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广东省惠州市2015届高三第二次调研考试数学(理)试题


广东省惠州市 2015 届高三第二次调研考试 数学(理)试题
2014.10
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦

干 净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将答题卡一并交回. 参考公式:① 如果事件 A、B 互斥,则 P(A+ B)= P(A)+ P(B) ② 如果事件 A、B 相互独立,则 P(A ? B)= P(A) ? P(B) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 请 在答题卡上填涂相应选项.
2 1.设集合 A ? ?x | x ? 2 ? 0? ,集合 B ? x | x ? 4 ? 0 ,则 A

?

?

B?(

)

A. ??2?

B. ?2?

C. ??2, 2?

D. ? ) D.第四象限

2. 复数 z ? i ? (1 ? i) ( i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( A.第一象限
2 2

B.第二象限 ) C.4

C.第三象限

3.双曲线 2 x ? y ? 8 的实轴长是( A.2 B.2 2

D.4 2 )

4.设向量 a ? (1,0) , b ? ? , ? ,则下列结论中正确的是( A. a ? b B. a ? b ?

?1 1? ?2 2?

2 2

C. a / / b

D. a ? b 与 b 垂直

5.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所 示,假设得分值的中位数为 me ,众数为 m0 ,平均值 A. me ? m0 ? x C. me ? m0 ? x B. me ? m0 ? x D. m0 ? me ? x 内,直线 b 在平面 ? 为 x ,则( )

6. 设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在平面 ? 内,且 b ? m ,则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的( )

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? x ?1 ? 7.已知 a ? 0 , x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1,则 a ? ( ? y ? a ( x ? 3) ?
A.

)

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

8. 某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当 恒谦网 各班人数除以 10 的余数大于 6 时再 增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y ? ? x? ( ? x ? 表示不 大于 x 的最大整数)可以表示为( A. y ? ? ? ?10 ? ) C. y ? ?

?x?

B. y ? ?

? x ? 3? ? 10 ? ?

? x ? 4? ? 10 ? ?

D. y ? ?

? x ? 5? ? 10 ? ?

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答.

? x 2 ? 4 x ( x ? 0) ? 0 ( x ? 0) ,则不等式 f ( x) ? x 的解集为 9.已知 f ( x) ? ? ?? x 2 ? 4 x ( x ? 0) ?
10.曲线 C : y ?
5



ln x 在点 (1, 0) 处的切线方程为 x




2? ? 11. ? x 2 ? 3 ? 展开式中的常数项为 x ? ?

12.锐角 ?ABC 中,角 A, B 所对的边长分别为 a , b ,若 2a sin B ? b ,则角 A 等于 13.在正项等比数列 ?an ? 中, a5 ? 则满足 a1 ? a2 ?



1 , a6 ? a7 ? 3 , 2

? an ? a1 ? a2 ?

? an 的最大正整数 n 的值为________.
? ?

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分. 14 .(极坐标与参数方程)已知圆的极坐标方程为 ? ? 4cos ? ,圆心为 C ,点 P 的极坐标为 ? 4,

??

? ,则 3?

| CP |? ________.
15.(几何证明选讲)如图所示,⊙ O 的两条切线 PA 和 PB 相交于点 P ,与⊙ O 相 切于 A, B 两点, C 是⊙ O 上的一点,若 ?P ? 70? ,则 ?ACB ? ________.(用 角度表示)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16. (本题满分 12 分)
设向量 a ?

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sin x ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

(1)若 a ? b ,求 x 的值; (2)设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x ) 的最大值.

17. (本题满分 12 分) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上 40 件产品作为样本称出它们的重 量(单位:克),重量的分组区间为 ? 490, 495? , ? 495,500? ,…, ? 510,515? ,由此得到样本的频率分布直方图, 如图所示.

(1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量; (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 克的产
品数量,求 Y 的分布列;

(3)从该流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的
概率.

18. (本题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 60? , AB ? 2 , AD ? 1 , PD ? 底 面 ABCD . (1)证明: PA ? BD ; (2)若 PD ? AD ,求二面角 A ? PB ? C 的余弦值.

19. (本题满分 14 分)

设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)证明:对一切正整数 n ,有 20.(本题满分 14 分)

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N * . n 3 3

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

x2 y 2 C 于 A, B 两 如图,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ,其左右焦点为 F1 ? ?1,0 ? 及 F2 ?1,0? ,过点 F 1 的直线交椭圆 a b
点,线段 AB 的中点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点,且 AF1 、 F1 F2 、 AF2 构成等差 数列.

