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2013年中国人民大学附属中学高考冲刺卷(理科数学试卷一)


中国人民大学附属中学高考冲刺卷

数 学(理) 试 卷(一)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项.
2 1、已知集合 A ? x ? R 0 ? x ? 3 , B ? x ? R x ? 4 ,则 A ? B ?

/>A. C.

2.已知数列 ?an ? 为等差数列, Sn 是它的前 n 项和.若 a1 ? 2 , S3 ? 12 ,则 S 4 ? A.10 B.16 C.20 D.24 3. 在极坐标系下,已知圆 C 的方程为 ρ ? 2cos θ ,则下列各点在圆 C 上的是
π? ? ? π? A. ? 1, ? ? B. ? 1, ? 3? ? ? 6? 3π ? 5π ? ? ? C. ? 2, ? D. ? 2, ? 4 4 ? ? ? ? 4.执行如图所示的程序框图,若输出 x 的值为 23,则输入的 x 值为 A. 0 B.1 C. 2 D.11 5.已知平面 ? ? ? l , m 是 ? 内不同于 l 的直线,那么下列命题中错误 的是 ..
开始

? ?x 2 ? x ? 3? ?x x ? ?2或2 ? x ? 3?

?

?

B.

?x 2 ? x ? 3?

?

D. R

输入x
n ?1 n ? n ?1 x ? 2x ? 1

A.若 m // ? ,则 m // l C.若 m ? ? ,则 m ? l

B.若 m // l ,则 m // ? D.若 m ? l ,则 m ? ?
n≤ 3


6. 已知非零向量 a , b, c 满足 a ? b ? c ? 0,向量 a , b 的夹角为 120 ,且 | b |? 2 | a | , 则向量 a 与 c 的夹角为 C. 120 D. 150 2 ? 7.如果存在正整数 ? 和实数 使得函数 f ( x) ? cos (?x ? ? )( ? ,? 为常数)的 图象如图所示(图象经过点(1,0) ) ,那么 ? 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A. 60
?



B. 90

?

?

?

输出x 结束

2 2 2 2 8.已知抛物线 M : y = 4 x ,圆 N : ( x ? 1) ? y ? r (其中 r 为常数, r ? 0 ).过点

(1,0)的直线 l 交圆 N 于 C 、D 两点,交抛物线 M 于 A 、 B 两点,且满足 AC ? BD 的 直线 l 只有三条的必要条件是 A. r ? (0,1] B. r ? (1, 2] C. r ? ( , 4)

3 2

D. r ? [ , ??)

3 2

y
1 2

O

1

x

第Ⅱ 卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.

9.复数

3?i ? 1? i

.

10.为了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家 庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所 示) ,记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为 s1 , s 2 , s3 则它们的大小关系为 . , (用“ ? ”连接)
频率 组距
0.0008

频率 组距
0.0008

频率 组距
0.0008

0.0006 0.0004 0.0002
O
1000 1500 2000 2500 3000 3500

0.0006 0.0004
0.0002

0.0006 0.0004 0.0002



O

1000 1500 2000 2500 3000 3500 元

O

1000 1500 2000 2500 3000 3500







A


?

11. 如图, A, B, C 是⊙O 上的三点, BE 切⊙O 于点 B,D 是 CE 与⊙O 的交点.若 ?BAC ? 70 , BE ? 2 ? CBE ? 则 ______;若 , CE ? 4 ,则 CD ? .
B

O

C

D

12.已知平面区域 D ? {( x, y) | ?1 ? x ? 1,?1 ? y ? 1} ,在区域 D 内任取一点,则取到的 点位于直线 y ? kx ( k ? R )下方的概率为____________ . 13.若直线 l 被圆 C : x2 ? y 2 ? 2 所截的弦长不小于2,则在下列曲线中:

E

x2 ? y2 ? 1 ④ x2 ? y 2 ? 1 2 与直线 l 一定有公共点的曲线的序号是 . (写出你认为正确的所有序号) 14.如图,线段 AB =8,点 C 在线段 AB 上,且 AC =2, P 为线段 CB 上一动点,点 A 绕点 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋转后重合于点 D .设 CP = x , △ CPD 的面积为 f ( x) .则 f ( x) 的定义域为 ; f ' ( x) 的零点是 .
① y ? x2 ? 2 ② ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ③ 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 tan B ? (Ⅰ)求 tan A ; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

D A
C

P

B

1 1 tan C ? , , 且c ?1. 2 3

16. (本小题共 14 分) 在如图的多面体中, EF ⊥平面 AEB , AE ? EB , AD // EF , EF // BC , BC ? 2 AD ? 4 , EF ? 3 , AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点. (Ⅰ) 求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅱ) 求证: BD ? EG ; (Ⅲ) 求二面角 C ? DF ? E 的余弦值.

