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高中数学必修1知识点总结及练习


高中数学必修 1 知识点总结
第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素:____________ 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。 3、 常见集合:正整数集合:_______,整数集合:___,有理数集合:___,实数集合:___. 4、集合的表示方法:列举法、描述法.

§1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,则称集合 A 是 集合 B 的子集。记作 A ? B . 2、 如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作:A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作: ? .并规定:空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2 个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、交集 2、并集 3、全集、补集 §1.2.1、函数的概念 1、 函数的定义 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域. 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. 2、 定义域的求解规则: 3、 解析式的求解方法 §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、 注意函数单调性证明的一般格式: 解:设 x1 , x2 ? ?a, b? 且 x1 ? x 2 ,则: f ?x1 ? ? f ?x2 ? =… 2、最值的求解,常见函数的值域,二次函数在给定区间上的最值问题 §1.3.2、奇偶性 1、 奇函数 2、 偶函数 3、判断函数奇偶性的方法(定义域,定义,图像) 1.集合{a,b,c }的真子集共有 个 2 2.若集合 M={y|y=x -2x+1,x ? R},N={x|x≥0},则 M 与 N 的关系是 3.设集合 A= ? x 1 ? x ? 2? ,B= x x ? a? ,若 A ? B,则 a 的取值范围是 4.已知集合 A={x| x +2x-8=0}, B={x| x -5x+6=0}, C={x| x -mx+m -19=0}, 若 B∩C≠Φ,A∩C=Φ, 求 m 的值
2 2 2 2

6.求下列函数的定义域: ⑴y?
x 2 ? 2 x ? 15 x ?3 ?3

⑵ y ? 1? (

x ?1 2 ) x ?1

7.函数 f ( x) ? ? x 2 ( ?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x =
? ?2 x( x ? 2) ?

? x ? 2( x ? ?1)

n

8.求下列函数的值域: ⑴ y ? x2 ? 2x ? 3 ( x ? R) ⑵ y ? x2 ? 2x ? 3 x ? [1, 2] (3) y ? ? x2 ? 4 x ? 5 9.已知函数 f ( x ?1) ? x2 ? 4 x ,求函数 f ( x) , f (2 x ? 1) 的解析式

10.已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) =



11.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??,0) 时 f ( x) = 上的解析式为 12.求下列函数的单调区间: ⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3 ⑵

f ( x) 在 R

y ? x2 ? 6 x ? 1

13.判断函数 y ? ? x 3 ? 1 的单调性并证明你的结论. 14.设函数 f ( x) ? 1 ? x 判断它的奇偶性并且求证: f ( 1 ) ? ? f ( x) . 1? x2 x
2

第二章、基本初等函数(Ⅰ) §2.1.1、指数与指数幂的运算 . 1、 一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根。其中 n ? 1, n ? N ? .
n

?

2、 当 n 为奇数时, n a n ? a ;当 n 为偶数时, a ? a .
n n

3、 我们规定:

⑴a

n m

? m a n a ? 0, m, n ? N * , m ? 1 ; ⑵ a ? n

?

?

1 ? n ?n ? 0? ; a

2.计算: ① log3 2 ?
log27 64

;② 2 4? log 3 =
2
1 3 1 7 ?4 ? (? ) 0 ? [( ?2) 3 ] 3 ? 16 ?0.75 ? 0.01 2 8

; 253 =

1

log5 27 ? 2 log5 2

=

;

4、 运算性质: ⑴ a r a s ? a r ?s ?a ? 0, r, s ? Q? ; a r ⑵ §2.1.2、指数函数及其性质 记住图象: y ? a ?a ? 0, a ? 1?根据图像回忆性质
x

③ 0.064 ?
2

? ?

s

⑶ ? a rs ?a ? 0, r , s ? Q? ; ?ab? ? a r b r ?a ? 0, b ? 0, r ? Q? .
r

3.函数 y=log 1 (2x -3x+1)的递减区间为
2

4.若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a= 5.幂函数 f ( x ) 的图象过点 3, 4 27) ,则 f ( x ) 的解析式是_____________。 ( 6.已知 f ( x) ? log 1 ? x (a ? 0且a ? 1) , (1)求 f ( x) 的定义域(2)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围
a

1? x

§2.2.1、对数与对数运算 1、 a x ? N ? loga N ? x ; 2、 a 4、当 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 时: ⑴ loga ?MN ? ? __________ ⑵ lg _____; o
loga N

? a.

3、 loga 1 ? 0 , loga a ? 1 .

第三章、函数的应用 §3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程 f ?x ? ? 0 有实根 ? 函数 y ? f ?x ? 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ?x ? 有零点.

a

?M ? _____ ? ? ? _____ ?N?

___ __

; o ⑶ lg

a

M n ? ____ ___

.

2、 性质:如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有_________,那 么,函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b ? 内有零点,即存在 c ? ?a, b ? ,使得 f ?c ? ? 0 ,这个 c 也就是方程

5、换底公式: loga b ? _________ ?a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0? . §2..2.2、对数函数及其性质 记住图象: y ? loga x?a ? 0, a ? 1?根据图像回忆性质

f ?x ? ? 0 的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解 掌握二分法. 1.如果二次函数 y ? x ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是(
2



A. ?? 2,6?

B. ?? 2,6?

C. ?? 2,6? ) D. 0

D. ? ??, ?2? ? ? 6, ???

§2.3、幂函数 掌握几种幂函数的图象及图像的变化规律 1. 已知 a>0,a 0,函数 y=a 与 y=loga(-x)的图象只能是
x

2.方程 lg x ? x ? 0 根的个数为( A.无穷多 ( ) B. 3
x

C. 1

3. 设 f ?x? ? 3 ? 3x ? 8 , 用 二 分 法 求 方 程 3 ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内 近 似 解 的 过 程 中 得
x

f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间(
A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5, 2)



D.不能确定


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