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集合与常用逻辑用语质量检测试题


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第一章

集合与常用逻辑用语

(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.若集合 M={x∈R|-3<x<1},N={x∈Z|-1≤x≤2},则 M∩N= A.{0} B.{-1,0}

C.{-1,0,1} D.{-2,-1,0,1,2} ( )

2.(2009· 全国卷Ⅱ)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,3,5,7},N={5,6,7},则?U(M∪ N)= A.{5,7} B.{2,4} C.{2,4,8} D.{1,3,5,6,7} ( ) ( )

3.命题“若 a>b, 则 a-1>b-1”的否命题是 A.若 a>b,则 a-1≤b-1 C.若 a≤b,则 a-1≤b-1 B.若 a≥b,则 a-1<b-1 D.若 a<b,则 a-1<b-1

4.(2009· 浙江高考)已知 a, b 是实数, 则“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(

)

5.(文)设全集 U 是实数集 R,M={x|x2>4},N={x|1<x<3}, 则图中阴影部分表示的集合是 A.{x|-2≤x<1} C.{x|-2≤x≤2} 6.下列说法错误的是 A.命题:“已知 f(x)是 R 上的增函数,若 a+b≥0,则 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”的 逆否命题为真命题 B.“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件 C.若 p 且 q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.命题 p:“?x∈R,使得 x2+x+1<0”,则 ?p:“?x∈R,均有 x2+x+1≥0” 7.同时满足①M?{1,2,3,4,5}; ②若 a∈M, 则 6-a∈M 的非空集合 M 有 A.16 个 B.15 个 C.7 个 D.6 个 ( ) ( ) B.{x|1<x≤2} D.{x|x<2} ( )

8.(2010· 温州模拟)下列命题中,真命题是 A.?x∈R,使得 sinx+cosx=2 B.?x∈(0,π),有 sinx>cosx C.?x∈R,使得 x2+x=-2 D.?x∈(0,+∞),有 ex>1+x

9.设 A,B 是非空集合,定义 A× B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B},已知 A={x|0≤x≤2},B ={x|x≥0},则 A× B 等于 ( )

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A.(2,+∞) B.[0,1]∪[2,+∞) C.[0,1)∪(2,+∞) D.[0,1]∪(2,+∞) 10.“a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 11.下列说法正确的是 π π A.函数 y=2sin(2x- )的图象的一条对称轴是直线 x= 6 12 B.若命题 p: “存在 x∈R, x2-x-1>0”, 则命题 p 的否定为: “对任意 x∈R, x2 -x-1≤0” 1 C.若 x≠0,则 x+x≥2 D.“a=1”是“直线 x-ay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直”的充要条件 12.已知 P={x|x2-4x+3≤0},Q={x|y= x+1+ 3-x},则“x∈P”是“x∈Q”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) ( )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填写在题中的横线上.) 13.令 p(x): ax2+2x+1>0, 若对?x∈R, p(x)是真命题, 则实数 a 的取值范围是 14.已知 m、n 是不同的直线,α、β 是不重合的平面.
? β,则 m∥n; 命题 p:若 α∥β,m? ? α,n?

.

命题 q:若 m⊥α,n⊥β,m∥n,则 α∥β; 下面的命题中,①p 或 q;②p 且 q;③p 或 ? q;④ ? p 且 q. 真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).

15.已知集合 A={x|-1≤x≤1},B={x|1-a≤x≤2a-1},若 B?A,那么 a 的取值范围 是 16.下列结论: .

? q” ①若命题 p:?x∈R,tanx=1;命题 q:?x∈R,x2-x+1>0.则命题“p∧
是假命题; a ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是b=-3; ③命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”. 其中正确结论的序号为 (把你认为正确结论的序号都填上).

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)设集合 A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且 A∩B={9}, 求实数 a 的值.

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18.(本小题满分 12 分)判断下列命题的真假. 1 (1)?x∈R,都有 x2-x+1> . 2 (2)?α,β 使 cos(α-β)=cosα-cosβ. (3)?x,y∈N,都有 x-y∈N. (4)?x0,y0∈Z,使得 2x0+y0=3. 19.(本小题满分 12 分)设集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若 A∩B={2},求实数 a 的值; (2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围.;

20.(本小题满分 12 分)(2010· 盐城模拟)命题 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a

? <0,命题 q:实数 x 满足 x2-x-6≤0 或 x2+2x-8>0,且
分条件,求 a 的取值范围.