A

D

E

F

B

G

C

17. (本小题共 13 分) 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测, 每一件一等品都能通过检测, 每一件二等 品通过检测的概率为

2 .现有 10 件产品,其中 6 件是一等品,4 件是二等品. 3

(Ⅰ) 随机选取 1 件产品,求能够通过检测的概率; (Ⅱ) 随机选取 3 件产品,其中一等品的件数记为 X ,求 X 的分布列; (Ⅲ) 随机选取 3 件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率.

18. (本小题共 13 分)

1? a , (a ? R). x (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间;
已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ? (Ⅲ)若在 ?1,e? ( e ? 2.718... )上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取 值范围.

19. (本小题共 14 分)

x2 y 2 3 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 M (1, ), 其离心率为 . 2 2 2 a b (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 1 (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? m (| k |? ) 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,以线段 OA, OB 为邻边 2 作平行四边形 OAPB,其中顶点 P 在椭圆 C 上, O 为坐标原点.求 OP 的取值范围.
已知椭圆 C :

20. (本小题共 13 分) 已知每项均是正整数的数列 A : a1 , a2 , a3 , 设

b j ? k1 ? k 2 ? ? ? k j

其中等于 i 的项有 k i 个 (i ? 1, 2,3 ???) , , an , ( j ? 1, 2,3 ) , g (m) ? b1 ? b2 ? ? bm ? nm

(m ? 1, 2,3 ???) .
(Ⅰ)设数列 A :1, 2,1, 4 ,求 g (1), g (2), g (3), g (4), g (5) ; (Ⅱ)若数列 A 满足 a1 ? a2 ?

? an ? n ? 100 ,求函数 g (m) 的最小值.

中国人民大学附属中学高考冲刺卷

数学(理)试卷(一)参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 1 2 3 4 5 答案 B C A C D 6 B 7 B 8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分. 共 30 分.有两空的题目,第一空 3 分,第二空 2 分) 9. 1 ? 2i 12. 10. 13.

s1 > s2 > s3
① ③

11.

70 ; 3

1 2

14. (2, 4); 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(共 13 分) 解: (I)因为 tan B ?

1 1 tan B ? tan C , tan C ? , tan( B ? C ) ? ,???????1 分 1 ? tan B tan C 2 3 1 1 ? 2 3 ?1 . tan( B ? C ) ? 代入得到, ???????3 1 1 1? ? 2 3
为 ???????4 分 以 . ??????? a5 分 ???????7 ????8 分 ????9

分 因

A ? 180 ? B ? C ,


t

A?

? B

(II)因为 0 ? A ? 180 ,由(I)结论可得: A ? 135 . 分

1 1 ? tan C ? ? 0 ,所以 0 ? C ? B ? 90 . 2 3 5 10 , sin C ? 所以 sin B ? . 5 10
因为 tan B ? 分



a c ? sin A sin C
???????11 分 以



a? 5,


?ABC











1 1 ac sin B ? . 2 2
16. (共 14 分) 解:(Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC , ∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD/ /BG ,

??????13 分
A

D

∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ?????2 分 ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . (Ⅱ) 解法 1 证明:∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , ∴ EF ? AE , 又 AE ? EB, EB EF ? E , EB, EF ? 平面 BCFE , ∴ AE ? 平面 BCFE . 过 D 作 DH / / AE 交 EF 于 H ,则 DH ? 平面 BCFE . ∵ EG ? 平面 BCFE , ∴ DH ? EG . ∵ AD / / EF , DH / / AE ,∴四边形 AEHD 平行四边形, ∴ EH ? AD ? 2 , ∴ EH ? BG ? 2 ,又 EH / / BG, EH ? BE , ∴四边形 BGHE 为正方形, ∴ BH ? EG , 又 BH DH ? H , BH ? 平面 BHD , DH ? 平面 BHD , ∴ EG ⊥平面 BHD . 分 ∵ BD ? 平面 BHD , ∴ BD ? EG . 分

E

H

F

B

G

C

???????4 分

?????????5 分 ?????????6 分

?????????7 分 ?????????8

?????????9

解法 2 ∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , BE ? 平面 AEB ,∴ EF ? AE , EF ? BE , 又 AE ? EB , ∴ EB, EF , EA 两两垂直. ????????5 分

A

z

D

EB, EF , EA 分别为 x, y, z 轴建立如图的空间直 以点 E 为坐标原点, 角坐标系. 由已知得, A (0,0,2) , B (2,0,0) , x C (2,4,0) , F (0,3,0) , D (0,2,2) , G (2,2,0). ??????????6 分
∴ EG ? (2,2,0) , BD ? (?2,2,2) ,???7 分 ∴ BD ? EG ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 , ???8 分 BD ? EG ∴ . ??????????9 分 ( Ⅲ ) 由已知得 EB ? (2,0,0)是平面 EFDA 的法向量 .

