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三明市2014—2015学年第二学期普通高中阶段性考试高二理科数学试题及答案



三明市 2014—2015 学年第二学期普通高中阶段性考试

高二理科数学试题
(考试时间:2015 年 7 月 7 日上午 8:30—10:30
参考公式和数表: 1.独立性检验可信程度表: P(K2>k) K 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072
2

满分:150 分)

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc) 2 独立性检验临界值表参考公式:K = (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

? ? bx ? a ,其中 b ? 2.回归直线的方程是: y

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y ) , a ? y ? bx
i

? (x
i ?1

? x)

2

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项符合题目要求,请把答案填在答题卷相应的位置上. 1.在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点 M 的直 角坐标是 (1, ? 3) ,则点 M 的极坐标为 A. (2 , ? )

π 3

B. (2 , )

π 3

C. (2 ,

2π ) 3

D. (2 , 2kπ+ ) (k ? Z)

π 3

2.已知随机变量 X 服从正态分布 N (3,1) ,且 P (2 ? X ? 4) =0.6826,则 P ( X ? 4) ? A.0.1585
2

B.0.1588

C.0.1587

D.0.1586

3.已知复数 z ? (m ? 1) ? (1 ? m)i , m ? R , i 是虚数单位,若 z 是纯虚数,则 m 的值为 A. m ? ? 1 B. m ? 1 C. m ? ?1
2

D. m ? 0

4. 用反证法证明命题: “若整数系数的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根, 则 a, b, c 中 至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是 A.假设 a, b, c 都是偶数 C.假设 a, b, c 至多有一个是偶数 B.假设 a, b, c 都不是偶数 D.假设 a, b, c 至多有两个是偶数

高二理科数学试题 第 1 页(共 10 页)

5.曲线 y ? x3 在点 x ? 2 处的切线方程是 A. 12 x ? y ? 16 ? 0 B. 12 x ? y ? 32 ? 0 C. 4 x ? y ? 0 D. 4 x ? y ? 16 ? 0

6.学校开设美术、舞蹈、计算机三门选修课,现有四名同学参与选课,且每人限选一门课程,那 么不同的选课方法的种数是 A.12 B.24 C. 64 D.81 7.若随机变量 X 的分布列为:

X p

0 0.3

1 0.7

已知随机变量 Y ? aX ? b (a , b ? R , a ? 0) ,且 E (Y ) ? 10 , D(Y ) ? 21 ,则 a 与 b 的值为 A. a ? 10 , b ? 3 B. a ? 3 , b ? 10 C. a ? 100 , b ? ?60 D. a ? 60 , b ? ?100

8.极坐标方程 ? cos ? ? sin 2? 表示的曲线为 A.一条射线和一个圆 B.一条直线和一个圆 C.两条直线 D.一个圆

9.把一枚硬币任意抛掷三次,事件 A 表示“至少一次出现反面”,事件 B 表示“恰有一次出现正 面”,则 P( B A) 值等于 A.

21 64

B.

7 64

C.

1 7

D.

3 7

10.如图是函数 f ( x ) 的导函数 ... f ?( x) 的图象.现给出如下结论: ① f ( x) 在(-3,-1)上是增函数; ② x ? 4 是 f ( x) 的极小值点; ③ f ( x) 在(-1,2)上是增函数,在(2,4)上是减函数; ④ x ? ?1 一定是 f ( x) 的零点. 其中正确结论的个数是 A. 0 B.1 C.2 D.3 11.一个边长为 6 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形,然后做成一个无 盖方盒.当无盖方盒的容积 V 最大时, x 的值为 A.3 B. 2 C. 1
高二理科数学试题 第 2 页(共 10 页)

D.

1 6

12.已知数集 A ? {a , b , c , d } ,且 a , b , c , d 都是实数,数组 x , y , z , t 是集合 A 中四个元素的某 一排列.设 m ? ( x ? y)2 ?( y ? z )2 ?( z ? t )2 ? (t ? x)2 的所有值构成集合 B ,那么集合 B 的元素 个数是 A.2 B.3 C.4 D.6

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题中,每小题 5 分,共 20 分.请把答案写在答题卷相应位置上. 13.如图,曲边梯形 ABCD 由直线 x ? 1 , x ? e , x 轴及曲 线y?

