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广东省汕头市潮师高级中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题 理


广东省汕头市潮师高级中学 2013-2014 学年高二数学上学期期中试 题 理(答案不全)新人教 A 版
一、选择题(本题满分 40 分,每小题 5 分) 1.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={3,4,5},则 ? ? A ? B ? ? ( U A.{1,2, 3,4} B.{1,2,4,5} C.{1,2,5} ) D.{3} )

/>
2. 在直角坐标系中,直线 y ? ? 3x ? 1 的倾斜角为(

A.

2? 3

B.

? 6

C.

5? 6

D.

? 3
( )

3.在等差数列 {a n } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {a n } 的前 5 项和 S 5 = A.7 B.15 C.20 D.25

??? ? ???? ? ? ??? ? 4. 在平行四边形 ABCD 中,点 E 为 CD 中点, AB ? a, AD ? b ,则 BE 等于

1? ? 1? ? 1? ? 1? ? B. ? a ? b C. a ? b D. a ? b 2 2 2 2 5.已知 ? , ? 是两个不同的平面, l , m, n 是不同的直线,下列命题不正确的是 ( ...
A. ? a ? b A. 若 l / / m, l ? ? , m ? ? , 则 l / /? ; B.若 l ? m, l ? n, m ? ? , n ? ? , 则 l ? ? ; ? C.若 ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? ? , m ? l , 则 m ? ? ; D.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? , ,则

)

m?n
6 设 x, y ? R,向量 a ? ?x,1?, b ? ?1, y ?, c ? ?2,?4? ,且 a ? c, b // c ,则 a ? b ? __ ( A. 5 B. 10 C. 2 5 D.10

?

?



7. 如 图 , 已 知 六 棱 锥 P ? ABCDEF 的 底 面 是 正 六 边 形 ,

PA ? 平面ABC, PA ? 2 AB ,则下列结论正确的是 (
A. PB ? AD C. 直 线 B.平面 PAB ? 平面PBC



BC


?





PAE

D. 直线PD与平面ABC所成的角为45 8.下列函数图象中,正确的是(

) .

1

y 1 o

y=x+a y=xa x

y 1 o

y=x+a y=xa x

y=ax

y 1 o y=x+a x

y 1

y=x+a y=log ax o 1 D x

A

B

C

二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9.课题组进行城市空气质量调查,按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组,对应城市数 分别为 4,12,8.若用分层抽样抽取 6 个城市,则丙组中应抽取的城市数为 ____. 10.如图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的正三角形,俯 视图是一个圆,那么该几何体的体积是________.

?x ? 2 ? 11.若 ? y ? 2 ,则目标函数 z ? x ? 3 y 的最小值是 ?x ? y ? 6 ?



12 . 已 知 a, b, c 分 别 是 ?ABC 的 三 个 内 角 A、B、C 所 对 的 边 , 若

a ? 1, b ? 3, A ? C ? 2 B ,则 sin A ? ____________.
13.向右图所示的正方形随机投掷飞镖,则飞镖落在阴影部分的概率为
y 1



3x ? y ? 3 ? 0

-1

O

1

x

-1

(第 13 题)

14.如图,点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上,且 PB=OB=2,PC 切圆 O 于 C 点,CD⊥AB 于 D 点,则 CD=________. 三、解答题:共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1, 0 其图象经过点 M ? , ? . (1)求 f ( x) 的解析式;

?π 1? ? 3 2? ? ?

(2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13

2

16.(本小题 12 分)如图,矩形 ABCD 的两条对角线相 交 于 点 M ( 2 0 , AB 边 所 在 直 线 的 方 程 为 , )

y

C
x ? 3 y ? 6 ? 0 , 点 T (?11) 在 AD 边所在直线上. ,
(I)求 AD 边所在直线的方程; (II)求矩形 ABCD 的面积 .

T D O A

M B

x

17. ( 满 分 14 分 ) 在 棱 长 为 点, AC ? BD ? F .

a 的 正 方 体 ABCD?

A B C D , E 是 线 段 A1C1 的 中 1 1 1 1中 D1

(Ⅰ) 求证: CE ? BD ;

C1

(Ⅱ) 求证: CE ∥平面 A1 BD ; (Ⅲ) 求三棱锥 D ? A1BC 的体积.

