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湖北省重点高中协作体联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理


湖北省重点高中协作体联考 2014-2015 学年高二上学期期中数学 试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知直线 l1:2x﹣y+1=0,直线 l2 过点(1,1)倾斜角为直线 l1 的倾斜角的两倍, 则直线 l2 的方程为() A.4x+3y﹣7=0

B.4x+3y+1=0 C.4x﹣y﹣3=0 D.4x﹣y+5=0 2. (5 分)以下几个结论,其中正确结论的个数为() (1)将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,平均数与标准差均没有变化; (2)在线性回归分析中,相关系数 r 越小,表明两个变量相关越弱; (3)直线 l 垂直于平面 α 的充要条件是 l 垂直于平面 α 内的无数条直线; (4)某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为 了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为 7 人,刚样本容量为 15. A.1 B. 2 C. 3 D.4 3. (5 分)某车间共有 6 名工人,他们某日加工零件葛素的茎叶图如图所示,其中茎为十位 数,叶为个位数日加工零件大于样本均值的工人为优秀工人,从该车间 6 名工人中,任取 2 人,则恰由 1 名优秀工人的概率为() A. B. C. D.

4. (5 分)根据如下样本数据: x 3 4 y 4 2.5 得到的线性回归方程为 A.a>0,b>0 ,则()

5 ﹣1

6 ﹣1

7 ﹣2

B.a>0,b<0

C.a<0,b>0

D.a<0,b<0

5. (5 分)2014 年第 12 届全国学生运动会在上海举行,上海某高校有 4 名学生参加 A,B, C 三个比赛项的志愿者,每个比赛项目至少分配一人,每人只能服务一个比赛项目,若甲要 求不去服务 C 比赛项目,则不同的安排方案共有() A.18 种 B.24 种 C.30 种 D.36 种 6. (5 分)阅读如图所示的程序框图,则输出结果 S 的值为()

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A.

B.

C.

D.

7. (5 分)某市有 A,B,C 三所学校共有 2014-2015 学年高二理科学生 1500 人,且 A,B, C 三所学校的 2014-2015 学年高二理科学生人数依次构成等差数列, 在十一月进行全市联考 后,用分层抽样的方法从所有 2014-2015 学年高二理科学生中抽取容量 150 的样本,进行成 绩分析,则应从 B 校学生中抽取人数为() A.40 B.50 C.80 D.100 8. (5 分)总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成,利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个 数字,则选出来的第 5 个个体的编号为() 7815 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0805 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6936 7481 A.08 B.07 C.05 D.02

9. (5 分)如果如图撑血运行后,输出结果为 132,那么程序中 UNTIL,后面的条件应为()

A.i>11

B.i≥11

C.i≤11

D.i<11

10. (5 分)已知直线 l1:y= x 和 l2:y=﹣ x,对于任意一条直线 l:y=kx 进行变换, 记该变换为 R,得另一条直线 R(l) .变换 R 为:先经 l1 反射,所得直线(即以 l1 为对称轴, (1 ) (n) l 的轴对称图形)再经 l2 反射,得到 R(l) .令 R =R(l) ,对于 n≥2 定义 R (l)=R(R (n﹣1) (m) (l) ) ,则使得 R (l)=l 恒成立的最小正整数 m 为()
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A.2

B. 3

C. 4

D.6

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上.. 11. (5 分)已知直线 l 过(1,1)点,将直线 l 沿 x 轴向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向下平 移 1 个单位后,直线 l 回到原来的位置,则直线 l 的方程. 12. (5 分)已知直线 l:y=x﹣1,点 A(1,2) ,B(3,1) ,若在直线 l 上存在一点 P,使 得|PA|﹣|PB|最大,则点 P 坐标为.

13. (5 分)设点(a,b)是区域

内的随机点,函数 f(x)=ax ﹣4bx+1 在区间

2

[1,+∞)是增函数的概率为. 14. (5 分)读如图程序,若输入 x=48,则输出的值为.

