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高一数学必修4模块试题完美版


福安三中高一数学必修 模块测试题( 福安三中高一数学必修 4 模块测试题(人教 A 版)
时间:120 分钟 满分:150 分

选择题, 第 I 卷(选择题 共 50 分)
选择题( 小题,每小题5 在每小题给出的四个选项中, 一 、选择题(本大题共 12 小题,每小题5分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 项是符合题目要求的) 0 1. sin 420 = ( ) A.

1 3 C. 2 2 2.函数 y = ? cos 2 x , x ∈ R 是( A.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为 2π 的奇函数
B. ?

1 2

D. ? )

3 2

B.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 2π 的偶函数 )

3.下列函数中,最小正周期为

π

2 x A. y = sin x B. y = tan C. y = sin x cos x 2 v v v v 4.已知 a = ( x, ?3) , b = (3,1) , 且 a ⊥ b , 则 x 等于 ( )
B. 1 C.9 ) 5.已知 sin α + cos α = A.

的是(

D. y = cos 4 x

A.-1

D.-9

1 ,则 sin 2α = ( 3

1 1 8 8 B. ? C. D. ? 2 2 9 9 6.已知 A(2,3),B(4,-3)且 AP = ?2 PB 则 P 点的坐标为( ) A、(6,9) B、(3,0) C、(-6,-9) D、(2,3) 7.函数, y = sin x 和 y = cos x , x ∈ [ 0, 2π ] 都是增函数的区间是 (



2 r r r r r r 8.已知 a , b 满足: | a |= 3 , | b |= 2 , | a + b |= 4 ,则 | a ? b |= (
A. 3
2 0 2 0

2 3π ] C. [π , 2 r r

A. [0,

π

]

,π ] 2 3π D. [ , 2π ]
B. [

π

) D.10

B. 5

C.3

9. cos 15 ? sin 15 的值是( A、- 、
3 2


1 2

B、 、

3 2

C、 ? 、

D、 、
,cos β =

1 2 1 5
,则 α + β 的值是( )

10.已知 α , β 为锐角,且 cos α =

1 10

A. π

2 3

B. π

3 4

C.

π
4

D.

π
3


11.已知若 a = (λ ,2), b = ( ?3,5), a 和 b 夹角为钝角,则 λ 的取值范围是( A. λ >

10 3

B. λ ≥

10 3

λ<

10 3

λ≤

10 3

12.定义运算 ?

?a b ? ?e ? ?ae + bf ? ?1 2 ? ?4? ?14? π ?? ? = ? ,如 ? ? f ? ? ? ?5 ? = ?15? .已知 α + β = π , α ? β = 2 , ?c d ? ? ? ?ce + df ? ?0 3? ? ? ? ?


则?

?sin α cos α ? ?cos β ? ??? ? =( ?cos α sin α ? ?sin β ? ?0 ? ?0 ?
B. ? ?

A. ? ?

?0 ? ?1 ?

C. ? ?

?1 ? ?0 ?

D. ? ?

?1? ?1?

非选择题, 第 II 卷(非选择题 共 90 分)
小题, 把答案填在题中横线上) 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 填空题( 13.若 sin(π ? α ) = ?

2 π , 且 α ∈ ( ? ,0) , 则 tan α 的值是____________. 3 2
0

14.已知扇形的圆心角为 150 ,半径为 4,则扇形的面积是 15.已知 ABCD 为平行四边形,A(-1,2),B (0,0),C(1,7),则D点坐标为 16..已知函数 f ( x ) = A sin(ωx + ? ), ( A > 0, ω > 0,0 ≤ ? ≤ π ) 的部分图象如图所示,则

f (x) 的解析式为
n



记 ∑ f (i ) = f (1) + f (2) + L + f (n), 则
i =1
2010 i =1

∑ f (i) 的值为

小题, 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解 解答题( 答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 12 分) (1) 已知 sin a = (2)求值: sin105°

3 ,且 a 为第三象限角,求 cos a , cos 2a 的值 5

18.(本小题满分 12 分)已知向量 a , b 的夹角为 60 , 且 | a |= 2 , | b |= 3 ,
o

v

v

v

v

v v
(1) 求 a · b ;

(2) 求 | a + b | .

v v

19. (本小题满分 12 分)已知 0<α<π,tanα= α

1 . 2

(1)求 sin a ,

2 cos( + α ) + 5cos(π ? α ) π 2 cosa , sin(α ? )的值; (2)求 的值; 3π 3 sin( ? α ) ? 4sin(?3π + α ) 2

π

20(本小题满分 12 分)已知 a = (1, ?2) , (1) 求 a + b ? a ? 2b 的值。

r

b = (?3,2) ,

(

r

r

)(

r

r

)

(2) 当 k 为何值时, k a + b 与 a ? 3b 平行?平行时它们是同向还是反向?

r r

r

r

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? ) , (A>0, ω > 0 , ? ≤

π
2

,x∈R) 的最

大值是 3,相邻的两条对称轴之间的距离为 (1)求函数的解析式 f ( x ) 。

π
2

,且它是偶函数.