E
A1 B1

D F A B

C
A

1 1 1 18. 分)已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a∈R), , , 成等比数列. (1) (14 且

a1 a2 a4

求数列{an}的通项公式; 1 * (2)对 n∈N ,试比较 + 1

a2

a 22 a 23



1

+…+

1

a 2n

1 与 的大小.

a1

3

19:(满分 14 分)如图 (1),在直角梯形 ABCP 中,BC∥AP,AB ⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD=2,E、F、G 分别是线段 PC、PD、 BC 的中点.现将△PDC 折起,使平面 PDC⊥平面 ABCD (1)求证:AP∥平面 EFG; (2)求二面角 G-EF-D 的大小.

20. (满分 14 分)已知函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)满足 f(0)=0,对于任意 x∈R 都 ? 1 ? ? 1 ? 有 f(x)≥x,且 f?- +x?=f?- -x?,令 g(x)=f(x)-|λ x-1|(λ >0). ? 2 ? ? 2 ? (1)求函数 f(x)的表达式; (2)求函数 g(x)的单调区间.

2

4

潮师高级中学2013-2014学年高二第一学期期中考试卷(理数) 满分150分,考试时间:120分钟 一、选择题(本题满分 40 分,每小题 5 分) 1.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={3, 4,5},则 ? ? A ? B ? ? ( U A.{1,2,3,4} B.{1,2,4,5} C.{1,2,5} ) D.{3} )

2. 在直角坐标系中,直线 y ? ? 3x ? 1 的倾斜角为(

A.

2? 3

B.

? 6

C.

5? 6

D.

? 3
( )

3.在等差数列 {a n } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {a n } 的前 5 项和 S 5 = A.7 B.15 C.20 D.25

??? ? ???? ? ? ??? ? 4. 在平行四边形 ABCD 中,点 E 为 CD 中点, AB ? a, AD ? b ,则 BE 等于

1? ? 1? ? 1? ? 1? ? B. ? a ? b C. a ? b D. a ? b 2 2 2 2 5.已知 ? , ? 是两个不同的平面, l , m, n 是不同的直线,下列命题不正确的是 ( ...
A. ? a ? b A. 若 l / / m, l ? ? , m ? ? , 则 l / /? ; B.若 l ? m, l ? n, m ? ? , n ? ? , 则 l ? ? ; ? C.若 ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? ? , m ? l , 则 m ? ? ; D.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? , ,则

)

m?n
6 设 x, y ? R,向量 a ? ?x,1?, b ? ?1, y ?, c ? ?2,?4? ,且 a ? c, b // c ,则 a ? b ? __ ( A. 5 B. 10 ) . y=x+a y=xa x y=ax y 1 o y=x+a x y 1 o 1 y=x+a y=log ax x C. 2 5 D.10

?

?



7. 下列函数图象中,正确的是( y 1 o A y=x+a y=xa x o y 1

B

C

D

8.如图,已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形, PA ? 平面ABC, PA ? 2 AB ,则 下列结论正确的是 A. PB ? AD

5

B.平面 PAB ? 平面PBC C. 直线 BC ∥平面 PAE D. 直线PD与平面ABC所成的角为45
?

9.课题组进行城市空气质量调查,按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组,对应城市数 分别为 4,12,8.若用分层抽样抽取 6 个城市,则丙组中应抽取的城市数为____. 10. 如图, 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的正三角形, 俯视图是一个圆,那么该几何体的体积是________.

?x ? 2 ? 11.若 ? y ? 2 ,则目标函数 z ? x ? 3 y 的最小值是 ?x ? y ? 6 ?



12 . 已 知 a, b, c 分 别 是 ?ABC 的 三 个 内 角 A、B、C 所 对 的 边 , 若

a ? 1, b ? 3, A ? C ? 2 B ,则 sin A ? ____________.
1

y

3x ? y ? 3 ? 0

13.向右图所示的正方形随机投掷飞镖, 则飞镖落在阴影部分的概率为 。
-1 O -1 1 x

(第 12 题)

14.如图,点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上,且 PB=OB=2,PC 切圆 O 于 C 点,CD⊥AB 于 D 点,则 CD=________. 2 解析: 由切割线定理知,PC =PA·PB, 解得 PC=2 3. PC·OC 2 3×2 又 OC⊥PC,故 CD= = = 3. PO 4 答案: 3 15.已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图象经过点 0

?π 1? M ? ,?. ? 3 2?
(1)求 f ( x) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13

解: (1)依题意有 A ? 1 ,则 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,将点 M (

? 1

? 1 , ) 代入得 sin( ? ? ) ? , 3 2 3 2

6

5 ? ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 3 6 2 2 3 12 (2)依题意有 cos ? ? , cos ? ? , 5 13
而 0 ? ? ? ? ,?