15. (5 分)将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成 1000 个同样大小的小正方体,经过搅 拌后,从从随机取出一个小正方体,则小正方体涂油漆的面数为 2 的概率是.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (12 分)已知 展开式中各项系数和比各项的二项式系数和大 992

(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 17. (12 分)已知直三棱柱 BCE﹣ADG,底面△ ADF 中,AD⊥DF,DA=DF=DC,其中 M, N 分别是 AB,AC 的中点,G 是 DF 上的一个动点. (1)求证:GN⊥AC; (2)当 DC= DF 时,在边 AD 上是否存在一点,使得 GP∥平面 FMC?

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18. (12 分)小明家订了一份报纸,寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据,并绘制成 频率分布直方图,如图所示. (Ⅰ)根据图中的数据信息,求出众数 x1 和中位数 x2(精确到整数分钟) ; (Ⅱ)小明的父亲上班离家的时间 y 在上午 7:00 至 7:30 之间,而送报人每天在 x1 时刻 前后半小时内把报纸送达(每个时间点送达的可能性相等) ,求小明的父亲在上班离家前能 收到报纸(称为事件 A)的概率.

19. (12 分)已知箱子里装有 4 张大小、形状都相同的卡片,标号分别为 1,2,3,4 (1)从箱子中任取两张卡片,求两张卡片的标号之和不小于 4 的概率; (2)从箱子中任意取出一张卡片记下它的标号 m,然后再放回箱子中;第二次再从箱子中 任取一张卡片,记下它的标号 n,求使得幂函数 f(x)= 的概率. 20. (13 分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小球 1 个,标号为 2 的小球 n 个,已知从袋子随机抽取 1 个小球,取到标号为 2 的小球的 概率是 . (Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)从袋子中不放回地随机抽取 2 个球,记第一次取出的小球标号为 a,第二次取出的小 球标号为 b. ①记“a+b=2”为事件 A,求事件 A 的概率; 2 2 2 ②在区间[0,2]内任取 2 个实数 x,y,求事件“x +y >(a﹣b) 恒成立”的概率. 21. (14 分)把圆周分成四等份,A 是其中一个分点,动点 P 在四个分点上按逆时针方向前 进,现在投掷一个质地均匀的正四面体,它的四个面上分别写有 1,2,3,4 四个数字,P 从 A 点出发,按照正四面体底面上数字前进几个分点,转一周之前连续投掷. (1)求点 P 恰好返回 A 点的概率; 的图象关于 y 轴对称

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(2)在点 P 转一周恰能返回 A 点的所有结果中,求至少需投掷 3 次点 P 才能返回 A 的概 率.

湖北省重点高中协作体联考 2014-2015 学年高二上学期 期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知直线 l1:2x﹣y+1=0,直线 l2 过点(1,1)倾斜角为直线 l1 的倾斜角的两倍, 则直线 l2 的方程为() A.4x+3y﹣7=0 B.4x+3y+1=0 C.4x﹣y﹣3=0 D.4x﹣y+5=0 考点: 直线的一般式方程;直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 设直线 l1 的倾斜角为 α, 直线 l2 的倾斜角为 2α, 由题意可得 tanα=2, 进而可得 tan2α= ﹣ ,可得直线的点斜式方程,化为一般式即可. 解答: 解:设直线 l1 的倾斜角为 α,则直线 l2 的倾斜角为 2α, ∵直线 l1:2x﹣y+1=0,∴tanα=2, ∴tan2α= =﹣ ,即直线直线 l2 的斜率为﹣ ,

∴直线 l2 的方程为 y﹣1=﹣ (x﹣1) , 化为一般式可得 4x+3y﹣7=0 故选:A 点评: 本题考查直线的倾斜角和一般式方程,涉及二倍角的正切公式,属基础题. 2. (5 分)以下几个结论,其中正确结论的个数为() (1)将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,平均数与标准差均没有变化; (2)在线性回归分析中,相关系数 r 越小,表明两个变量相关越弱; (3)直线 l 垂直于平面 α 的充要条件是 l 垂直于平面 α 内的无数条直线;