(2)求函数 y= f ( x ) + 3 sin 2x 的最大值,并求出相应的 x 的值.

22. (本小题满分 14 分)已知 a = (cos (1)求 a ? b 及

3 3 x x π x, sin x), b = (cos ,? sin ) , x ∈ [0, ] 。 2 2 2 2 2

a+b



(2)若 f ( x) = a ? b ? 2λ a + b 的最小值是 ? (1) a ? b = cos 解:

3 ,求 λ 的值。 2

3 x 3 x x cos ? sin x sin = cos 2 x 2 2 2 2

3 x 3 x a + b = (cos x + cos ) 2 + (sin x ? sin ) 2 2 2 2 2

= 2 cos 2 x = 2 cos x (∵ x ∈ [0, ] ) 2
(2) f ( x ) = cos 2 x ? 4λ cos x = 2(cos x ? λ ) 2 ? 1 ? 2λ2 ∵ x ∈ [0,

π

π
2

]

∴ cos x ∈ [0,1]

① 当 λ < 0, cos x = 0 时, f ( x) min = ?1 ,矛盾 ② 当 0 ≤ λ ≤ 1, cos x = λ 时, f ( x ) min = ?1 ? 2λ2 ,由 ? 1 ? 2λ = ?
2

③ 当 λ > 1 , cos x = 1 时, f ( x) min 综上, λ =

3 1 ,得 λ = 2 2 3 5 = 1 ? 4λ ,由 1 ? 4λ = ? ,得 λ = < 1 ,矛盾。 2 8

1 为所求 2

2009 届六安二中高三文 1、2、8 班必修 4 测试 B 参考答案

第Ⅰ卷(满分 100 分)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、 选择题 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目的要求,请将答案填写在题后的表格中. 一项符合题目的要求,请将答案填写在题后的表格中. 题号 答案 B 1 A 2 A 3 C 4 D 5 C 6 C 7 A 8 D 9 B 10

小题, 请将答案填写在横线上. 二、填空题 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填写在横线上. 11. .

6+ 2 4

12. ?3

13. ? .

2 5 5

14. .

1 2

本大题共3小题, 解答应写出文字说明, 三、解答题 本大题共3小题,每小题 10 分,共 30 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 15.(本题满分 10 分) . 解: 因为 ka + b = ( k ? 3,2k + 2) , a ? 3b = (10,?4) --------------------------------2 分 当 ka + b 与a ? 3b 平行 时, 则 (k ? 3) × ( ?4) ? ( 2k + 2) × 10 = 0 -------------------------------------------------2 分 解得: k = ?

r

r

r

r

r

r

r

r

1 3

--------------------------------------------------------------------------2 分

此时 a ? 3b = (10,?4) ,

r

r

r r 10 4 1 1 ka + b = (k ? 3,2k + 2) = (? ? 3,2 × (? ) + 2) = (? , ) 3 3 3 3 1 1 v v = ? (10,?4) = ? ( a ? 3b ) .-----------------------------------------------------------2 分 3 3 r r r r 所以 ka + b 与a ? 3b 反向.---------------------------------------------------------------2 分
另解: 另解:当 ka + b 与a ? 3b 平行 ,存在唯一实数 λ ,使 ka + b = λ ( a ? 3b )

r

r

r

r

r

r

r

r

即 ( k ? 3,2k + 2) = λ (10,?4) 解得: k = ?

得: ?

? k ? 3 = 10λ ? 2 k + 2 = ? 4λ

r r r r 1 1 1 , λ = ? , 即当 k = ? , ka + b 与a ? 3b 平行 3 3 3 r r r r 1 这时因为 λ = ? ,所以 ka + b 与a ? 3b 反向. ] 3
16.(本题满分 10 分) . 本题满分 解:(Ⅰ) 5 分) f ( x ) = cos x ? cos( x + (

π
2

) = cos x + sin x

= sin x + cos x -----------------------------------1 分

= 2(

2 2 sin x + cos x) 2 2

= 2 sin( x + ) ------------------------------2 分 4 ∴ f (x ) 的最大值为 2 .--------------------------------2 分 3 3 (Ⅱ) 5 分) 因为 f (α ) = ,即 sin α + cos α = -------------------1 分 ( 4 4 9 ∴ 1 + 2 sin α cos α = --------------------------------------2 分 16 7 ∴ sin 2α = ? .------------------------------------------2 分 16 17.(本题满分 10 分)
(Ⅰ) 4 分)由 sin( x + 解: (

π

π
2

) ≠ 0 ,得 cos x ≠ 0 ,

所以 f(x)的定义城为 {x | x ≠ kπ + [另解:由 sin( x + 另解: 另解 ∴ x ≠ kπ ?

π
2

, k ∈ Z } .--------------------------------4 分

π
2

) ≠ 0 ,得 x +

π
2

≠ kπ , k ∈ Z

π
2

,k ∈ Z

所以 f(x)的定义城为 {x x ≠ kπ ?

