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江门市2014年普通高中高二调研测试理科数学试卷


秘密★启用前

试卷类型:A

江门市 2014 年普通高中高二调研测试



学(理)

本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分,测试用时 120 分钟。不能使用计算器. 注意事项: 1. 答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上. 2. 做选择题时,必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号. 3. 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上. 4. 所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效. 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 S h ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.

⒈ i 是虚数单位, A. 2 ? i

5 ? ?2?i

B. ? 2 ? i

C. 2 ? i

D. ? 2 ? i

⒉已知点 A(3 , 4 , 0) 和向量 a ? (1 , ? 2 , 1) ,点 B(0 , m , n) 在 yOz 平面上,使向量

AB // a ,则点 B 的坐标为
A. (0 , ? 10 , 3) B. (0 , 10 , ? 3) C. (0 , ? 2 , 3) D. (0 , 2 , ? 3) ⒊ (1 ? 2 x) 7 的展开式的第 4 项的系数为 A. 280 C. ? 280 B. 560 D. ? 560

⒋某几何体的三视图如图 1 所示(图中标记的数据 为 2 或 4) ,则该几何体的体积为 A. 8 ? 8? C. 8 ? 16? ⒌“ ? ? B. 16 ? 8? D. 16 ? 16?
图1

?
2

”是“函数 y ? sin(x ? ? ) 的图象关于 y 轴对称”的 B.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

A.充分非必要条件 C.充要条件

高二数学(理)试题

第 1 页 共 9 页

⒍双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的顶点为 A1 、 A2 ,焦点为 F1 、 F2 ,若 A1 、 a2 b2

A2 是线段 F1 F2 的三等分点,则双曲线的离心率 e ?
A.
3 2

B. 2

C.

5 2

D. 3

⒎设 a ? R ,若函数 y ? e x?1 ? ax ( x ? R )有大于 0 的极值点,则 A. a ? ?e B. a ? ?e
?

C. a ? ?1

D. a ? ?1

⒏设 ?An Bn Cn ( n ? N )三边的长分别为 an 、 bn 、 cn , ?An Bn Cn 的面积为 S n ,若

b1 ? c1 , b1 ? c1 ? 2a1 , an?1 ? an , bn ?1 ?
A. ?S n ? 为递减数列 C. ?S n ? 为递增数列

an ? cn a ? bn , c n ?1 ? n ,则 2 2

B. ?S 2n?1 ?为递增数列, ?S 2 n ? 为递减数列 D. ?S 2n?1 ?为递减数列, ?S 2 n ? 为递增数列

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 6 分,满分 30 分.
㈠必做题(9~13 题)

⒐一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的 时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒.一辆汽车到达 路口,看见红灯的概率是
2

开始



n ? 1, S ? 0 S ? S ? 3n?1 ? 3n

⒑已知命题 p : ?x0 ? R , x0 ? 1 ? 0 . 则命题 p 的否定 ? p : . . ⒒执行如图 2 所示的程序框图,输出 S 的值为 ⒓经过圆 C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 上一点 P(1 , 1) , 且与圆 C 相切的直线的方程是 ⒔若 ?x ? (0 , 是 .
1 ] ,恒有 4 x ? loga x ,则 a 的取值范围 2 .

n ? n ?1
n ? 4?
是 输出 S 结束 否

图2

㈡选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

⒕(选做题)计算: ? 1 ? 3 、 ? 1 ? 3 ? 5 、 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 、??,根据计算结果找规 律填空: ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (?1) n (2n ? 1) ?
2



y

M

⒖(选做题)如图 3, M 是抛物线 y ? 4 x 上一点, F 是抛物线 的焦点,若 ?MFO ? 1200 ,则 MF ? .
O
F

x

图3
高二数学(理)试题 第 2 页 共 9 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分) 如图 4,海中有一小岛 P ,周围 4 海里内有暗礁.海轮由西向东航行,在 A 处 望见岛 P 在北偏东 750 .航行 10 海里到达 B 处,望见岛 P 在北偏东 600 .如果海轮 继续由西向东航行,有没有触礁的危险?
北 东

P

750
A
图4

600
B

⒘(本小题满分 13 分) 已知数列 ? a n ?的前 n 项和 S n ? n3 ? 10n 2 ( ?n ? N ? ) . ⑴求 an ; ⑵求集合 n | an ? 0 , n ? N ? (用列举法表示) .