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(4)某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为 了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为 7 人,刚样本容量为 15. A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 概率与统计. 分析: (1)将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,平均数发生变化,标准差均没 有变化,可判断(1) ; (2)在线性回归分析中,相关系数 r→﹣1,表明两个变量负相关越强,可判断(2) ; (3)利用线面垂直的定义可判断(3) ; (4)利用分层抽样的概念及运算公式可求得样本容量为 n 的值,从而可判断(4) . 解答: 解: (1) 将一组数据中的每个数据都减去同一个数 a 后, 平均数为原平均数减去 a, 其标准差没有变化,故(1)错误; (2)在线性回归分析中,相关系数 r 接近﹣1,表明两个变量负相关越强,故(2)错误; (3)直线 l 垂直于平面 α 的充要条件是 l 垂直于平面 α 内的任意一条直线,而不是无数条 直线,故(3)错误; (4)某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为 了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为 7 人,设样本容量为 n,则 = ,解得 n=15,故(4)正确.

故正确结论的个数为 1 个, 故选:A. 点评: 本题考查概率统计中的均值与方差、 回归分析中的相关系数的概念及应用、 分层抽 样及线面垂直的定义,属于中档题. 3. (5 分)某车间共有 6 名工人,他们某日加工零件葛素的茎叶图如图所示,其中茎为十位 数,叶为个位数日加工零件大于样本均值的工人为优秀工人,从该车间 6 名工人中,任取 2 人,则恰由 1 名优秀工人的概率为()

A.

B.

C.

D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 样本均值= =22 .可得该车间 6 名工人中优秀的有 3 人.于

是从该车间 6 名工人中,任取 2 人,则恰由 1 名优秀工人的概率 P=



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解答: 解:样本均值= ∴该车间 6 名工人中优秀的有 3 人.

=22 .

∴从该车间 6 名工人中,任取 2 人,则恰由 1 名优秀工人的概率 P=

= .

故选:C. 点评: 本题考查了平均数的计算、古典概型的概率计算公式、组合数的计算公式,考查了 计算能力,属于基础题. 4. (5 分)根据如下样本数据: x 3 4 y 4 2.5 得到的线性回归方程为 A.a>0,b>0 ,则() C.a<0,b>0 D.a<0,b<0

5 ﹣1

6 ﹣1

7 ﹣2

B.a>0,b<0

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 利用公式求出 b,a,即可得出结论. 解答: 解:样本平均数 =5.5, =0.25, ∴ ( )=﹣24.5,
2

=17.5,∴b=﹣

=﹣1.4,

∴a=0.25﹣(﹣1.4)?5.5=7.95, 故选:B. 点评: 本题考查线性回归方程的求法,考查最小二乘法,属于基础题. 5. (5 分)2014 年第 12 届全国学生运动会在上海举行,上海某高校有 4 名学生参加 A,B, C 三个比赛项的志愿者,每个比赛项目至少分配一人,每人只能服务一个比赛项目,若甲要 求不去服务 C 比赛项目,则不同的安排方案共有() A.18 种 B.24 种 C.30 种 D.36 种 考点: 专题: 分析: 解答: 排列、组合及简单计数问题. 应用题;排列组合. 先安排甲,再安排其余 3 人,利用分布计算原理可得结论. 解:甲在 B、C 中任选一个,在这个前提下,剩下三个人可以在三个比赛中各服务 ,也可以在除了甲之外的两个项目中服务,就是 ( + )=24 ,

一个,就是

∴不同的安排方案共有

故选 B. 点评: 本题考查分布计算原理的运用,考查学生的计算能力,属于基础题.