(1)求椭圆 C 的方程;

OED ( O 为原点)的面积为 S2 .试问:是否存在直线 AB ,使得 S1 ? S2 ?说 (2)记△ GF 1D 的面积为 S1 ,△
明理由. 21.(本题满分 14 分)
2 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln x ? ax .( f ( x ) 的图像连续不断)

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a ?

1 3 时,证明:存在 x0 ? ? 2, ??? ,使 f ( x0 ) ? f ( ) ; 8 2

(3)若存在均属于区间 ?1,3? 的 ? , ? ,且 ? ? ? ? 1,使 f (? ) ? f ( ? ) , 证明.

ln 3 ? ln 2 ln 2 ?a? 5 3

惠州市 2015 届高三第二次调研考试
理科数学答案与评分标准

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

1 【解析】本题考查集合的基本运算,意在考查考生对集合概念的掌握.由 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? ?2 ,所以
2

B ? ??2,2? ,又 A ? ??2? ,所以 A B ? ??2? ,故选 A.
2【解析】本题主要考查复数的乘法运算与复数的几何意义,∵ z ? i ? (1 ? i) ? ?1 ? i ∴复数 z 在复平面上对应的 点的坐标为 ? ?1,1? ,位于第二象限.

x2 y 2 ? ?1, 3【解析】本题考查双曲线方程及其简单几何性质。双曲线方程可变形为 4 8
所以 a 2 ? 4, a ? 2, 2a ? 4 . 4【解析】 a ? 1 ? 0 ? 1, b ? ( ) ? ( ) ?
2 2 2 2

1 2

1 2

2 ; 2

2 1 1 1 1 1 a ? b ? 1? ? 0 ? ? ; (a ? b) ? b ? a ? b ? b ? ? ? 0 ,故 a ? b与b 垂直. 2 2 2 2 2

5【解析】由图可知,30 名学生的得分情况依次为:2 个人得 3 分,3 个人得 4 分,10 个人得 5 分,6 个人得 6 分,3 个人得 7 分,2 个人得 8 分,2 个人得 9 分,2 个人得 10 分.中位数为第 15,16 个数(分别为 5,6)的平均 数,即 me =5.5,5 出现的次数最多, 故 m0 =5, x ?

2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 10 ? 5 ? 6 ? 6 ? 3 ? 7 ? 2 ? 8 ? 2 ? 9 ? 2 ?10 ≈5.97 30

于是得 m0 ? me ? x . 6【解析】若 ? ? ? ,又 ?

? ? m, b ? ? , b ? m ,根据两个平面垂直的性质定理可得 b ? ? ,又因为 a ? ? ,

所以 a ? b ;反过来,当 a / / m 时,因为 b ? m ,一定有 b ? a ,但不能保证 b ? ? ,即不能推出 ? ? ? . 7【解析】本题考查线性规划问题,属于基础题.由已知约束条件,作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分, 由目标函数 z ? 2 x ? y 的几何意义为直线 l: y ? ?2 x ? z 直线 l 过可行域内的点 B (1, ?2a ) 时,目标函数 z ? 2 x ? y 在 y 轴上的截距,知当 的最小值为 1,则

2? 2 a? 1 a, ?

1 。 2
可以看作先用该班人数 名代表,将二者合并便

8 【解析】 当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表, 除以 10 再用这个余数与 3 相加,若和大于等于 10 就增选一

得到推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系,用取整函数 y ? ? x? ( ? x ? 表示不大于 x 的最大整数)可

以表示为 y ? ?

? x ? 3? . ? 10 ? ?

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) 第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答.第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的, 只计前一题的得分. 9. (?5, 0) 14. 2 3

(5, ??)

10. x ? y ? 1 ? 0 15.55°

11. 40

12.

? 6

13.12

9 【解析】 本题考查分段函数的性质及一元二次不等式的解法,意在考查学生的分类讨论及化归能力及运算能力. 由 f ( x) ? x ,可得 ?

? x2 ? 4x ? x ?x ? 0

或?

?? x 2 ? 4 x ? x ?x ? 0



解得 x ? 5或-5 ? x ? 0 ,所以原不等式的解集为 (?5, 0)

(5, ??) .

