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2014届步步高大一轮复习讲义7.2


§ 7.2
2014 高考会这样考 问题. 复习备考要这样做 对数不等式.

一元二次不等式及其解法

1.考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题; 2.会从

实际情景中抽象出一元二次不等式模型; 3. 以函数、导数为载体,考查不等式的参数范围 1.结合二次函数的图像,理解“三个二次”的关系,掌握二次不等式的

解法;2.理解简单的分式不等式、高次不等式的解法,和函数单调性结合解一些指数不等式、

1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)或 ax2+bx+c<0 (a>0). (2)求出相应的一元二次方程的根. (3)利用二次函数的图像与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集. 2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表: 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2 +bx+c(a>0)的 图像 一元二次方程 ax2 +bx+c=0(a>0) 的根 (a>0)的解集 ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 [难点正本 疑点清源] 1.一元二次不等式的解集及解集的确定 一元二次不等式 ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集的确定受 a 的符号、b2-4ac 的符号的影响, 且与相应的二次函数、 一元二次方程有密切联系, 可结合相应的函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像,数形结合求得不等式的解集. 若一元二次不等式经过不等式的同解变形后, 化为 ax2+bx+c>0(或<0)(其中 a>0)的形式, 其对应的方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根 x1,x2(x1<x2) (此时 Δ=b2-4ac>0),则可根 据“大于取两边,小于夹中间”求解集. 2.解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若不能 因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏. 有两相异实根 x1, x2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1< x<x2} 有两相等实根 x1=x2= b - 2a {x|x≠x1} ? Δ>0 Δ=0 Δ<0

没有实数根 {x|x∈R} ?

1.不等式 x2<1 的解集为________. 答案 {x|-1<x<1} 解析 x2<1,则-1<x<1, ∴不等式的解集为{x|-1<x<1}. 2.函数 y= x2+x-12的定义域是____________. 答案 (-∞,-4]∪[3,+∞) 解析 由 x2+x-12≥0 得(x-3)(x+4)≥0, ∴x≤-4 或 x≥3. 3. 已知不等式 x2-2x+k2-1>0 对一切实数 x 恒成立, 则实数 k 的取值范围为_____________. 答案 (-∞,- 2)∪( 2,+∞) 解析 由题意,知 Δ=4-4×1×(k2-1)<0, 即 k2>2,∴k> 2或 k<- 2. x-1 4.(2012· 重庆)不等式 ≤0 的解集为 2x+1 1 ? 1 ? A.? B.? ?-2,1? ?-2,1? 1? 1? C.? D.? ?-∞,-2?∪[1,+∞) ?-∞,-2?∪[1,+∞) 答案 A 解析
?x-1≤0, ? x-1 ≤0 等价于不等式组? ① 2x+1 ?2x+1>0, ?

(

)

? ?x-1≥0, 或? ② ?2x+1<0. ? 1 解①得- <x≤1,解②得 x∈?, 2 1 - ,1?. ∴原不等式的解集为? ? 2 ?

1 5.若不等式 ax2+bx-2<0 的解集为{x|-2<x< },则 ab 等于( 4 A.-28 B.-26 C.28 D.26 答案 C 解析

)

?-2+4=-a 由已知得? 1 2 ?-2×4=-a

1

b ,

∴a=4,b=7,∴ab=28.

题型一 一元二次不等式的解法 例1 已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}, (1)求 a,b 的值;

(2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0. 思维启迪:(1)先化简不等式为标准形式,再依据解集确定 a 的符号,然后利用根与系数 的关系列出 a,b 的方程组,求 a,b 的值. (2)所给不等式含有参数 c,因此需对 c 讨论写出解集. 解 (1)因为不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}, 所以 x1=1 与 x2=b 是方程 ax2 -3x+2=0 的两个实数根,b>1 且 a>0.由根与系数的关系, 3 1+b= , ?a=1, a ? 得 解得? 2 ?b=2. ? 1×b= . a

? ? ?