E B

F

y

G

C

??????????10

分 设平面 DCF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,∵ FD ? (0, ?1,2), FC ? (2,1,0) , ∴? 分 设二面角 C ? DF ? E 的大小为 ? , 则 cos ? ? cos ? n, EB ?? 分 ∴二面角 C ? DF ? E 的余弦值为 ?

? ? FD ? n ? 0 ? ? FC ? n ? 0

,即 ?

?? y ? 2 z ? 0 ,令 z ? 1 ,得 n ? (?1, 2,1) . ??????????12 ?2 x ? y ? 0

?2 6 , ?? 6 2 6
6 . 6

??????????13

??????????14

分 17. (共 13 分) 解:(Ⅰ)设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为 A ??????????1 分 事件 A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ?????2 分

p ( A) ?

6 4 2 13 ? ? ? 10 10 3 15

??????????

4分 (Ⅱ) 由题可知 X 可能取值为 0,1,2,3.

P( X ? 0) ? P( X ? 2) ?


3 0 2 1 C4 C6 C4 C6 3 1 , ? P ( X ? 1) ? ? , 3 3 C10 30 C10 10 1 2 0 3 C4 C6 1 C4 C6 1 , ? P ( X ? 3) ? ? . 3 3 C10 2 C10 6

??????8

X
P

0

1

2

3

1 30

3 10

1 2

1 6

?????9 分

(Ⅲ)设随机选取 3 件产品都不能通过检测的事件为 B 分 事件 B 等于事件“随机选取 3 件产品都是二等品且都不能通过检测” 所 以

?????10



P( B ?

1 ? 3

3

?

.

)

1 0

?????13 分

(

1 3

18. (共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ? 分

?????????1 分

1 x ?1 ? , x x

?????????2

x

(0,1)

1

(1, ??)

f ?( x ) f ( x)



0 极小

+ ?????????3 分

所以 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 1. (Ⅱ) h( x) ? x ?

?????????4 分

1? a ? a ln x , x

1 ? a a x2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] ?????????6 分 ? ? ? x2 x x2 x2 ①当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时,在 (0,1 ? a) 上 h?( x) ? 0 ,在 (1 ? a, ??) 上 h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 (0,1 ? a) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增; ?????????7 分 ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 (0, ??) 上 h?( x) ? 0 , h?( x) ? 1 ?
所 增. 以 , 函 数
h( x )

(III)在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,即 在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 h( x0 ) ? 0 ,即 函数 h( x) ? x ? 由(Ⅱ)可知

(0, ??) 在 ?????????8 分









1? a ? a ln x 在 ?1,e? 上的最小值小于零. x

?????????9 分

①即 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在 ?1,e? 上单调递减, 所以 h( x) 的最小值为 h(e) ,由 h(e) ? e ? 因为

1? a e2 ? 1 , ? a ? 0 可得 a ? e e ?1
?????????10 分

e2 ? 1 e2 ? 1 ; ? e ? 1 ,所以 a ? e ?1 e ?1 ②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x) 在 ?1, e? 上单调递增,

所以 h( x) 最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ?1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ; ?????????11 分 ③当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, 可得 h( x) 最小值为 h(1 ? a) , 因为 0 ? ln(1 ? a) ? 1 ,所以, 0 ? a ln(1 ? a) ? a 故 h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2 此时, h(1 ? a) ? 0 不成立. 综上讨论可得所求 a 的范围是: a ? 分 ?????????12 分

e ?1 或 a ? ?2 . e ?1
2

?????????13

19. (共 14 分)

a 2 ? b2 1 ? ,所以 3a 2 ? 4b2 解: (Ⅰ)由已知可得 e ? 2 a 4 3 1 9 又点 M (1, ) 在椭圆 C 上,所以 2 ? 2 ? 1 2 a 4b 2 2 由①②解之,得 a ? 4, b ? 3 .
2

① ?????1 分 ② ?????2 分

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

?????5 分

(Ⅱ) 当 k ? 0 时, P(0, 2m) 在椭圆 C 上,解得 m ? ? 当 k ? 0 时,则由 ?

3 ,所以 | OP |? 3 . 2

??6 分

? y ? kx ? m, ? x2 y 2 ? 1. ? ? 3 ?4 消 y 化简整理得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 ,

? ? 64k 2m2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 48(3 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0
③ ?????8 分 设 A, B, P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、 ( x2 , y2 )、 ( x0 , y0 ) ,则

x0 ? x1 ? x2 ? ?
?9 分 由 于

8km 6m , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? . 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
P
在 椭 圆

????