3 围成,则这个曲边梯形的面积是******. x

(注: e 为自然对数的底数) 14.某田径兴趣小组有 6 名同学组成.现从这 6 名同学中选出 的安排 4 人参加 4 ? 100 接力比赛,则同学甲不跑第一棒 ..... 方法共有******种. 15.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能 耗 y (吨)的 4 组对应数据:

x

2 1.5

4

5 4.2

7 5.5

y

t

? ? 0.7 x ? 0.35 ,那么表中 t 的值 若通过上表的 4 组数据,得到 y 关于 x 的线性回归方程为 y
应为******. 16.已知函数 f ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 ? ? ? 2 3 4

?

x 2015 x 2 x3 x 4 ? ? ? , g ( x) ? 1 ? x ? 2015 2 3 4

?

x 2015 , 2015

设函数 F ( x) ? f ( x ? 4) ? g ( x ? 3) ,且函数 F ( x) 的零点均在区间 [a, b] (a, b ? Z, a ? b) 内, 则 b ? a 的最小值为******. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 设复数 z ? a ? i (a ? 0) , i 是虚数单位,且 | z |? 10 . (Ⅰ)求复数 z ; (Ⅱ)在复平面内,若复数 z ?

m?i (m ? R ) 对应的点在第四象限,求实数 m 取值范围. 1? i

高二理科数学试题 第 3 页(共 10 页)

18. (本小题满分 12 分) 某校高一年级有 200 人,其中 100 人参加数学第二课堂活动. 在期末考试中,分别对参加数学 第二课堂活动的同学与未参加数学第二课堂活动的同学的数学成绩进行调查.按照学生数学成 绩优秀与非优秀人数统计后,构成如下不完整的 2?2 列联表: 优秀 参加数学第二课堂活动 未参加数学第二课堂活动 总计 非优秀 总计 100 200

p q

已知 p 是 (1+2 x)5 展开式中的第三项系数, q 是 (1+2 x)5 展开式中的第四项的二项式系数. (Ⅰ)求 p 与 q 的值; (Ⅱ)请完成上面的 2?2 列联表,并判断若按 99%的可靠性要求,能否认为“成绩优秀与参 加数学第二课堂活动有关” .

19. (本小题满分 12 分) 为了检测某种水果的农药残留,要求这种水果在进入市场前必须对每箱水果进行两轮检测, 只有两轮检测都合格水果才能上市销售,否则不能销售.已知每箱这种水果第一轮检测不合 格的概率为

1 1 ,第二轮检测不合格的概率为 ,每轮检测结果只有“合格” 、 “不合格”两种, 9 10

且两轮检测是否合格相互之间没有影响. (Ⅰ)求每箱水果不能上市销售的概率; (Ⅱ)如果这种水果可以上市销售,则每箱水果可获利 20 元;如果这种水果不能上市销售, 则每箱水果亏损 30 元 (即获利为 ? 30 元) . 现有这种水果 4 箱, 记这 4 箱水果获利的金额为 X 元,求 X 的分布列及数学期望.

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? (Ⅰ) 计算 a1 , a2 , a 3 , a4 ;

n?3 ? an (n ? N? ) . 2

(Ⅱ) 猜想数列 ?an ? 的通项公式 an ,并用数学归纳法加以证明.

高二理科数学试题 第 4 页(共 10 页)

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) , g ( x ) ?

1 . x

(Ⅰ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,试判断函数 F ( x) 在区间 (0, ??) 上是增函数还是减函数? 并证明你的结论;

m 1 1 在区间 [?1 ? 2 ,1 ? 2 ) 上有两不相等的实数根, 求 m 的取值范围; x ?1 e e f ( x) k ? g ( x) ? (Ⅲ)当 x ? 0 时,若 恒成立,求整数 k 的最大值; x x ?1
(Ⅱ) 若方程 f ( x ) ?

22. (本小题满分 10 分)

1 ? x ? t, ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ,在极坐标系中(与 2 (t 为参数) ?y ? 2 5 ? t ?
直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴),曲线 C1 的 极坐标方程为 ? ? 2 . (Ⅰ)判断直线 l 与曲线 C1 的位置关系; (Ⅱ)已知曲线 C2 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cos ? , (? 为参数) ,且 M , N 分别为曲线 C2 的上下 y ? 3 sin ? ? ?
2

顶点,点 P 为曲线 C1 上任意一点,试判断 PM

? PN 是否为定值?并说明理由.

2

高二理科数学试题 第 5 页(共 10 页)

三明市 2014—2015 学年第二学期普通高中阶段性考试

高二理科数学试题参考答案与评分标准
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 B 5 A 6 D 15.2.8 7 A 8 B 16.10 9 D 10 C 11 C 12 B

二、填空题: 13.3 三、解答题:

14. 300

17.解: (Ⅰ)∵ z ? a ? i , | z |? 10 ,∴ | z |?

a 2 ? 1 ? 10 ,?????????2 分
?????????4 分 ?????????5 分 ?????????6 分 ???????7 分 ???????9 分

a 2 ? 9 , a ? ?3 ,又∵ a ? 0 ,
∴ a ? 3, ∴ z ? 3?i . (Ⅱ)∵ z ? 3 ? i ,则 z ? 3 ? i , m?i (m ? i)(1 ? i) m ? 5 (m ? 1)i ? 3?i ? ? ? ∴z? , 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 又∵复数 z ?

m?i 对应的点在第四象限, 1? i
???????11 分

?m ? 5 ? 0, ? ?m ? ?5, ? 2 ∴? 得? ?m ? 1, ? m ? 1 ? 0, ? ? 2 ∴ ? 5 ? m ?1.