π
2

, k ∈ Z} ]

(Ⅱ) 6 分) f ( x ) = ( =

1 + 2 (cos 2 x cos

+ sin 2 x sin ) 4 2 cos x

π

π

1 + cos 2 x + sin 2 x -----------------------------------------------------------1 分 cos x

1 + cos 2α + sin 2α 2 cos 2 α + 2 cos α sin α = = 2(cos α + sin α ) .---2 分 ∴ f (α ) = cos α cos α
因为 α 是第四象限角,所以 sin α = ? 1 ? cos 所以 f (α ) = 2( ? ) = ?
2

α = 1 ? 1 ? ( ) 2 = ? .----------2 分

3 5

4 5

3 5

4 5

2 .----------------------------------------------------------------1 分 5

第Ⅱ卷(满分 50 分)
小题, 一、选择题 本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 18.C . 19.D . 小题, 请将答案填写在横线上. 二、填空题 本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分.请将答案填写在横线上. 20. .

1 8

21. ? .

4 7 ( 2 分) ; ( 3 分) 。 3 6

本大题共3小题, 三、解答题 本大题共3小题,每小题 10 分,共 30 分 22. 22.(本题满分 10 分) (Ⅰ) 5 分) 解: (

y = sin 2 x + 2 sin x cos x + 3 cos 2 x
= (sin 2 x + cos 2 x ) + sin 2 x + 2 cos 2 x =1+ sin 2 x + (1 + cos 2 x ) = sin 2 x + cos 2 x + 2 -------------------------------------------------2 分 = 2 sin 2x + ? + 2 ,---------------------------------------------------2 分 ?

? ?

π?
4?

∴函数的最小正周期是π.--------------------------------------1 分 (Ⅱ) 5 分) 由 2kπ ? ( 得 kπ ?

π
2

≤ 2x +

π
4

≤ 2kπ +

π
2

, k ∈ Z ---------------------------2 分

3π π ≤ x ≤ kπ + --------------------------------------------------------2 分 8 8 3π π? ∴函数的增区间为: ?kπ ? , kπ + ?, k ∈ Z --------------------------------1 分 ?
? 8 8?

23.(本题满分 10 分) . 解: (Ⅰ) 5 分) Q a = ( cos α, α ), = ( cos β, β ) , ( sin b sin

v

v

v v ∴ a ? b = ( cos α ? cos β, α ? sin β ) . ---------------------------------------1 分 sin

v v 2 5 Q a ?b = , 5 ∴


( cos α ? cos β ) + ( sin α ? sin β )
2

2

=

2 5 .---------------------------------2 分 5

2 ? 2 cos (α ? β ) =

4 . 5

---------------------------------------------------1 分

3 ∴ cos (α ? β ) = . ------------------------------------------------------------------1 分 5
(Ⅱ) 5 分)∵ 0 < α < ( ∵ cos (α ? β ) =

π

2

,?

π

2

< β < 0 , ∴ 0 < α ? β < π . ---------------------1 分

3 4 ,∴ sin (α ? β ) = . ----------------------------------1 分 5 5 5 12 ∵ sin β = ? ,∴ cos β = . -----------------------------------------------------1 分 13 13
∴ sin α = sin ?(α ? β ) + β ? = sin (α ? β ) cos β + cos (α ? β ) sin β ? ?

=

4 12 3 ? 5 ? 33 .-----------------------------------------------------------2 分 ? + ?? ? ? = 5 13 5 ? 13 ? 65

24.(本题满分 10 分) . (Ⅰ) 5 分) a·b= cos 解: ( ·

3 x 3 x x ? cos ? sin x ? sin = cos 2 x, ------------------2 分 2 2 2 2

| a+b|= (cos

3 x 3 x x + cos ) 2 + (sin x ? sin ) 2 = 2 + 2 cos 2 x = 2 cos 2 x -----2 分 2 2 2 2

∵ x ∈ [0,

π
2

] , ∴ cos x ≥ 0,

∴| a+b|=2cosx.-----------------------------------------------------------------------1 分 (Ⅱ) 5 分) f ( x ) = cos 2 x ? 4λ cos x, ( 即 f ( x) = 2(cos x ? λ ) 2 ? 1 ? 2λ2 . ------------------------------------------------2 分 ∵ x ∈ [0,

π
2

] , ∴ 0 ≤ cos x ≤ 1.

1′、 当λ < 0 时,当且仅当 cos x = 0时, f ( x) 取得最小值-1,这与已知矛盾. 1′′、 当0 ≤ λ ≤ 1 时,当且仅当 cos x = λ时, f ( x) 取最小值 ? 1 ? 2λ2 .

由已知得 ? 1 ? 2λ = ?
2

3 1 ,解得 λ = . 2 2

1′′′、 当λ > 1 时,当且仅当 cos x = 1时, f ( x) 取得最小值 1 ? 4λ ,
由已知得 1 ? 4λ = ? 综上所述, λ =

3 5 ,解得 λ = ,这与 λ > 1 相矛盾. 2 8

1 为所求.-------------------------------------------------------3 分 2

参考答案:
一、ACDAD DDDCC 二、11. 3π 12. (0, 9)
2

13. [2kπ , 2kπ + π ] k ∈ Z

14. ①④

三、15.解: (1)∵ cos

α + sin 2 α = 1 , α 为第三象限角
2

∴ sin α = ? 1 ? cos (2)显然 cos α ≠ 0 ∴

α = ? 1 ? (? ) 2 = ?