?

?

⒙(本小题满分 14 分) 如图 5,ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体,AB ? BC ? 2 ,E 、F 分别是棱 BC 、BB1 上一点, BE ? BF ? 1 ,经过 D 、 E 、 F 三点的平面与棱 AA 1 相交于 G . ⑴求 AG ; ⑵求二面角 A ? FG ? D 的余弦值.

A1 B1
G

D1

C1

F

A E

D

B

C
图5

高二数学(理)试题

第 3 页 共 9 页

⒚(本小题满分 13 分) 为考察某种药物防治疾病的效果,对 105 只动物进行试验,得到如下的列联 表:
药物效果试验列联表

服用药 没服用药 总计

患病 10 20 30

未患病 45 30 75

总计 55 50 105

⑴能否以 97 .5% 的把握认为药物有效?为什么? ⑵从上述 30 只患病动物中随机抽取 3 只作进一步的病理试验,求抽取的 3 只 动物中服药动物数量 ? 的分布列及其均值(即数学期望) .
参考公式与数据: k ?

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005

P( K 2 ? k0 )
k0

2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

⒛(本小题满分 14 分) 点 M 与定点 F (2 , 0) 的距离和它到直线 x ? 8 的距离之比是 1 : 2 . ⑴求点 M 的轨迹方程(写成标准方程形式) ; ⑵设点 M 的轨迹与 x 轴相交于 A1 、 A2 两点, P 是直线 x ? 8 上的动点,求

?A1 PA2 的最大值.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x ,其中 a ? R 是常数. ⑴若曲线 y ? [ f ( x)]2 在点 (1 , f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; ⑵求函数 f ( x) 的极值; ⑶试讨论直线 y ? ? x ? e ( e 为自然对数的底数)与曲线 y ? f ( x) 公共点的个 数.

高二数学(理)试题

第 4 页 共 9 页

评分参考
一、选择题 二、填空题 DBCB ADAC ⒐
2 5

⒑ ?x ? R (2 分) , x 2 ? 1 ? 0 (3 分,其中,等号 1 分) ⒓ 2x ? y ? 1 ? 0 ⒖4 ⒔(
2 , 1) (端点各 2 分,格式 1 分) 2

⒒ 78 ⒕ (?1) n n 三、解答题

⒗(方法一)从小岛 P 向海轮的航线 AB 作垂线 PC,垂足为 C??1 分 ?x 0 ? y ? tan30 ? 设 PC 长为 x 海里,BC 长为 y 海里,则 ? ??7 分 ? x ? tan150 ? ? y ? 10 x x ? ? 10 ??9 分 消去变量 y 得 0 tan 30 tan 15 0 10 tan150 tan300 ? 5 ??11 分 解得 x ? tan300 ? tan150
5 ? 4 ,所以海轮继续由西向东航行没有触礁的危险??12 分

(方法二)从小岛 P 向海轮的航线 AB 作垂线 PC,垂足为 C??1 分 在△PAB 中,∠PAB=900-750=150,∠PBA=900+600=1500,从而 ∠ APB=1800-150-1500=150,∠PAB=∠ APB??6 分(其中,求∠ APB 给 2 分) PB=AB=10??8 分,PC=PB× sin300=5??11 分(其中,列式给 2 分)
5 ? 4 ,所以海轮继续由西向东航行没有触礁的危险??12 分

⒘⑴ n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?9 ??1 分
n ? 1 时, an ? S n ? S n?1 ??3 分

? n3 ? 10n 2 ? [(n ? 1) 3 ? 10(n ? 1) 2 ] ? 3n 2 ? 23n ? 11??5 分
n ? 1 时, 3n 2 ? 23n ? 11 ? ?9 ??6 分

所以, ?n ? N ? , an ? 3n 2 ? 23n ? 11??7 分 ⑵(方法一)由⑴得 an ? 3n 2 ? 23n ? 11 ? 0 ??8 分 所以
23 ? 397 23 ? 397 ?n? ??10 分 2?3 2?3

因为 ?n ? N ? ,所以 1 ? n ? 7 ??12 分
高二数学(理)试题 第 5 页 共 9 页

23 ? 397 23 ? 397 ) ? 1, 7 ? ? 8 ??12 分” 2?3 2?3 所求集合 n | an ? 0 , n ? N ? ? ? 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7? ??13 分

(或“ 0 ?