???????12 分 ???1 分

r 5?r r r r 18. 解: (Ⅰ)∵ (1+2 x)5 的展开式通项是 Tr ?1 ? C5 1 (2x)r ? C5 2 x , 2 2 2 ∴展开式的第三项是: T2?1 ? C5 2 x ? 40x2 ,

即第三项系数是 p ? 40 . 又∵展开式的第四项的二项式系数为 C ,
3 ∴ q ? C5 ? 10 .
3 5

????3 分 ????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 p ? 40 , q ? 10 ,则 优秀 参加数学第二课堂活动 未参加数学第二课堂活动 总计 40 10 50 非优秀 60 90 150 总计 100 100 200 ???8 分
高二理科数学试题 第 6 页(共 10 页)

200(40 ? 90 ? 10 ? 60)2 k ? =24 ? 6.635, 50 ?150 ?100 ?100
2

????11分

P( K 2 ? 6.635) ? 0.010 ,
所以按照 99%的可靠性要求,能够判断成绩优秀与参加数学第二课堂活动有关. ??12 分 19、解: (Ⅰ)记“每箱水果不能上市销售”为事件 A ,则 P ( A) ? 1 ? (1 ? )(1 ? 所以每箱水果不能上市销售的概率为

1 9

1 1 )? , 10 5

1 . ????3 分 5 (Ⅱ)由已知,可知 X 的取值为 ?120 , ? 70 , ? 20 , 30 , 80 . ????4 分 1 16 4 1 4 4 0 3 1 3 4 1 P( X ? ?120) ? C4 ( ) ( ) ? , P( X ? ?70) ? C4 ( ) ( ) ? , 5 5 625 5 5 625 96 256 2 1 2 4 2 1 1 1 4 3 P( X ? ?20) ? C4 ( ) ( ) ? , P( X ? 30) ? C4 ( ) ( ) ? , 5 5 625 5 5 625 256 0 1 0 4 4 P( X ? 80) ? C4 ( ) ( ) ? . ??????9 分 5 5 625
所以 X 的分布列为:

X P

-120

-70

-20

30

80

1 625

16 625

96 625

256 625

256 625
??????10 分

1 16 96 256 256 E ( X ) ? ?120 ? ? 70 ? ? 20 ? ? 30 ? ? 80 ? ? 40 , 625 625 625 625 625 所以 X 的数学期望为 40 元. ??????12 分
(注: 设 4 箱水果中可销售水果箱数为 Y , 用 Y 为 0, 1, 2, 3, 4, 先求出 P (Y) , 然后算 E ( X ) 的酌情给分). 20. 解:(Ⅰ) a1 ? 1, a2 ? (Ⅱ) 由此猜想 an ?

3 5 , a3 ? , 4 8

a4 ?

9 , 16

???? 4 分 ???? 5 分 ???? 6 分

2 n ?1 ? 1 (n ? N ? ) . 2n 证明:①当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,结论成立.
* ②假设 n ? k ( k ? 1 且 k ∈N )时,结论成立,即 ak ?

2k ?1 ? 1 , ???? 7 分 2k (k ? 1) ? 3 k ?3 1 ? ak ?1 ? ? ak ? ? ak ? ak ?1 , 那么 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? 2 2 2 1 所以 2ak ?1 ? ? ak , ???? 9 分 2
高二理科数学试题 第 7 页(共 10 页)

1 1 2k ?1 ? 1 ? ak ? k ?1 k ?1 k 2k ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 , 则 ak ?1 ? 2 ?2 2 2 2 ? 2k 2k ?1
这表明 n ? k ? 1 时,结论成立, 2 n ?1 ? 1 ( n ? N ? ) 成立. 由①②知 an ? 2n 21.解: (Ⅰ) F ( x) ? ln( x ? 1) ? ??????? 11 分 ????? 12 分 ???????1 分

1 1 1 ? 2, , F ?( x) ? x x ?1 x

由题设 x ? 0 ,所以得 F ?( x) ? 0 , 故 F ( x) 在区间 (0, ??) 上是增函数. (Ⅱ) ∵ f ( x ) ? ???????3 分

m ,∴ ( x ? 1) ln(x ? 1) ? m , x ?1
则 h?( x) ? ln( x ? 1) ? 1 , ???????4 分

设 h( x) ? ( x ? 1)ln( x ? 1)

x
h?( x)
h( x )

??1 ?