(2)不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0, 即 x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. 当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为?. 所以,当 c>2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为?. 探究提高 (1)解一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为正,再根据判别式符 号判断对应方程根的情况,然后结合相应二次函数的图像写出不等式的解集. (2)解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论: 首先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即 Δ 的符号进行分类,最 后在根存在时,根据根的大小进行分类. (1)不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|2<x<3},则不等式 ax2-bx+c>0 的解集 为________. 答案 {x|-3<x<-2} 解析 令 f(x)=ax2+bx+c,则 f(-x)=ax2-bx+c,结合图像,可得 ax2-bx+c>0 的解 集为{x|-3<x<-2}. (2)解关于 x 的不等式 ax2-2≥2x-ax (a∈R). 解 原不等式可化为 ax2+(a-2)x-2≥0?(ax-2)(x+1)≥0. ①当 a=0 时,原不等式化为 x+1≤0?x≤-1. 2 2 x- ?(x+1)≥0?x≥ 或 x≤-1. ②当 a>0 时,原不等式化为? ? a? a 2 ? ③当 a<0 时,原不等式化为? ?x-a?(x+1)≤0. 2 2 当 >-1,即 a<-2 时,原不等式等价于-1≤x≤ ; a a 2 当 =-1,即 a=-2 时,原不等式等价于 x=-1; a 2 2 当 <-1,即 a>-2,原不等式等价于 ≤x≤-1. a a 2? 综上所述,当 a<-2 时,原不等式的解集为? ?-1,a?;

当 a=-2 时,原不等式的解集为{-1}; 2 ? 当-2<a<0 时,原不等式的解集为? ?a,-1?; 当 a=0 时,原不等式的解集为(-∞,-1]; 2 ? 当 a>0 时,原不等式的解集为(-∞,-1]∪? ?a,+∞?. 题型二 一元二次不等式恒成立问题 例2 已知不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 思维启迪: 化为标准形式 ax2 + bx + c>0 后分 a = 0 与 a≠0 讨论.当 a≠0 时,有 ? ?a>0,
? 2 ?Δ=b -4ac<0. ?



原不等式等价于(a+2)x2+4x+a-1>0 对一切实数恒成立,显然 a=-2 时,解集不

是 R,因此 a≠-2, ? ?a+2>0, 从而有? 2 ?Δ=4 -4?a+2??a-1?<0, ?
?a>-2, ? 整理,得? ??a-2??a+3?>0, ? ? ?a>-2, 所以? 所以 a>2. ?a<-3或a>2, ?

故 a 的取值范围是(2,+∞). 探究提高 不等式 ax2+bx+c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 时,b=0, ?a>0, ? ? c>0; 当 a≠0 时, 不等式 ax2+bx+c<0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a ? Δ <0 ; ?
? ?a<0, =0 时,b=0,c<0;当 a≠0 时,? ?Δ<0. ?

当 x∈(1,2) 时 , 不 等 式 x2 + mx + 4<0 恒 成 立 , 则 m 的 取 值 范 围 是 ______________. 答案 x2+4 4? 解析 方法一 当 x∈(1,2)时,不等式 x +mx+4<0 恒成立?m<- =-? ?x+x?在 x 4? ? 4? x∈(1,2)上恒成立,设 φ(x)=-? ?x+x?,φ(x)=-?x+x?∈(-5,-4),故 m≤-5.
2

(-∞,-5]

方法二 设 f(x)=x2+mx+4,因为当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立, ?f?1?≤0, ?5+m≤0, ? ? 所以? 即? 解得 m≤-5. ?f?2?≤0, ?8+2m≤0, ? ? 题型三 一元二次不等式的实际应用 例3 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 12 万元/辆,年销售量 为 10 000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆 车投入成本增加的比例为 x (0<x<1),则出厂价相应地提高比例为 0.75x,同时预计年销 售量增加的比例为 0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式;

