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2010年高考理科数学试题全国卷I


2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+ 理科数学(必修+选修 II)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第 I 卷 1 至 2 页.第Ⅱ卷 3 至 4 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷
注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名,准 考证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号,姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效. ......... 3.第 I 卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.参考公式: 参考公式: 参考公式 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果事件 A,B 相互独立,那么

S = 4π R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P ( Ai B ) = P ( A)i P ( B )
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

3 V = π R3 4
其中 R 表示球的半径

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) = Cn p k (1 p )n k (k = 0,1, 2, …n)

一.选择题 (1)复数

(A)i (B) i (C)12-13 i (D) 12+13 i 1.A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧. 【解析 1】

3 + 2i = 2 3i

3 + 2i (3 + 2i )(2 + 3i ) 6 + 9i + 4i 6 = = =i. 2 3i (2 3i )(2 + 3i ) 13 3 + 2i 3i 2 + 2i = =i 2 3i 2 3i

【解析 2】

(2)记 cos( 80°) = k ,那么 tan100° =

A.

1 k2 k

B. -

1 k2 C. k

k 1 k2

D. -

k 1 k2

-1-

2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式,同角三角函数关系式等三角函数知识,并突出 了弦切互化这一转化思想的应用. 【解析 1】 sin 80 = 1 cos 80 = 1 cos (80 ) = 1 k ,所以 tan100° = tan 80
2 2 2

=


sin 80 1 k 2 = . cos 80 k
解 析 2 】

cos(80°) = k

cos(80°) = k

,

0 0 sin1000 sin (180 80 ) sin 80o tan100° = = = con100o con (1800 800 ) con80o

1 k 2 = k
y ≤ 1, (3)若变量 x, y 满足约束条件 x + y ≥ 0, 则 z = x 2 y 的最大值为 x y 2 ≤ 0,
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识,作图,识图能力及计算能力. 【解析 1】画出可行域(如右图) ,由图可知,当直线 l 经过点 A(1,-1)时,z 最大,且最大值为

zmax = 1 2 × (1) = 3 .
y

x+ y =0

A

y=x l0 : x 2 y = 0

1

O
A

2

x

x y2=0

2

【解析 2】 z = x 2 y y =

1 1 x z ,画图知过点 (1, 1) 是最大, zMax = 1 2 ( 1) = 3 2 2

(4)已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 =5, a7 a8 a9 =10,则 a4 a5 a6 = (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质,指数幂的运算,根式与指数式的互化等知

-2-

识,着重考查了转化与化归的数学思想. 【 解 析 1 】
3 由 等 比 数 列 的 性 质 知 a1a2 a3 = (a1a3 )ia2 = a2 = 5 ,

3 a7 a8 a9 = (a7 a9 )ia8 = a8 = 10,所以 a2 a8 = 50 3 ,

1

所以 a4 a5 a6 = (a4 a6 )ia5 = a = ( a2 a8 ) = (50 ) = 5 2
3 5 3

1 6 3

(5) (1 + 2 x )3 (1 3 x )5 的展开式中 x 的系数是 (A) -4
【 解

(B) -2


(C) 2
2 】

(D) 4
a1a2 a3
=5
3 a2 = 5

;

3 6 3 3 3 a7 a8 a9 =10 a8 = 10, a5 = a2 a8 = 50 a4 a5 a6 = a5 = 5 2 ,

5.C【解析】
2 (1 + 2 x ) (1 3 x ) = 1 + 6 x 2 + 12 x + 8 x 2 1 5 x 3 + 10 x 3 10 x + 5 x 3 x 3
3 5



1

3



1

2

4

5



x 的系数是 -10+12=2

(6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门, 若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种

6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理,组合知识,以及分类讨论的数 学思想.
【解析 1】 :可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 C3C4
1 2

1 种不同的选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 C32C4 种不同的选 1 1 法.所以不同的选法共有 C3C42 + C32C4 = 18 + 12 = 30 种.