4 5

3 5

4sin α ? 2 cos α 4sin α ? 2 cos α 4 tan α ? 2 4 × 3 ? 2 5 cos α = = = = 5cos α + 3sin α 5 cos α + 3sin α 5 + 3 tan α 5 + 3 × 3 7 cos α

π 3π sin(α ? ) cos( + α ) tan(π ? α ) 2 2 16.解: (1) f (α ) = tan(?α ? π ) sin(?α ? π )
(? cos α )(sin α )(? tan α ) (? tan α ) sin α = ? cos α =
(2)∵ cos(α ?

3π 1 )= 2 5 1 ∴ ? sin α = 5
又 α 为第三象限角

从而 sin α = ?

1 5

∴ cos α = ? 1 ? sin α = ?
2

2 6 5

即 f (α ) 的值为 ?

2 6 5

17.解: (1) a b =| a || b |cos 60 = 2 × 1×
o

v v

v v

1 =1 2

(2) | a + b |2 = ( a + b) 2

v v

v v

v2 v v v2 = a ? 2a b + b = 4 ? 2 ×1 + 1 =3 v v 所以 | a + b |= 3
18.解: k a + b = k (1, 2) + ( ?3, 2) = ( k ? 3, 2k + 2)

r

r

r r a ? 3b = (1, 2) ? 3(?3, 2) = (10, ?4)
(1) ( ka + b ) ⊥ ( a ? 3b ) , 得 (k a + b ) ( a ? 3b ) = 10( k ? 3) ? 4(2k + 2) = 2k ? 38 = 0, k = 19 (2) ( ka + b ) // ( a ? 3b ) ,得 ?4( k ? 3) = 10(2k + 2), k = ? 此时 k a + b = ( ?

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

1 3

r

r

13 + 7 13 ? 7 = 10 ,A = =3 2 2 2π 2π 且相隔 9 小时达到一次最大值说明周期为 9,因此 T = = 9 ,ω = , ω 9 2π t + 10 (0 ≤ t ≤ 24) 故 f (t ) = 3sin 9
19.解: 1) ( 由表中数据可以看到: 水深最大值为 13, 最小值为 7, = h

10 4 1 , ) = ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3

(2)要想船舶安全,必须深度 f (t ) ≥ 11.5 ,即 3sin ∴ sin

2π 1 t≥ 9 2 又 0 ≤ t ≤ 24
当 k = 0 时,

2π t + 10 ≥ 11.5 9 π 2π 5π 3 15 2 kπ + ≤ t≤ + 2 kπ 解得: 9k + ≤ t ≤ + 9k k ∈ Z 6 9 6 4 4

3 3 3 3 3 3 ≤ t ≤ 3 ;当 k = 1 时, 9 ≤ t ≤ 12 ;当 k = 2 时, 18 ≤ t ≤ 21 4 4 4 4 4 4

故船舶安全进港的时间段为 (0 : 45 ? 3 : 45) , (9 : 45 ? 12 : 45) , (18 : 45 ? 21: 45) 20.解: (1) f ( x ) = a b = ( 3 sin x, m + cos x ) (cos x, ? m + cos x ) 即 f ( x) = (2) f ( x ) =

v v

3 sin x cos x + cos 2 x ? m 2

3 sin 2 x 1 + cos 2 x + ? m2 2 2

π 1 = sin(2 x + ) + ? m 2 6 2
由 x ∈ ??

π ? π 5π ? π ? 1 ? ? π π? , ? , ∴ 2 x + ∈ ? ? , ? , ∴ sin(2 x + ) ∈ ? ? ,1? , 6 ? 6 6 ? 6 ? 2 ? ? 6 3?

1 1 ∴? + ? m 2 = ?4 , ∴ m = ±2 2 2 1 1 π π π ∴ f ( x)max = 1 + ? 2 = ? , 此时 2 x + = , x = . 2 2 6 2 6

模块测试题( 高一数学必修 4 模块测试题(人教 A 版)
班级: 时间:120 分钟 姓名: 满分:150 分 学号:

选择题, 第 I 卷(选择题 共 50 分)
选择题( 小题,每小题5 在每小题给出的四个选项中, 一 、选择题(本大题共 10 小题,每小题5分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 项是符合题目要求的) 合题目要求的 0 1. sin 390 = ( ) A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

2.下列区间中,使函数 y = sin x 为增函数的是 A. [0, π ] B. [

π 3π
2 , 2

]

C. [ ?

π π
)

3.下列函数中,最小正周期为 A. y = sin x

π
2

, ] 2 2

D. [π , 2π ]

的是(

B. y = sin x cos x

C. y = tan

4.已知 a = ( x, 3) , b = (3,1) , 且 a ⊥ b , 则 x 等于 ( A.-1 B.-9 C.9 5.已知 sin α + cos α = A.

v

v

v

v

x 2
)

D. y = cos 4 x

D.1

1 ,则 sin 2α = ( 3
C.

