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福建省三校12-13学年度高二下学期期末联考 数学文试卷


福建省安溪一中、养正中学、惠安一中 2012—2013 学年度下学期期末联考

高二数学文试题
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 参考公式: b ?
?

?x y
i ?1 n i i ?1

n

i

?nxy
?

? ?

? xi ? n x 2
2

?

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( y i ? y )
i

?

?

? (x
i ?1

? x) 2

?

, a ? y? b x

?

?

? ?

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 2 1 . 已 知 全 集 U=R , 集 合 M ? {x | x ? x ? 0}, N ? {x | x ? 2n ? 1, n ? Z } , 则 集 合

M ? CU N 为(
A.{0} 2. sin ? ?

) B.{1} C.{0,1} D. ?

3 ? 是 ? ? 的( 2 3



A.充分不必要条件 C.充要条件 3.函数 y ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D.{-1,3}

sin x | cos x | tan x 的值域是( ? ? | sin x | cos x | tan x |
B.{-1,1,3}
1 2

A.{-1,1} 4. 已知 a ? sin

C. {1,3}

5? 1 , b ? 3 , c ? log 3 ( ) ,则 a 、 b 、 c 的大小关系是( ) 7 2 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. c ? a ? b x x ? a (0 ? a ? 1) 的大致图像形状是( 5.函数 f ( x) ? ) x

6.若 x0 是函数 f ( x) ? ln x ? x ? 4 的零点,则 x0 属于区间( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)



D.(3,4)

7.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为(



A.3 B.4 8.下列叙述正确的是( A. y ?
3

C.5 )

D.6

tan x 的定义域是 R

B. y ? log a ( x ? 1), (a ? 1) 恒过定点(1,0) C. y ? ?

1 的递增区间为 ? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ? x

2 x ? 2? x D. y ? x 在定义域上为奇函数 2 ? 2? x
9.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 2 广告费用 x(万元) 4 销售额 y(万元)
? ?

3 39

5 54

49
?
?

26

根据上表可得回归方程 y ? b x ? a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售 额为( ) A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 10.函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ?

π ) 的图象为 C. 3 11 ①图象 C 关于直线 x ? ? 对称; 12 π 5π ②函灶 f (x) 在区间 (? , ) 内是增函数; 12 12 π ③由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C .上面命题正确个数有 3
( )个 A.0 B.1 C.2 D.3

11.已知 x=1 是函数 g ( x) ? 1 ? a ln x ? x 的唯一零点,则实数 a 的取值范围( )

A. ?0,???

B. ?0,?? ? ? ?? 1?

C. ?? 1,0?

D. ?? ?,?1?

12.下列说法:①“ ?x ? R,2 ? 3 ”的否定是“ ?x ? R,2 ? 3 ”;
x x

②命题“函数 y ? sin??x ?

? ?

??

? 的最小正周期是 ? ,则? ? 2 ”是真命题; 3?
/

③命题“函数 f ? x ? 在 x ? x0 处有极值,则 f

?x0 ? ? 0 ”的否命题是假命题;
3

④ f ? x ? 是 ?? ?,0? ? ?0,??? 上的偶函数, x ? 0 时 f ? x ? 的解析式是 f ?x ? ? x , 则 x ? 0 时 f ? x ? 的解析式是 f ? x ? ? ? x .其中正确的说法是(
3



A.①③④

B.①②③

C.①②④

D.②③④

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,只要求在答卷中直接填写结果. ) .. 13.复数

2i 的实部 1? i

. .

14.计算: log 3

27 ? lg 25 ? lg 4 ? 7log7 2 ? (?9.8)0 =

15.若函数 f ? x ? 满足:对于任意 x1 ? 0, x2 ? 0 都有 f ?x1 ? ? 0, f ?x2 ? ? 0 ,且

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x1 ? x2 ? 成立,则称函数 f ? x ? 为“守法函数”.
给出下列四个函数:① y ?

x ;② y ? log 2 ?x ? 1? ;③ y ? 2 x ? 1 ;④ y ? cos x ;


其中“守法函数”的所有函数的序号是

16.已知 P?x0 , y 0 ? 是抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上的一点,过 P 点的切线斜率可通过如下方
2

式求得:在 y ? 2 px 两边同时对 x 求导,得 2 yy ? 2 p ,则 y ?
2 /

/

p ,所以过 P 的切线 y
2 , 2 处的切线

的斜率为 k ?

y2 p 2 ? 1在 P .类比上述方法,求出双曲线 x ? y0 2

?

?

方程为 . 三、解答题(6 小题,共 74 分.在答卷中应写出文字说明,证明过程或演算步骤) .. 17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)求值: sin 690 ? ? sin150 ? ? cos930 ? ? cos(?870 ?) ? tan120 ? ? tan1050 ? ;

(Ⅱ)已知角 ? 的终边上有一点 P?1,2? ,求

4 sin ? ? 2 cos? 的值. 5 sin ? ? 3 cos?

