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2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-3【配套备课资源】第三章 章末复习课


章末复习课

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画一画· 知识网络、结构更完善

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题型一
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假设检验思想

独立性检验的基本思想是统计中的假设检验思想,类似于数 学中的反证法,要确认两个分类变量有关系这一结论成立的 可信程度,首先假设该结论不成立,即假设“两个分类变量 没有关系”成立, 在该假设下我们构造的随机变量 χ2 应该很 小,如果由观测数据计算得到的 χ2 的值很大,则在一定程度 上说明假设不合理.

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例1

为了比较注射 A, 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积, B

选 200 只家兔做试验, 将这 200 只家兔随机地分成两组, 每 组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B.下表 1
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和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的试验结果.(疱疹面 积单位:mm2) 表 1:注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 频数 30 40 20 10

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表 2:注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) 频数 10 25 20 [75,80) 30 [80,85) 15

完成下面 2×2 列联表, 能否在犯错误概率不超过 0.01 的前提
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下,认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹 面积有差异”. 表3 疱疹面积小于 70 mm 注射药物 A 注射药物 B 合计 a= c=
2

疱疹面积不 小于 70 mm b= d=
2

合计

n=

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列出 2×2 列联表 疱疹面积小于 70 mm 注射药物 A a=70 c=35 105
2

疱疹面积不 小于 70 mm b=30 d=65 95
2

合计 100 100 n=200

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注射药物 B 合计

200×?70×65-35×30?2 χ2= ≈24.56, 100×100×105×95 由于 χ2>6.635,所以有 99%的把握认为两者有关系,或 者说在犯错误概率不超过 0.01 的前提下, 认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹
面积有差异”.

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小结 利用假设检验的思想,计算随机变量 χ2 的值,可以更 本 课 精确地判断两个分类变量是否有关系. 时
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跟踪训练 1 调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的 关系,得到下面的数据表,试问婴儿的性别与出生的时间是否 有关系? 出生时间
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性别 男婴 女婴 总计

晚上 15 8 23

白天 总计 31 26 57 46 34 80

n?ad-bc?2 解 χ2= ?a+b??c+d??a+c??b+d?

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80×?15×26-31×8?2 = ≈0.787<2.706. 本 46×34×23×57
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所以我们没有把握认为“婴儿的性别与出生的时间有关系”.

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题型二
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数形结合思想

在回归分析中, 我们可以使用散点图观察两个变量间的相关 关系,也可以大致分析回归方程是否有实际意义,这就体现 出我们数学中常用的数形结合思想.

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例2

某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均 月人均收入 x(元)

收入的相关关系,随机抽取 10 户进行调查,其结果如下: 300 390 700 760 420 335 800 600 520 360 630 570 450 750
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月人均生活费 y(元) 255 324 月人均收入 x(元) (1)作出散点图; (2)求出线性回归方程; 月人均生活费 y(元) 520 580

850 1 080

(3)试预测月人均收入为 1 100 元和月人均收入为 1 200 元的 两个家庭的月人均生活费.

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(1)作出散点图如图所示,由图可知月人均生活费与月人

均收入之间具有较强的线性相关关系.

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(2)通过计算可知 x =639, y =480.4,
∑x2=4 i i=1
10

610 300,∑xiyi=3 417 560, =
i 1

10

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10

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∑xiyi-10 x · y i=1 ∴b= 10 ≈0.659 9,a= y -b x =58.723 9, 2 2 ∑xi -10 x =
i 1

∴线性回归方程为 y=0.659 9x+58.723 9.
本 (3)由以上分析可知,我们可以利用线性回归方程 课 时 栏 y=0.659 9x+58.723 9 来计算月人均生活费的预报值. 目 开 将 x=1 100 代入,得 y≈784.61, 关

将 x=1 200 代入,得 y≈850.60. 故预测月人均收入分别为 1 100 元和 1 200 元的两个家庭的月 人均生活费分别为 784.61 元和 850.60 元.

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小结

通过散点图可以判断回归方程的大致类型和相关关

系的强弱.