) D. ?

2π ) 的图像, 需要将函数 y = sin 2 x 的图像( 3 2π 2π A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 3 3
6.要得到 y = sin(2 x ? C.向左平移

1 2

B. ?

1 2

8 9

8 9

)

π

3 r r3 r r r r r r 7.已知 a , b 满足: | a |= 3 , | b |= 2 , | a + b |= 4 ,则 | a ? b |= (
B. 5 C.3

个单位

D.向右平移

π

个单位

) D.10

uuu v uuuv 8.已知 P (2, ?1) , P2 (0,5) 且点 P 在 P P2 的延长线上, | P P |= 2 | PP2 | , 则点 P 的坐标为 1 1 1
( ) B. ( , 3) A. (2, ?7) 9.已知 tan(α + β ) = A.

A. 3

1 6

2 π 1 π , tan( β ? ) = , 则 tan(α + ) 的值为 ( ) 5 4 4 4 22 3 13 B. C. D. 13 22 18


4 3

C. ( , 3)

2 3

D. ( ?2,11)

10.函数 y = sin(ωx + ? ) 的部分图象如右图,则 ? 、 ω 可以取的一组值是(

A. ω = B. ω = C. ω =

π
2

, ?= , ?= , ?=

π
4
y

π
3

π
6

π
4

π

O

1

2

3

x

4 π 5π D. ω = , ? = 4 4

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

非选择题, 第 II 卷(非选择题 共 60 分)
小题, 把答案填在题中横线上) 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 填空题( 11.已知扇形的圆心角为 120 ,半径为 3 ,则扇形的面积是 12.已知 ABCD 为平行四边形,A(-1,2),B (0,0),C(1,7),则D点坐标为 13.函数 y =
0

sin x 的定义域是

.

14. 给出下列五个命题: ①函数 y = 2sin(2 x ?

π
3

) 的一条对称轴是 x =

②函数 y = tan x 的图象关于点(

π
2

5π ; 12

,0)对称;

③正弦函数在第一象限为增函数 ④若 sin(2 x1 ?

π

) = sin(2 x2 ? ) ,则 x1 ? x2 = kπ ,其中 k ∈ Z 4 4

π

以上四个命题中正确的有 (填写正确命题前面的序号) 解答题( 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15(本小题满分 12 分) (1)已知 cos a = -

4 ,且 a 为第三象限角,求 sin a 的值 5 4 sin α ? 2 cos α (2)已知 tan α = 3 ,计算 的值 5 cos α + 3 sin α

π 3π sin(α ? ) cos( + α ) tan(π ? α ) 2 2 16(本题满分 12 分)已知 α 为第三象限角, f (α ) = . tan(?α ? π ) sin(?α ? π )
(1)化简 f

(α )
3π 1 ) = ,求 f (α ) 的值 2 5

(2)若 cos(α ?

17(本小题满分 14 分) 已知向量 a , b 的夹角为 60 , 且 | a |= 2 , | b |= 1 ,
o

v

v

v

v

v v
(1) 求 a b ;

(2) 求 | a + b | .

v v

18(本小题满分 14 分) 已知 a = (1, 2) , b = (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) k a + b 与 a ? 3b 垂直? (2) k a + b 与 a ? 3b 平行?平行时它们是同向还是反向?

r

r

r

r

r

r r

r

r

19(本小题满分 14 分) 某港口的水深 y (米)是时间 t ( 0 ≤ t ≤ 24 ,单位:小时)的函数,下面是每天时间与水深的 关系表:

t y

0 10

3 13

6 9.9

9 7

12 10

15 13

18 10.1

21 7

24 10

经过长期观测, y = f (t ) 可近似的看成是函数 y = A sin ωt + b (1)根据以上数据,求出 y = f (t ) 的解析式 (2)若船舶航行时,水深至少要 11.5 米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全

的进出该港?

20(本小题满分 14 分) 已知 a = ( 3 sin x, m + cos x) , b = (cos x, ?m + cos x) , 且 f ( x ) = a b (1) 求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 当 x ∈ ? ?

r

r

v v

? π π? 时, f ( x ) 的最小值是-4 , 求此时函数 f ( x ) 的最大值, 并求出相应的 , ? 6 3? ?

x 的值.

参考答案:
一、ACDAD DDDCC 二、11. 3π 12. (0, 9)
2 2

13. [2kπ , 2kπ + π ] k ∈ Z

14. ①④

三、15.解: (1)∵ cos α + sin α = 1 , α 为第三象限角 ∴ sin α = ? 1 ? cos
2

α = ? 1 ? (? ) 2 = ?