18、 (本小题满分 12 分)

已知命题 p : ?x0 ? R, 使得x0 2 ? ? a ? 1? x0 ? 1 ? 0 ,命题 q : y ? x ? ax 在区间 ?1, ?? ? 没有
2

极值, 若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 右图为 f ?x ? ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0, ? ? ?? ? ,0? )的图象的一段, (Ⅰ)求其解析式. (Ⅱ)将 f ? x ? 图象上所有的点纵坐标不变, 横坐标放大到原来的 2 倍, 然后再将新的图象向左平移 得到函数 g ? x ? 的图象,求函数 g ? x ? 在 x ? ?0,

? ?? ? 的值域. ? 2?

? 个单位, 2

20. (本小题满分 12 分) 牧场中羊群的最大养殖量为 m ,为了保证羊群的生长空间,实际养殖量 x 小于 m ,以便留出 适当的空闲量 m ? x .已知羊群的年增长量 y 与“实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与 最大养殖量的比值)的乘积”成正比,比例系数为 k (k ? 0) . (Ⅰ)写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出该函数的定义域; (Ⅱ)求羊群年增长量的最大值; (Ⅲ)当羊群年增长量达到最大值时,求 k 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 设 f ? x ? 是 R 上的奇函数, f ?x ? 2? ? ? f ?x ? , 当 0 ? x ? 1 时, f ?x ? ? x .

(Ⅰ)求 f ?? ? 的值; (Ⅱ)作出当 ? 4 ? x ? 4 时函数 f ? x ? 的图象, 并求它与 x 轴所围成图形的面积; (Ⅲ)直接写出函数 f ? x ? 在 R 上的单调区间.

22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ?x ? ? ? x?x ? a ? , x ? R ,其中 a ? R . (Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的极大值和
2

极小值;

(Ⅱ)当 a ? 3 时,是否存在实数 k ? ?? 1,0? ,使不等式 f ?k ? cos x ? ? f k ? cos x 对任
2 2

意的 x ? R 恒成立,若存在,求出 k 的值,若不存在,说明理由.

?

?

7 ? 2? 2? 取 ? ?? ? ? ? ? ? 2k? . ? ? ? ? ? 2k? . . ? 所 求 解 析 式 为 6 2 3 3 2? y ? 3 sin(2 x ? ) ┄┄6 分 3 ( Ⅱ ) 将 y ? f ?x ? 图 象 上 所 有 的 点 纵 坐 标 不 变 , 横 坐 标 放 大 到 原 来 的 2 倍 , 得 到 2 ? ? y ? 3 sin(x ? ? ) , 再 将 新 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 得 到 y ? 3 sin(x ? ) 所 以 3 2 6


g ( x) ? 3 s in x ? (
因为 x ? ?0,

?

6

) ┄┄┄┄┄8 分

? 1 3? ? ? ? ? ?? ? ?? ,所以 x ? ? ?? , ? ,所以 sin(x ? ) ? ? ? , ?, ? 6 6 ? 6 3? ? 2? ? 2 2 ?

所以函数 y ? g ?x ? 的值域为 ? ?

? ?

3 3? , ? ┄┄┄┄12 分 2 2?

20.解: (Ⅰ) y ? kx

m? x k ? x(m ? x) , x ? ?? ,m ? ┄┄┄┄┄┄┄4 分 0? x 0 m m m

k k m km , ? ? ? m ? ┄┄┄┄┄┄┄6 分 x(m ? x) ? ? ( x ? ) 2 ? 0 x x ?0, m m m 2 4 k km ? km ? m ?m ? 因为函数 y ? x(m ? x)在 ? 0, ( x ? ) 2 ? ?? 0? , m ? 上是增函数,在? x ?m ? 上是减函数. m 4 ? m2 ? 2 ?2 ? m km km 所以 当 x ? 时, ymax ? .所以羊群年增长量的最大值为 . ┄┄┄┄┄┄ ymax ? 2 4 4
(Ⅱ) y ? ┄8 分 (Ⅲ)由题意知

┄┄┄┄┄┄┄11 分 答:当羊群年增长量达到最大值时,k 的取值范围为 0 ? k ? 2 . ┄┄┄┄┄┄┄12 分

m km ? ?m 2 4 得0 ? k ? 2

┄┄┄┄┄┄┄10 分

? ①若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ( x) 的正负如下表:

x
f ?( x)

a? ? ? ?∞, ? 3? ?

a 3

?a ? ? ,a ? ?3 ?

a
0

(a, ∞) ?

?
x?

0
?a? f? ? ? 3?, 且

?

?

因此, 函数 f ( x) 在

a 3 处取得极小值

4 ?a? f ? ? ? ? a3 2 7 ?3? ; 函数 f ( x) 在 x ? a 处

取得极大值 f (a ) ,且 f (a) ? 0 .

┄┄┄┄┄┄┄4分

? ②若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ( x) 的正负如下表:

x

? ?∞,a ?

a

? a? ? a, ? ? 3?

a 3

?a ? ? ? , ∞? ?3 ?

f ?( x)

?

0

?

0

?
x? a 3 处取得极

因此,函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极小值 f (a ) ,且 f (a) ? 0 ;函数 f ( x) 在

?a? f? ? 大值 ? 3 ? ,

4 ?a? f ? ? ? ? a3 27 . 且 ?3?

┄┄┄┄┄┄┄6分


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