C









x y ? ? 1. 4 3
从而

2 0

2 0

?????10 分

16 k 2 m2 ? ( 3? 4 k 2 2)
2 2 x0 ? y0 ?

12 m2 ? 1 , 化 简 得 4m2 ? 3 ? 4k 2 , 经 检 验 满 足 ③ 2 2 ? ( 3k 4 )

式. ???11 分 又 | OP |?

64k 2 m2 36m2 ? (3 ? 4k 2 )2 (3 ? 4k 2 )2

4m2 (16k 2 ? 9) 16k 2 ? 9 ? ? (3 ? 4k 2 )2 4k 2 ? 3
? 4?


3 . 4k ? 3
2

?????????12

1 3 3 ? 1, ,得 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4 ,有 ? 2 2 4 4k ? 3 13 故 3 ? OP ? . ?????????13 2
因为 0 ? k ? 分 综上,所求 OP 的取值范围是 [ 3,

13 ]. 2

?????????14

分 (Ⅱ)另解:设 A, B, P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、 ( x2 , y2 )、 ( x0 , y0 ) , 由

A, B















? 3x12 ? 4 y12 ? 12 ① ? 2 2 ?3x2 ? 4 y2 ? 12 ②
① — ②

?????????6 分 整 理 7 ( ????????? x2 ? ) 分 y1 , 所 以 得

3 x1 ?
由 已

(


x2

?
可 得

) x1

③?

? 4

y2

(

OP ? OA ? OB

? x1 ? x2 ? x0 ④ ? ? y1 ? y2 ? y0 ⑤
由 ⑥ 把 与 已 知 当

????????8 分

k?

y1 ? y2 x1 ? x2

,



y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 )
理 理 得 得



3x0 ? ?4ky0

?????????9 分 ⑤ ⑥ 代 入 ③ 整 ?????????10 分 联 立 消

3x02 ? 4 y02 ? 12 9 y0 2 ? 2 4k ? 3
2

x0



????????11 分

由 3x02 ? 4 y02 ? 12 得 x0 ? 4 ? 所

4 2 y0 , 3


|O
12 分

2

?

0

4 3

k2 ?

P| ????????

2

?

0

因为 k ? 故

1 3 3 ? 1, ,得 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4 ,有 ? 2 2 4 4k ? 3

3 ? OP ?
13 分

13 . 2 13 ]. 2

?????????

所求 OP 的取值范围是 [ 3,

?????????14

分 20. (共 13 分) 解: (1)根据题设中有关字母的定义,

k1 ? 2, k2 ? 1, k3 ? 0, k4 ? 1, k j ? 0( j ? 5,6,7 )
b1 ? 2, b2 ? 2 ? 1 ? 3, b3 ? 2 ? 1 ? 0 ? 3, b4 ? 4, bm ? 4(m ? 5,6,7, ) g (1) ? b1 ? 4 ?1 ? ?2
g (2) ? b1 ? b2 ? 4 ? 2 ? ?3, g (3) ? b1 ? b2 ? b3 ? 4 ? 3 ? ?4, g (4) ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 4 ? 4 ? ?4, g (5) ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? 4 ? 5 ? ?4. (2) 一方面,g (m ? 1) ? g (m) ? bm?1 ? n , 根据 “数列 A 含有 n 项” 及 b j 的含义知 bm?1 ? n , 故 g (m ? 1) ? g (m) ? 0 ,即 g (m) ? g (m ? 1) ① ???????7 分
另一方面,设整数 M ? max ?a1, a2 ,

, an ? ,则当 m ? M 时必有 bm ? n , 所以 g (1) ? g (2) ? ? g (M ? 1) ? g (M ) ? g (M ? 1) ? 所以 g ( m) 的最小值为 g ( M ? 1) . ???????9
分 下面计算 g ( M ? 1) 的值:

g (M ?1) ? b1 ? b2 ? b3 ?

? bM ?1 ? n(M ?1)

? (b1 ? n) ? (b2 ? n) ? (b3 ? n) ? ? (bM ?1 ? n) ? (?k2 ? k3 ? ? kM ) ? (?k3 ? k4 ? ? kM ) ? (?k4 ? k5 ? ? ?[k2 ? 2k3 ? ? (M ?1)kM ] ? ?(k1 ? 2k2 ? 3k3 ? ? MkM ) ? (k1 ? k2 ? ? kM ) ? ?(a1 ? a2 ? a3 ? ? an ) ? bM ? ?(a1 ? a2 ? a3 ? ? an ) ? n
分 ∵ a1 ? a2 ? a3 ? 分

? kM ) ?

? (?kM )

???????12

? an ? n ? 100 , ∴ g (M ? 1) ? ?100, ∴ g ( m) 最小值为 ?100 .

???????13


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