?

?

(方法二)设 f ( x) ? x ? 10x 2 , x ? [1 , ? ?) ,则 f / ( x) ? 3x 2 ? 20x ??10 分 20 由 f / ( x) ? 3x 2 ? 20x ? 0 ,得 0 ? x ? ??11 分 3 20 由 0 ? n ?1 ? ,?n ? N ? 得 n ? 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ??12 分,a1 ? S1 ? ?9 ? 0 , 3 a8 ? S8 ? S 7 ? 19 ? 0 ,所以 n | an ? 0 , n ? N ? ? ? 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7? ??13 分
3

?

?

⒙⑴ ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体,面 BCC1 B1 // 面 ADD1 A1 ??1 分
DEFG 在同一平面上,所以 EF // DG ??2 分, ?BEF ? ?ADG ??3 分

由已知得 ?BEF 和 ?ADG 都是等腰直角三角形,所以 AG ? AD ? 2 ??4 分 ⑵(方法一)在平面 ABB1 A1 内作 AH ? FG ,垂足为 H ,连接 DH ??5 分
AD ? 面 ABB 1A 1 ,所以 AD ? FG ??6 分

AD ? AH ? A ,所以 FG ? 面 ADH ??7 分

所以 FG ? DH , ?AHD 是二面角 A ? FG ? D 的平面角??8 分 在 ?AFG 中, AF ? FG ? 5 , AG ? 2 ??9 分 由余弦定理得 cos ?AFG ?
sin ?AFG ? 3 ??11 分 5

4 4 5 , AH ? AF ? sin ?AFG ? ??12 分 5 5

AH 2 6 5 ? ??14 分 ??13 分, cos ?AHD ? DH 3 5 (方法二)以 B 为原点, BC 、 BA 、 BB1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建

所以 DH ? AH 2 ? AD2 ?

立空间直角坐标系??5 分,则平面 AFG 的一个法向量为 n1 ? (1 , 0 , 0) ??6 分
D(2 , 2 , 0) , E (1 , 0 , 0) , F (0 , 0 , 1) ??7 分

? ?n ? DE ? 0 设平面 DFG 即平面 DEF 的一个法向量为 n2 ? (a , b , c) , 则? 2 ??9 ? n ? EF ? 0 ? 2

?a ? 2b ? 0 分,即 ? ??11 分, a ? c ? ?2b ,不妨取 n2 ? (2 , ? 1, 2) ??12 分 ?? a ? c ? 0
二面角 A ? FG ? D 的余弦值 cos? ?
| n1 ? n2 | | n1 | ? | n2 | ? 2 ??14 分 3

高二数学(理)试题

第 6 页 共 9 页

⒚⑴ k ?

n(ad ? bc) 2 105? (10 ? 30 ? 20 ? 45) 2 ? ? 6.1 ? 5.024 ??3 分 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 55? 50 ? 30 ? 75

(其中,不论是否写公式,正确代入 1 分,近似计算 1 分,比较 1 分) 所以,能以 97 .5% 的把握认为药物有效??4 分 ⑵ ? 服从超几何分布??5 分 其中 N ? 30 , M ? 10 , n ? 3 , ? ? 0 ,1,2,3??6 分
0 3 1 2 C10 ? C20 C10 ? C20 57 95 , , ? P ( ? ? 1 ) ? ? 3 3 203 203 C30 C30 2 1 3 0 C10 ? C20 C10 ? C20 45 6 , ??10 分 ? P ( ? ? 3 ) ? ? 3 3 203 203 C30 C30

P(? ? 0) ? P(? ? 2) ?
分布列为

?
P

0 57 203

1 95 203

2 45 203

3 6 203

??11 分

? 的均值(即数学期望) E? ? 0 ?