(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? 思维启迪:(1)依据“年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量”写出;(2)年利润有所增 加,即 y-(12-10)×10 000>0,解此不等式即可得 x 的范围. 解 (1)由题意得 y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10 000 ×(1+0.6x) (0<x<1), 整理得 y=-6 000x2+2 000 x+20 000(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有 2 ? ? ?y-?12-10?×10 000>0, ?-6 000x +2 000x>0, ? 即? ?0<x<1, ?0<x<1, ? ? 1 解得 0<x< , 3 1? 所以投入成本增加的比例应在? ?0,3?范围内. 探究提高 不等式应用题常以函数、数列为背景出现,多是解决现实生活、生产中的最 优化问题,在解题中主要涉及到不等式的解法等问题,构造数学模型是解不等式应用题 的关键. 某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销 售总额与七、八月份销售总额相等,若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值是________. 答案 20 解析 由题意得, 3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000, 化简得(x%)2+3· x%-0.64≥0, 解得 x%≥0.2,或 x%≤-3.2(舍去). ∴x≥20,即 x 的最小值为 20.

解与一元二次不等式有关的恒成立问题 典例:(12 分)设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 审题视角 (1)对于 x∈R,f(x)<0 恒成立,可转化为函数 f(x)的图像总是在 x 轴下方,可 讨论 m 的取值,利用判别式求解. (2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种处理方法:方法一是利用 二次函数区间上的最值来处理;方法二是先分离出参数,再去求函数的最值来处理,一 般方法二比较简单. 规范解答 解 (1)要使 mx2-mx-1<0 恒成立, 若 m=0,显然-1<0;

? ?m<0, 若 m≠0,则? ?-4<m<0. 2 ?Δ=m +4m<0 ?

所以-4<m≤0.[4 分] (2)要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立,即 1?2 3 m? ?x-2? +4m-6<0 在 x∈[1,3]上恒成立.[6 分] 有以下两种方法: 1?2 3 方法一 令 g(x)=m? ?x-2? +4m-6,x∈[1,3]. 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数,[8 分] 所以 g(x)max=g(3)?7m-6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ;[10 分] 7 7 当 m=0 时,-6<0 恒成立; 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以 g(x)max=g(1)?m-6<0,所以 m<6,所以 m<0. 6 综上所述:m 的取值范围是{m|m< }.[12 分] 7 1 ?2 3 方法二 因为 x2-x+1=? ?x-2? +4>0, 6 又因为 m(x2-x+1)-6<0,所以 m< 2 .[8 分] x -x+1 6 6 6 6 因为函数 y= 2 = 在[1,3]上的最小值为 ,所以只需 m< 即可.[10 分] 7 7 x -x+1 ? 1?2 3 ?x-2? +4 6? ? 所以,m 的取值范围是?m|m<7?.[12 分] ? ?

对于给定区间上的不等式恒成立问题, 一般可根据以下 几步求解: 第一步:整理不等式(或分离参数); 第二步:构造函数 g(x); 第三步:求函数 g(x)在给定区间上的最大值 或最小值; 第四步:根据最值构造不等式求参数; 第五步:反思回顾,查看关键点,易错点, 完善解题步骤. 温馨提醒 1.与一元二次不等式有关的恒成立问题,可通过二次函数求最值,也可通过

分离参数,再求最值. 2.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是

变量,求谁的范围,谁就是参数. 3. 对于二次不等式恒成立问题, 恒大于 0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全 部在 x 轴上方,恒小于 0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在 x 轴下方. 4.本题易错点:忽略对 m=0 的讨论.这是由思维定势所造成的.

方法与技巧 1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把 a<0 的情况转化为 a>0 时的情形. 2.f(x)>0 的解集即为函数 y=f(x)的图像在 x 轴上方的点的横坐标的集合,充分利用数形结 合思想. 3.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式解法进行求解. 失误与防范 1.对于不等式 ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论 a=0 时的情形. 2.当 Δ<0 时,ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集为 R 还是?,要注意区别. 3.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) x-3 1.不等式 <0 的解集为 x+2 A.{x|-2<x<3} C.{x|x<-2,或 x>3} 答案 A x-3 解析 不等式 <0 可转化为(x+2)(x-3)<0, x+2 解得-2<x<3. 1 1? 2 2.已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是? ?-2,-3?,则不等式 x -bx-a<0 的解集是( A.(2,3) 1 1? C.? ?3,2? 答案 A 1 1 1 由题意知- ,- 是方程 ax2-bx-1=0 的根,所以由根与系数的关系得- + 2 3 2 ?-1?=b,-1×?-1?=-1.解得 a=-6,b=5,不等式 x2-bx-a<0 即为 x2-5x+6<0, ? 3? a 2 ? 3? a 解析 解集为(2,3). B.(-∞,2)∪(3,+∞) 1 1 -∞, ?∪? ,+∞? D.? 3? ?2 ? ? ) B.{x|x<-2} D.{x|x>3}

