变主元的办法,将 m 视为主变元,即“反客为主”法,把较复杂问题转 化为较简单问题、较常见问题来解决. 三、解答题 13.已知 f(x)=2x -4x-7,求不等式 2 ≥-1 的解集. -x +2x-1 2x -4x-7 解析 原不等式可化为 2 ≥-1, -x +2x-1 2x -4x-7 等价于 2 ≤1, x -2x+1 2x -4x-7 即 2 -1≤0, x -2x+1 即
2 2 2 2

f x

x2-2x-8 ≤0. x2-2x+1
2 2

由于 x -2x+1=(x-1) ≥0.
? ?x -2x-8≤0, 所以原不等式等价于? 2 ?x -2x+1≠0. ?
2

? ?-2≤x≤4, 即? ?x≠1. ?

所以原不等式的解集为{x|-2≤x<1 或 1<x≤4}. 14.已 知函数 f(x)=mx -mx-1. (1)若对于 x∈R,f(x)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3 ],f(x)<5-m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 思路分析 第(2)问将不等式 f(x )<5-m,x∈[1,3]恒成立转化为 m<g(x),
2

x∈[1,3]上恒成立,再求 g(x)的最小值即可.
解析 (1)由题意可得 m=0 或? ?-4<m≤0. 故 m 的取值 范围为(-4,0]. (2)∵f(x)<-m+5?m(x -x+1)<6, ∵x -x+1>0,
2 2

?m<0, ? ?Δ =m +4m<0 ?
2

?m=0 或-4<m<0

4

∴m<

6 对于 x∈[1,3]恒成立, x -x+1
2

记 g(x)=

6
2

x2-x+1

,x∈[1,3],

记 h(x)=x -x+1,h(x)在 x∈[1,3]上为增函数. 则 g(x)在[1,3]上为减函数, 6 6 ∴[g(x)]min=g(3)= ,∴m< . 7 7 6? ? 所以 m 的取值范围为?-∞, ?. 7? ? 【点评】本题体现了转化与化归思想,解这类问题一般将参数分离出来,转化为求构造函数 的最值问题,通过求最值解得参数的取值范围. 15.一个服装厂生产风衣,月销售量 x(件)与售价 p(元/件)之间的关系为

p=160-2x,生产 x 件的成本 R=500+30x(元).
(1)该厂月产量多大时,月利润不少于 1 300 元? (2)当月产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少? 解析 (1)由题意知,月利润 y=px-R, 即 y=(160-2x)x-(500 +30x) =-2x +130x-500, 由月利润不少于 1 300(元),得-2x +130x-500≥1 300, 即 x -65x+900≤0,解得 20≤x≤45. 故该厂月产量 20~45 件时,月利润不少于 1 300 元.
2 2 2

? 65?2 3 225, 2 (2)由(1)得,y=-2x +13 0x-500=-2?x- ? + 2? 2 ?
由题意知,x 为正整数. 故当 x=32 或 33 时,y 最大为 1 612. 所以当月产量为 32 或 33 件时,可获最大利润,最大利润为 1 612 元. 16.解关于 x 的不等式 ax -2≥2x-ax(a∈R). 解析 原不等式可化为
2

ax2+(a-2)x-2≥0? (ax-2)(x+1)≥0.
(1)当 a=0 时,原不等式化为 x+1≤0? x≤-1; (2)当 a>0 时, 2 ? 2? 原不等式化为?x- ?(x+1)≥0? x≥ 或 x≤-1;

?

a?

a

? 2? (3)当 a<0 时,原不等式化为?x- ?(x+1)≤0. ?
a?
5

2 2 ①当 >-1,即 a<-2 时,原不等式等价于-1≤x≤ ;

a a a

a

2 ②当 =-1,即 a=-2 时,原不等式等价于 x=-1; 2 2 ③当 <-1,即-2<a<0 时,原不等式等价于 ≤x≤-1.

a

2? ? 综上所述:当 a<-2 时,原不等式的解集为?-1, ?;

?

a?

当 a=-2 时,原不等式的解集为{-1};

?2 ? 当-2<a<0 时,原不等式的解集为? ,-1?; ?a ?
当 a=0 时,原不等式的解集为(-∞,-1];

?2 ? 当 a>0 时,原不等式的解集为(-∞,-1]∪? ,+∞?. ?a ?

6


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