10【解析】本题考查导数的几何意义。考查考生的求导运算及求直线方程的能力。 由 f ( x) ?

ln x 1 ? ln x ' ' ,则 f ( x) ? .所以 f (1) ? 1 ,即切线 L 的斜率为 1。又切线 L 过点(1,0),所以切线 L 2 x x

的方程为 y ? x ? 1 . 一般方程为 x ? y ? 1 ? 0 . 11【解析】本题考查二项式定理,意在考查考生的运算能力.

Tr ?1 ? C ? x
r 5

2 5? r

?

r ? 2? ? ? ? 3 ? ? ? ?2? C5r ? x10?5r ,令 10 ? 5r ? 0 ,得 r ? 2 , ? x ?
2

r

2 0 故常数项为 T3 ? ? ?2 ? C5 ? x ? 40 .

12. 【解析】 本题主要考查锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程,意在考查考生的转化能力与三角变换能 力.由正弦定理得, 2a sin B ? b 可化为 2 sin A sin B ? sin B ,又 sin B ? 0 ,所以 sin A ? 为锐角三角形,得 A ?

1 ,又 ?ABC 2

?
6

.

13【解析】本题主要考查等比数列的基本性质,意在考查学生的运算能力.
设等比数列 ?an ? 的公比为 q(q ? 0) .由 a5 ?

1 1 , a6 ? a7 ? 3, 可得 ( q ? q 2 ) ? 3, 2 2

2 n ?6 n?5 ?5 即 q ? q ? 6 ? 0, 所 以 q ? 2 , 所 以 an ? 2 , 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 Sn ? 2 ? 2 , 所 以

a1a 2 an ? ? a a1n ? 2 ? 2
2 n ?5 ? 2
n( n? 1 1 ) 2

n

n( n? 1 1 ) 2 ,

由 a1 ? a 2?

? an ? a ?1a ? 2
8 ?5

? an 可 得 2n ?5 ? 2?5 ? 2

n(n? 1 1 ) 2

, 由

,可求得 n 的最大值为 12,而当 n ? 13 时, 2 ? 2

? 213 不成立,所以 n 的最大值为 12.

14 【解 析】由 ? ? 4cos ? 可得圆 的直角坐 标方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,圆 心 C (2, 0) .点 P 的 直角坐标 为

P(2, 2 3) ,所以 CP ? 2 3 .
15【解析】如图所示,连接 OA, OB ,则 OA ? PA, OB ? PB . 故 ?AOB ? 110 ,∴ ?ACB ?
O

1 ?AOB ? 55 . 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 解:本题考查平面向量与三角函数的综合应用,侧重考查三角函数的性质. (1)由 a ? ( 3 sin x) ? (sin x) ? 2 sin x , .......... (1 分)
2 2 2

b ? (cos x)2 ? (sin x)2 ? 1 ,
及 a ? b ,得 sin x ?
2

............(2 分)

1 . 4
.............(4 分)

又 x ? ?0, 所以 x ?

1 ? ?? ,从而 sin x ? , ? 2 ? 2?

?
6
2

.............(6 分)

(2) f ( x) ? a ? b ? 3 sin x ? cos x ? sin x ?

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2
..............(9 分)

? 1 ? sin(2 x ? ) ? , 6 2
当 x ? ?0,

? ? ? 5? ? ? ?? 时, 2 x ? ? ? ? , ? 6 ? 6 6 ? ? ? 2?
?
6 ?

所以当 2 x ?

?
2

, 即x ?
3 . 2

?
3

时, sin(2 x ?

?
6

) 取得最大值 1

.......(11 分)

所以 f ( x) 的最大值为 17. (本题满分 12 分)

...........(12 分)

解:(1)根据频率分布直方图可知,重量超过 505 克的产品数量为

?(0.01? 0.05) ? 5?? 40 ? 12 (件).
(2) Y 的可能取值为 0,1,2.

..............(2 分) .............(3 分)

P(Y ? 0) ? P(Y ? 1) ? P(Y ? 2) ?

2 C28 63 ? 2 C40 130 1 1 C28 C12 56 ? 2 C40 130 2 C12 11 ? 2 C40 130

..............(4 分)

..............(5 分)

...............(6 分)

Y 的分布列为

Y
P

0 63 130

1 56 130

2 11 130 ..........(7 分)

(3)利用样本估计总体,该流水线上产品重量超过 505 克的概率为 0.3........(8 分) 令 ? 为任取的 5 件产品中重量超过 505 克的产品数量, 则 ? ~ B(5, 0.3) , .........(10 分)

2 故所求概率为 P(? ? 2) ? C5 (0.3)2 ? (0.7)3 ? 0.3087 ........(12 分)

18. (本题满分 14 分) 解:(1)证明:因为 ?DAB ? 60? , AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3AD ? 3 . .............(2 分) .............(3 分)

2 2 2 从而 BD ? AD ? AB ,故 BD ? AD .