?

而 ? , ? ? (0,

?

3 4 12 5 ) ,? sin ? ? 1 ? ( ) 2 ? ,sin ? ? 1 ? ( ) 2 ? , 5 5 13 13 2

3 12 4 5 56 . ? ? ? ? 5 13 5 13 65 y 16.(本小题 12 分)如图,矩形 ABCD 的两条对角线相
故 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 交 于 点 M ( 2 0 , AB 边 所 在 直 线 的 方 程 为 , )

C
x ? 3 y ? 6 ? 0 , 点 T (?11) 在 AD 边所在直线上. ,
(I)求 AD 边所在直线的方程; (II)求矩形 ABCD 的面积 . 15.(本小题 12 分)

T D O A

M B

x

解: (I)因为 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,且 AD 与 AB 垂直, 所以直线 AD 的斜率为 ?3 .又因为点 T (?11) 在直线 AD 上, , 所以 AD 边所在直线的方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1) . 3x ? y ? 2 ? 0 .-----------------6 分 (2)点 M 到 AB 边的距离是 d1 ?

2?6 1 ? ( ?3)
2 2

?

4 10

?

2 10 ----------------8 分 5

点 M 到 AD 边的距离是 d 2 ?

3? 2 ? 2 3 ?1
2 2

?

8 10

?

4 10 ----------------10 分 5

所以,矩形 ABCD 的面积 S= 2 ?

2 10 4 10 64 ? 2? ? ----------------12 分 5 5 5

(第 2 小题其它解法相应给分) 17. 在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

D1

C1

E 是线段 A1C1 的中点, AC ? BD ? F .
(Ⅰ) 求证: CE ? BD ; (Ⅱ) 求证: CE ∥平面 A1 BD ; (Ⅲ) 求三棱锥 D ? A1BC 的体积.

E
A1 B1

D
F A
第 3 题图

C
A

B

7

解: (Ⅰ)证明:根据正方体的性质 BD ? AC ,…………………………………………2 分

BD 因为 AA1 ? 平面ABCD , ? 平面ABCD ,所以 BD ? AA1 ,又 AC ? AA1 ? A
所 以

BD ? 平面ACC1 A1



CE ? 平面ACC1 A1







CE ? BD ;…………………………………5 分
AA (Ⅱ)证明:连接 A1 F ,因为 AA1 // BB1 // CC1 , 1 ? BB1 ? CC1 , AC 所以 ACC1 A1 为平行四边形,因此 AC1 // AC , 1 1 ? AC 1
由于 E 是线段 A1C1 的中点,所以 CE // FA1 ,…………………8 分

D1

E
A1 B1

C1

D
因为 FA1 ? 面 A1 BD , CE ? 平面 A1 BD , 所以 CE ∥平面 A1 BD ……………………………………10 分 (Ⅲ) VD ? A1BC ? VA1 ? BCD ?

C

A

F B

1 a3 ……………………………………………12 分 ? S?BCD ? A1 A ? 3 6
a1 a2 a4

1 1 1 18 ( 12 分)已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a∈R), , , 成等比数列. (1) 且 求数列{an}的通项公式; 1 * (2)对 n∈N ,试比较 + 1

a2

a 22 a 23
2



1

+…+

1

a 2n
a2

1 与 的大小.

a1

1 2 1 1 [解] (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意可知( ) = · ,

a1 a4

即(a1+d) =a1(a1+3d),从而 a1d=d .┄(2 分)因为 d≠0.所以 d=a1=a.┄ (5 分) 1 故通项公式 an=na.┄ (6 分) (2)记 Tn= + 1

2

a2

a 22
n

+…+

1

a 2n

,因为 a2n=2 a, (7 分)

n

1 1 ? 1-? ? 2 1 1 1 1 1 2 所以 Tn= ( + 2+…+ n)= · a 2 2 2 a 1 1- 2

?