57 95 45 6 ? 1? ? 2? ? 3? ? 1 ??13 分 203 203 203 203

⒛⑴设 M ( x , y) 是轨迹上任意一点??1 分 依题意,

( x ? 2) 2 ? y 2 1 ? ,即 2 ( x ? 2) 2 ? y 2 ?| x ? 8 | ??3 分 | x ?8| 2

两边平方得, 4( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 8) 2 ??4 分
x2 y2 ? ? 1 ??6 分(未化成标准方程扣 1 分) 化简得点 M 的轨迹方程为 16 12

⑵由⑴得 A1 (?4 , 0) 、 A2 (4 , 0) ??7 分 设直线 x ? 8 交 x 轴于 Q ,根据椭圆的对称性,不妨设 P(8 , m) ( m ? 0 ) ,则 (方法一) tan ?A1 PQ ?
12 4 , tan ?A2 PQ ? ??9 分 m m

tan?A1 PA2 ? tan(?A1 PQ ? ?A2 PQ) ?
? 8m ??11 分 m ? 48
2

tan?A1 PQ ? tan?A2 PQ ??10 分 1 ? tan?A1 PQ ? tan?A2 PQ

m ? 0 ,所以 m2 ? 48 ? 8 3m ??12 分,所以

8m 3 ? ??13 分 m ? 48 3
2

高二数学(理)试题

第 7 页 共 9 页

tan x 在区间 (0 ,

?
2

) 单调递增,所以 ?A1 PA2 的最大值为

? ??14 分 6

(方法二) cos ?A1 PA2 ?

| PA1 ? PA2 | | PA1 | ? | PA2 |

??8 分
m 2 ? 48 (m 2 ? 48) 2 ? 64 m 2
1 2 (m ? 48) 2 ??12 分 3

?

m2 ? 48 m2 ? 122 ? m2 ? 42

??10 分, ?

m ? 0 ,所以 m2 ? 48 ? 8 3m ??11 分, 64 m 2 ?

所以 cos?A1 PA2 ?

1 1? 1 3

?

3 ??13 分 2

cos x 在区间 (0 ,

?
2

) 单调递减,所以 ?A1 PA2 的最大值为

? ??14 分 6

1 21.⑴ y / ? 2 f ( x) ? f / ( x) ? 2(ax ? 1 ? ln x)( a ? ) ??1 分 x

依题意, y / | x?1 ? 2(a ? 1)(a ? 1) ? 0 ??2 分,解得 a ? ?1 ??3 分
1 ⑵ f / ( x) ? a ? , x ? 0 x
a ? 0 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,无极值??4 分
a ? 0 时,由 f / ( x) ? 0 得 x ?

1 ??5 分 a

当0 ? x ?

1 1 1 时 f / ( x) ? 0 ,当 x ? 时 f / ( x) ? 0 ??6 分,所以 f ( x) 在 x ? 处 a a a

1 取得极小值,极小值为 f ( ) ? 2 ? ln a ??7 分 a

⑶ 记 g ( x) ? f ( x) ? (? x ? e) ? (a ? 1) x ? (1 ? e) ? ln x ,则 直线 y ? ? x ? e 与曲线
y ? f ( x) 公共点的个数即函数 g ( x) 零点的个数. g / ( x) ? (a ? 1) ?
1 x

a ? ?1 时, g / ( x) ? 0 , g ( x) 单调递减,且值域为 R ,有一个零点??8 分
a ? ?1 时,由 g / ( x) ? 0 得 x ?

1 ??9 分 a ?1

当0 ? x ?

1 1 时 g / ( x) ? 0 ,当 x ? 时 g / ( x) ? 0 ??10 分,所以 f ( x) 在 a ?1 a ?1

高二数学(理)试题

第 8 页 共 9 页

x?

1 1 ) ? (2 ? e) ? ln( a ? 1) ??11 分 处取得极小值,极小值为 g ( a ?1 a ?1

当 g( 当 g( 当 g(

1 ) ? (2 ? e) ? ln( a ? 1) ? 0 ,即 a ? e e?2 ? 1 时, g ( x) 无零点??12 分 a ?1 1 ) ? (2 ? e) ? ln( a ? 1) ? 0 ,即 a ? e e?2 ? 1 时, g ( x) 有一个零点??13 分 a ?1

1 ) ? (2 ? e) ? ln( a ? 1) ? 0 ,即 ? 1 ? a ? e e?2 ? 1 时, g ( x) 有两个零点. a ?1

综上所述,a ? ?1 或 a ? e e?2 ? 1 时,直线 y ? ? x ? e 与曲线 y ? f ( x) 有一个公共 点; ? 1 ? a ? e e?2 ? 1 时,有两个公共点; a ? e e?2 ? 1 时,无公共点??14 分.

高二数学(理)试题

第 9 页 共 9 页


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