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跟踪训练 2 假设某农作物基本苗数 x 与有效穗数 y 之间存在 相关关系,今测得 5 组数据如下: x y
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15.0 39.4

25.8 42.9

30.0 42.9

36.6 43.1

44.4 49.2

(1)作出散点图; (2)求 y 与 x 之间的回归方程,对于基本苗数 56.7 预报有效穗 数.
解 (1)散点图如图所示.

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(2)由图看出,样本点呈条状分布,有比较好的线性相关关系, 因此可以用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.
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设线性回归方程为 y=bx+a, 由表中数据可得 b≈0.291,a= y -b x ≈34.67, 故所求的线性回归方程为 y=0.291x+34.67. 当 x=56.7 时,y=0.291×56.7+34.67=51.169 7. 估计有效穗数为 51.169 7.

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题型三
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转化与化归思想在回归分析中的应用

回归分析是对抽取的样本进行分析, 确定两个变量的相关关 系,并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化.如果两 个变量非线性相关,我们可以通过对变量进行变换,转化为 线性相关问题.

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例3

某种书每册的成本费 y(元)与印刷册数 x(千册)有关,经

统计得到数据如下:
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x

1

2

3

5

10

20

30

50

100 200

y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 1 检验每册书的成本费 y 与印刷册数的倒数x之间是否具有线 性相关关系?如有,求出 y 对 x 的回归方程.

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1 1 把x置换为 z,则有 z=x,

从而 z 与 y 的数据为
z 1 0.5 0.333 0.2 0.1 0.05 0.033 0.02 0.01 0.005

y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 本 课 时 可作出散点图,从图可看出,变换后的样本点分布在一条直线 栏 目 的附近,因此可以用线性回归方程来拟合. 开 1 关

z =10 ×(1+0.5+0.333+0.2+0.1+0.05+0.033+0.02+0.01
1 y =10×(10.15+5.52+4.08+?+1.15)=3.14,

+0.005)=0.225 1,

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10 i 1 10
i 1 10

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∑zi2=12+0.52+0.3332+?+0.012+0.0052≈1.415, =
∑y2=10.152+5.522+?+1.212+1.152=171.803, i = ∑ziyi=1×10.15+0.5×5.52+?+0.005×1.15 =
i 1

本 课 =15.221 02, 10 时 ∑ziyi-10 z y 栏 = 目 所以 b=i 110 ≈8.976, 开 ∑z2-10 z 2 i 关 i=1

a= y -b z =3.14-8.976×0.225 1≈1.120,
所以所求的 z 与 y 的回归方程为 y=8.976z+1.120. 1 8.976 又因为 z= ,所以 y= +1.120. x x

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小结 若两个变量非线性相关, 可以通过散点图观察确定用幂 函数、指数函数、对数函数、二次函数模型来拟合两个变量间 的关系,然后通过变换转化为线性相关问题.

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跟踪训练 3 在某化学实验中,测得如下表所示的 6 对数据, 其中 x(单位:min)表示化学反应进行的时间,y(单位:mg)表
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示未转化物质的质量. x/min y/mg 1 2 3 4 5 6

39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3

(1)设 y 与 x 之间具有关系 y=cdx, 试根据测量数据估计 c 和 d 的值(精确到 0.001); (2)估计化学反应进行到 10 min 时未转化物质的质量(精确到 0.1).

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(1)在 y=cdx 两边取自然对数,令 ln y=z,ln c=a,ln d

=b,则 z=a+bx.由已知数据,得

x
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1 39.8

2 32.2

3 25.4

4 20.3

5 16.2

6 13.3

y

z 3.684 3.472 3.235 3.011 2.785 2.588
由公式得 a≈3.905 5,b≈-0.221 9,则线性回归方程为 z=3.905 5-0.221 9x.而 ln c=3.905 5,ln d=-0.221 9, 故 c≈49.675,d≈0.801, 所以 c、d 的估计值分别为 49.675,0.801. (2)当 x=10 时,由(1)所得公式可得 y≈5.4(mg).


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