4 5

3 5

(2)显然 cos α ≠ 0 ∴

4sin α ? 2 cos α 4sin α ? 2 cos α 4 tan α ? 2 4 × 3 ? 2 5 cos α = = = = 5cos α + 3sin α 5 cos α + 3sin α 5 + 3 tan α 5 + 3 × 3 7 cos α

π 3π sin(α ? ) cos( + α ) tan(π ? α ) 2 2 16.解: (1) f (α ) = tan(?α ? π ) sin(?α ? π )
(? cos α )(sin α )(? tan α ) (? tan α ) sin α = ? cos α =
(2)∵ cos(α ?

3π 1 )= 2 5 1 ∴ ? sin α = 5
又 α 为第三象限角

从而 sin α = ?

1 5

∴ cos α = ? 1 ? sin α = ?
2

2 6 5

即 f (α ) 的值为 ?

2 6 5

17.解: (1) a b =| a || b |cos 60 = 2 × 1×
o

v v

v v

1 =1 2

(2) | a + b |2 = ( a + b) 2

v v

v v

v2 v v v2 = a ? 2a b + b = 4 ? 2 ×1 + 1 =3 v v 所以 | a + b |= 3

18.解: k a + b = k (1, 2) + ( ?3, 2) = ( k ? 3, 2k + 2)

r

r

r r a ? 3b = (1, 2) ? 3(?3, 2) = (10, ?4)
(1) ( ka + b ) ⊥ ( a ? 3b ) , 得 (k a + b ) ( a ? 3b ) = 10( k ? 3) ? 4(2k + 2) = 2k ? 38 = 0, k = 19 (2) ( ka + b ) // ( a ? 3b ) ,得 ?4( k ? 3) = 10(2k + 2), k = ? 此时 k a + b = ( ?

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

1 3

r

r

13 + 7 13 ? 7 = 10 ,A = =3 2 2 2π 2π 且相隔 9 小时达到一次最大值说明周期为 9,因此 T = = 9 ,ω = , ω 9 2π 故 f (t ) = 3sin t + 10 (0 ≤ t ≤ 24) 9 2π (2)要想船舶安全,必须深度 f (t ) ≥ 11.5 ,即 3sin t + 10 ≥ 11.5 9 2π 1 π 2π 5π 3 15 ∴ sin t≥ 2 kπ + ≤ t≤ + 2 kπ 解得: 9k + ≤ t ≤ + 9k k ∈ Z 9 2 6 9 6 4 4 又 0 ≤ t ≤ 24 3 3 3 3 3 3 当 k = 0 时, ≤ t ≤ 3 ;当 k = 1 时, 9 ≤ t ≤ 12 ;当 k = 2 时, 18 ≤ t ≤ 21 4 4 4 4 4 4
19.解: 1) ( 由表中数据可以看到: 水深最大值为 13, 最小值为 7, = h 故船舶安全进港的时间段为 (0 : 45 ? 3 : 45) , (9 : 45 ? 12 : 45) , (18 : 45 ? 21: 45) 20.解: (1) f ( x ) = a b = ( 3 sin x, m + cos x ) (cos x, ? m + cos x ) 即 f ( x) = (2) f ( x ) =

10 4 1 , ) = ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3

v v

3 sin x cos x + cos 2 x ? m 2

3 sin 2 x 1 + cos 2 x + ? m2 2 2

π 1 = sin(2 x + ) + ? m 2 6 2
由 x ∈ ??

π ? π 5π ? π ? 1 ? ? π π? , ? , ∴ 2 x + ∈ ? ? , ? , ∴ sin(2 x + ) ∈ ? ? ,1? , 6 ? 6 6 ? 6 ? 2 ? ? 6 3?

1 1 ∴? + ? m 2 = ?4 , ∴ m = ±2 2 2 1 1 π π π ∴ f ( x)max = 1 + ? 2 = ? , 此时 2 x + = , x = . 2 2 6 2 6

说明: 说明: 本套试卷满分 120 分,时间 150 分钟,选题基本上来源于人教版教材,同时也吸取了其他版本 教材的内容(北师大版的) ,有些题目是对课本题目进行改编而成.难易程度中等偏易,估计平 均分为 85 分 永和中学数学科组:吴新红

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 α 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限, 则称 α 为第几象限角. 第一象限角的集合为 α k ? 360o < α < k ? 360o + 90o , k ∈ Ζ
o o o o

{ } 第二象限角的集合为 {α k ? 360 + 90 < k ? 360 + 180 , k ∈ Ζ} 第三象限角的集合为 {α k ? 360 + 180 < α < k ? 360 + 270 , k ∈ Ζ} 第四象限角的集合为 {α k ? 360 + 270 < α < k ? 360 + 360 , k ∈ Ζ} 终边在 x 轴上的角的集合为 {α α = k ?180 , k ∈ Ζ} 终边在 y 轴上的角的集合为 {α α = k ?180 + 90 , k ∈ Ζ} 终边在坐标轴上的角的集合为 {α α = k ? 90 , k ∈ Ζ} 3、与角 α 终边相同的角的集合为 {β β = k ? 360 + α , k ∈ Ζ}
o o o o o o o o o o o o o