? p 是

q 的必要不充

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21.(本小题满分 12 分)设全集是实数集 R,A={x|2x2-7x+3≤0}, B={x|x2+a<0}. (1)当 a=-4 时,求 A∩B 和 A∪B; (2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围.

22.(本小题满分 14 分)已知 m∈R,对 p:x1 和 x2 是方程 x2-ax-2=0 的两个根,不等 4 式|m-5|≤|x1-x2|对任意实数 a∈[1,2]恒成立;q:函数 f(x)=3x2+2mx+m+ 有两 3 个不同的零点.求使“p 且 q”为真命题的实数 m 的取值范围.

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解析:因为集合 N={-1,0,1,2},所以 M∩N={-1,0}. 答案:B 解析:M∪N={1,3,5,6,7},∴?U(M∪N)={2,4,8}. 答案:C 解析:即命题“若 p,则 q”的否命题是“若 ? p,则 ? q”. 答案:C 解析:a>0,b>0 时显然有 a+b>0 且 ab>0,充分性成立;反之,若 a+b>0 且 ab>0, 则 a,b 同号且同正,即 a>0,b>0.必要性成立. 答案:C 解析:阴影部分表示的集合为 N∩?UM={x|1<x≤2}. 答案:B 解析:A 中∵a+b≥0,∴a≥-b. 又函数 f(x)是 R 上的增函数,∴f(a)≥f(-b),① 同理可得,f(b)≥f(-a),② 由①+②,得 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),即原命题为真命题. 又原命题与其逆否命题是等价命题, ∴逆否命题为真. 若 p 且 q 为假命题,则 p、q 中至少有一个是假命题,所以 C 错误. 答案:C 解析:∵1+5=2+4=3+3=6,∴集合 M 可能为单元素集:{3};二元素集:{1,5}, {2,4};三元素集:{1,3,5},{2,3,4};四元素集:{1,2,4,5};五元素集:{1,2,3,4,5}.共 7 个. 答案:C π 解析:∵sinx+cosx= 2sin(x+ )≤ 2,故 A 错; 4 π 当 0<x< 时,cosx>sinx,故 B 错; 4 ∵方程 x2+x+2=0 无解,故 C 错误; 令 f(x)=ex-x-1,则 f′(x)=ex-1 又∵x∈(0,+∞),∴f′(x)=ex-x-1 在(0,+∞)上为增函数,∴f(x)>f(0)=0, 即 ex>1+x,故 D 正确. 答案:D 解析:由题意知,A∪B=[0,+∞),A∩B=[0,2],所以 A× B=(2,+∞). 答案:A 解析:当 a=1 时,函数 f(x)=|x-1|在区间[1,+∞)上为增函数,而当函数 f(x)=|x

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-a|在区间[1,+∞)上为增函数时,只要 a≤1 即可. 答案:A π π kπ π 解析:对于 A,令 2x- =kπ+ ,k∈Z,则 x= + ,k∈Z,即函数 y=2sin(2x 6 2 2 3 π kπ π π - )的对称轴集合为{x|x= + ,k∈Z},x= 不适合,故 A 错;对于 B,特称命 6 2 3 12 题的否定为全称 1 命题,故 B 正确;对于 C,当 x<0 时,有 x+ ≤-2;对于 D,a=-1 时,直线 x x -ay=0 与直 线 x+ay=0 也互相垂直,故 a=1 是两直线互相垂直的充分而非必要条件. 答案:B 解析:解集合 P 中的不等式 x2-4x+3≤0 可得 1≤x≤3,集合 Q 中的 x 满足,

? x ? 1≥ 0 ,解之得-1≤x≤3,所以满足集合 P 的 x 均满足集合 Q,反之,则不 ? ?3 ? x ≥ 0
成立. 答案:A 解析:对?x∈R,p(x)是真命题,就是不等式 ax2+2x+1>0 对一切 x∈R 恒成立. (1)若 a=0,不等式化为 2x+1>0,不能恒成立; (2)若 ?

?a ? 0 解得 a>1; ?△= 4 - 4a < 0

(3)若 a<0,不等式显然不能恒成立. 综上所述,实数 a 的取值范围是 a>1. 答案:a>1 解析:∵命题 p 是假命题,命题 q 是真命题.

