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浙江省杭州市第二中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题


杭州二中 2015 学年第一学期高一年级期终考试数学试卷
本 试卷分为第Ⅰ卷(选择题和填空题)和第Ⅱ卷(答题卷)两部分,满分 100 分,考试时间 100 分钟 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 A ? ?a, b? ,则满足 A ? B ? ?a, b, c? 的集合

B 的个数是( ) A.2 B.3
x ?2 3

C.4

D.9 )

?1? 2.函数 f ? x ? ? x ? ? ? ?2?

的零点所在区间为( D. (3, 4)

A. (0,1) B. (1, 2) C. (2,3)

3.已知 O 为坐标原点,向量 OA ? ?1,3? , OB ? ? 3, ?1? ,且 AP ? 2 PB ,则点 P 的坐标为(

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?



? ) C. ( , ) D. ? ?2, 4? A. ? 2, ?4 ? B. ( ,
4.若当 x ? R 时,函数 f ( x) ? a 始终满足 0 ? f ( x ) ?1 ,则函数 y
x

2 3

4 3

7 1 3 3

? log a

1 x

的图象大致为(



2 5.已知函数 f ? x ? ? log sin1 x ? ax ? 3a 在 ? 2, ?? ? 单调递减,则实数 a 的取值范围是(

?

?



A. ? ??, 4? 6. k ? Z 时, A.-1

B. ? 4, ?? ? C. ? ?4, 4?

D. ? ?4, 4? )

sin(k? ? ? ) ? cos(k? ? ? ) 的值为( sin[(k ? 1)? ? ? ] ? cos[(k ? 1)? ? ? ]
C.±1 D.与 ? 取值有关

B.1

7. 曲线 y ? A sin ? x ? a( A ? 0, ? ? 0) 在区间 [0, 则下列对 A, a 的描述正确的是( A. a ? )

2?

?

] 上截直线 y ? 2 及 y ? ?1 所得的弦长相等且不为 0 ,

1 3 ,A? 2 2

B. a ?

1 3 ,A? 2 2

C. a ? 1, A ? 1

D. a ? 1, A ? 1 )

8.己知函数 f ( x) ? ( x ?1)(log3 a)2 ? 6(log3 a) x ? x ? 1 在 x ? [0,1] 内恒为正值,则 a 的取值范围是( A. ?1 ? a ?

1 3

B. a ?

1 3

C. a ? 3 3

D.

9.已知函数 y ? f ? x ? 的图像是由 y ? sin 2 x 向右平移 A. f ? 0 ? ? f ? 2 ? ? f ? 4 ?

?
12

1 ?a? 33 3


得到,则下列结论正确的是(

B. f ? 2 ? ? f ? 0 ? ? f ? 4 ?
1

C. f ? 0 ? ? f ? 4 ? ? f ? 2 ? 10. 若 ? ??0, ? ? , ? ? ? ?

D. f ? 4 ? ? f ? 2 ? ? f ? 0 ?
3

1 ?? ? ? ?? ? , ? , ? ? R ,且 ? ? ? ? ? cos ? ? 2? ? 0 , 4 ? 3 ? sin 2? ? ? ? 0 , 2 2? ? 4 4? ?


则 cos ?

?? ? ? ? ? 的值为 ( ?2 ?
1 2 3 C. D. 2 2 2

A. 0 B.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.
? 11.已知幂函数 f ? x ? ? k ? x 的图象过点 ( , 2) ,则 k ? ? ? _______.

1 2

12.已知弧长为 ? cm 2 的弧所对的圆心角为 13.已知 0 ? x ?

?
2

, sin x ? cos x ?

?
4

? ,则这条弧所在的扇形面积为_______ cm2 . 4
a 1 可表示成 的形式( a, b, c 为正整数) ,则 b ?? c tan x

.若 tan x ?

a ? b ? c ? _____________.
14 . 下 列 命 题 : (1) y ? cos ? ? 2x ?

?

? ? 最 小 正 周 期 为 π ; (2) 函 数 y ? t an x 的 图 象 的 对 称 中 心 是 ?
6?
2

( k? ,0), k ? Z ;(3) f ? x ? ? tan x ? sin x 在( -
误 的是_____________. .

? ? ? ?? ? π π , )上有 3 个零点; (4)若 a//b, b// c ,则 a // c .其中错 . 2 2

15.在锐角 ?ABC 中, AC ? BC ? 2 , CO ? xCA ? yCB (其中 x ? y ? 1 ) ,函数 f (? ) ?| CA ? ?CB | 的 最小值为 3 ,则 | CO | 的最小值为___________.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? 1 ? 1? ? x ? 2 , x ? ?0, 2 ? ? ? ? 16.已知函数 f ? x ? ? ? ,若存在 x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? f ( x2 ) 的取值范围 ?3x 2 , x ? ? 1 ,1? ? ? ?2 ? ? ?
为____________.