4、已知 α 是第几象限角,确定

α

再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 α 原来是第几

( n ∈ Ν ) 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份, n
*

象限对应的标号即为

终边所落在的区域. n 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度.
l . r

α

6、半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l ,则角 α 的弧度数的绝对值是 α =
? 180 ? o 7、弧度制与角度制的换算公式: 2π = 360 , 1 = ,1 = ? ? ≈ 57.3 . 180 π ? ?
o

o

π

o

8、若扇形的圆心角为 α (α 为弧度制) ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,
1 1 则 l = r α , C = 2r + l , S = lr = α r 2 . 2 2

9、设 α 是一个任意大小的角, α 的终边上任意一点 Ρ 的坐标是 ( x, y ) ,它与原点的
y x y , cos α = , tan α = ( x ≠ 0 ) . r r x 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正 切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin α = ΜΡ , cos α = ΟΜ , tan α = ΑΤ .

距离是 r r = x 2 + y 2 > 0 ,则 sin α =

(

)

12、同角三角函数的基本关系: (1) sin 2 α + cos 2 α = 1

( sin

2

α = 1 ? cos 2 α , cos 2 α = 1 ? sin 2 α ) ; ( 2 )
? ?. ?

sin α = tan α cos α

sin α ? ? sin α = tan α cos α , cos α = tan α ?

13、三角函数的诱导公式:

(1) sin ( 2kπ + α ) = sin α , cos ( 2kπ + α ) = cos α , tan ( 2kπ + α ) = tan α ( k ∈ Ζ ) . ( 2 ) sin (π + α ) = ? sin α , cos (π + α ) = ? cos α , tan (π + α ) = tan α . ( 3) sin ( ?α ) = ? sin α , cos ( ?α ) = cos α , tan ( ?α ) = ? tan α .
cos ( 4 ) sin (π ? α ) = sin α , (π ? α ) = ? cos α ,tan (π ? α ) = ? tan α .
口诀:函数名称不变,符号看象限.
y P T O M A x

π π ( 5 ) sin ? ? α ? = cos α , cos ? ? α ? = sin α . ? ? ? ? ?2 ? ?2 ?

( 6 ) sin ? ?

? ?π ? + α ? = cos α , cos ? + α ? = ? sin α . ?2 ? ?2 ?

π

口诀:奇变偶不变,符号看象限. 14 、 函 数 y = sin x 的 图 象 上 所 有 点 向 左 ( 右 ) 平 移 ? 个 单 位 长 度 , 得 到 函 数

y = sin ( x + ? ) 的图象;再将函数 y = sin ( x + ? ) 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)
到原来的
1

ω

倍 ( 纵 坐 标 不 变 ) 得 到 函 数 y = sin (ω x + ? ) 的 图 象 ; 再 将 函 数 ,

y = sin (ω x + ? ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 Α 倍(横坐标不变) ,
得到函数 y = Α sin (ω x + ? ) 的图象. 函数 y = sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 得到函数
y = sin ω x 的图象;再将函数 y = sin ω x 的图象上所有点向左(右)平移

1

ω

倍(纵坐标不变) ,

? 个单位长 ω

度,得到函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象;再将函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象上所有点的纵 坐标伸长(缩短)到原来的 Α 倍(横坐标不变) ,得到函数 y = Α sin (ω x + ? ) 的图象. 函数 y = Α sin ( ω x + ? )( Α > 0, ω > 0 ) 的性质:
①振幅: Α ;②周期:Τ =



ω

;③频率: f =

1 ω = ;④相位:ω x + ? ;⑤初相:? . Τ 2π

函数 y = Α sin ( ω x + ? ) + Β ,当 x = x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x = x2 时,取得最大
1 1 Τ ( ymax ? ymin ) , Β = ( ymax + ymin ) , = x2 ? x1 ( x1 < x2 ) . 2 2 2 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

值为 ymax ,则 Α =
函 质





y = sin x

y = cos x

y = tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? π ? ? x x ≠ kπ + , k ∈ Ζ ? 2 ? ? R

[ ?1,1]
当 x = 2k π +

[ ?1,1]
( k ∈ Ζ)
当 x = 2kπ ( k ∈ Ζ ) 时,
ymax = 1 ;当 x = 2kπ + π

π
2

最 值

时 ,

ymax = 1 ; 当

x = 2k π ?

π
2

( k ∈ Ζ ) 时, ymin = ?1 .


既无最大值也无最小值

( k ∈ Ζ ) 时, ymin = ?1 .
周 期 性 奇 偶 性


π

奇函数

偶函数

奇函数

π π? ? 在 ? 2 kπ ? , 2 k π + ? 2 2? ?
单 调 性

在 [ 2 kπ ? π , 2 kπ ] ( k ∈ Ζ ) 上 是 增 函 数 ;

( k ∈ Ζ ) 上是增函数;在
π 3π ? ? 2 kπ + , 2 kπ + ? ? 2 2 ? ?

[ 2 kπ , 2 kπ + π ]
( k ∈ Ζ ) 上是减函数.