【解析 2】 C7 C3 C4 = 30
3 3 3

(7)正方体 ABCD- A1B1C1 D1 中,B B1 与平面 AC D1 所成角的余弦值为

-3-

A

2 3

B

3 3

C

2 3

D

6 3

7.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质,直线与平面所成的角,点到平面的距离的求 法,利用等体积转化求出 D 到平面 AC D1 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具 体体现. A1 O D C 【解析 1】因为 BB1//DD1,所以 D1 B1 C1

B B1 与平面 AC D1 所成角和 DD1 A
1

B



平面 AC D1 所成角 相等,设 DO⊥平面 AC D1 ,由等体积法得 VD ACD = VD ACD ,即
1

1 1 S ACD1 DO = S ACD DD1 .设 DD1=a, 3 3
则 S ACD1 =

1 1 3 3 2 1 1 AC i AD1 sin 60 = × ( 2a )2 × = a , S ACD = ADiCD = a 2 . 2 2 2 2 2 2

所 以 DO =

S ACD i DD1 a3 3 = = a , 记 DD1 与 平 面 AC D1 所 成 角 为 θ , 则 2 S ACD1 3 3a

sin θ =

DO 3 6 = ,所以 cos θ = . DD1 3 3

【解析 2】设上下底面的中心分别为 O 1 , O ;O 1 O 与平面 AC D1 所成角就是 B B1 与平面 AC D1 所成角, cos ∠O1OD1 =

O1O 3 6 = 1/ = OD1 3 2

(8)设 a= log 3 2,b=In2,c= 5 A a<b<c Bb<c<a



1 2

,则 D c<b<a

C c<a<b

8.C 【命题意图】本小题以指数,对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质,实数大 小的比较,换底公式,不等式中的倒数法则的应用. 【解析 1】 a= log 3 2=
1 2

1 1 , b=In2= ,而 log 2 3 > log 2 e > 1 ,所以 a<b, log 2 3 log 2 e

c= 5



=

1 ,而 5 > 2 = log 2 4 > log 2 3 ,所以 c<a,综上 c<a<b. 5
-4-

【 解 析 2 】 a= log 3 2=
1 2

1 1 1 1 1 e 3 ,b=ln2= , 1 < log 2 < log 2 < 2 , < < <1; 3 e 3 log 2 log 2 2 log 2 log e 2

c= 5



=

1 1 1 < = ,∴c<a<b 5 4 2
2 2
0

(9)已知 F1 , F2 为双曲线 C: x y = 1 的左,右焦点,点 p 在 C 上,∠ F1 p F2 = 60 ,则 P 到 x 轴的距离为 (A)

3 2

(B)

6 2

(C)

3

(D)

6

9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质,第二定义,余弦定理,考查转化的数学 思想,通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【 解 析 1 】 不 妨 设 点 P ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线 的 右 支 , 由 双 曲 线 的 第 二 定 义 得

| PF1 |= e[ x0 (
定理得 cos∠ F1 P F2 =

a2 a2 )] = a + ex0 = 1 + 2 x0 ,| PF2 |= e[ x0 )] = ex0 a = 2 x0 1 .由余弦 c c

| PF1 |2 + | PF2 |2 | F1 F2 |2 (1 + 2 x0 ) 2 + ( 2 x0 1)2 (2 2)2 0 ,即 cos 60 = , 2 | PF1 || PF2 | 2(1 + 2 x0 )( 2 x0 1)

解得 x0 =
2

5 3 6 2 2 ,所以 y0 = x0 1 = ,故 P 到 x 轴的距离为 | y0 |= 2 2 2
析 2 】 由 焦 点 三 角 形 面 积 公 式 得 :





S F1PF2 = b 2 cot

θ
2

= 12 cot

600 1 1 6 = 3 = 2c h = 2 2 h h = 2 2 2 2

(10)已知函数 F(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A) (2 2, +∞ ) (B) [2 2, +∞) (C) (3, +∞) (D) [3, +∞)

10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质,函数的单调性,函数的值域,考生在做 本小题时极易忽视 a 的取值范围,而利用均值不等式求得 a+2b = a + 也是命题者的用苦良心之处. 【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去),或 b = 又 0<a<b,所以 0<a<1<b,令 f ( a ) = a +

2 > 2 2 ,从而错选 A,这 a

1 2 ,所以 a+2b= a + a a

2 ,由"对勾"函数的性质知函数 f ( a ) 在 a ∈ (0,1)上为 a

-5-

减函数,所以 f(a)>f(1)=1+

2 =3,即 a+2b 的取值范围是(3,+∞). 1

0 < a < 1 0 < x < 1 , 利用线性规划得:1 < y , z = x + 2y 求 【解析 2】 0<a<b,且 f(a)=f(b)得:1 < b 由 ab = 1 xy = 1
的取值范围问题, z = x + 2 y y = 最小为 3,∴(C) (3, +∞) (11)已知圆 O 的半径为 1,PA,PB 为该圆的两条切线,A,B 为俩切点,那么 PA PB 的最 小值为 (A) 4 + 2 (B) 3 + 2 (C) 4 + 2 2 (D) 3 + 2 2