(

)

3.若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的值的集合是 A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4} 答案 D 解析 由题意知 a=0 时,满足条件. ?a>0 ? a≠0 时,由? 得 0<a≤4,所以 0≤a≤4. 2 ?Δ=a -4a≤0 ? B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4}

(

)

4.已知函数 f(x)=ax2+bx+c,不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<-3 或 x>1},则函数 y=f(-x) 的图像可以为 ( )

答案 B 解析 由 f(x)<0 的解集为{x|x<-3 或 x>1}知 a<0,y=f(x)的图像与 x 轴交点为(-3,0), (1,0),∴f(-x)图像开口向下,与 x 轴交点为(3,0),(-1,0). 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) ax-1 1 ? 5.已知关于 x 的不等式 <0 的解集是(-∞,-1)∪? ?-2,+∞?,则 a=________. x+1 答案 -2 ax-1 1 1 - ,+∞?,故- 应是 ax-1=0 的 解析 由于不等式 <0 的解集是(-∞,-1)∪? 2 ? ? 2 x+1 根,∴a=-2. x2-9 6.(2012· 江西)不等式 >0 的解集是________. x-2 答案 {x|-3<x<2 或 x>3} ?x-3??x+3? 解析 不等式可化为 >0,即(x-3)(x+3)(x-2)>0,利用数轴穿根法可知,不 x-2 等式的解集为{x|-3<x<2 或 x>3}. 7.若关于 x 的不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,m),则 m=________. 答案 2 解析 根据不等式与方程之间的关系知 1 为方程 ax2-6x+a2=0 的一个根,即 a2+a-6 =0, 解得 a=2 或 a=-3,当 a=2 时,不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,2), 符合要求; 当 a=-3 时,不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(-∞,-3)∪(1,+∞),不符合要求,舍 去.故 m=2.

三、解答题(共 22 分) 8.(10 分)求不等式 12x2-ax>a2 (a∈R)的解集. 解 原不等式可化为(3x-a)(4x+a)>0. a a? ? 当 a>0 时,不等式的解集为?x|x<-4或x>3?; ? ? 当 a=0 时,不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠0}; a a 当 a<0 时,不等式的解集为{x|x< 或 x>- }. 3 4 9.(12 分)某商品每件成本价为 80 元,售价为 100 元,每天售出 100 件.若售价降低 x 成(1 8 成=10%),售出商品数量就增加 x 成.要求售价不能低于成本价. 5 (1)设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关系式 y=f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元,求 x 的取值范围. x? 8 ? 解 (1)依题意,y=100? 100? ?1-10?· ?1+50x?. x 1- ?-80≥0. 又售价不能低于成本价,所以 100? ? 10? 所以 y=f(x)=40(10-x)(25+4x),定义域为 x∈[0,2]. (2)由题意得 40(10-x)(25+4x)≥10 260, 1 13 化简得 8x2-30x+13≤0.解得 ≤x≤ . 2 4 1 ? 所以 x 的取值范围是? ?2,2?. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|-1<x<2}, 那么不等式 a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax 的解集 为 A.{x|0<x<3} C.{x|-2<x<1} 答案 A 解析 B.{x|x<0,或 x>3} D.{x|x<-2,或 x>1} b ( )