2

杭州二中2015学年第一学期高一年级期终考试数学答题卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四项中,只有一项是符合题目要 求的. 题号 答案 二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11._____ ______12.___________

13.___________

14.___________

15.___________

16.___________

三、解答题:本大题共4小题.共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
x 17. (本小题满分 10 分)已知集合 A ? x | 3 ? 3 ? 27 , B ? {x | log2 x ? 1} .

?

?

(1)分别求 A ? B , A ? B ; (2)已知集合 C ? ?x |1 ? x ? a? ,若 C ? A ,求实数 a 的取值范围.

3

18. (本题满分 12 分) 已知点 A x1, f ? x1 ? , B x2 , f ? x2 ? 是函数 f ? x ? ? 2sin ??x ? ? ? (? ? 0, ?

?

?

?

?

?
2

? ? ? 0) 图象上的任意两

点,且角 ? 的终边经过点 P 1, ? 3 ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 时, x1 ? x2 的最小值为 (1)求函数 f ? x ? 的解析式;

?

?

? . 3

? 4? 2 (2) 若方程 3? f ( x)? ? f ( x) ? m ? 0 在 x ? ( , ) 内有两个不同的解,求实数 m 的取值范围. 9 9

4

19. (本题满分 10 分) 设 G 为 ?ABC 的重心, 过 G 作直线 l 分别交线段 AB, AC (不与端点重合)于 P, Q . 若

??? ? ??? ? ???? ??? ? A P ?A ? BA Q, A C ?? .
(1) 求

1

?

?

1

?

的值;(2) 求 ? ? ? 的取值范围.

5

20. (本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? a .
2

(1) 若函数 y ? f ? x ? 为偶函数,求 a 的值; (2)若 a ?

1 ,求函数 y ? f ( x ) 的单调递增区间; 2

(3)当 a ? 0 时,若对任意的 x ? [0, ??) ,不等式 f ? x ? 1? ? 2 f ? x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围.

杭州二中2015学年第一学期高一年级期末考试数学答案
6

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 B 5 D 6 A 7 A 8 D 9 A 10 C

二、填空题:本大题 共6小题,每小题4分,共24分. 11. 012. 2? 1 3. 50 15. 3 16. ?

14. (1)(3)(4)

? 3 1? ,? ?16 2 ?

三、解答题:本大题共4小题.共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
x 1 x 3 17. (本小题满分 10 分)解: (1)? 3 ? 3 ? 27 即 3 ? 3 ? 3 ,?1 ? x ? 3 ,? A ? x 1 ? x ?3

?

?,

B ? ?x 0 ? x ? 2
(2)由(1)知

? ,? A ? B ? x |1 ? x ? 2 , A ? B ? x | 0 ? x ? 3} ? ? ?

A ? ?x 1 ? x ?3

? ,当 C ? A

当 C 为空集时, a ? 1 当 C 为非空集合时,可得 综上所述 a ? 3

1? a ? 3

? ? ? ? ? 0 ?? ? ? 2 3. 18. (本题满分 12 分) 解: (1) 角 ? 的终边经过点 P(1, ? 3) ,tan ? ? ? 3 , ,
2? 2? 2? T ? ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 3 ,即 ? 3 ,?? ? 3 . 由 时, | x1 ? x2 | 的最小值为 ,得 3

?

?

f ( x) ? 2sin(3x ? ) 3 ∴
? 4? ? ? x?( , ) 3x ? ? (0, ? ) 0 ? sin(3x ? ) ≤1 9 9 ∴ 3 3 (2) ,∴ .设 f ( x ) ? t ,
问题等价于方程 3t 2 ? t ? m ? 0 在(0,2)仅有一根或有两个相等的根. 2 2 ∵?m = 3t ?t,t ?(0, 2). 作出曲线 C:y = 3t ?t,t ?(0, 2)与直线 l:y = ? m 的图象.
1 1 ? 12 6 ∵t = 时,y = ;t = 0 时,y = 0;t = 2 时,y = 10.

?

∴当 ?m = ?

1 或 0≤?m<10 时,直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点. 12 1 12

∴m 的取值范围是: ?10 ? m ≤ 0 或 m ?

19. (本题满分 10 分)解:(Ⅰ)连结 AG 并延长交 BC 于 M,则 M 是 BC 的中点,设 AB ? b, AC ? c ,则
7

1 1 2 1 ( AB ? AC ) ? (b ? c) , AG ? AM ? (b ? c) 2 2 3 3 ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? 又 AP ? ? AB ? ?b, AQ ? ? ? AC ? ? ? c , ② AM ?