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6. (5 分)阅读如图所示的程序框图,则输出结果 S 的值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,写出每次循环得到的 S,n 的值,当 n=5 时不满足条件 n≤4,输出 S 的值. 解答: 解:执行程序框图,有 S=1,n=1 满足条件 n≤4,S=cos 满足条件 n≤4,S=cos 满足条件 n≤4,S=cos 满足条件 n≤4,S=cos ,n=2 ×cos ×cos ×cos ,n=3 × × ,n=4 × ,n=5

不满足条件 n≤4,输出 S 的值. ∵S=cos ×cos × ×

=

×cos

×cos

×

×

=

×cos

×

×

=

×

×

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=

×

=

×

=



故选:D. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,考察了三角函数求值,属于基础题. 7. (5 分)某市有 A,B,C 三所学校共有 2014-2015 学年高二理科学生 1500 人,且 A,B, C 三所学校的 2014-2015 学年高二理科学生人数依次构成等差数列, 在十一月进行全市联考 后,用分层抽样的方法从所有 2014-2015 学年高二理科学生中抽取容量 150 的样本,进行成 绩分析,则应从 B 校学生中抽取人数为() A.40 B.50 C.80 D.100 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意和分层抽样的定义知从 A、B、C 三校的 2014-2015 学年高二理科学生中抽 取的人数也成等差数列,故设为 x﹣d,x,x+d;再由样本的容量为 150 求出 x. 解答: 解:由题意知 A、B、C 三校的 2014-2015 学年高二理科学生人数成等差数列,因 用分层抽样, 故设从 A、B、C 三校的 2014-2015 学年高二理科学生中抽取的人数分别为:x﹣d,x,x+d; ∵样本的容量为 150, ∴(x﹣d)+x+(x+d)=150, 解得 x=50. 故选:B 点评: 本题的考点是等差数列的性质和分层抽样的定义, 即样本和总体的结构一致性, 抽 到的人数也对应成等差数列,用等差数列的性质求值. 8. (5 分)总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成,利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个 数字,则选出来的第 5 个个体的编号为() 7815 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0805 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6936 7481 A.08 B.07 C.05 D.02

考点: 随机事件. 专题: 计算题;概率与统计.

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分析: 从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右 读,依次为 65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,98,…,其中 08, 02,14,07,05 符合条件,故可得结论. 解答: 解: 从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字开始 向右读, 第一个数为 65,不符合条件,第二个数为 72,不符合条件, 第三个数为 08,符合条件, 以下符合条件依次为:08,02,14,07,05 故第 5 个数为 05. 故选 C. 点评: 本题主要考查简单随机抽样.在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样 的,所以每个数被抽到的概率是一样的. 9. (5 分)如果如图撑血运行后,输出结果为 132,那么程序中 UNTIL,后面的条件应为()

A.i>11

B.i≥11

C.i≤11

D.i<11

考点: 伪代码. 专题: 算法和程序框图. 分析: 首先分析程序框图,根据框图执行,第一步:s=1 i=12;第一步 s=12,i=11;第一 步 s=12×11=132,i=10,然后根据输出结果即可写出判断条件. 解答: 解:本题考查根据程序框图的运算,写出控制条件 按照程序框图执行如下: s=1 i=12 s=12 i=11 s=12×11=132 i=10 因为输出 132 故此时判断条件应为:i≤10 或 i<11 故选:D. 点评: 本题考查循环语句,通过对程序框图的把握写出判断框,解题方法是模拟程序执 行.属于基础题. 10. (5 分)已知直线 l1:y= x 和 l2:y=﹣ x,对于任意一条直线 l:y=kx 进行变换, 记该变换为 R,得另一条直线 R(l) .变换 R 为:先经 l1 反射,所得直线(即以 l1 为对称轴,

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l 的轴对称图形)再经 l2 反射,得到 R(l) .令 R =R(l) ,对于 n≥2 定义 R (n﹣1) (m) (l) ) ,则使得 R (l)=l 恒成立的最小正整数 m 为() A.2 B. 3 C. 4 D.6 考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 利用对称性,即可得出结论. 解答: 解:设直线 l:y=kx 的倾斜角为 α(0<α< 为 ﹣α,经 l2 反射,所得直线的倾斜角为

(1 )

(n)

(l)=R(R

) ,则经 l1 反射,所得直线的倾斜角
(1)

+α,即 R

(l)的倾斜角为 ﹣α,即 R

+α;经 l1
(2 )

反射,所得直线的倾斜角为 π﹣α,经 l2 反射,所得直线的倾斜角为 倾斜角为
(3)