?-a=1 由题意知 a<0 且-1,2 是方程 ax +bx+c=0 的两根,∴? c ?a=-2
2

,∴b=-a,

c=-2a, ∴不等式 a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax, 即为 a(x2+1)-a(x-1)-2a>2ax, ∴x2-3x<0,∴0<x<3. 2.若不等式 x2-2ax+a>0 对一切实数 x∈R 恒成立,则关于 t 的不等式 at2+2t-3<1 的解 集为 A.(-3,1) 答案 B B.(-∞,-3)∪(1,+∞) C.? D.(0,1) ( )

解析 不等式 x2-2ax+a>0 对一切实数 x∈R 恒成立, 则 Δ=(-2a)2-4a<0, 即 a2-a<0, 解得 0<a<1, 所以不等式 at2+2t-3<1 转化为 t2+2t-3>0,解得 t<-3 或 t>1,故选 B. ?x2-2x-3≤0, ? 3.若不等式组? 2 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是( ? ?x +4x-?1+a?≤0 A.(-∞,-4] C.[-4,20] 答案 B 解析 设 f(x)=x2+4x-(1+a),根据已知可转化为存在 x0∈[-1,3]使 f(x0)≤0.易知函数 f(x)在区间[-1,3]上为增函数,故只需 f(-1)=-4-a≤0 即可,解得 a≥-4. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) ? ?x<0?, ?x+1 4.已知 f(x)=? 则不等式 x+(x+1)f(x-1)≤3 的解集是________. ?-x-1 ?x≥0?, ? 答案 {x|x≥-3}
?x, x<1 ? 解析 ∵f(x-1)=? , ?-x, x≥1 ?

)

B.[-4,+∞) D.[-40,20)

∴x+(x+1)f(x-1)≤3 等价于 ?x≥1 ?x<1 ? ? ? 或? , ?x+?x+1?x≤3 ?x+?x+1??-x?≤3 ? ? 解得-3≤x<1 或 x≥1,即 x≥-3. 5.设关于 x 的不等式 x2-x<2nx (n∈N*)的解集中整数的个数为 an,数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为__________________. 答案 10 100 解析 由不等式 x2-x<2nx (n∈N*),可得其解集为(0,2n+1),其中整数解有 2n 个,即 an=2n, 100×?2+200? ∴S100= =10 100. 2 6.若关于 x 的不等式 4x-2x 1-a≥0 在[1,2]上恒成立,则实数 a 的取值范围为__________.


答案

(-∞,0]
+ +

解析 ∵4x-2x 1-a≥0 在[1,2]上恒成立, ∴4x-2x 1≥a 在[1,2]上恒成立. 令 y=4x-2x 1=(2x)2-2×2x+1-1=(2x-1)2-1.


∵1≤x≤2,∴2≤2x≤4. 由二次函数的性质可知:当 2x=2,即 x=1 时,y 有最小值 0.∴a 的取值范围为 (-∞,0]. 三、解答题 7.(13 分)已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+b. (1)解关于 a 的不等式 f(1)>0; (2)若不等式 f(x)>0 的解集为(-1,3),求实数 a,b 的值.



(1)∵f(1)>0,∴-3+a(6-a)+b>0,
2

即 a -6a+3-b<0. Δ=(-6)2-4(3-b)=24+4b. ①当 Δ≤0,即 b≤-6 时,原不等式的解集为?. ②当 Δ>0,即 b>-6 时, 方程 a2-6a+3-b=0 有两根 a1=3- 6+b, a2=3+ 6+b, ∴不等式的解集为(3- 6+b,3+ 6+b). 综上所述:当 b≤-6 时,原不等式的解集为?; 当 b>-6 时,原不等式的解集为(3- 6+b,3+ 6+b). (2)由 f(x)>0,得-3x2+a(6-a)x+b>0, 即 3x2-a(6-a)x-b<0.∵它的解集为(-1,3), ∴-1 与 3 是方程 3x2-a(6-a)x-b=0 的两根. a? , ?-1+3=a?6- 3 ∴? b ?-1×3=-3,

?a=3- 3, ?a=3+ 3, 解得? 或? ?b=9 ?b=9.


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2014届步步高大一轮复习讲义二.2.4

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