? q 是假命题, ∴? p 是真命题,
∴p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题,

? p 且 q 是真命题. p 或 ? q 是假命题,
答案:①④

解析:由数轴知,

2 ? a≥ ? 2 a ? 1 ≥ 1 ? a ? 3 ? ? 即 ?a ≥ 2 ?1? ≤ ?1 ? 2a ? 1 ≥ 1 ?a ≥ 1 ? ? ?

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故 a≥2. 答案:a≥2 解析:①中命题 p 为真命题,命题 q 为真命题,所以 p∧ ? q 为假命题,故①正确; ②当 b=a=0 时,有 l1⊥l2,故②不正确; ③正确,所以正确结论的序号为①③. 答案:①③ 解:因为 A∩B={9},所以 9∈A. 若 2a-1=9,则 a=5, 此时 A={-4,9,25},B={9,0,-4},A∩B={-4,9},与已知矛盾(舍去). 若 a2=9,则 a=± 3. 当 a=3 时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},与集合中元素的互异性矛盾(舍去); 当 a=-3 时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意. 综上所述,a=-3. 1 3 3 1 解:(1)真命题,∵x2-x+1=(x- )2+ ≥ > . 2 4 4 2 π π (2)真命题,如 α= ,β= ,符合题意. 4 2 (3)假命题,例如 x=1,y=5,但 x-y=-4?N. (4)真命题,例如 x0=0,y0=3 符合题意. 解:由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2, 故集合 A={1,2}. (1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入 B 中的方程, 得 a2+4a+3=0?a=-1 或 a=-3; 当 a=-1 时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件; 当 a=-3 时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件; 综上,a 的值为-1 或-3; (2)对于集合 B, Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3). ∵A∪B=A,∴B?A, ①当 Δ<0,即 a<-3 时,B=?满足条件 ②当 Δ=0,即 a=-3 时,B={2},满足条件; ③当 Δ>0,即 a>-3 时,B=A={1,2}才能满足条件, 则由根与系数的关系得

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5 ? ? ?1 ? 2 ? ?2 ? a ? 1?? ? a ? ? ? ?? 2 ? 2 ?1 ? 2 ? a ? 5. ? a 2 ? 7. ? ?
矛盾; 综上,a 的取值范围是 a≤-3. 解:设 A={x|x2-4ax+3a2<0(a<0)}={x|3a<x<a}, B={x|x2-x-6≤0 或 x2+2x-8<0} ={x|x2-x-6<0}∪{x|x2+2x-8>0} ={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4 或 x>2}={x|x<-4 或 x≥-2}. 因为 ? p 是 ? q 的必要不充分条件, 所以? q? ? p,且 ? p 推不出 ? q 而 ?RB={x|-4≤x<-2},?RA={x|x≤3a,或 x≥a} 所以{x|-4≤x<-2} ? {x|x≤3a 或 x≥a},

? 3a ≥ ?2 ? a ≤ ?4 或? ? ?a < 0 ?a < 0
2 即- ≤a<0 或 a≤-4. 3 4 Δ=4m2-12(m+ )=4m2-12m-16>0, 3 得 m<-1 或 m>4. ,综上,要使“p 且 q”为真命题,只需 p 真 q 真, 即?

解:由题设知 x1+x2=a,x1x2=-2,

?2 ≤ m ≤ 8 解得实数 m 的取值范围是(4,8]. ? m < ?1或m > 4

∴|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2= a2+8. a∈[1,2]时, a2+8的最小值为 3,要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数 a∈[1,2]恒成立, 只需|m-5|≤3,即 2≤m≤8. 4 由已知,得 f(x)=3x2+2mx+m+ =0 的判别式 3 1 解:(1)∵A={x| ≤x≤3}, 2 当 a=-4 时,B={x|-2<x<2}, 1 ∴A∩B={x| ≤x<2},A∪B={x|-2<x≤3}. 2 1 (2)?RA={x|x< 或 x>3}, 2

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当(?RA)∩B=B 时,B??RA, ①当 B=?,即 a≥0 时,满足 B??RA; 1 ②当 B≠?,即 a<0 时,B={x|- -a<x< -a},要使 B??RA,需 -a≤ ,解得 2 1 - ≤a<0. 4 1 综上可得,实数 a 的取值范围是 a≥- . 4


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