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五法求二面角 2


五法求二面角
一、 定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线 所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。 如例 1 中从二面角 S—AM—B 中半平面 ABM 上的一已知点(B)向棱 AM 作垂线,得垂足(F

) ;在另一半平面 ASM 内过该垂足(F) 作棱 AM 的垂线(如 GF) ,这两条垂线(BF、GF)便形成该二面角的一个平面角,再在该 平面角内建立一个可解三角形,然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例 1(2009 全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD ? 底面

ABCD , AD ? 2 DC ? SD ? 2 ,点 M 在侧棱 SC 上, ?ABM =60°
(I)证明:M 在侧棱 SC 的中点 (II)求二面角 S ? AM ? B 的大小。 证(I)略 解 (II) : 利用二面角的定义。 在等边三角形 ABM 中过点 B 作 BF ? AM 交 AM 于点 F , 则点 F 为 AM 的中点, 过 F 点在平面 ASM 内作 GF ? AM , GF 交 AS 于 G, 连结 AC,∵△ADC≌△ADS,∴AS-AC,且 M 是 SC 的中点, ∴AM⊥SC, GF⊥AM,∴GF∥AS,又∵ F 为 AM 的中点, ∴GF 是△AMS 的中位线,点 G 是 AS 的中点。则 ?GFB 即为所求二面角. ∵ SM ? G F

2 ,则 GF ?

2 ,又∵ SA ? AC ? 6 ,∴ AM ? 2 2

0 ∵ AM ? AB ? 2 , ?ABM ? 60 ∴△ ABM 是等边三角形,∴ BF ? 3

在△ GAB 中, AG ?

6 0 , AB ? 2 , ?GAB ? 90 ,∴ BG ? 2

3 11 ?4 ? 2 2

1 11 ?3? GF 2 ? FB 2 ? BG 2 2 ? ?2 ? ? 6 cos?BFG ? ? 2 2GF ? FB 3 2 6 2? ? 3 2
? ∴二面角 S ? AM ? B 的大小为 arccos( 6 ) 3
G F

练习 1(2008 山东)如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ?ABC ? 60? ,E,F 分别是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角 的正切值为

6 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值. 2

分析:第 1 题容易发现,可通过证 AE⊥AD 后推出 AE⊥平 面 APD,使命题获证,而第 2 题,则首先必须在找到最大 角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后,考虑到运 用在二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点 S,和两边 SE 与 SC,进而计算二 面角的余弦值。 (答案:二面角的余弦值为

15 ) 5

二、三垂线法 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也 和这条斜线垂直.通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如(例 2)过二面角 B-FC 1 -C 中半平面 BFC 上的一已知点 B 作另一半平面 FC1C 的垂线,得垂 足 O;再过该垂足 O 作棱 FC1 的垂线,得垂足 P,连结 起点与终点得斜线段 PB, 便形成了三垂线定理的基本构 图(斜线 PB、垂线 BO、射影 OP) 。再解直角三角形求 二面角的度数。 例 2 . (2009 山 东 卷 理 ) 如 图 , 在 直 四 棱 柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 底 面 ABCD 为 等 腰 梯 形 , D1 A1 C1 B1 D E A F B C

E1

AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。 (1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。 证(1)略 解(2)因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则 OB⊥CF, 又因为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC1⊥平面 ABCD,所 以 CC1⊥BO,所以 OB⊥平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OP⊥C1F,垂足为 P,连接 BP,则∠OPB 为二面角 B-FC 1 -C 的一 个平面角, 在△BCF 为正三角形中, OB ? 3 ,在 Rt△CC1F E1 E A F A1

D1 F1 P O

C1 B1 C B

D

中, △OPF∽△CC1F,∵

OP OF 1 2 ∴ OP ? , ? ?2 ? CC1 C1 F 2 22 ? 22

2 OP 7 1 14 2 2 ? 2 ? 在 Rt△OPF 中, BP ? OP ? OB ? , cos ?OPB ? ,所以 ?3 ? BP 7 2 2 14 2
二面角 B-FC 1 -C 的余弦值为

7 . 7

练习 2(2008 天津)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形. 已知 AB ? 3, AD ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2, ?PAB ? 60? . (Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的大小. 分析:本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题,在 证明 AD⊥平面 PAB 后,容易发现平面 PAB⊥平面 ABCD,点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一个点,于是可过点 P 作棱 BD 的垂线,再作平面 ABCD 的垂线,于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容,从而 可得本解法。 (答案:二面角 P ? BD ? A 的大小为 arctan