PD ? 面 ABCD, BD ? 面 ABCD ,? PD ? BD ............(4 分)
又 AD ? PD ? D, 所以 BD ? 平面 PAD . 故 PA ? BD . .............(5 分) .............(6 分)

(2)如图,以 D 为坐标原点,射线 DA,DB,DP 分别为 x,y,z 的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz, 则

A(1,0,0), B(0, 3,0), C(?1, 3,0), P(0,0,1) . AB ? (?1, 3,0), PB ? (0, 3, ?1) , BC ? (?1,0,0) .........(8 分)
设平面 PAB 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 则?

? ?n ? AB ? 0 ? ?n ? PB ? 0

即?

?? x ? 3 y ? 0 ? ? ? 3y ? z ? 0
.............(10 分)

因此可取 n ? ( 3,1, 3) . 设平面 PBC 的法向量为 m ,则 ? 可取 m ? (0, ?1, ? 3) 则 cos m, n ?

? ?m ? PB ? 0 ? ?m ? BC ? 0
...............(12 分)

?4 2 7 ?? 7 2 7
...............(14 分)

2 7 故钝二面角 A-PB-C 的余弦值为- . 7

注:第二问若使用几何法按找到并证明二面角的平面角得 4 分,求出二面角的平面角的余弦值得 4 分。其它 方法酌情给分。

19. (本题满分 14 分) 解:本题考查数列的通项与前 n 项和的关系、等差数列的通项公式、裂项求和、放缩法等基础知识和基本方 法,考查化归与转化思想、分类与整合思想,考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问 题能力. (1) (解法一) 依题意, 2 S1 ? a2 ?

1 2 ? 1 ? , 又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 3 3

???(2 分)

2Sn ? nan ?1 ? 当 n ? 2时,

1 3 2 n ? n2 ? n , 3 3

1 2 2Sn ?1 ? (n ? 1)an ? (n ? 1)3 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) , 3 3
两式相减得

1 2 1 2 2an ? (nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n) ? ((n ? 1)an ? (n ? 1)3 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1)) 3 3 3 3
整理得 (n ? 1)an ? nan?1 ? n(n ? 1) ,即 又

an ?1 an ? ?1, n ?1 n

???(6 分)

a2 a1 ?a ? ? ? 1 ,故数列 ? n ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 2 1 ?n?

所以

an ? 1 ? 1? (n ? 1) ? n, 所以 an ? n2 n

???(8 分)

(解法二)

?

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , a1 ? 1 ,得 a2 ? 4,a3 ? 9 , .......(2 分) n 3 3

猜想 S n ?

n?n ? 1?(2n ? 1) 6

.............(3 分)

下面用数学归纳法证明: (1)当 n ? 1 时,猜想成立; (2)假设当 n ? k 时,猜想也成立,即 Sk ? 当 n ? k ? 1 时,

k ? k ? 1? (2k ? 1) .............(4 分) 6

ak ?1 ?

2Sk 1 2 2 2 ? k ? 1? (2k ? 1) 1 2 2 ? k ?k ? = ? k ?k ? k 3 3 6 3 3 (3k ? 3) ? k ? 1? (2k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2) ?(k ? 1) 2 ? (k ? 1 ) ,........(5 分)

?

3

3

3

? Sk ?1 ? Sk ? ak ?1
? k ? k ? 1? (2k ? 1) (k ? 1)(2k 2 ? 7k ? 6) (k ? 1)(k ? 2)(2k ? 3) 2 ? (k ? 1 ) ? ? 6 6 6
............(6 分)

? n ? k ? 1 时,猜想也成立
由(1) , (2)知,对于 ?n ? N ? ,猜想成立。

2 ? 当n ? 2, a .........(8 分) ? 2n ,当 n ? 1 ,也满足此式,故 an ? n n ? S n ? S ? n 1

(2)证明:当 n ? 1时, ? 1 ? 当 n ? 2时, ? 当 n ? 3时, ?