(l)的

﹣α;经 l1 反射,所得直线的倾斜角为
(m)

+α,经 l2 反射,所得直线的倾斜角为

α,即 R (l)的倾斜角为 α.故使得 R (l)=l 恒成立的最小正整数 m 为 3. 故选:B. 点评: 本题考查与直线关于点、 直线对称的直线方程, 考查学生的计算能力, 属于中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上.. 11. (5 分)已知直线 l 过(1,1)点,将直线 l 沿 x 轴向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向下平 移 1 个单位后,直线 l 回到原来的位置,则直线 l 的方程 x﹣2y+1=0. 考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为:y=k(x﹣1)+1,则由图象变换 可得 2k﹣1=0,从而求出直线的方程. 解答: 解:由题意,直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为:y=k(x﹣1)+1 则 y=k(x﹣1)+1 y=k( (x+2)﹣1)+1 y=k( (x+2)﹣1)+1﹣1, y=k( (x﹣1)+1+2k﹣1, ∴2k﹣1=0,则 k= , 则直线方程为 y= (x﹣1)+1, 即 x﹣2y+1=0. 故答案为:x﹣2y+1=0. 点评: 本题考查了函数的图象变换,属于基础题.

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12. (5 分)已知直线 l:y=x﹣1,点 A(1,2) ,B(3,1) ,若在直线 l 上存在一点 P,使 得|PA|﹣|PB|最大,则点 P 坐标为(3,2) . 考点: 两点间的距离公式. 专题: 数形结合;直线与圆. 分析: 作点 A 关于直线 l 的对称点 C,作直线 BC 交 l 于 P 点,此时||PB|﹣|PA||最大,则 点 P 为所求点. 解答: 解:作点 A 关于直线 l 的对称点 C,作直线 BC 交 l 于 P 点,此时||PB|﹣|PA||最大, 则点 P 为所求点. 设 C(a,b) , 则满足 AC⊥l, ∵直线 y=x﹣1 的斜率 k=1,





解得 a=3,b=0,即 C(3,0) .

此时直线 BC 的方程为 x=3, 由点 P 在直线 l:y=x﹣1 上, 从而解得 x=3,y=2, 即 P(3,2) , 故答案为: (3,2) . 点评: 本题考查的是最短线路问题,解答此类题目的关键是根据轴对称的性质画出图形, 再由两点之间线段最短的知识求解,本题属于中档题.

13. (5 分)设点(a,b)是区域

内的随机点,函数 f(x)=ax ﹣4bx+1 在区间

2

[1,+∞)是增函数的概率为 .

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考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 作出不等式组对应的平面区域, 根据概率的几何概型的概率公式进行计算即可得到 结论.

解答: 解:作出不等式组

内对应的平面区域如图:对应的图形为△ OAB,

其中对应面积为 S= ×4×4=8, 若 f(x)=ax ﹣4bx+1 在区间[1,+∞)上是增函数, 则满足 a>0 且对称轴 x=﹣ 即 由 ≤1,
2

,对应的平面区域为△ OBC, ,

解得



∴对应的面积为 S1= × ×4= ,

∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为 故答案为: .



点评: 本题主要考查几何概型的概率公式的计算, 作出不等式组对应的平面区域是解决本 题的关键. 14. (5 分)读如图程序,若输入 x=48,则输出的值为 84.

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考点: 伪代码. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序,依次写出 x,a,b 的值即可. 解答: 解:执行程序,有 x=48 满足条件“x>9 AND x<100”,a=4.8,b=8,x=84.输出 x 的值 84. 故答案为:84 点评: 本题考查的知识点是伪代码,分段函数,其中由已知中的程序代码,分析出分段函 数的解析式是解答的关键. 15. (5 分)将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成 1000 个同样大小的小正方体,经过搅 拌后,从从随机取出一个小正方体,则小正方体涂油漆的面数为 2 的概率是 .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 由于小正方体涂油漆的面数为 2 的有 12×(10﹣2)个.利用古典概型的概率计算 公式即可得出. 解答: 解:小正方体涂油漆的面数为 2 的有 12×(10﹣2)=96 个. ∴小正方体涂油漆的面数为 2 的概率是 故答案为: . = .

