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1.1.2余弦定理


复习回顾
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C

? 2R

变形: a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C

a : b : c ? sin A : sin B : sin C
可以解决两类有关三角形的问题: (1)已知两角和

任一边。

(2)已知两边和一边的对角。

复习回顾
向量的数量积:a ? b ? a b cos?

勾股定理:

a ?b ? c
2 2

2

A b C c B

证明: ? AB ?

AC ? CB

? AB ? AB ? ( AC ? CB)(AC ? CB) a ? AC ? AC ? 2 AC ? CB ? CB ? CB 2 2 2 2 2 2 ? AB ? AC ? CB ?c ? b ? a

研究:在三角形ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,
∵ BC ? AC ? AB

BC

2

? ( AC ? AB ) 2
2 2

BC ? AC ? AB ? 2 AC ? AB

2

?| AC |2 ? | AB |2 ?2 | AC | ? | AB | ? cos A

即:a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

由此可得:余弦定理
a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B
c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2

三角形任一边的平方等于其他两边平方的和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 应用:已知两边和一个夹角,求第三边.

情景设置:
隧道工程设计,经常要测算山脚的长度,工程
技术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山

脚B、C的距离,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即
线段BC)的张角,最后通过计算求出山脚的长度BC。

已知:AB、 AC、角A (两条边、一个夹角)

隧道工程设计,经常要测算山脚的长度,工程技术人员先 在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B、C的距离,再利用 经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC的张角),最后通过计算求 出山脚的长度BC。 已测得:AB=1千米, 3 AC= 2 千米 角A=60O 求山脚BC的长度.
2 解: BC ?| AB | 2 ? | AC | 2 ?2 | AB | ? AC | ? cos A

3 3 1 7 ? 12 ? ( ) 2 ? 2 ? 1? ? ? 2 2 2 4

7 ? BC ? 2

由余弦定理变形得:
b2 ? c2 ? a2 cos A ? 2bc

a 2 ? c2 ? b2 cos B ? 2ac

a2 ? b2 ? c2 cosC ? 2ab

应用:已知三条边求角度.

例3:在⊿ABC中,已知b=60cm,c=34cm,A=41°,解三角形 (角度精确到1°,边长精确到1cm). 解:根据余弦定理,a? =b? +c? -2bccosA =60? +34? -2×60×34× cos41°≈1676.82

所以 a≈41(cm)
由正弦定理得,

c sin A 34 sin 41? 34 ? 0.656 sin C ? ? ? ? 0.5440. a 41 41
因为c不是三角形中最大的边,所以C是锐角,利用计算器得 C≈33° B=180°-(A+C)=180°-(41°+33°)=106°

例4,在⊿ABC中,已知a=4cm,b=5cm,c=6cm,解三角形(角度 精确到0.1度)。 解:由余弦定理的推论得:

52 ? 62 ? 42 45 cos A ? ? ? 0.75 2? 5? 6 60

A≈41.40
c 2 ? a 2 ? b2 62 ? 42 ? 52 cos B ? ? ? 0.5625 2ca 2? 6? 4
B≈55.8° C= 180°-(A+B)≈ 180°-( 41.4°+ 55.8° ) =82.8°

课堂练习:
练习1、在△ABC中,已知 a ? 6, b ? 2, c ? 3 ? 1 求角A、B、C。
练习2、在△ABC中,已知 a ? 2 3, c ? 6 ? 2, B ? 45O
求b及A

练习3、在△ABC中,a 2 ? b 2 ? c 2 ,那么A是( )
A、钝角 B、直角

C、锐角

D、不能确定
那 a 2 ? b 2 ? c 2 呢?

提炼:设a是最长的边,则
△ABC是钝角三角形 ? a
△ABC是锐角三角形
2

? b2 ? c2
2 2

? a ?b ?c
2
2

△ABC是直角角三角形 ? a

? b2 ? c2

练习4、 △ABC中, a ? 3, b ?

7 , c ? 2求B,

并判断△ABC的形状。

13 练习5、在三角形ABC中,已知a=7,b=8,cosC= 14 ,
求最大角的余弦值.

分析:求最大角的余弦值,最主要的是判断哪 个角是最大角。由大边对大角,已知两边可求 出第三边,找到最大角。
2 ? 2 ? 2abcosC ? c a b 解: ?72 ?82 ?2?7?8?13 ?9 14 ?c ?3
2

则有:b是最大边,那么B 是最大角

cos B ? a c b ? 3 7 8 ?? 1 2ac 2?3?7 7

2? 2? 2

2? 2? 2

练习6、一钝角三角形的边长为连续自然数,则这三边长为(B )
A、1,2,3 B、2,3,4 C、3,4,5 D、4,5,6

分析: 要看哪一组符合要求,只需检验哪一个选项 中的最大角是钝角,即该角的余弦值小于0。

A、C显然不满足
B中: cosC ? 2
2? 2? 2

3 4 ?? 1 ,所以C是钝角 4 2?2?3
2? 2? 2

D中:cosC ? 4

5 6 ? 1 ,所以C是锐角, 2?4?5 8 因此以4,5,6为三边长的三角形是锐角三角形

练习7、 在△ABC中 ,已知sinA=2sinBcosC,试判断 该三角形的形状。

课后练习:
1.在△ABC中,如果sinA:sinB:sinC=2:3:4, 求cosC

2. 已知a ? 7,b ? 4 3,c ? 13 ,求最小的内角。
3.在△ABC中 ,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,

求A的度数。
4.在△ABC中 ,已知2a=b+c,sin2A=sinBsinC, 试判断该三角形的形状。

总结
(1)余弦定理:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

b2 ? c2 ? a2 cos A ? 2bc

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B
c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

c2 ? a2 ? b2 cos B ? 2ac

a2 ? b2 ? c2 cosC ? 2ab

(2)余弦定理适用于任何三角形
(3)余弦定理的作用: a、已知三边,求三个角 b、已知两边及这两边的夹角,求第三边, 进而可求出其它两个角

c、判断三角形的形状 (4)由余弦定理可知:

A ? 90? ? a2 ? b2? c2

A?90? ? a2 ?b2? c2 A?90? ? a2 ?b2? c2

作业

?P10T4


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