? PQ ? AQ ? AP ? uc ? ?b , PG ? AG ? AP ? 1 (b ? c) ? ? b ? ( 1 ? ? )b ? 1 c
3 3 3
? 1? ? ? ? P, G, Q 三点共线,故存在实数 t ,使 PG ? t PQ ,? ( 1 ? ? )b ? c ? t ? c ? t? b 3 3

?1 ? ? ? ?t ? ? ?3 ?? ?1 ? t? ? ? ?3 ,消 t 得: 1 ? 3? ? ? ,即

1

?

?

?

1

?

?3

? ? 1 ??? b ? AP, ? 1 ???? ? c ? AQ , 或者另一种解法由②式得

?



???? 1 ??? ? 1 ???? AG ? AP ? AQ 3 ? 3 ? 将③代入①得 .? P, G, Q 三点共线, 1 1 ? ?1 3 ? 3 ? 故 ,即 1

?

?

1

?

?3


(Ⅱ) ? ? , ? ? ? 0,1? ? ? ?

1 ? ?1 ? ? ? 0,1? ? ? ? ? ,1? , 即 ? ?1, 2 ? , ? 3? ? 1 ?2 ?

?? ?

?2 1 1 ? ? 1 3 9 3? ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ?( ? ) 2 ? ? ? 2 4 ?2

1
其中 ?

?

3 9 1 3 1 1 3 ? 2 ? ? 1或2 ? 2 ? 2 时, ? ? 有最大值 4 , ? ? 有最小值 2, 时, ?
?4 1 ?. , ? ? ?9 2 ?

于是 ? ? ? 的取值范围是

20. (本题满分 14 分)解:(1)任取 x ? R ,则有 f (? x) ? f ( x) 恒成立, 即 (? x) ? 2 | ? x ? a |? x ? 2 | x ? a | 恒成立
2 2

? | x ? a |?| x ? a | 恒成立,?平方得: 2ax ? ?2ax 恒成立? a ? 0

8

a?
(2)当

1 ? 2 1 x ? 2 x ? 1( x ? ) ? 2 2 时, f ( x) ? x 2 ? 2 | x ? 1 |? ? ? 1 2 ? 2 x ? 2 x ? 1( x ? ) ? ? 2

由函数的图像可知,函数的单调递增区间为 ? ?1, ? ,[1, ??) 。 2

? ?

1? ?

(3)不等式 即:

f ? x ? 1? ? 2 ? x ?

化为

? x ? 1?

2

? 2 x ?1 ? a ? 2x2 ? 4 x ? a
(*)

4 x ? a ? 2 x ? ?1 ? a ? ? x 2 ? 2 x ? 1

对任意的

x ? ? 0, ?? ?

恒成立

因为 a ? 0 ,所以分如下情况讨论: ① 0 ? x ? a 时,不等式(*)化为 ?4( x ? a) ? 2[ x ? (1 ? a)] ? x2 ? 2x ?1 恒成立
2 即 x ? 4 x ? 1 ? 2a ? 0对?x ?[0, a]恒成立

? g ( x) ? x2 ? 4x ? 1 ? 2a ? 0在[0, a] 上单调递增 g ( x)min ? g (0) ? 1 ? 2a ? 0 只需
?0 ? a ? 1 2

②当 a ? x ? a ? 1 时,不等式(*)化为 4( x ? a) ? 2[ x ? (1 ? a)] ? x 2 ? 2 x ?1 恒成立
2 即 x ? 4x ? 1 ? 6a ? 0对?x ? (a, a ? 1]恒成立

0?a?
由①知

1 2 ,?h( x) ? x2 ? 4x ? 1 ? 6a在(a, a ?1]上单调递减

?只需h( x)min ? h(1 ? a) ? a2 ? 4a ? 2 ? 0 ? a ? ?2 ? 6或a ? 6 ? 2
? 6 ?2? 1 1 ? 6 ?2? a ? 2 2
2

③当 x ? a ? 1 时,不等式(*)化为 4( x ? a) ? 2[ x ? (1 ? a)] ? x ? 2 x ?1 恒成立
2 即 x ? 2a ? 3 ? 0对?x ? (a ? 1, ??)恒成立

? ( x) ? x 2 ? 2a ? 3 ? 0在(a ? 1, ??)上单调递增
?只需? ( x)min ? ? (a ? 1) ? a 2 ? 4a ? 2 ? 0
综上所述, a 的取值范围是: 6 ? 2 ? a ?

? a ? ?2 ? 6或a ? 6 ? 2 由②得:
1 2

6 ?2? a ?

1 2

9

10


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