点评: 本题考查了古典概型的概率计算公式,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (12 分)已知 展开式中各项系数和比各项的二项式系数和大 992

(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;二项式定理. n n 分析: (1)令 x=1 得各项系数和为:4 ,二项式系数和为 2 ,由条件得到方程,解出即 可得到 n=5,再由二项式系数的性质,即可得到二项式系数最大的项;

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(2)由二项式展开式的通项公式,可得 r=0,2,4 时项的系数为正,分别求得它们的系数, 比较即可得到系数最大项. 解答: 解: (1)令 x=1 得各项系数和为:4 ,二项式系数和为 2 , n n 由各项系数和比各项的二项式系数和大 992,得 4 ﹣2 =992, n n n 即有(2 +31) (2 ﹣32)=0,则 2 =32,解得 n=5, 二项式的展开式的通项 Tr+1= (5 )
5﹣r n n

?(﹣x ) (r=0,1,2,…,5)

2

r

则展开式中二项式系数最大的项为: T3= (5 )
5﹣2

?(﹣x ) =1250x ,

2

2

6

T4=

(5



5﹣3

?(﹣x ) =﹣250 )
5﹣r 2 r

2

3



(2)由 Tr+1=

(5
5

?(﹣x ) (r=0,1,2,…,5) ,

则 r=0,2,4 时项的系数为正, 当 r=0 时,项的系数为 5 =3125, 4 当 r=2 时,项的系数为 2×5 =1250, 2 当 r=4 时,项的系数为 5 =25, 故 r=0 时,展开式中项的系数最大, 即有展开式中系数最大的项为 3125 .

点评: 本题考查二项式展开式的通项及运用, 考查二项式系数与该项的系数的区别, 考查 运算能力,属于中档题. 17. (12 分)已知直三棱柱 BCE﹣ADG,底面△ ADF 中,AD⊥DF,DA=DF=DC,其中 M, N 分别是 AB,AC 的中点,G 是 DF 上的一个动点. (1)求证:GN⊥AC; (2)当 DC= DF 时,在边 AD 上是否存在一点,使得 GP∥平面 FMC?

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)要证 GN⊥AC,只要证明 AC 垂直于平面 FDN 即可,由 DF 垂直于底面,底 面是正方形即可得到答案; (2) 由 DC= DF 时, 在边 AD 上存在一点 P, 使得 GP∥平面 FMC, 此时 P 为 AD 的中点. 在 根据线面平行、面面平行去证即可.
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解答: 解: (1)AD⊥DF,DF=AD=DC, 连接 DB,可知 B、N、D 共线,且 AC⊥DN, 又 FD⊥AD,FD⊥CD,且 AD∩CD=D. 所以 FD⊥平面 ABCD,所以 AC⊥平面 FDN. GN?平面 FDN, ∴GN⊥AC. (2)当 DC= DF 时,在边 AD 上存在一点 P,使得 GP∥平面 FMC,此时 P 为 AD 的中点. 证明如下:在 DC 上取点 S,使 DS= DC.连接 GS. 因为 DG= DF,DS= DC, 所以 GS∥FC, ∴GS∥平面 FMC, 延长 BA 至点 Q,使得 AQ= AM.连接 SQ 交 AD 与点 P, 可得 PS∥CM, ∴PS∥平面 EMC, 由 GS∩PS=S, ∴PS∥平面 EMC, 由 GS∩PS=S, ∴平面 GSP∥平面 EMC, 又 GP?平面 GSP, ∴GP∥平面 FMC 点评: 本题考查了直线与平面平行的判定, 考查了直线与平面垂直的性质, 综合考查了学 生的空间想象和思维能力,是中档题. 18. (12 分)小明家订了一份报纸,寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据,并绘制成 频率分布直方图,如图所示. (Ⅰ)根据图中的数据信息,求出众数 x1 和中位数 x2(精确到整数分钟) ; (Ⅱ)小明的父亲上班离家的时间 y 在上午 7:00 至 7:30 之间,而送报人每天在 x1 时刻 前后半小时内把报纸送达(每个时间点送达的可能性相等) ,求小明的父亲在上班离家前能 收到报纸(称为事件 A)的概率.