1 1 n = [1-( ) ]. (10 分) a 2

1 1 从而,当 a>0 时,Tn< ;当 a<0 时,Tn> .┄┄┄┄(12 分)

a1

a1

19:如图 13-4-9(1),在直角梯形 ABCP 中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD=2, E、F、G 分别是线段 PC、PD、BC 的中点.现将△PDC 折起,使平面 PDC⊥平面 ABCD

8

(1)求证:AP∥平面 EFG; (2)求二面角 G-EF-D 的大小. 解析:(1)如图 取 AD 中点 M,连接 FM、MG. 由条件知 EF∥DC∥MG, ∴E、F、M、G 四点共面. 又由三角形中位线定理知 MF∥PA , ∵ PA ? 平面 EFG., MF ? 平面 EFG. ∴AP∥平面 EFG. (2)由条件知,CD⊥AD,CD⊥PD, AD ∩ PD ∴CD⊥平面 PAD. 又 EF 为三角形 PCD 的中位线, ∴ EF∥CD, ∴EF⊥平面 PAD, 即 DP⊥EF,MF⊥EF. ∴∠MFD 为二面角 G-EF-D 的平面角. 在 Rt△FDM 中,易知 DM=DF=1. ∴MFD=45°,即二面角 G-EF-D 的大小为 45°. 2 20. (2011 年广东广州综合测试)已知函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)满足 f(0)=0, 对于 ? 1 ? ? 1 ? 任意 x∈R 都有 f(x)≥x,且 f?- +x?=f?- -x?,令 g(x)=f(x)-|λ x-1|(λ >0). ? 2 ? ? 2 ? (1)求函数 f(x)的表达式; (2)求函数 g(x)的单调区间. 10.解:(1)∵f(0)=0,∴c=0. ? 1 ? ? 1 ? ∵对于任意 x∈R 都有 f?- +x?=f?- -x?, ? 2 ? ? 2 ? 1 b 1 ∴函数 f(x)的对称轴为 x=- .即- =- .解得 a=b. 2 2a 2 2 又 f(x)≥x,即 ax +(b-1)x≥0 对于任意 x∈R 都成立, 2 ∴a>0,且 Δ =(b-1) ≤0. 2 ∵(b-1) ≥0,∴b=1,a=1. 2 ∴f(x)=x +x.

?x +? ? (2)g(x)=f(x)-|λ x-1|=? ?x +? ?
2 2

1-λ ? 1+λ ?

1? ? x+1 ?x≥ ?, λ

?

?

? ? x-1 ?x< ?. λ ? ?
1

1 λ -1 2 ①当 x≥ 时,函数 g(x)=x +(1-λ )x+1 的对称轴为 x= , λ 2 λ -1 1 ?1 ? 若 ≤ ,即 0<λ ≤2,函数 g(x)在? ,+∞?上单调递增. 2 λ ?λ ? λ -1 1 λ -1? λ -1 1 ? ,+∞?上单调递增,在? , 若 > ,即 λ >2,函数 g(x)在? ? ?λ ?上单调 2 ? 2 λ ? 2 ? ? 递减. 1 1+λ 1 2 ②当 x< 时,函数 g(x)=x +(1+λ )x-1 的对称轴为 x=- < , λ 2 λ
9

? 1+λ , 1 ?上单调递增,在?-∞,-1+λ ?上单调递减. 则函数 g(x)在?- ? 2 λ ? 2 ? ? ? ? ? 1+λ ? ,+∞?,单调递减区间 综上所述,当 0<λ ≤2 时,函数 g(x)单调递增区间为?- ? 2 ? ? 1+λ ? ? 为?-∞,- . 2 ? ? ? ? 1+λ , 1 ?和?λ -1,+∞?,单调递减区间 当 λ >2 时,函数 g(x)单调递增区间为?- ? ? ? 2 λ ? ? 2 ? ? 1+λ ? ? 1 λ -1? ? 为?-∞,- 和 , . 2 ? ?λ 2 ? ? ? ? ?

10


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