1 1 , ?1 ? ) 2 e e
?


?1 ?
0

1 e

1 1 (?1 ? ,1 ? 2 ) e e

?


∵ h(0) ? 0 , h(?1 ? ∴ h(?1 ? ∴?

1 1 1 2 ) ? ? 2 , h(?1 ? ) ? ? , 2 e e e e
???????6 分

1 1 ) ? h(0) ? 0 ,又 h(1 ? 2 ) ? h(0) ? 0 , 2 e e

1 2 ?m?? 2 , e e
1 e

即 m ? (? , ?

m 2 1 1 在区间 [?1 ? 2 ,1 ? 2 ) 有两不相等的实数根. ] 时,方程 f ( x ) ? 2 x ? 1 e e e
???????7 分

(Ⅲ)当 x ? 0 时, ,若 即k ?

f ( x) k ? g ( x) ? 恒成立, x x ?1

x ?1 [1 ? ln( x ? 1)] 在 (0, ??) 上恒成立, x x ?1 x ? 1 ? ln( x ? 1) [1 ? ln( x ? 1)] ,则 ? ?( x) ? , x x2
1 x ? ? 0, x ?1 x ?1
???????8 分 ???????9 分

设 ? ( x) ?

再设 G( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1) ,则 G?( x) ? 1 ?

高二理科数学试题 第 8 页(共 10 页)

故 G ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 而 G(1) ? ? ln 2 ? 0, G(2) ? 1 ? ln 3 ? 0, G(3) ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 故 G ( x) ? 0 在 (0, ??) 上存在唯一实数根 a ? (2,3) , 即 x ? a 是方程 x ? 1 ? ln( x ? 1) ? 0 在 (0, ??) 上有唯一解. ???????10 分

故当 x ? (0, a) 时, G ( x) ? 0 , ? ?( x) ? 0 ;当 x ? (a, ??) 时 G ( x) ? 0 , ? ?( x) ? 0 , 故 ? ( x) min ? ? (a ) ?

a ?1 ?1 ? ln(a ? 1) ? ? a ? 1? (3, 4), a
???????12 分

? k ? 3 ,故 kmax ? 3 .

1 ? ? x ? t, 2 22.解法一: (Ⅰ)∵直线 l 的参数方程为 ? ? y ? 2 5 ? t, ?
∴直线 l 的直角坐标方程为 2x ? y ? 2 5 ? 0 , 又∵曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 2 , ∴曲线 C1 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 ,圆心为 C1 (0,0) , r ? 2 ,????? 3 分 ∴圆心 C1 到直线 l 的距离为 d ? ∴直线 l 与圆 C1 相切. (Ⅱ)∵曲线 C2 的参数方程为 ? ?????? 1 分

|2 5| ?2?r , 5

????? 4 分 ?????? 5 分

? ? x ? 2 cos ? , (? 为参数) , ? ? y ? 3 sin ?
????????6 分

∴曲线 C2 的普通方程为

x2 y 2 ? ? 1, 4 3

又∵ M , N 分别为曲线 C2 的上下顶点, ∴ M (0, 3), N (0, ? 3) ,?????7 分 由曲线 C1 : x ? y ? 4 ,可得其参数方程为 ?
2 2

? x ? 2cos ? , ? y ? 2sin ? ,

所以 P 点坐标为 (2cos ? , 2sin ? ) , 因此 PM + PN
2 2

? (2 cos ? ) 2 ? (2sin ? ? 3) 2 ? (2 cos ? ) 2 ? (2sin ? ? 3) 2

? 7 ? 4 3 sin ? ? 7 ? 4 3 sin ? ? 14 为定值.??????10 分
高二理科数学试题 第 9 页(共 10 页)

解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)∵曲线 C2 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cos ? , (? 为参数) , ? ? y ? 3 sin ?
????????6 分

∴曲线 C2 的普通方程为

x2 y 2 ? ? 1, 4 3

又∵ M , N 分别为曲线 C2 的上下顶点, ∴ M (0, 3), N (0, ? 3) , 设 P 点坐标为 ( x, y ) ,则 x ? y ? 4 ,
2 2

?????7 分

因此 PM + PN

2

2

? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? x 2 ? ( y ? 3) 2
??????10 分

? 7 ? 2 3 y ? 7 ? 2 3 y ? 14 为定值.

高二理科数学试题 第 10 页(共 10 页)


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