考点: 古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 专题: 概率与统计.
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分析: (Ⅰ) 众数为出现频率最高的数, 体现在直方图中应为最高矩形所在区间两端点的 中点,中位数是从小到大排列中间位置的数,在直方图中其两边的小矩形面积相等, (Ⅱ)考查几何概型,条件中已有父亲上班离家的时间 y,再设报纸送达时间为 x,关于两 个变量的不等式围成平面区域内的点为所有可能, 收到报纸即报纸送到时间早于父亲上班时 间即想 x≤y,围成平面区域为梯形,利用几何概型转化为面积之比求解即可. 解答: 解: (Ⅰ)众数最高矩形所在区间的中点,则 x1=7:00 由频率分布直方图可知 6:50<x2<7:10 即 410<x2<430 ∴20×0.0033+20×0.0117+(x2﹣410)×0.0233 =20×0.0100+20×0.0017+(430﹣x2)×0.0233 解得 x2=4, (Ⅱ)设报纸送达时间为 x,则小明父亲上班前能取到报纸等价于 ,如图

所求概率为 P=1﹣ =

点评: 本题(Ⅰ)考查在丢失原始数据的情况下利用直方图求解一些数据,尤其是众数, 中位数和平均数,要理解并记忆, (Ⅱ)概率不是古典概型就是几何概型,事件可一一列举 多位古典概型,否则为几何概型,设报纸送达时间为 x,关于 x、y 的二元一次不等式组对 应平面区域,转化为几何概型,求面积之比. 19. (12 分)已知箱子里装有 4 张大小、形状都相同的卡片,标号分别为 1,2,3,4 (1)从箱子中任取两张卡片,求两张卡片的标号之和不小于 4 的概率; (2)从箱子中任意取出一张卡片记下它的标号 m,然后再放回箱子中;第二次再从箱子中 任取一张卡片,记下它的标号 n,求使得幂函数 f(x)= 的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式;幂函数的概念、解析式、定义域、值域;幂函数图象 及其与指数的关系. 专题: 概率与统计.
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的图象关于 y 轴对称

分析: (1)从箱子中任取两张卡片,共有

=6 个事件(1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,

3) , (2,4) , (3,4) .其中满足两张卡片的标号之和不小于 4 的有(1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4) ,共有 5 中情况.利用古典概型的概率计算公式即可得出. 2 (2)从箱子中有放回的取出两张卡片共有 4 =16 种情况,其中使得幂函数 f(x) = 的图象关于 y 轴对称的满足: m﹣n=1, m 偶数, 有以下两种情况: m=2, n=1;

m=4,n=3.利用古典概型的概率计算公式即可得出. 解答: 解: (1)从箱子中任取两张卡片,共有 =6 个事件(1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,

3) , (2,4) , (3,4) .其中满足两张卡片的标号之和不小于 4 的有(1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4) ,共有 5 中情况.因此其中满足两张卡片的标号之和不小于 4 的概率 P= . (2)从箱子中有放回的取出两张卡片共有 4 =16 种情况,其中使得幂函数 f(x) = 的图象关于 y 轴对称的满足:m﹣n=1,m 偶数,
2

有以下两种情况:m=2,n=1;m=4,n=3. ∴使得幂函数 f(x)= 的图象关于 y 轴对称的概率 P= = .