1 a1

7 ; 4

???(9 分)

1 a1

1 1 5 7 ? 1? ? ? ; a2 4 4 4 1 1 1 1 ? ? ? , 2 n n(n ? 1) n ? 1 n ? 1 1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? an 2 3 4
?(

???(10 分)

1 an

???(12 分)

此时

1 1 ? ? a1 a2

?

1 n2

? 1?

1 1 1 1 1 ?( ? )?( ? )? 4 2 3 3 4

1 1 1 1 1 7 1 7 ? ) ? 1? ? ? ? ? ? n ?1 n 4 2 n 4 n 4

综上,对一切正整数 n,有 20.(本题满分 14 分)

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? an 4

?????(14 分)

解: (1)因为 AF 1 F2 、 AF 1 、 F 2 构成等差数列, 所以 2a ? AF 1 ? AF 2 ? 2F 1 F2 ? 4 ,所以 a ? 2 . 又因为 c ? 1 ,所以 b 2 ? 3 , 所以椭圆 C 的方程为 ……(2 分) ……(3 分) ……(4 分)

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)假设存在直线 AB ,使得 S1 ? S2 ,显然直线 AB 不能与 x, y 轴垂直. 设 AB 方程为 y ? k ( x ? 1) …(5 分)

将其代入

x2 y 2 ? ? 1 ,整理得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 4 3

…(6 分)

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,所以 x1 ? x2 ?

?8k 2 . 4k 2 ? 3

故点 G 的横坐标为

x1 ? x2 ?4k 2 ?4k 2 3k ? 2 , 2 ) .……(8 分) .所以 G ( 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3

3k 2 4k 2 ? 3 ? k ? ?1 , 解得 x ? ? k , 因为 DG ? AB ,所以 D 4k 2 ? 3 ?4k 2 ? x D 4k 2 ? 3
即 D(

?k 2 , 0) 4k 2 ? 3

……(10 分)

Rt ?GDF1 和 Rt ?ODE1 相似,? 若 S1 ? S2 ,则 GD ? OD ……(11 分)
所以

(

?k 2 ?4k 2 2 3k 2 ?k 2 ? ) ? ( ) ? , 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
2

……(12 分)

整理得 8k ? 9 ? 0 . 因为此方程无解,所以不存在直线 AB ,使得 S1 ? S2 . 21.(本题满分 14分) 解:(1) f ( x) ?
'

……(13 分) ……(14 分)

1 1 ? 2ax 2 ? 2ax ? , x ? (0, ??). x x

......(1 分)

令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ?

2a . 2a

......(2 分)

当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

(0,

2a ) 2a


2a 2a
0 极大值

(

2a , ??) 2a
- 递减 ......(3 分)

递增

所以, f ( x ) 的单调递增区间是 (0, (2)证明:当 a ?

2a 2a ) ,单调递减区间是 ( , ??) .......(5 分) 2a 2a

1 1 2 时, f ( x) ? ln x ? x , 8 8

由(1)知 f ( x ) 在 (0, 2) 内单调递增,在 (2, ??) 内单调递减. 令 g ( x) ? f ( x) ? f ( ) .

3 2

.....(6 分)

由于 f ( x ) 在 (0, 2) 内单调递增,故 f (2) ? f ( ) ,即 g (2) ? 0 .......(7 分) 取x ?
'

3 2

3 41 ? 9e2 e ? 2 ,则 g ( x' ) ? ?0. 2 32

所以存在 x0 ? (2, x' ) ,使 g ( x0 ) ? 0 , 即存在 x0 ? (2, ??) ,使 f ( x0 ) ? f ( ) .
' '

3 2

??..(9 分)

(说明: x 的取法不唯一,只要满足 x ? 2 ,且 g ( x' ) ? 0 即可.) (3)证明:由 f (? ) ? f ( ? ) 及(1)的结论知 ? ? 从而 f ( x ) 在 ?? , ? ? 上的最小值为 f (? ) , 又由 ? ? ? ? 1, ? , ? ??1,3? ,知 1 ? ? ? 2 ? ? ? 3 故?

2a ??, 2a
......(10 分) .......(11 分) ......(13 分)

? f (2) ? f (? ) ? f (1) ?ln 2 ? 4a ? ?a 即? ? f (2) ? f ( ? ) ? f (3) ?ln 2 ? 4a ? ln 3 ? 9a
ln 3 ? ln 2 ln 2 ?a? 5 3

从而

???(14 分)


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