39 ) 4

三.补棱法 P 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线 的求二面角题目时, 要将两平面的图形补充完整, 使之有明确 的交线 (称为补棱) , 然后借助前述的定义法与三垂线法解题。 即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱法解决 例 3(2008 湖南)如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA D ⊥底面 ABCD,PA=2. E (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (Ⅱ)求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大 A B 小. 分析:本题的平面 PAD 和平面 PBE 没有明确的交线,依本法 显然要补充完整(延长 AD、BE 相交于点 F,连结 PF.)再在完整图形中的 PF.上找一个适 合的点形成二面角的平面角解之。 (Ⅰ)证略 解: (Ⅱ)延长 AD、BE 相交于点 F,连结 PF. P 过点 A 作 AH⊥PB 于 H,由(Ⅰ)知 平面 PBE⊥平面 PAB,所以 AH⊥平面 PBE. 在 Rt△ABF 中,因为∠BAF=60°, G 所以,AF=2AB=2=AP. 在等腰 Rt△PAF 中,取 PF 的中点 G,连接 AG. F H A B D E C

C

则 AG⊥PF.连结 HG,由三垂线定理的逆定理得, PF⊥HG.所以∠AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角(锐角). 在等腰 Rt△PAF 中, AG ? 在 Rt△PAB 中,

2 PA ? 2. 2

AH ?

AP AB ? PB

AP AB AP ? AB
2 2

?

2 2 5 ? . 5 5

2 5 AH 10 所以,在 Rt△AHG 中, sin ?AGH ? ? 5 ? . AG 5 2
故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小 是 arcsin

10 . 5
C1

A1 B1

练习 3 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的棱长都是 a, 侧棱与底面成 600 的角,侧面 BCC1B1⊥底面 ABC。 (1)求证:AC1⊥BC; (2)求平面 AB1C1 与平面 ABC 所成的二面角(锐 角)的大小。 提示:本题需要补棱,可过 A 点作 CB 的平行线 L (答案:所成的二面角为 45O) 四、射影面积法( cos q =

A L C B

s射影 S



凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积 的都可利用射影面积公式(cos ? ?

S射 S斜

)求出二面角的大小。 P

例 4. ( 2008 北 京 理 ) 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 ,

A C ? B C? 2 , ?ACB ? 90 ,
AP ? BP ? AB , PC ? AC . (Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小;
A C B

分析: 本题要求二面角 B—AP—C 的大小, 如果利用射影面积法解题, 不难想到在平面 ABP 与平面 ACP 中建立一对原图形与射影图形并分别求出 S 原与 S 射 于是得到下面解法。 解: (Ⅰ)证略 (Ⅱ) AC ? BC , AP ? BP ,?△ APC ≌△BPC . P 又 PC ? AC ,? PC ? BC . 又 ?ACB ? 90 ,即 AC ? BC ,且 AC

PC ? C ,
A

E B C

? BC ? 平面 PAC . 取 AP 中点 E .连结 BE,CE . AB ? BP ,? BE ? AP . EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影, ? CE ? AP .
∴△ACE 是△ABE 在平面 ACP 内的射影, 于是可求得:

AB ? BP ? AP ? AC2 ? CB 2 ? 2 2 , BE ? AB2 ? AE2 ? 6 ,
1 1 AE ? CE ? 2 ? 2 ? 1, 2 2

AE ? EC ? 2 则 S 射 ? S ?ACE ?
S 原 ? S ?ABE ?

1 1 AE ? EB ? 2? 6 ? 3 2 2 设 二 面 角 B ? AP ? C 的 大 小 为 ? , 则

cos? ?

S射 S原

?

1 3

?

3 3
3 3
A

D B

C

∴二面角 B ? AP ? C 的大小为 ? ? arccos

E D1 C1 B1 图5

练习 4: 如图 5,E 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 棱 CC1 的中点,求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1 所成锐角 的余弦值. 分析 平面 AB1E 与底面 A1B1C1D1 交线即二面角的 A1

棱没有给出,要找到二面角的平面角,则必须先作两个平面的交线,这给解题带来一定的难 度。考虑到三角形 AB1E 在平面 A1B1C1D1 上的射影是三角形 A1B1C1,从而求得两个三角形 的面积即可求得二面角的大小。 (答案:所求二面角的余弦值为 cosθ =

2 ). 3


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