π π? ? 在 在 ? kπ ? , kπ + ? 2 2? ?

( k ∈ Ζ ) 上是增函数.

( k ∈ Ζ ) 上是减函数.
对 称 性 对称中心 ( kπ , 0 )( k ∈ Ζ ) 对
x = kπ +





















π
2

(k ∈ Ζ)

π ? ? ? kπ + , 0 ? ( k ∈ Ζ ) 2 ? ?

? kπ ? , 0 ? (k ∈ Ζ) ? ? 2 ?

无对称轴

对称轴 x = kπ ( k ∈ Ζ )
16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零 非零向量.零向量与任一向量平行. 非零 相等向量:长度相等且方向相同 方向相同的向量. 方向相同 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式: a ? b ≤ a + b ≤ a + b . ⑷ 运 算 性 质 : ① 交 换 律 : a +b = b +a ; ② 结 合 律 : a +b +c = a + b +c ; ③

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

(r )
r

r

r

(

r

r

)

r r r r r a +0 = 0+a = a .
⑸ 坐 标 运 算 : 设

C

r r a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) , 则

r r a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) .
18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.

r a Α

r b

Β

r r ⑵ 坐 标 运 算 : 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) , 则 r r a ? b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .

r r r r uuur uuu uuu a ? b = ΑC ? ΑΒ = ΒC

设 Α 、 Β 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,则 ΑΒ = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . 19、向量数乘运算: r r ⑴实数 λ 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 λ a . ①

uuu r

λa = λ a ;
r r r r

r

r

②当 λ > 0 时, λ a 的方向与 a 的方向相同;当 λ < 0 时, λ a 的方向与 a 的方向相反;当 λ = 0 时, λ a = 0 .

r

r

⑵运算律:① λ ( ? a ) = ( λ? ) a ;② ( λ + ? ) a = λ a + ? a ;③ λ a + b = λ a + λb . ⑶坐标运算:设 a = ( x, y ) ,则 λ a = λ ( x, y ) = ( λ x, λ y ) . 20、向量共线定理:向量 a a ≠ 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ ,使 b = λ a . 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,其中 b ≠ 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 = 0 时,向量 a 、 b b ≠ 0 共线.

r

r

r

r

r

(r )
r

r

r

r

r

r r

(

r

)

r

r

r

r

r

r

r

r

r r

(

r

)

ur
r

uu r r ur uu r ur uu r

21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的 任意向量 a ,有且只有一对实数 λ1 、 λ2 ,使 a = λ1 e1 + λ2 e2 . 不共线的向量 e1 、 e2 作为这一 (不共线 不共线 平面内所有向量的一组基底) 22、分点坐标公式:设点 Ρ 是线段 Ρ1Ρ 2 上的一点, Ρ1 、 Ρ 2 的坐标分别是 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 当 Ρ1Ρ = λ ΡΡ 2 时,点 Ρ 的坐标是 ? 23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b = a b cos θ a ≠ 0, b ≠ 0, 0 ≤ θ ≤ 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .
o o

uuu r

uuur

? x1 + λ x2 y1 + λ y2 ? , ?. 1+ λ ? ? 1+ λ

r r

r r r

(r

r r

r

)

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ⊥ b ? a ? b = 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b = a b ; 当 a 与 b 反向时, a ? b = ? a b ; a ? a = a = a 或 a =

r

r

r

r r

r

r

r r

r r

r

r

r r

r r

r r r

r2

r2

r

r r r r r r a ? a .③ a ? b ≤ a b .

⑶运算律:① a ? b = b ? a ;② ( λ a ) ? b = λ a ? b = a ? λ b ;③ a + b ? c = a ? c + b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 + y1 y2 . 若 a = ( x, y ) ,则 a = x + y ,或 a =
2 2

r r

r r

r

(r )
r r

r

( )
r

(r )

r r

r r

r r

r

r r

r
r

r2

r

x2 + y 2 .

设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ⊥ b ? x1 x2 + y1 y2 = 0 . 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) , θ 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r r a ?b x1 x2 + y1 y2 cosθ = r r = . 2 2 a b x12 + y12 x2 + y2
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

⑴ cos (α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β ; ⑵ cos (α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β ; ⑶ sin (α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β ; ⑷ sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ; ⑸ tan (α ? β ) = ⑹ tan (α + β ) =

tan α ? tan β ( tan α ? tan β = tan (α ? β )(1 + tan α tan β ) ) ; 1 + tan α tan β tan α + tan β ( tan α + tan β = tan (α + β )(1 ? tan α tan β ) ) . 1 ? tan α tan β

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2α = 2sin α cos α . ⑵

cos 2α = cos2 α ? sin 2 α = 2cos2 α ?1 = 1 ? 2sin 2 α
1 ? cos 2α ) . 2



cos 2 α =

cos 2α + 1 2



sin 2 α =

⑶ tan 2α =

2 tan α . 1 ? tan 2 α
Α 2 + Β 2 sin (α + ? ) ,其中 tan ? =
Β . Α

26、 Α sin α + Β cos α =


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