1 1 1 1 x + z , y = y′ = 2 < 1 过点 (1,1) 时 z 2 2 x x

11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求 法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析 1】如图所示:设 PA=PB= x ( x > 0) ,∠APO= α ,则∠APB= 2α , PO= 1 + x , sin α =
2

A

1 1 + x2

,

O

P

PA PB =| PA | | PB | cos 2α = x 2 (1 2sin 2 α ) =

x 2 ( x 2 1) x 4 x 2 = 2 , x2 + 1 x +1

B

令 PA PB = y ,则 y =

x4 x2 2 ,即 x 4 (1 + y ) x 2 y = 0 ,由 x 是实数,所以 x2 + 1

= [(1 + y )]2 4 × 1× ( y ) ≥ 0 , y 2 + 6 y + 1 ≥ 0 ,解得 y ≤ 3 2 2 或 y ≥ 3 + 2 2 .故

( PA PB )min = 3 + 2 2 .此时 x =

2 1 .
2

θ PA PB = ( PA)( PB ) cos θ = 1/ tan cos θ 【解析 2】 法一: 设 ∠APB = θ , 0 < θ < π , 2
2 θ 2θ 1 sin 1 2sin 2 2 2 1 2sin 2 θ = = θ θ 2 sin 2 sin 2 2 2
cos 2

θ

法二:换元: x = sin

2

θ
2

, 0 < x ≤ 1,

PA PB =

(1 x )(1 2 x ) = 2 x + 1 3 ≥ 2
x x

2 3

-6-

或建系:园的方程为 x + y = 1 ,设 A( x1 , y1 ), B ( x1 , y1 ), P ( x0 , 0) ,
2 2
2 PA PB = ( x1 x0 , y1 ) ( x1 x0 , y1 ) = x12 2 x1 x0 + x0 y12

AO ⊥ PA ( x1 , y1 ) ( x1 x0 , y1 ) = 0 x12 x1 x0 + y12 = 0 x1 x0 = 1
2 2 2 PA PB = x12 2 x1 x0 + x0 y12 = x12 2 + x0 (1 x12 ) = 2 x12 + x0 3 ≥ 2 2 3

(12)已知在半径为 2 的球面上有 A,B,C,D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最 大值为 (A)

2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算,球的性质,异面直线的距离,通过球 这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【解析 1】过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h ,则有

1 1 2 V四面体ABCD = × 2 × × 2 × h = h ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, hmax = 2 22 12 = 2 3 ,故 3 2 3

Vmax =

4 3 . 3

【解析 2】

-7-

绝密★启用前

2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II) 第Ⅱ卷
注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名,准考 证号填写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号,姓名和科目. 2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,在试题卷上作答无效. ......... 3.第Ⅱ卷共 l0 小题,共 90 分.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. (注意:在试题卷上作答无效)
(13)不等式 2 x + 1 x ≤ 1 的解集是
2

.

13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法,利用平方去掉根号是解根式不等 式的基本思路,也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.

2 x 2 + 1 ≤ ( x + 1)2 , 【解析 1】原不等式等价于 解得 0≤x≤2. x +1 ≥ 0
【解析 2】

2 x 2 + 1 ≤ (1 + x )2 2x + 1 x ≤ 1 2x +1 ≤ 1 + x 0 ≤ x ≤ 2 { x 0 ≤ x ≤ 2} , 1 + x ≥ 1 3 π (14)已知 α 为第三象限的角, cos 2α = ,则 tan( + 2α ) = . 5 4
2 2

-8-

14.

1 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断,同角三角函数关系,和角的正 7

切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【 解 析 1 】 因 为 α 为 第 三 象 限 的 角 , 所 以 2α ∈ (2(2k + 1)π , π + 2(2k + 1)π )( k ∈ Z ) , 又

3 π 4 cos 2α = <0, 所以 2α ∈ ( + 2(2k + 1)π , π + 2(2k + 1)π )(k ∈ Z ) ,于是有 sin 2α = , 5 2 5 4 π tan + tan 2α 1 sin 2α 4 π 3 =1. 4 tan 2α = = ,所以 tan( + 2α ) = = 4 π cos 2α 3 4 7 1 tan tan 2α 1 + 4 3 3 3 【解析 2】 α 为第三象限的角, cos 2α = , 2kπ + π < α < 2kπ + π 5 2 4 4kπ + 2π < 2α < 4kπ + 3π 2α 在二象限, sin 2α = 5
sin( + 2α ) sin cos 2α + cos sin 2α π cos 2α + sin 2α 1 4 4 4 tan( + 2α ) = = = = π π π 4 7 cos( + 2α ) cos cos 2α sin sin 2α cos 2α sin 2α 4 4 4
(15)直线 y = 1 与曲线 y = x x + a 有四个交点,则 a 的取值范围是
2

π

π

π

.

