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圆的切线方程的求解技法


圆的切线方程的求解技法() 大家知道: 过圆 x 2 (1) 过 圆
? x ? a ?2
? ?y ? b? ? r
2

? y

2

? r

2

上一点 P ? x 0 , y 0 ? 的切线方程为 xx 0
P ?x0 , y 0 ?
2

? yy 0 ? r

2

; (2)

2

上 一 点
2

的 切 线 方 程 为

? x ? a ?? x 0

? a ? ? ? y ? b ?? y 0 ? b ? ? r

; (3)过圆 x 2

? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 上一点 P ? x 0 , y 0 ? 的

切线方程为 x 0 x ? 过圆 ? x ? a ?
2

? x ? x0 ? ? y ? y0 ? y0 y ? D? ? ? E? ?? F ? 0 2 ? 2 ? ? ?
2 2

(由(2)可导出(3)。那么, )

? ?y ? b? ? r

外一点 P ? x 0 , y 0 ? 作圆的切线有两条,如何求切线方程呢?

举一例介绍求解技法如下。 例:从点 P ? ? 2 , ? 1 ? 向圆 x 2
? y ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 引切线,求切点坐标与切线方程。
2

解法一:转化与化归法。设切点坐标为 A ? x 1 , y 1 ? ,则过点 A 的圆的切线方程 为 x1 x ?
y 1 y ? 2 ? x ? x1 ? ? ? y ? y 1 ? ? 1 ? 0

。因为切线过点 P ? ? 2 , ? 1 ? ,所以 ? 2 x 1 ?
3

y1 ? 4

? 2 x1 ? 1 ? y 1 ? 1 ? 0 , 解得 x 1 ? 1 , 代入圆的方程, 解得 y 1 ? ? 1 ?

或 y1

? ?1 ? 3 ? 0

3



所 以 切 点 坐 标 为 ?1,
x? 3y ? 2 ? 3 ? 0

?1?

3

? , ?1,

?1?

3

? ,切线方程为 x ?

3y ? 2 ?




? 4

解法二:转化与化归法及参数法。圆的方程化为 ? x ? 2 ? 2 ? ? y ? 1 ? 2 切 点 坐 标 为 ?2 ? 2 cos ? ,
? x ? 2 ? ? 2 cos ?
? ? y ? 1 ? ? 2 sin ? ? 4
1 2

,故可设

? 1 ? 2 sin ?

? ,

? ? ?0 , 2 ?

? , 则 切 线 方 程 为

。 因为切线过点 P ? ? 2 , ? 1 ? ,代入切线方程,得
? ? 3 2

? 8 cos ? ? 4 , 所以 cos ? ? ?

sin , ?

。 所以切点坐标为 ?1,
3 ? 0

?1?

3

? ,1, ?

?1?

3

?,

切线方程为 x ?

3y ? 2 ?

3 ? 0或x ?
? B sin ? ? C

3y ? 2 ?



点评:若出 A cos ?

型,可将 A cos ? 移到右边,再两边平方求解。

解法三:判别式法。设切线的斜率为 k (存在时) ,则过点 P ? ? 2 , ? 1 ? 的直线方
1

程为 y ? 1 ?

y ? 1 ? k ?x ? 2 ? ? k ( x ? 2 ) ,由 ? 2 2 ? x ? 4 x ? ? y ? 1? ? 0

,消去 y ,得 ?1 ? k 2 ?x 2

?4 k

?

2

? 1 x ? 4k

?

2

? 0

1 ○ 由直线与圆相切有, ? 横坐标为 x
? ? 4 ?k
2

? 16 k

?

2

?1

?

2

? 16 k

2

?1 ? k ? ? 0 ,解得 k
2

? ?

3 3

,此时切点的

2 ?1 ? k

? 1?
2

?

? 1 ,将 x ? 1 代入圆的方程,解得 y ? ? 1 ?

3

,即切点坐标为

?1,
x?

?1?

3

? , ?1,

?1?

3

? 。将 k ? ?
3 ? 0

3 3

代入切线方程,得两条切线方程为

3y ? 2 ?

3 ? 0,x ?

3y ? 2 ?



点评:若求得的 k 值只有一个,再验证斜率不存在且过点 P ? ? 2 , ? 1 ? 的直线是 否为切线。 解法四:几何法。圆的方程化为 ? x ? 2 ? 2 ? ? y ? 1 ? 2 斜率为
k

? 4

,圆心 C ? 2 , ? 1 ? 。设切线的
y ? 1 ? k ( x ? 2)

( 存 在 时 ) 则 过 点 P ?? 2 , ? 1? 的 直 线 方 程 为 ,

,即

y ? kx ? 2 k ? 1 ? 0 。由平面几何知识,圆心 C ? 2 , ? 1 ? 到切线的距离等于圆半径,所以
? 1 ? 2k ? 2k ? 1 1? k
2

d ?

? 2 。解得 k ? ?

3 3

。将 k

? ?

3 3

代入切线方程,得两条切线方程
3 3

为x ?

3y ? 2 ?

3 ? 0 ,x ?

3y ? 2 ?

3 ? 0

。将切线方程 y ? 1 ?

?

? x ? 2 ? 代入圆的方
? ?1 ?

程,得 ? x ? 2 ? 2 点坐标为 ?1,

?

1 3

? x ? 2 ?2
3

? 4

,解得 x ? 1 ,再代入切线方程,得 y
?1? 3

3

,所以切

?1?

? , ?1,

?。

点评:若求得的 k 值只有一个,再验证斜率不存在且过点 P ? ? 2 , ? 1 ? 的直线是 否为切线。就求切线方程而言,较解法三可减少运算量,值得重视。 解法五: 平移转化法。 圆的方程化为 ? x ? 2 ? 2 ? ? y ? 1 ? 2 时按向量 a ? ? ? 2 , 1 ? 平移 ( x ? ?
x?2

? 4

, 将圆和点 P ? ? 2 , ? 1 ? 同

, y? ?
2

y ? 1 ,从而 x ? x ? ? 2 , y ? y ? ? 1 ) ,得到

的图形所对应的方程为 x 2
?x0 ,

? y

2

? 4

(改写后)和点 P ? ? 4 , 0 ? 。设此时切点坐标为 ,因其过点 P ?? 4 , 0 ? ,所以 ? 4 x 0
? 4 , x0 ? ?1 。

y 0 ? ,则切线方程为 xx 0 ? yy 0 ? 4

将 x0

? ? 1 代入圆的方程 x ? y
2

2

? 4 解得 y 0 ? ? 3

, 所以切线方程为 x ?

3y ? 4 ? 0 (即

切线方程为 x ? ?
? a ? ?2 , ? 1?

3y? ? 4 ? 0

) ,切点为 ?? 1, ?

3

? 。再将所得的切线和切点按向量

平移,得到所要求的切点坐标为 , 即 切 点 坐 标 为 ?1,
3y ? 2 ? 3 ? 0 ?1? 3

?1, ? 1 ?

3

?,切线方程为
3

?x ? 2 ? ?
x?

3 ? y ? 1? ? 4 ? 0

? , ?1,

?1?

? ,切线方程为

3y ? 2 ?

3 ? 0或x ?



点评:利用平移化归法,化复杂为简单,减少运算量。但要确保平移的正 确性和能熟练运用。

3


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