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数学文卷·2013届湖南师范大学附中高三模拟试题(三)(2013.05)word版


永州陶铸中学小题训练

湖南师大附中 2013 届高三模拟卷(三)

数学(文)试题
(考试范围:高中文科数学全部内容) 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,时量 120 分钟。满分 150 分。 一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.若全集 U={a、b、c、d、e、f},A={b、d},b={a、c},则集合{e、f}= A. A ? B D. (痧A) ? ( U 2.复数 z ? B. A ? B C .

(痧A) ? U B ) ( U

U

B)

A. i B. ?i C. 1 ? i 2 3.若抛物线 y=ax 的准线方程为 y=-1,则实数 a 的值是 A.

? 1 i ,则 z = ? 1? i 1? i

D. 1 ? i D. ?

1 4

B.

1 2

C. ?

1 4

1 2

4. 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的 “P A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 5.已知定义在 R 上的函数 f(x)=(x -3x+2)g(x)+3x-4,其中函数 y=g(x)的图象 是一条连续不断的曲线,则函数 f(x)在下列哪个区间内必有零点 A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 6.若 sin (? ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ? ,则 sin 2? ? ? A. ?

12 25

1 5 24 B. ? 25

C.

1 2

D.0

7.对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数的比较,正确的是

A. r2 ? r4 ? 0 ? r3 ? r1 C. r4 ? r2 ? 0 ? r3 ? r1

B. r4 ? r2 ? 0 ? r1 ? r3 D. r2 ? r4 ? 0 ? r1 ? r3
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8.右边程序框图表示的算法功能是 A.计算小于 100 的奇数的连乘积 B.计算从 1 开始的连续奇数的连乘积 C.计算从 1 开始听连续奇数的连奇数的连乘积,当乘积大于 100 时,计算奇数的个数 D.计算 1×3×5×?×n≥100 成立时 n 的最小值

1 x ? ?2 ? ( ) , x ? 0 9 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? , g ( x) ? kx , 若 函 数 2 2 ?2 x ? 1, x ? 0 ?

h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有三个不同的零点,则实数 k 的取值范围是
A. (??,0) B. 2 2 ,?? )

?

?

C. (0,??)

D. ( 2 2, ? ?)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上。 10.已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? ,则曲线 C 上的点到直线 ? 数)的距离的最大值为 。 o 11.已知单位向量 e1,e2 的夹角为 60 ,则|2e1-e2|= 12.若一个球的体积是

? x ? ?1 ? t , 为参 (t ? y ? 2t



32? ,则该球的内接正方体的体积是 。 3 1 13 . 各 项 都 是 正 数 的 等 比 数 列 {a n } 中 , 3a1 , a3 ,2a 2 成 等 差 数 列 , 则 2
a 30 ? a12 ? a8 ? a 30


14. x ? 0, y ? 0 , 设 若不等式

1 1 m 则实数 m 的最小值是 ? ? ? 0 恒成立, x y x? y



15.对于函数 f(x) ,若在其定义域内存在两个实数 a, b(a ? b) ,使得当 x ? [a, b] 时,f(x) 的值域也是[a,b],则称函数 f(x)为“科比函数” 。 2 (1)给出下列两个函数:①f(x)=x+1;②f(x)=x ,其中是“科比函数”的函数序 号是 。 (2)若函数 f(x)=k+ x ? 2 J “科比函数” 则实数 k 的取值范围是 , 。

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 sin 2?x ? 2 sin 2 ?x ? 1(? ? 0) 的最小正周期为 3 ? 。

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)在△ABC 中,若 f(C)=2,且 2 sin B ? cos B ? cos(A ? C ) ,求 sinA 的值。
2

17. (本小题满分 12 分) 某班有男学生 45 名,女学生 15 名,按照分层抽样的方法选取四人进行打靶训练。 (1)求某学生被抽到的概率及训练组中男、女学生的人数; (2)经过一个月的训练,这个训练组决定选出两名学生进行测试,方法是先从小组里 选出一名学生测试,该学生测度后,再从小组内剩下的学生中选一名进行测试,求选出 的两名学生中恰有一名女学生的概率; (3)测试后,第一个测试的学生得到的成绩为 5,10,7,9,6,8,7,4,第二个测 试的学生得到的成绩为 6,6,8,10,5,7,9,5,请问哪位学生的成绩更稳定?并说 明理由。

18. (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,平面 ACE⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ ACB=90o,EF∥BC,AC=BC= 2 ,AE=EC=1。 (1)求证:AE⊥平面 BCEF; (2)求点 F 到平面 ABCD 的距离; (3)求三棱锥 B-ACF 的体积。

19. (本小题满分 13 分) 环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后, 发现一天中环境综合放 射性污染指数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f ( x) ?

x 2 ? a ? 2a ? , x ? [0,24], 3 x ?1
2

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其中 a 是与气象有关的参数,且 a ? ?0, ? ,若以每天 f(x)的最大值为当天的综合放 2 射性污染指数,并记作 M(a) 。 (1)令 t ?

? 1? ? ?

x , x ? [0,24] ,求 t 的取值范围; x ?1
2

(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,那么目前市中心的综合放 射性污染指数是否超标?

20. (本小题满分 13 分) 如图,长为 m+1(m>1)的线段 AB 的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,点 M 是线段 AB 上一点,且 AM ? mMB 。 (1)求点 M 的轨迹 F 的方程,并判断轨迹 ? 为何种圆锥曲线; (2)设过点 Q ( ,0) 且斜率存在且不为时不为 0 的直线交轨迹 ? 于 C,D 两点,试问在 x 轴上是否存在定点 P,使 PQ 始终平分∠CPD?若存在,求点 P 的坐标;若不存在, 请说明理由。

1 2

21. (本小题满分 13 分) 2 已知函数 f(x)=ax -blnx 在点(1,f(1)处的切线方程为 y=3x-1。 (1)若 f(x)在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,求实数 k 的取值范围; ( 2 ) 若 对 任 意

x ? (0,??)









t ? [1,3]



使



1 3 c ?1 2 1 t ? t ? ct ? 1n2 ? ? f ( x) ,试求实数 c 的取值范围。 3 2 6
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参考答案
一、 1.D

2.D

3.A

4.A

5.B

6.B

7.A

8.

9.D

10.
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11



12. 13.9

14.-4

15. (1)②

(2)

16.

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17.

18.

19.

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20.

21.
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