15.(1, ) 【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质,不等式的解 法,着重考查了数形结合的数学思想. 【解析 1】如图,在同一直角坐标系内画出直线 y =1 与曲线

5 4

x=

1 2
a

y

x=

1 2

y = x2 x + a
y=1 x

a > 1 2 y = x x + a , 观 图 可 知 , a 的 取 值 必 须 满 足 4a 1 , 解 得 4 <1 1< a < 5 . 4

O

y=

4a 1 4

【解析 2】由数型结合知: a

1 5 <1< a 1< a < 4 4 (16)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D ,且 uu r uur BF = 2FD ,则 C 的离心率为 .

16.

3 3

【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质,第二 定义,平面向量知识,考查了数形结合思想,方程思想,本 题凸显解析几何的特点: "数研究形,形助数" ,利用几何性 质可寻求到简化问题的捷径.

y
B

-9-

O D1

F D

x

【解析 1】如图, | BF |=

b2 + c2 = a ,

作 DD1 ⊥ y 轴于点 D1,则由 BF = 2FD ,得

uu r

uur

| OF | | BF | 2 3 3 = = ,所以 | DD1 |= | OF |= c , | DD1 | | BD | 3 2 2
即 xD =

3c a 2 3c 3c 2 ,由椭圆的第二定义得 | FD |= e( ) = a 2 c 2 2a
3c 2 2 2 ,整理得 3c 2a + ac = 0 . a 2 . 3
BD 所 成 的 比 为 2 ,

又由 | BF |= 2 | FD | ,得 c = 2a
2 2

两边都除以 a ,得 3e + e 2 = 0 ,解得 e = 1(舍去),或 e =

【解析 2】设椭圆方程为:第一标准形式,F 分

xc =

3y b 3 0 b 0 + 2 x2 3 3 b + 2 y2 b x2 = xc = c; yc = y2 = c = = ,带入 1+ 2 2 2 1+ 2 2 2 2

9 c 2 1 b2 3 + = 1, e = 2 2 4a 4b 3

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. (17)(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效) ............
已知 VABC 的内角 A ,B 及其对边 a ,b 满足 a + b = a cot A + b cot B , 求内角 C . 17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形,利用正弦,余弦定理处理三角形中的边 角关系,突出考查边角互化的转化思想的应用. (18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... .

投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录 用. 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0. 复审的稿件能通过评审的概率为 0. 5, 3. 各专家独立评审. (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数,求 X 的分布列及期望. 18. 【命题意图】本题主要考查等可能性事件,互斥事件,独立事件,相互独立试验,分 布列,数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想,化 归与转化思想.
(19) (本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意: ......... 如图,四棱锥 S-ABCD 中,SD ⊥ 底面 ABCD,AB//DC,AD ⊥ DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ⊥ 平面 SBC .
- 10 -

(Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,二面 角等基础知识,考查空间想象能力,推理论证能力和运算能力.

注意: ......... (20)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知函数 f ( x ) = ( x + 1) ln x x + 1 . (Ⅰ)若 xf '( x) ≤ x 2 + ax + 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x 1) f ( x) ≥ 0 . 【命题意图】本小题主要考查函数,导数,不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数, 不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力,同时也考查了函数 与方程思想,化归与转化思想.

注意: ......... (21)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知抛物线 C : y 2 = 4 x 的焦点为 F,过点 K ( 1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A , B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FAi FB =

8 ,求 BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题,主要考查抛物线的性质,直线与圆 的位置关系,直线与抛物线的位置关系,圆的几何性质与圆的方程的求解,平面向量的数量 积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力,运算能力和解决问题的能力,同 时考查了数形结合思想,设而不求思想.. (22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) 注意: ......... 已知数列 {an } 中, a1 = 1, an +1 = c

1 . an

(Ⅰ)设 c =

5 1 , bn = ,求数列 {bn } 的通项公式; 2 an 2

(Ⅱ)求使不等式 an < an +1 < 3 成立的 c 的取值范围 .
- 11 -

【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式,等比数列的定义,递推数列,不等式等基础 知识和基本技能,同时考查分析,归纳,探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了 对函数与方程思想,化归与转化思想的考查.

- 12 -

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