点评: 本题考查了古典概型的概率计算公式、幂函数的性质,考查了推理能力,属于基础 题. 20. (13 分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小球 1 个,标号为 2 的小球 n 个,已知从袋子随机抽取 1 个小球,取到标号为 2 的小球的 概率是 . (Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)从袋子中不放回地随机抽取 2 个球,记第一次取出的小球标号为 a,第二次取出的小 球标号为 b. ①记“a+b=2”为事件 A,求事件 A 的概率; 2 2 2 ②在区间[0,2]内任取 2 个实数 x,y,求事件“x +y >(a﹣b) 恒成立”的概率. 考点: 几何概型;古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题. 分析: (1)根据从袋子随机抽取 1 个小球,取到标号为 2 的小球的概率是 ,可求 n 的 值; (2)①从袋子中不放回地随机抽取 2 个球,共有基本事件 12 个,其中“a+b=2”为事件 A 的 基本事件有 4 个,故可求概率; 2 2 2 2 2 ②记“x +y >(a﹣b) 恒成立”为事件 B,则事件 B 等价于“x +y >4 恒成立, (x,y)可 以看成平面中的点,确定全部结果所构成的区域,事件 B 构成的区域,即可求得结论.

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解答: 解: (1)由题意,根据从袋子随机抽取 1 个小球,取到标号为 2 的小球的概率是 , 可得 ∴n=2 (2)①从袋子中不放回地随机抽取 2 个球,共有基本事件 12 个,其中“a+b=2”为事件 A 的 基本事件有 4 个 ∴ ②记“x +y >(a﹣b) 恒成立”为事件 B,则事件 B 等价于“x +y >4 恒成立, (x,y)可 以看成平面中的点,则全部结果所构成的区域为 Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},而 事件 B 构成的区域 B={(x,y)|x +y >4, (x,y)∈Ω} ∴ 点评: 本题考查等可能事件的概率,考查几何概型,解题的关键是确定其测度,属于中档 题. 21. (14 分)把圆周分成四等份,A 是其中一个分点,动点 P 在四个分点上按逆时针方向前 进,现在投掷一个质地均匀的正四面体,它的四个面上分别写有 1,2,3,4 四个数字,P 从 A 点出发,按照正四面体底面上数字前进几个分点,转一周之前连续投掷. (1)求点 P 恰好返回 A 点的概率; (2)在点 P 转一周恰能返回 A 点的所有结果中,求至少需投掷 3 次点 P 才能返回 A 的概 率.
2 2 2 2 2 2 2

考点: n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由题意根据相互独立事件的概率乘法公式,分类讨论求得转一周之前点 P 恰 好返回 A 点的概率. (2)由(1) ,把投掷三次,点 P 恰好返回 A 点的概率和投掷四次,点 P 恰好返回 A 点的点 P 恰好返回 A 点的概率相加,即得所求. 解答: 解: (1)投掷一个质地均匀的正四面体,四面体每个面上的数字在底面上的概率是 相等的,都等于 , 若投掷一次,点 P 恰好返回 A 点,则四面体的底面上的数字为 4 的概率为 , 若投掷二次,点 P 恰好返回 A 点,则四面体的底面上的数字分别为(1,3) 、 (3,1) 、 (2, 2) , 共 3 种结果,其概率为 3× = ,

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若投掷三次,点 P 恰好返回 A 点,则四面体的底面上的数字分别为(1,1,2) 、 (1,2,1) 、 (2,1,1) , 共 3 种结果,其概率为 3× = ,

若投掷四次,点 P 恰好返回 A 点,则四面体的底面上的数字分别为(1,1,1,1) ,共一种 结果, 其概率为 = . + + + = . = , ,

综上可得,点 P 恰好返回 A 点的概率为

(2)由(1)可得,投掷三次,点 P 恰好返回 A 点的概率为 3× 投掷四次,点 P 恰好返回 A 点的点 P 恰好返回 A 点的概率为 故至少需投掷 3 次点 P 才能返回 A 的概率为 + = .

在点 P 转一周恰能返回 A 点的所有的 8 个结果中,至少需投掷 3 次点 P 才能返回 A 的结果 有: (1,1,2) 、 (1,2,1) 、 (2,1,1) 、 (1,1,1,1) ,共 4 种结果, 故至少需投掷 3 次点 P 才能返回 A 的概率为 = .

点评: 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,古典概型及其概率计算公式的应用, 列举法,是解决古典概型问题的一种重要的解题方法,体现了分类讨论的数学思想,属于基 础题.

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